Überblick

Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Fläche eines krummlinigen Trapezes (über Unter- und Obersumme) .
In diesem Arbeitsblatt werden die im Worksheet "Annäherung von Unter- und Obersumme an einen gemeinsamen Grenzwert" graphisch erläuterten Überlegungen in eine konkrete rechnerische Abschätzung umgesetzt.
Dieser Block kann dazu verwendet werden, die Intervallschachtelung zu verdeutlichen, die durch Aufbau immer feinerer Teilungen für die Untersumme und Obersumme der Rechteckflächen entsteht. Damit wird die Existenz eines Grenzwertes für die Fläche des krummlinigen Trapezes motiviert.

Inhalt

- Darstellung der Funktion und Einteilung in Teilintervalle
- Visualisierung eines Teilintervalls und Abschätzung der Fläche
- Abschätzung der Gesamtfläche durch Summation über alle Teilintervalle

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Darstellung der Funktion und Einteilung in Teilintervalle

Einteilung der Fläche in mehrere Teilintervalle:

(Die Prozedur Flaeche teilt ein krummliniges Trapez in n äquidistante Streifen ein)

`>` f:=x->x*(6-x)^2; # Funktionsdefinition
Intervall:=0..6: n:=4: # Intervallgrenzen und Anzahl der Streifen

`>` Flaeche(f,Intervall,n);

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Visualisierung eines Teilintervalls

Betrachtung des k. Streifens:

(Die Prozedur Unterflaeche teilt ein krummliniges Trapez in n äquidistante Streifen ein, hebt einen Streifen farbig hervor und schätzt dessen Fläche durch Rechtecke nach oben und unten ab)

`>` f:=x->x*(6-x)^2; # Funktionsdefinition
Intervall:=0..6: n:=4: # Intervallgrenzen und Anzahl der Streifen
k:=2: # Nummer des betrachteten Streifens

`>` Unterflaeche(f,Intervall,n,k);

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Rechnerische Abschätzung der Fläche (Unter- und Obersumme)

Durch Summierung über alle Teilintervalle wird nun eine untere und obere Abschätzung für die Fläche des krummlinigen Trapezes gewonnen:

(Die Prozedur Abschaetzung schätzt die Fläche eines krummlinigen Trapezes mittels Einteilung in n äquidistante Streifen durch Rechtecke nach oben und unten ab)

`>` f:=x->x*(6-x)^2: # Funktionsdefinition
Intervall:=0..6: n:=4: # Intervallgrenzen und Anzahl der Streifen
k:=2: # Nummer des betrachteten Streifens

`>` Abschaetzung(f,Intervall,n,1..n);

Gesamtintervall= [0, 6]

Einteilung in: 4 Intervalle

1 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 0.

Maximaler Funktionswert: 30.38

Untere Grenze fuer die Flaeche: 0.

Obere Grenze fuer die Flaeche: 45.56

2 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 27.

Maximaler Funktionswert: 32.

Untere Grenze fuer die Flaeche: 40.50

Obere Grenze fuer die Flaeche: 48.

3 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 10.12

Maximaler Funktionswert: 27.

Untere Grenze fuer die Flaeche: 15.19

Obere Grenze fuer die Flaeche: 40.50

4 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 0.

Maximaler Funktionswert: 10.12

Untere Grenze fuer die Flaeche: 0.

Obere Grenze fuer die Flaeche: 15.19

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 4

Untere Grenze fuer die Flaeche: 55.688

Obere Grenze fuer die Flaeche: 149.25

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Die Genauigkeit der Abschaetzung kann erhoeht werden, indem man die Gesamtflaeche in mehr Teilflaechen einteilt:

`>` n:=20:Abschaetzung(f,Intervall,n,1..n);

Gesamtintervall= [0, 6]

Einteilung in: 20 Intervalle

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 20

Untere Grenze fuer die Flaeche: 98.148

Obere Grenze fuer die Flaeche: 117.33

`>` n:=100:Abschaetzung(f,Intervall,n,1..n);

Gesamtintervall= [0, 6]

Einteilung in: 100 Intervalle

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 100

Untere Grenze fuer die Flaeche: 106.07

Obere Grenze fuer die Flaeche: 109.91

`>` n:=5000:Abschaetzung(f,Intervall,n,1..n);

Gesamtintervall= [0, 6]

Einteilung in: 5000 Intervalle

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 5000

Untere Grenze fuer die Flaeche: 107.96

Obere Grenze fuer die Flaeche: 108.04

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