ISBN: 354067747x
TITLE: Nichtlineare Finite-Element-Methoden
AUTHOR: Wriggers
TOC:

1. Einleitung 1
2. Nichtlineare Phnomene 7
2.1 Geometrische Nichtlinearitt 7
2.1.1 Groe Verschiebungen eines starren Balkens 7
2.1.2 Groe Verschiebungen eines elastischen Systems 9
2.1.3 Verzweigungsproblem 11
2.1.4 Durchschlagproblem 13
2.2 Physikalische Nichtlinearitt 15
2.3 Nichtlinearitt infolge von Randbedingungen 16
3. Kontinuumsmechanische Grundgleichungen 19
3.1 Kinematik 19
3.1.1 Bewegung, Deformationsgradient 20
3.1.2 Verzerrungsmae 23
3.1.3 Transformation von Vektoren und Tensoren 29
3.1.4 Zeitableitungen 31
3.2 Bilanzgleichungen 33
3.2.1 Volumenbilanz 34
3.2.2 Lokale Impulsbilanz, Drallbilanz 34
3.2.3 1. Hauptsatz der Thermodynamik 35
3.2.4 Umrechnung auf die Ausgangskonfiguration, verschiedene Spannungstensoren 36
3.2.5 Zeitableitungen der Spannungstensoren 38
3.3 Materialgleichungen 40
3.3.1 Elastisches Materialverhalten 41
3.3.2 Elasto-plastische Materialgesetze 52
3.3.3 Viskoelastisches und viskoplastisches Materialverhalten 63
3.3.4 Inkrementelle Form der Materialgleichungen 71
3.4 Schwache Form des Gleichgewichts, Variationsprinzipien 80
3.4.1 Schwache Formulierung des Gleichgewichts in der Ausgangskonfiguration 81
3.4.2 Rumliche schwache Formulierung des Gleichgewichtes 83
3.4.3 Variationsprinzipien 84
3.5 Linearisierungen 87
3.5.1 Linearisierung der kinematischen Gren 90
3.5.2 Linearisierung der Materialgleichungen 92
3.5.3 Linearisierung der Variationsformulierung 93
4. Rumliche Diskretisierung der Grundgleichungen 101
4.1 Generelles isoparametrisches Konzept 101
4.1.1 Eindimensionale Anstze 107
4.1.2 Zweidimensionale Anstze 110
4.1.3 Dreidimensionale Anstze 115
4.2 Diskretisierung der Grundgleichungen 120
4.2.1 FE-Formulierung der schwachen Form bezogen auf die Ausgangskonfiguration 120
4.2.2 Linearisierung der schwachen Form in der Ausgangskonfiguration 125
4.2.3 FE-Formulierung der schwachen Form bezglich der Momentankonfiguration 130
4.2.4 Linearisierung der schwachen Form in der Momentankonfiguration 133
4.2.5 Verformungsabhngige Lasten 139
5. Lsungsverfahren fr zeitunabhngige Probleme 145
5.1 Lsung nichtlinarer Gleichungssysteme 148
5.1.1 Newton-Raphson-Verfahren 148
5.1.2 Modifiziertes Newton-Verfahren 150
5.1.3 Quasi-Newton-Verfahren 151
5.1.4 Gedmpftes Newton Verfahren, Line-Search 153
5.1.5 Bogenlngenverfahren 156
5.2 Lser fr lineare Gleichungssysteme 165
5.2.1 Direkte Gleichungslser 166
5.2.2 Iterative Gleichungslser 169
5.2.3 Parallele Gleichungslser 176
5.3 Beispiele zu den Algorithmen und Gleichungslsern 184
6. Lsungsverfahren fr zeitabhngige Probleme 195
6.1 Integration der Bewegungsgleichungen 197
6.1.1 Explizite Verfahren 199
6.1.2 Implizite Verfahren 201
6.1.3 Impuls-, drall- und energieerhaltende Algorithmen 204
6.1.4 Numerische Beispiele 209
6.2 Integration inelastischer Materialgleichungen bei kleinen Deformationen 212
6.2.1 Viskoelastisches Materialverhalten 214
6.2.2 Elasto-plastisches Materialienverhalten 216
6.2.3 Elasto-viskoplastisches Materialverhalten 224
6.3 Integration der Materialgleichungen bei groen Deformationen 225
6.3.1 Allgemeine implizite Integration 226
6.3.2 Implizite Integration mit Bezug auf Hauptachsen 228
6.3.3 Konsistenter Tangentenmodul 233
7. Stabilittsprobleme 237
7.1 Vorbemerkungen 237
7.1.1 Klassische und lineare Beulanalyse 238
7.1.2 Nichtlineare Stabilittsuntersuchungen 240
7.2 Direkte Berechnung von Stabilittspunkten 243
7.2.1 Formulierung eines erweiterten Systems 244
7.2.2 Berechnung der Richtungsableitung von K_T 247
7.2.3 Beispiel: Verzweigungspunkt eines Bogentrgers 250
7.3 Algorithmus fr nichtlineare Stabilittsprobleme 251
8. Adaptive Verfahren 255
8.1 Randwertproblem und Diskretisierung 261
8.1.1 Randwertproblem fr finite Elastizitt 262
8.1.2 Das linearisierte Randwertproblem 262
8.1.3 Diskretisierung 263
8.2 Fehlerschtzer und -indikatoren 264
8.2.1 Fehlerschtzung bei nichtlinearen Problemen 265
8.2.2 Residuenbasierter Fehlerschtzer 267
8.2.3 Fehlerindikator basierend auf der Z^2-Methode 269
8.2.4 Fehlerestimatoren basierend auf dualen Methoden 271
8.3 Fehlerschtzung fr Plastizitt 274
8.4 Netzverfeinerung 276
8.5 Adaptive Netzgenerierung 279
8.5.1 Netzerzeugung 280
8.5.2 Transfer der Geschichtsdaten 282
8.6 Beispiele 285
8.6.1 Kontaktproblem nach Hertz 285
8.6.2 Elastoplastische Deformation einer Zylinderschale 287
9. Spezielle Strukturelemente 295
9.1 Nichtlineares Fachwerkelement 296
9.1.1 Kinematik und Verzerrungen 296
9.1.2 Materialgleichungen fr den Fachwerkstab 298
9.1.3 Variationsformulierung und Linearisierung 299
9.1.4 Finite-Element-Modell 300
9.2 Zweidimensionales geometrisch exaktes Balkenelement 307
9.2.1 Kinematik 308
9.2.2 Schwache Form des Gleichgewichtes 312
9.2.3 Materialgleichungen 313
9.2.4 FE-Formulierung 316
9.2.5 Beispiel 325
9.2.6 Zusammenfassung 327
9.3 Rotationssymmetrisches Schalenelement 328
9.3.1 Kinematik und Verzerrungen der rotationssymmetrischen Schale 328
9.3.2 Variationsformulierung 332
9.3.3 Materialgleichungen 332
9.3.4 Finite-Element-Formulierung 339
9.4 Allgemeine Schalenelemente 345
9.4.1 Vorbemerkungen 345
9.4.2 Kinematik 351
9.4.3 Parametrisierung der Rotationen 354
9.4.4 Schwache Form 357
9.4.5 Materialgleichungen fr die Schale 358
9.4.6 Finite-Element-Formulierung fr das 5-Parameter Modell 360
9.4.7 Schalenverschneidungen 374
9.5 Beispiele 375
9.5.1 Biegung eines Kragtrgers 376
9.5.2 Aufblasvorgang einer quadratischen Platte 376
9.5.3 Zylinder unter Einzellast 378
9.5.4 Abschlieende Bemerkungen 379
10. Spezielle Kontinuumselemente 383
10.1 Anforderungen an Kontinuumselemente 383
10.2 Gemischte Elemente fr Inkompressibilitt 388
10.2.1 Gemischtes Ql-PO Element 391
10.2.2 Linearisierung des Q1-PO Elementes 392
10.3 Stabilisierte finite Elemente 394
10.3.1 Stabilisierungsvektoren 396
10.3.2 Schwache Form und Linearisierung 398
10.4 Enhanced Strain Element 399
10.4.1 Generelle Vorgehensweise, klassische Formulierung 401
10.4.2 Diskretisierung 402
10.4.3 Kombination aus enhanced Formulierung und hour-glass Stabilisierung 413
10.4.4 Instabilitten bei den enhanced Elementen 417
10.4.5 Stabilisierung der enhanced Formulierung 424
10.4.6 Spezielle Interpolation der enhanced Modes 426
11. Kontaktprobleme 429
11.1 Kontaktkinematik 429
11.2 Konstitutive Gleichungen in der Kontaktzone 433
11.2.1 Normalkontakt 433
11.2.2 Tangentialkontakt 435
11.3 Schwache Formulierung 438
11.4 Diskretisierung 442
11.4.1 NTS-Diskretisierung 443
11.4.2 Matrizenform des Kontaktresiduums 446
11.4.3 Integration des Reibgesetzes 447
11.4.4 Algorithmen 448
11.4.5 Linearisierung des Kontaktresiduums 449
A. Tensorrechnung 451
A.l Tensoralgebra 451
A.l.l Definition eines Tensors 451
A.1.2 Basisdarstellung von Vektoren und Tensoren 452
A.1.3 Produkte von Vektoren und Tensoren 454
A.1.4 Spezielle Formen von Tensoren 455
A.1.5 Eigenwerte und Invarianten von Tensoren 456
A.1.6 Tensoren hherer Stufe 458
A.2 Tensoranalysis 459
A.2.1 Differentiation nach einer reellen Variablen 460
A.2.2 Gradientenbildung eines Feldes 460
A.2.3 Divergenzbildung eines Feldes 462
A.2.4 Rotation eines Vektorfeldes 462
A.2.5 Ableitung der Invarianten nach einem Tensor 462
A.2.6 Pu11 back und push forward Operationen 463
A.2.7 Lie- Ableitung von Spannungstensoren 464
A.2.8 Integralstze 465
Literatur 466
Index 491
END
