Überblick

Insbesondere mit der Sinusfunktion werden viele physikalische Phänomene auf mathematischer Ebene beschrieben. Ein solches Beispiel sind die Schwingungen. Deren Überlagerung ist Gegenstand vieler Betrachtungen unter unterschiedlichen Voraussetzungen. Dabei geht man meist von der Darstellung der Form und bzw. aus. Es interessieren z.B. folgende Fälle:

- Gleichphasige eindimensionale Überlagerung bei gleicher Frequenz, d.h. .
- Gegenphasige eindimensionale Überlagerung bei gleicher Frequenz, d.h. .
- Beliebige Phasenverschiebung bei gleicher Frequenz.
- Überlagerung bei gleicher Amplitude und geringem Frequenzunterschied (Schwebung).
- Senkrechte Überlagerung (Lissajous-Figuren - gesondertes Worksheet).

Inhaltsverzeichnis

- Maximale Verstärkung
- Auslöschung
- Allgemeiner Fall
- Überlagerung mit gleicher Amplitude bei geringem Frequenzunterschied (Schwebung)

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Maximale Verstärkung

Gleichphasige Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz aber unterschiedlicher Amplitude.

`>` omega:=1:
`>` f:=t->sin(omega*t):
`>` g:=t->2*sin(omega*t):
`>` a:=0:
`>` b:=6.5:
`>` addition1(f,g,a,b);

Animation !

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Auslöschung

Gegenphasige Überlagerung zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude. Aus und folgt:

`>` omega:=1:
`>` f:=t->sin(omega*t):
`>` g:=t->-sin(omega*t):
`>` a:=0:
`>` b:=6.5:
`>` addition1(f,g,a,b);

Animation !

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Allgemeiner Fall

Die Überlagerung bei einem beliebigen Wert der Phasenverschiebung Teilschwingngen, aber bei gleichen Amplituden kann man am einfachsten berechnen, wenn man die Phasenverschiebung symmetrisch auf die Teilschwingungen verteilt. Es ergibt sich dann insgesamt: . Die Einzelheiten entnehmen Sie der auf der CD angegebenen Literatur.

`>` omega:=1:
`>` delta:=Pi/4:
`>` Amplitude:=1:
`>` f:=t->Amplitude*sin(omega*t+delta/2):
`>` g:=t->Amplitude*sin(omega*t-delta/2):
`>` a:=0:
`>` b:=6.5:
`>` addition2(f,g,a,b,Amplitude);

Animation !

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Überlagerung mit gleicher Amplitude bei geringem Frequenzunterschied (Schwebung)

Überlagert man z.B. zwei Sinusschwingungen mit 50 bzw. 60 Hz, so erhält man folgende Figur. Man nennt dieses Verhalten Schwebung und meint eine Schwingung, deren Amplitude periodisch schwankt. Die Anzahl Schwebungsmaxima in 1s heißt Schwebungsfrequenz f. Sie ist die Differen der Teilfrequenzen und ( > ). Hier im Beispiel also f = 10.

Direkte Ausgabe

Eine einfache Plotausgabe liefert die Bestätigung der Annahmen.

`>` f1:=50:
`>` f2:=60:
`>` omega1:=2*Pi*f1:
`>` omega2:=2*Pi*f2:
`>` plot(sin(omega1*t)+sin(omega2*t),t=0..1);

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Animierte Ausgabe

Zunächste werden beide Schwingngen getrennt - aber in einem Bild untereinander - gezeichnet. Darunter erscheint dann die Animation der Überlagerung

`>` omega1:=314:
`>` omega2:=377:
`>` f:=t->sin(omega1*t)+sin(omega2*t):
`>` a:=0: b:=1:
`>` n:=20:dk:=(b-a)/n:
`>` with(plots,display):
Bildliste:=[]:Bild1:=[]:Bild2:=[]:Bild3:=[]:

`>` for i from 0 to n do
Bild3:=[op(Bild3),plot(sin(omega2*t)+sin(omega1*t),t=0..i*dk,color=red,\
numpoints=100,thickness=2)]:
Bildliste:=[op(Bildliste),display(Bild3)]:
od:
Bild1:=plot(sin(omega1*t),t=0..b,color=black):
Bild2:=plot(sin(omega2*t),t=0..b,color=blue):
display(array(1..2,1..1,[[Bild1],[Bild2]]));
display(Bildliste, insequence=true);

Animation !

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Animierte Ausgabe in einem Bild

Die Berechnung ist sehr viel aufwändiger als im oberen Beispiel und dauert daher deutlich länger!

`>` omega1:=314:
`>` omega2:=377:
`>` f:=t->sin(omega1*t)+sin(omega2*t):
`>` a:=0: b:=0.5:
`>` n:=20:dk:=(b-a)/n:
`>` with(plots,display,pointplot):
Bildliste:=[]:Bild1:=[]:Bild2:=[]:Bild3:=[]:
`>` for i from 0 to n do
Bild1:=[op(Bild1),plot(sin(omega1*t),t=0..i*dk,color=black,thickness=1)]:
Bild2:=[op(Bild2),plot(sin(omega2*t),t=0..i*dk,color=blue,thickness=1)]:
Bild3:=[op(Bild3),plot(sin(omega2*t)+sin(omega1*t),t=0..i*dk,\
color=red,numpoints=100,thickness=2)]:
Bildliste:=[op(Bildliste),display(Bild1,Bild2,Bild3)]:
od:
display(Bildliste, insequence=true);

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Literatur

Dorn / Bader
Physik Oberstufe MS
Schroedel Verlag 1975

Diemer / Bachert / Laule
Mathematik mit MapleV
Dümmler-Verlag 1997