ISBN: 3540203893
TITLE: Analysis 2
AUTHOR: Königsberger
TOC:

1 Elemente der Topologie 1
1.1 Topologie des euklidischen Raumes R^n 1
1.2 Topologie metrischer Räume 6
1.3 Stetige Abbildungen 13
1.4 Kompakte Räume 28
1.5 Zusammenhang 33
1.6 Potenzreihen in Banachalgebren 38
1.7 Aufgaben 42
2 Differenzierbare Funktionen 45
2.1 Begriff der Differenzierbarkeit. Elementare Feststellungen 45
2.2 Mittelwertsatz und Schrankensatz 56
2.3 Höhere Ableitungen. Der Satz von Schwarz 58
2.4 Die Taylorapproximation 64
2.5 Zur Bedeutung der zweiten Ableitung 68
2.6 Differentiation parameterabhängiger Integrale 75
2.7 Die Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung 77
2.8 Aufgaben 84
3 Differenzierbare Abbildungen 87
3.1 Begriff der Differenzierbarkeit. Elementare Feststellungen 87
3.2 Der Schrankensatz 102
3.3 Der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit 104
3.4 Auflösen von Gleichungen. Implizit definierte Abbildungen 111
3.5 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten 115
3.6 Extrema unter Nebenbedingungen 123
3.7 Aufgaben 126
4 Vektorfelder 131
4.1 Vektorfelder. Koordinatensysteme 131
4.2 Integralkurven in Vektorfeldern. Gewöhnliche Differentialgleichungen 136
4.3 Lineare Differentialgleichungen 147
4.4 Erste Integrale 154
4.5 Attraktoren und stabile Punkte 158
4.6 Flüsse in Vektorfeldern und Divergenz 164
4.7 Divergenz und Laplace-Operator in orthogonalen Koordinaten 171
4.8 Aufgaben 173
5 Felder von Linearformen, Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale 177
5.1 Begriff der Pfaffschen Form 177
5.2 Integration von 1-Formen längs Kurven 179
5.3 Exakte 1-Formen. Wegunabhängigkeit der Integration 182
5.4 Lokal exakte 1-Formen. Das Lemma von Poincaré 185
5.5 Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals lokal exakter 1-Formen 188
5.6 Aufgaben 194
6 Die Fundamentalsätze der Funktionentheorie 197
6.1 Der Cauchysche Integralsatz 197
6.2 Die Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben. Der Satz von der Potenzreihenentwicklung 203
6.3 Die Cauchysche Integralformel für Kreisringe. Der Satz von der Laurententwicklung 211
6.4 Der Residuensatz 216
6.5 Das Maximumprinzip. Die holomorphen Automorphismen von E 223
6.6 Die Gammafunktion 225
6.7 Holomorphe Funktionen und harmonische Funktionen 229
6.8 Aufgaben 230
7 Das Lebesgue-Integral 235
7.1 Integration von Treppenfunktionen 235
7.2 Die L^1-Halbnorm 238
7.3 Definition des Lebesgue-Integrals. Elementare Feststellungen 242
7.4 Der Kleine Satz von Beppo Levi und der Kleine Satz von Fubini 245
7.5 Meßbarkeit von Teilmengen des R^n 252
7.6 Nullmengen 256
7.7 Translationsinvarianz des Lebesgue-Integrals. Das Volumen von Parallelotopen 261
7.8 Riemannsche Summen 264
7.9 Aufgaben 266
8 Vollständigkeit des Lebesgue-Integrals. Konvergenzsätze und der Satz von Fubini 269
8.1 Der Vollständigkeitssatz von Riesz-Fischer 269
8.2 Gliedweise Integration bei monotoner Konvergenz. Der Satz von Beppo Levi 272
8.3 Gliedweise Integration bei majorisierter Konvergenz 278
8.4 Parameterabhängige Integrale 282
8.5 Integration über einen Produktraum. Die Sätze von Fubini und Tonelli 289
8.6 Aufgaben 296
9 Der Transformationssatz 299
9.1 Formulierung des Transformationssatzes. Erste Beispiele 299
9.2 Beweis des Transformationssatzes 303
9.3 Integration mittels Polarkoordinaten und Jacobi-Abbildung 308
9.4 Aufgaben 314
10 Anwendungen der Integralrechnung 317
10.1 Faltung und Approximation von Funktionen 317
10.2 Die Fourier-Transformation 325
10.3 Quadratintegrierbare Funktionen 334
10.4 Aufgaben 343
11 Integration über Untermannigfaltigkeiten des euklidischen R^n 346
11.1 Reguläre Parameterdarstellungen 346
11.2 Das Volumen d-dimensionaler Parallelotope 351
11.3 Integration über ein Kartengebiet 353
11.4 Zerlegungen der Eins 359
11.5 Integration über eine Untermannigfaltigkeit 362
11.6 Nullmengen zu einer Dimension d 367
11.7 Integration über C^1-Flächen 371
11.8 Aufgaben 374
12 Der Integralsatz von Gauß 377
12.1 Integration von Vektorfeldern über orientierte reguläre Hyperflächen 377
12.2 C^1-Polyeder 380
12.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes 382
12.4 Der Gaußsche Integralsatz 384
12.5 Beweis des Gaußschen Integralsatzes 387
12.6 Die Greenschen Formeln 393
12.7 Aufgaben 396
13 Der Integralsatz von Stokes 399
13.1 Alternierende Multilinearformen 399
13.2 Differentialformen auf offenen Teilmengen des R^n 403
13.3 Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten des R^N 408
13.4 Orientierung von Untermannigfaltigkeiten 411
13.5 Integration von Differentialformen 418
13.6 Glatt berandete Teilmengen einer Untermannigfaltigkeit 423
13.7 Der Satz von Stokes 430
13.8 Die klassische Version des Satzes von Stokes 433
13.9 Der Brouwersche Fixpunktsatz 439
13.10 Aufgaben 441
Literatur 445
Bezeichnungen 446
Namen- und Sachverzeichnis 449
END
