ISBN: 3-540-66055-0
TITLE: Wege in euklidischen Ebenen Kinematik der Speziellen Relativittstheorie
AUTHOR: Dombrowski, Peter
TOC:

1. Wege in euklidischen Ebenen
1.0 Wege in Analysis, Geometrie und Physik 1
1.1 Grundbegriffe ber C^r-Wege 2
1.1.1 Differenzierbare, immersive, Cr-Wege in R-Vektorrumen 2
1.1.2 Umparametrisierungen von Wegen 5
1.1.3 Kurven bzw. orientierte Kurven als Wege-Klassen 6
1.1.4 Analysis erster Ordnung von differenzierbaren Wegen 7
1.1.5 Geometrische Definition der Tangenten und der Glattheit 8
1.2 Weglnge (= Bogenlnge) 11
1.2.1 Die Lnge kompakter Wege in normierten R-Vektorrumen 11
1.2.2 Krzeste Verbindungswege in normierten R-Vektorrumen 13
1.2.3 Weglngenbegriff  Inhalt k-dim. Flchen ("Schwarzscher Stiefel") 14
1.2.4 Das "3. Problem" von David Hilbert 16
1.2.5 Integraldarstellung der Lnge differenzierbarer Wege 18
1.2.6 (Um-)Parametrisierung auf Weglnge 19
1.2.7 Die Ableitung nach der Weglnge immersiver C^1-Wege 21
1.3 Winkelfunktionen, Schwenk, Umlaufzahlen ebener Wege 23
1.3.1 Orientierungen, komplexe Strukturen von R-Vektorrumen 23
1.3.2 Zweidimensionale orientierte, euklidische Vektorrume 25
1.3.3 Polarkoordinatendarstellung und der Schwenk ebener Wege 28
1.3.4 Polarwinkelform  Winkelgeschwindigkeit ebener Wege 31
1.3.5 Umlaufzahlen geschlossener ebener Wege um einen Punkt 32
Homotopie-Invarianz der Umlaufzahl 35
Schnittzahlsatz (nach Leopold Kronecker) 36
Strahlkriterium (nach Leopold Kronecker) 37
1.3.6 Anwendungen des Umlaufzahl-Begriffs 40
"Umlaufsatz" (Tangentendrehzahlen immersiver C^1-Jordan-Wege) 40
Kronecker-Prinzip 45
Poincar-Bohl-Lemma 45
Brouwer-Fixpunktsatz 46
Borsuk-Ulam-Satz 46
Dimensionsinvarianz-Satz 46
"Sandwich-Satz" 47
Holditch-Integralsatz 48
1.3.7 Lokaler Grad  Topologische Invarianz der Umlaufzahl 50
1.3.8 Gebietsinvarianz  Jordan-Kurvensatz 55
Ames-Hadamard-Lemma 55
Gebietsinvarianz-Satz 55
Jordan-Ames-Kurvensatz (mit Beitrgen zu dessen Geschichte) 56
1.4 Krmmungstheorie ebener immersiver Wege 61
1.4.0 Zur Geschichte 61
1.4.1 Die orientierte Krmmung ebener immersiver Wege 62
Frenet-Differentialgleichungen 66
1.4.2 Kongruenz und Gestaltgleichheit in euklidischen Vektorrumen 67
Satz von der freien Beweglichkeit in euklidischen Vektorrumen 70
Krmmungsgleichheit und Kongruenz ebener Wege 72
1.4.3 Orientierte Krmmung und Seitenlage zur Tangenten 73
Positions-Lemma fr immersive C^2-Wege 74
Wendepunkte und echte Wendepunkte 76
1.4.4 Konvexe (Jordan-)Wege  Ovale Wege ("Eilinien") 77
Sehnenlngen-Vergleichssatz (fr gleichlange ebene Wege) 82
1.4.5 Zu einem Vierscheitelsatz fr ovale C^2-Wege 84
Kriterium fr (eigentliche) Extremscheitel 84
Ein Vierscheitelsatz 85
Zur (Ideen-) Geschichte der Vierscheitelstze 87
1.4.6 Intermezzo: Ein Mittel- und Grenzwertsatz n-ter Ordnung 90
1.4.7 Krmmungsradius  Krmmungskreis  Evolute 94
Kennzeichnung des Krmmungsmittelpunktes und des Krmmungskreises (nach Isaac Newton  Johann Bernoulli) 96
Evoluten monoton gekrmmter C^2-Wege ohne Wendepunkte 98
1.4.8 Lagebeziehung von Bahnen und Krmmungskreisen ebener Wege 100
Inklusionen der Krmmungskreisscheiben monoton gekrmmter ebener Wege 100
Lage eines Weges relativ zu seinem Krmmungskreis in einem Extremscheitel 103
1.4.9 Konstruktion mit Zirkel und Lineal von Linienelementen und Scheitelkrmmungkreisen bei Kegelschnitt-Wegen 107
Ellipsenweg 107
Parabelweg 108
Hyperbel(ast)weg 109
1.5 Zykloidenwege in der Mechanik 110
1.5.1 Kinematische Erzeugung der Zykloidenwege (als Rollwege) 110
Zur Geometrie der Zykloidenwege 111
1.5.2 Das Zykloidenpendel von Christiaan Huygens 112
1.5.3 Brachistochrone (= zeit-krzeste) ebene Fallwege von hher- zu tiefergelegenen Punkten nach Johann Bernoulli 115
Die zykloidischen Fallwege sind brachistochrone Fallwege 117
Verbindbarkeit durch zykloidische Fallwege; deren Fallzeiten 120
1.5.4 Zur (Ideen-) Geschichte der Brachistochronen-Aufgabe 126
1.6 Einhllende Wege fr Wegescharen 135
1.6.1 C^1-Einhllende fr C^r-Scharen (r Element aus N vereinigt mit {unendlich}) von C^1-Wegen 135
1.6.2 Beispiele fr C^r-Scharen von C^1-Wegen mit C^1-Einhllenden 137
C^1-Einhllende fr gewisse ebene C^2-Geradenscharen 141
1.6.3 Beispiele aus der Lichtstrahlen-Optik (Katakaustiken) 144
Katakaustik eines parabolischen Hohlspiegels 145
Katakaustik eines sphrischen Hohlspiegels 145
1.6.4 Quadratische Parabelwege als C^1-Einhllende affin-parametrisierter Scharen ihrer Tangenten 148
1.6.5 Schmiegparabeln immersiver C^3-Wege ohne Wendepunkte 151
Anwendung auf Kurvenlineale 153
Schmiegparabel versus 2-te Taylor-Parabel 153
1.7 Anhang 154
1.7.1 Eine Funktion mit bemerkenswertem Extremwert-Verhalten 154
1.8 Literatur zu Kapitel 1 155
2. Kinematik der Speziellen Relativittstheorie
2.0 Zur Geschichte 159
2.1 Lorentzsche Vektorrume  Analysis affiner Rume 164
2.1.1 Zeitorientierte lorentzsche Vektorrume 164
Zeit- , Raum-, Lichtartigkeit in Inneren-Produkt-Vektorrumen 164
Lorentzsche Vektorrume 165
Zeitartigkeits-Lemma (Zeitartige Cauchy-Schwarz-Ungleichung) 165
Zeitorientierung 167
Lichtkegel 168
Bestimmtheit lorentzscher innerer Produkte durch ihre Lichtkegel 169
2.1.2 m-dimensionale R-affine Rume (m Element aus N) 171
"Goldene Regel" des affinen Kalkls 172
Affine V -Karten eines m-dim. R-affinen Raumes (M,+,V) 172
Affinkombinationen von Punkten R-affiner Rume 173
2.1.3 Kanonische Topologie und C^unendlich -Abbildungen R-affiner Rume 174
2.1.4 C^unendlich-Untermannigfaltigkeiten R-affiner Rume 175
2.1.5 Die zu einer C^unendlich-Untermannigfaltigkeit K eines R-affinen
Raumes (M,+,V) in p Element aus K tangentialen Vektoren von V 178
2.1.6 k-dim. affine Unterrume eines R-affinen Raumes als k-dim. C^unendlich-Untermannigfaltigkeiten dieses Raumes 182
2.1.7 Intermezzo: Zum Begriff der m-dim. C^unendlich-Mannigfaltigkeit 183
2.2 Minkowski-Welt  Beobachter  Normaluhren 184
2.2.1 Minkowski-Welt 184
2.2.2 Materielle Teilchen  Beobachter 185
Inertialitt (Krftefreiheit) 186
Evolutionsrichtung 186
2.2.3 (Beobachter begleitende) Normaluhren 187
Physikalische und mathematische Deutung der Normaluhren 188
Existenz und "Einzigkeit" begleitender Normaluhren 188
Inertiale Beobachter und die sie begleitenden Normaluhren 190
2.2.4 Lichtsignale  Photonen 190
2.2.5 Kausal-Relation 191
2.3 Zeitmessung bzgl. (inertialer) Beobachter 191
2.3.1 Die Eigenzeit eines Beobachters 191
2.3.2 Langevins Zwillinge 192
2.3.3 Gleichzeitigkeit bzgl. eines inertialen Beobachters 194
2.3.4 Messung von Gleichzeitigkeit mittels Radarechos 194
2.3.5 Synchronisierung (Uhren-Vergleich) bzgl. inertialer Beobachter 196
2.3.6 Zeitmessung inertialer Beobachter an beliebigen Ereignissen 197
Lebenszeiten 197
Beschrnkte Lebens-Eigenzeiten materieller Teilchen 198
2.3.7 Einsteins Zeit-Dilatation 199
2.4 Rumliche Distanzen bzgl. inertialer Beobachter 200
2.4 Rumliche Distanzen bzgl. inertialer Beobachter 200
2.4.1 Rumliche Distanz zu einem inertialen Beobachter 200
2.4.2 Ruhe bzgl. eines inertialen Beobachters 201
2.4.3 Distanz zweier Ereignisse bzgl. eines inertialen Beobachters 202
Radardoppelecho-(Gedanken-)Experiment 202
2.4.4 Physikalische Einheiten fr Zeiten und rumliche Distanzen 203
2.5 Raum und Zeit eines inertialen Beobachters B 203
2.5.1 Raum- und Zeitpunkte bzgl. B 203
2.5.2 Der Raum von B als 3-dim. affiner euklidischer Raum 204
2.5.3 Die Zeit von B als 1-dim. affiner euklidischer Raum 205
2.5.4 Die (Lorentz-orthogonale) Aufspaltung der Minkowski-Welt durch B in seinen Raum und seine Zeit 206
2.6 Eigenschaften der Lichtgeschwindigkeit c 206
2.6.1 Rumliche Bahnen, Geschwindigkeiten bzgl. inertialer Beobachter 206
2.6.2 Geschwindigkeiten von Photonen bzgl. inertialer Beobachter 207
2.6.3 Geschwindigkeiten materieller Teilchen sind kleiner als c 208
2.7 Korrelation der von zwei inertialen Beobachtern gemessenen Zeiten und Distanzen 209
2.7.1 Korrelation der gemessenen Zeiten und Distanzen bzgl. zweier inertialer Beobachter  Lorentz-Transformation 209
2.7.2 Minimalitt der Distanz gleichzeitiger Ereignisse 211
2.7.3 Krftefreie starre Krper und deren rumliche Vermessung 211
2.7.4 Fitzgerald-Lorentz-Kontraktion nach Einstein 212
2.8 Additionstheorem der Geschwindigkeiten 214
2.9 Literatur zu Kapitel 2 216
Lexikon der Abkrzungen und Symbole 218
Index 219
END
