ISBN: 3540203923
TITLE: Funktionentheorie
AUTHOR: Jnich
TOC:

1. Holomorphe Funktionen
1.1 Komplexe Differenzierbarkeit 1
1.2 Potenzreihen 2
1.3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 5
1.4 bungsaufgaben 8
1.5 Hinweise zu den Ubungsaufgaben 9
2. Der Cauchysche Integralsatz
2.1 Kurvenintegrale 10
2.2 Der Cauchysche Integralsatz fr ein Rechteck 11
2.3 Cauchyscher Integralsatz fr Bilder von Rechtecken 14
2.4 bungsaufgaben 17
2.5 Hinweise zu den bungsaufgaben 18
3. Erste Folgerungen aus dem Cauchyschen Integralsatz
3.1 Die Cauchyformel 20
3.2 Der Potenzreihenentwicklungssatz 21
3.3 Satz von Morera und Spiegelungsprinzip 24
3.4 Nullstellen holomorpher Funktionen 26
3.5 Identittssatz und Gebietstreue 29
3.6 bungsaufgaben 32
3.7 Hinweise zu den bungsaufgaben 33
4. Isolierte Singularitten
4.1 Die drei Typen isolierter Singularitten 35
4.2 Meromorphe Funktionen 36
4.3 Laurentreihen 37
4.4 Laurentreihenentwicklung 40
4.5 Anwendung auf isolierte Singularitten 42
4.6 bungsaufgaben 43
4.7 Hinweise zu den bungsaufgaben 45
5. Analytische Fortsetzung
5.1 Analytische Fortsetzung lngs Kreisketten 46
5.2 Der komplexe Logarithmus als Beispiel 48
5.3 Analytische Fortsetzung lngs Wegen 50
5.4 Analytische Fortsetzung und Kurvenintegrale 52
5.5 Homotopie von Wegen 54
5.6 Der Monodromiesatz 59
5.7 bungsaufgaben 62
5.8 Hinweise zu den bungsaufgaben 63
6. Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes
6.1 Die Frage nach einer allgemeinen Fassung des Cauchyschen Integralsatzes 64
6.2 Die Umlaufszahl 65
6.3 Die Umlaufszahlversion des Cauchyschen Integralsatzes 69
6.4 Cauchyformel und Residuensatz 72
6.5 bungsaufgaben 74
6.6 Hinweise zu den bungsaufgaben 76
7. Der Residuenkalkl
7.1 Vorbemerkungen 77
7.2 Integrale ber die ganze reelle Achse 78
7.3 Hauptwerte 80
7.4 Integrale ber die positive reelle Halbachse 83
7.5 Integrale ber ein Intervall 84
7.6 Das Null- und Polstellen zhlende Integral 85
7.7 bungsaufgaben 88
7.8 Hinweise zu den bungsaufgaben 90
8. Folgen holomorpher Funktionen
8.1 Kompakte Konvergenz 91
8.2 Bltterzahlen von Grenzfunktionen 92
8.3 Lokal beschrnkte Folgen 94
8.4 Der Satz von Montel 96
8.5 bungsaufgaben 97
8.6 Hinweise zu den bungsaufgaben 98
9. Satz von Mittag-Leffler und Weierstrascher Produktsatz
9.1 Der Satz von Mittag-Leffler 99
9.2 Die Partialbruchzerlegung von 1/sin^2z 100
9.3 Unendliche Produkte 102
9.4 Der Weierstrasche Produktsatz 104
9.5 bungsaufgaben 107
9.6 Hinweise zu den bungsaufgaben 108
10. Der Riemannsche Abbildungssatz
10.1 Der Satz 110
10.2 Erster Beweisschritt 112
10.3 Zweiter Beweisschritt 114
10.4 Dritter Beweisschritt 116
10.5 bungsaufgaben 117
10.6 Hinweise zu den bungsaufgaben 118
Literaturverzeichnis 119
Register 120
END
