ISBN: 3540203893
TITLE: Analysis 2
AUTHOR: Knigsberger
TOC:

1 Elemente der Topologie 1
1.1 Topologie des euklidischen Raumes R^n 1
1.2 Topologie metrischer Rume 6
1.3 Stetige Abbildungen 13
1.4 Kompakte Rume 28
1.5 Zusammenhang 33
1.6 Potenzreihen in Banachalgebren 38
1.7 Aufgaben 42
2 Differenzierbare Funktionen 45
2.1 Begriff der Differenzierbarkeit. Elementare Feststellungen 45
2.2 Mittelwertsatz und Schrankensatz 56
2.3 Hhere Ableitungen. Der Satz von Schwarz 58
2.4 Die Taylorapproximation 64
2.5 Zur Bedeutung der zweiten Ableitung 68
2.6 Differentiation parameterabhngiger Integrale 75
2.7 Die Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung 77
2.8 Aufgaben 84
3 Differenzierbare Abbildungen 87
3.1 Begriff der Differenzierbarkeit. Elementare Feststellungen 87
3.2 Der Schrankensatz 102
3.3 Der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit 104
3.4 Auflsen von Gleichungen. Implizit definierte Abbildungen 111
3.5 Differenzierbare Untermannigfaltigkeiten 115
3.6 Extrema unter Nebenbedingungen 123
3.7 Aufgaben 126
4 Vektorfelder 131
4.1 Vektorfelder. Koordinatensysteme 131
4.2 Integralkurven in Vektorfeldern. Gewhnliche Differentialgleichungen 136
4.3 Lineare Differentialgleichungen 147
4.4 Erste Integrale 154
4.5 Attraktoren und stabile Punkte 158
4.6 Flsse in Vektorfeldern und Divergenz 164
4.7 Divergenz und Laplace-Operator in orthogonalen Koordinaten 171
4.8 Aufgaben 173
5 Felder von Linearformen, Pfaffsche Formen. Kurvenintegrale 177
5.1 Begriff der Pfaffschen Form 177
5.2 Integration von 1-Formen lngs Kurven 179
5.3 Exakte 1-Formen. Wegunabhngigkeit der Integration 182
5.4 Lokal exakte 1-Formen. Das Lemma von Poincar 185
5.5 Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals lokal exakter 1-Formen 188
5.6 Aufgaben 194
6 Die Fundamentalstze der Funktionentheorie 197
6.1 Der Cauchysche Integralsatz 197
6.2 Die Cauchysche Integralformel fr Kreisscheiben. Der Satz von der Potenzreihenentwicklung 203
6.3 Die Cauchysche Integralformel fr Kreisringe. Der Satz von der Laurententwicklung 211
6.4 Der Residuensatz 216
6.5 Das Maximumprinzip. Die holomorphen Automorphismen von E 223
6.6 Die Gammafunktion 225
6.7 Holomorphe Funktionen und harmonische Funktionen 229
6.8 Aufgaben 230
7 Das Lebesgue-Integral 235
7.1 Integration von Treppenfunktionen 235
7.2 Die L^1-Halbnorm 238
7.3 Definition des Lebesgue-Integrals. Elementare Feststellungen 242
7.4 Der Kleine Satz von Beppo Levi und der Kleine Satz von Fubini 245
7.5 Mebarkeit von Teilmengen des R^n 252
7.6 Nullmengen 256
7.7 Translationsinvarianz des Lebesgue-Integrals. Das Volumen von Parallelotopen 261
7.8 Riemannsche Summen 264
7.9 Aufgaben 266
8 Vollstndigkeit des Lebesgue-Integrals. Konvergenzstze und der Satz von Fubini 269
8.1 Der Vollstndigkeitssatz von Riesz-Fischer 269
8.2 Gliedweise Integration bei monotoner Konvergenz. Der Satz von Beppo Levi 272
8.3 Gliedweise Integration bei majorisierter Konvergenz 278
8.4 Parameterabhngige Integrale 282
8.5 Integration ber einen Produktraum. Die Stze von Fubini und Tonelli 289
8.6 Aufgaben 296
9 Der Transformationssatz 299
9.1 Formulierung des Transformationssatzes. Erste Beispiele 299
9.2 Beweis des Transformationssatzes 303
9.3 Integration mittels Polarkoordinaten und Jacobi-Abbildung 308
9.4 Aufgaben 314
10 Anwendungen der Integralrechnung 317
10.1 Faltung und Approximation von Funktionen 317
10.2 Die Fourier-Transformation 325
10.3 Quadratintegrierbare Funktionen 334
10.4 Aufgaben 343
11 Integration ber Untermannigfaltigkeiten des euklidischen R^n 346
11.1 Regulre Parameterdarstellungen 346
11.2 Das Volumen d-dimensionaler Parallelotope 351
11.3 Integration ber ein Kartengebiet 353
11.4 Zerlegungen der Eins 359
11.5 Integration ber eine Untermannigfaltigkeit 362
11.6 Nullmengen zu einer Dimension d 367
11.7 Integration ber C^1-Flchen 371
11.8 Aufgaben 374
12 Der Integralsatz von Gau 377
12.1 Integration von Vektorfeldern ber orientierte regulre Hyperflchen 377
12.2 C^1-Polyeder 380
12.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes 382
12.4 Der Gausche Integralsatz 384
12.5 Beweis des Gauschen Integralsatzes 387
12.6 Die Greenschen Formeln 393
12.7 Aufgaben 396
13 Der Integralsatz von Stokes 399
13.1 Alternierende Multilinearformen 399
13.2 Differentialformen auf offenen Teilmengen des R^n 403
13.3 Differentialformen auf Untermannigfaltigkeiten des R^N 408
13.4 Orientierung von Untermannigfaltigkeiten 411
13.5 Integration von Differentialformen 418
13.6 Glatt berandete Teilmengen einer Untermannigfaltigkeit 423
13.7 Der Satz von Stokes 430
13.8 Die klassische Version des Satzes von Stokes 433
13.9 Der Brouwersche Fixpunktsatz 439
13.10 Aufgaben 441
Literatur 445
Bezeichnungen 446
Namen- und Sachverzeichnis 449
END
