Überblick

Liegt ein dynamisches System vor, so stellt sich die Frage, wie es beschrieben werden kann. Es ist zu klären, ob es sich womöglich um ein chaotisches System handelt. Wenn ein solches Verhalten vermutet wird, muss dieses nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ betrachtet und beschrieben werden. Im Lauf der Jahre haben sich einige Instrumente zur Beschreibung chaotischer Systeme etabliert. Diese sollen in diesem Kapitel vorgestellt werden.
Zunächst stellt sich die Frage: Was kennzeichnet ein chaotisches System? Welches Verhalten deutet auf Chaos hin? Um die Antworten auf diese Fragen zu erhalten, kann man ein einfacheres Beispiel für ein chaotisches System als das einführende Beispiel im vorhergehenden Kapitel verwenden: Ein einfaches Modell für die Entwicklung einer Tierpopulation ist die logistische Gleichung:

mit n=1,2,... .

Das Szenario, welches diese Gleichung trifft, ist leicht zu verstehen. Angenommen es soll die Anzahl von Hasen in einem bestimmten Gebiet über Jahre hinweg beschrieben werden. Der Zeitpunkt n steht für das Jahr, der Zeitpunkt n+1 für das darauffolgende Jahr. Man kann davon ausgehen, dass je mehr Hasen es gibt auch umso mehr junge Hasen geboren werden, da mehr Elternpaare zusammenfinden: ~ . Dieser Gedanke ist jedoch nicht ausreichend. Er würde zu einem über alle Grenzen strebenden Wachstum führen. In Wirklichkeit ist jedoch der Lebensraum und das Futterangebot für die Hasen beschränkt. Es gibt also eine bestimmte Populationsgröße, die gerade noch vom Lebensraum verkraftet wird. Diese kann man gleich 100% also gleich 1 setzen. Das Wachstum der Population muss auch von der Differenz zwischen der maximalen verträglichen Populationsgröße und der aktuellen Population abhängen: ~ . Fließt dieser Zusammenhang proportional ein, so erhält man die logistische Gleichung, die von einem Parameter r , der andere proportionale Einflußfaktoren zusammenfasst, abhängt.
Die logistische Gleichung diente als Kernstück eines Modells für Populationsdynamik, das auf den belgischen Mathematiker Verhulst um 1845 zurückgeht (1). Sie wird allgemein zur Beschreibung von Wachstumsprozessen in Natur und Ökonomie verwendet. Sie erlaubt es, beispielsweise aus der aktuellen Population die Population im nächsten Jahr zu bestimmen oder analog im ökonomischen Wachstumsprozess den Zuwachs an Werten zu bemessen.

Inhaltsverzeichnis

Sensitivität, Ljapunov-Exponent
Mischungseigenschaft, ergodische Bahn
Ergodische Bahn bei r = 4
Attraktor bei r = 2
r = 3
2-periodischer Zyklus bei r = 3.1
4er Zyklus bei r = 3.5
Feigenbaum-Diagramm
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Sensitivität, Ljapunov-Exponent

In der folgenden Graphik, die durch die Prozedur logistischeGleichung erzeugt wurde, ist das Verhalten der logistischen Gleichung abgebildet für r = 4 und den Anfangswert x0 = 0.2050.
`>` logistischeGleichung(4,0.2050,0.2051,70,1);

Diese Folge von Werten sieht ja schon recht chaotisch aus. Leider reicht diese gefühlsmäßige Bestimmung von Chaos nicht aus, denn es könnte ja auch ein Signal bestehend aus einer Vielzahl überlagerter periodischer Signalen sein. Eine erste Eigenschaft, die auf chaotisches Verhalten hinweist, ist die Sensitivität von den Anfangsbedingungen. Dies bedeutet, dass kleinste Abweichungen des Startwertes zu einem völlig anderen Iterationsverlauf führen (siehe folgendes Bild, wo für einen geringfügig anderen Startwert iteriert wird). Die Differenz zwischen den jeweiligen Iterationswerten steigt sehr schnell an und erreicht nahezu explosionsartig Werte in der Größenordnung der Zeitreihen, also im Fall der logistischen Gleichung den Bereich von 0 bis 1, wie im darauf folgenden Bild zu sehen ist.
`>` logistischeGleichung(4,0.2050,0.2051,70,2);

`>` logistischeGleichung(4,0.2050,0.2051,70,3);

Wenn Sensitivität vorliegt, so wird jede noch so kleine Differenz, die geringfügiste Abweichung, jeder kleinste Fehler verstärkt. Sensitivität allein ist allerdings noch kein hinreichendes Kriterium für chaotisches Verhalten. Man kann sich eine Iterationsvorschrift vorstellen, die sensitiv ist, aber auf keinen Fall chaotisch, z.B. die lineare Abbildung: . Hier wird bei n Schritten eine kleine Abweichung e zur Gesamtabweichung verstärkt.
Die lineare Abbildung ist somit sensitiv, aber, wie leicht einzusehen, nicht chaotisch. Etwas strenger formuliert ist damit die Sensitivität von den Anfangsbedingungen ein notwendiges, aber nicht hinreichendes Kriterium für ein chaotisches System. Wie bereits oben angedeutet wurde, muss die Abweichung so verstärkt werden, dass die nach mehreren Iterationen vorliegende Unterschied in die Größenordnung der Zeitreihe kommt. Das bedeutet, dass nicht die absolute, sondern die relative Abweichung in Bezug auf den eigentlichen Wert betrachtet werden muss.
Für die lineare Abbildung ergibt sich folgendes Bild:
Startwert:
Abweichung beim Start:
absolute Abweichung nach n Iterationen:
relative Abweichung nach n Iterationen:
Wachstum der absoluten Abweichung:
Es wird erkennbar, dass diese lineare Abbildung nach beliebig vielen Iterationen immer das gleiche Verhältnis zwischen Abweichung und eigentlichem Wert , also die gleiche relative Abweichung hat.
Im Gegensatz zu diesem überschaubaren Verhalten steht die logistische Gleichung. Hier wächst nicht nur die absolute, sondern auch die relative Abweichung. Ein so einfacher Zusammenhang wie bei der linearen Abbildung existiert offensichtlich nicht. Trotzdem möchte man die Geschwindigkeit, mit der kleinste Fehler anwachsen, nicht nur qualitativ sondern auch qualitativ erfassen. Um dies zu erreichen wird eine weiterer wichtiger Begriff der Chaostheorie eingeführt: der Ljapunov-Exponent .
Der Ljapunov-Exponent dient als Maß für das durchschnittliche Wachstum unendlich kleiner Abweichungen in der Umgebung des Startwertes .

In Bild 3.3 ist erkennbar, dass die Abweichung der logistischen Iteration bei sehr kleinen Werten relativ gezügelt zunimmt und erst nach und nach die Größenordnung der eigentlichen Zeitreihen erreicht. In diesem Anfangsbereich wird eine Analogie zur linearen Abbildung verwendet. Die oben angegebene Gleichung für das Wachstum der absoluten Abweichung bei der linearen Abbildung

wird umgeformt zu:

oder:
Der Größe = = ist der Ljapunov-Exponent, allerdings für die lineare Abbildung. Empirisch und mit Wertetabellen lässt sich der Ljapunov-Exponent auch für die logistische Gleichung bei r = 4 auf ungefähr 0.7 bestimmen.

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Mischungseigenschaft, ergodische Bahn

Neben der Sensitivität von den Anfangsbedingungen, die durch den Ljapunov-Exponenten quantifiziert wird, gibt es weitere Eigenschaften chaotischer Systeme, die ebenfalls am Beispiel der logistischen Gleichung besprochen werden. Eine davon ist die Mischungseigenschaft .
Um diese Eigenschaft zu beschreiben, verwenden wir zur graphischen Iteration die Prozedur Iteriere2 , die unter dem Thema "Iterationsverfahren - Von Newton bis Feigenbaum" erläutert wird. Eine kurze Erklärung sei hier angeführt: Zunächst wird eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1 und der Graph der logistischen Gleichung eingezeichnet. Dann kann mit der graphischen Iteration begonnen werden. Dazu wählt man einen Startwert zwischen 0 und 1. Nun wird von der Abszisse her kommend eine Parallele zur Ordinate im Abstand des Startwertes gezeichnet. Der Ordinatenwert des Schnittpunkts der Parallele mit der Parabel der logistischen Gleichung ist der Wert .

Nun kommt der entscheidende Punkt: Bei der numerischen Iteration würde der Wert für eingesetzt werden, was hier auf graphische Art und Weise geschieht. Die Winkelhalbierende besteht genau aus den Punkten, an denen der Ordinaten- und der Abszissenwert gleich sind. Man kann deshalb den erhaltenen Ordinatenwert über die Winkelhalbierende wieder auf Abszissenwerte projizieren. Und wieder den Schnittpunkt der neuen Parallelen zur Ordinaten mit der Parabel bestimmen, usw.
`>` f:=x->2.6*x*(1-x);
`>` Iteriere2(f,0.2,10);

Einem aufmerksamen Leser wird aufgefallen sein, dass hier erstmals für r ein anderer Wert gewählt wurde. Weiter unten wird auf die Bedeutung des Parameters r für das Verhalten der logistischen Gleichung näher eingegangen. Durch die graphische Darstellung einer Iteration kann das Verhalten einer Abbildungsgleichung wesentlich besser verstanden werden. Im folgenden wird mit dieser Methode die Mischungseigenschaft bzw. der Begriff ergodische Bahn beschrieben.
Mischen bedeutet, dass von jedem auch noch so kleinen Intervall auf der Abszisse aus jedes andere Intervall durch Iteration erreicht werden kann. Ein Vergleich aus dem Alltag bietet sich an: das Salzen von Suppen oder das Kneten von Teig. Beim Salzen eines Gerichts wird das Salz zunächst in einem kleinen Bereich (=Intervall) auf die Oberfläche aufgebracht. Durch Umrühren, was in unserem Beispiel mehreren Iterationen entspricht, wird das Salz jedoch in der ganzen Suppe verteilt. Es gibt damit kein Intervall mehr, das kein Salz enthält.
Hier ist jedoch Vorsicht geboten. Diese Aussage bedeutet nicht, dass von jedem Punkt aus jeder andere Punkt im Einheitsintervall erreicht werden kann. Es gibt Punkte, die zu einer periodischen Iteration führen: früher oder später wird wieder der Startpunkt erreicht. Diese Punkte sind über das gesamte Einheitsintervall verstreut und liegen unendlich dicht. Man kann somit in jedem auch noch so kleinen Intervall Punkte finden, die zu sogenannten ergodischen Bahnen führen, als auch solche, die Periodizität hervorrufen. Dabei gibt es ein Problem, wenn diese Periodizität mit dem Computer simuliert werden soll. Da die logistische Gleichung für r = 4 sensitiv bezüglich der Anfangsbedingunen ist, wird jede auch noch so kleine Abweichung zu einem völlig anderen Verlauf führen. Da Computer nur eine endlichen Anzahl von Stellen einer Zahl darstellen können entsteht immer ein Fehler und damit eine völlig andere Bahn. Eine Periodizität kann somit sich nicht ausbilden. Dies deutet bereits auf die großen Schwierigkeiten hin, die durch die numerische Berechnung von Modellen für die (chaotische) Wirklichkeit hervorgerufen werden. Diese Probleme werden weiter unten besprochen.

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Ergodische Bahn bei r=4

Im folgenden Bild ist ersichtlich, wie von jedem nicht zu kleinen Intervall jedes andere Intervall erreicht wird und das Einheitsintervall durch die ergodische Bahn dicht ausgefüllt wird. Da hier nur 100 Iterationen durchgeführt wurden, werden nicht alle Punkte erreicht. Durch Erhöhung der Anzahl der Iterationen kann sich jedem Punkt beliebig genähert werden.
`>` f:=x->4*x*(1-x);
`>` Iteriere2(f, 0.7, 100);

Bisher wurde die logistische Gleichung nur für den Parameter r = 4 betrachtet. Für diesen Parameterwert erhält man Sensitivität von den Anfangsbedingungen, ergodische Bahnen, Mischungsverhalten und periodische Punkte, eben Anzeichen für chaotisches Verhalten. Wie ist jedoch das Verhalten für andere Parameter?

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Attraktor bei r=2

Wird die zeitliche Abfolge der Iterationen der logistischen Gleichung für r = 2 (folgende Graphiken, logistischeGleichung ) betrachtet, so zeigt sich ein gänzlich anderes Verhalten als bei r = 4.
`>` logistischeGleichung(2,0.2050,0.2051,70,0);

Es ist zu erkennen, dass die Zeitreihen sich wenig chaotisch verhalten. Bereits nach wenigen Iterationen ist die Abweichung zwischen beiden Zeitreihen praktisch gleich Null, ganz im Gegensatz also zu dem Verhalten bei r = 4, wo es zu einer drastischen Verstärkung der Abweichung kam. Es liegt also in diesem Beispiel keine Sensitivität vor, im Gegenteil: Kleine Abweichungen spielen keine Rolle und werden abgeschwächt. Das Verhalten der logistischen Gleichung für r = 2 soll nun auch mit Hilfe der graphischen Iteration betrachtet werden. Im folgenden Bild ist der Iterationsverlauf für den Startwert 0.7 und mit 100 Iterationen dargestellt. Die Graphik steht im krassen Gegensatz zu der graphischen Iteration für r=4 (siehe oben), wo die Bahn für die gleiche Anzahl Iterationen das Einheitsintervall nahezu vollständig ausfüllt.
`>` f:=x->2*x*(1-x);
`>` Iteriere2(f,0.7,10);

`>` f:=x->2*x*(1-x);
`>` Iteriere2(f, 0.1, 20);

In den beiden obigen Bildern zeigt sich, dass für beide Startwerte der gleiche Punkt, nämlich (0.5; 0.5) die Bahnen magisch anzieht und festhält. Tatsächlich gilt dies für alle Startwerte zwischen 0 und 1. Man nennt einen solchen Punkt Attraktor . Im speziellen Fall von r = 2 handelt sich sogar um einen superattraktiven Attraktor, der von jeder Stelle aus auf direktem Weg "angefahren" wird. Worauf bereits jetzt hingewiesen werden kann, ist die erstaunliche Tatsache, dass ein und dieselbe Gleichung oder Iterationsvorschrift durch die Änderung eines Parameter ein gänzlich anderes Verhalten zeigen kann . Man kann also davon ausgehen, dass Systeme nicht entweder chaotisch oder nicht-chaotisch sind, sondern dass dies von bestimmten Parametern abhängt, die sich durchaus ändern können. Stabiles nicht-chaotisches Verhalten kann damit plötzlich in chaotisches umschlagen, je nach Parameterwerten.

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r=3

Wird ein weiterer Parameter gewählt, z.B. r = 3, so tritt ein ähnliches Verhalten wie bei r = 2 auf: Es tritt keine Sensitivität auf, statt dessen wird die Bahn durch einen Attraktor beeinflusst, es kommt zu keinen ergodischen Bahnen, keinem Mischen, keinem chaotischen Verhalten (siehe folgendes Bild).
`>` f:=x->3*x*(1-x);
`>` Iteriere2(f,0.7,50);

Anscheinend dauert es jedoch viel länger als bei r = 2 bis der Attraktor erreicht ist. Dies zeigt sich dadurch, dass die Bahn sich dem Attraktor in immer engeren Schleifen nähert und nach 100 Iterationen immer noch nicht den Attraktor erreicht hat. Die Bahn nähert sich jedoch dem Attraktor für eine größere Anzahl Iterationen beliebig nahe. Es ergibt sich bei zunehmend größer werdendem Parameter r > 2, dass das Verhalten instabiler wird, mehr Iterationen notwendig werden, um den Attraktor zu erreichen. Bei r = 4 zeigte sich chaotisches Verhalten bei r = 3 noch nicht. Die Grenze zwischen Chaos und Ordnung muss somit zwischen 3 und 4 liegen.

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2-periodischer Zyklus bei r=3.1

Ein weiterer Schritt in Richtung Chaos: die Iteration für r = 3.1 zeigt folgendes Bild:
`>` f:=x->3.1*x*(1-x);
`>` Iteriere2(f, 0.4, 100);

Diese Graphik überrascht mit einem gänzlich anderen Verhalten der Bahn gegenüber r = 3. Die Bahn wird nicht von einem Punkt angezogen, sondern von einem periodischen Zyklus. Es tritt somit die Notwendigkeit auf, den Begriff des Attraktors, den wir bei der logistischen Gleichung bisher nur auf einen Punkt bezogen haben, auszuweiten auf andere Strukturen. Zum besseren Verständnis zeigen die folgenden Bilder die Zeitreihen und die Abweichung zwischen zwei Startwerten für die ersten 70 Iterationen:
`>` logistischeGleichung(3.1,0.40,0.43,70,0);

Das Pendeln zwischen zwei konstanten Werten ist deutlich zu erkennen. Ersichtlich wird auch, dass die doch recht große Abweichung zwischen den beiden Werten verschwindet. Es kann folgendes für r = 3.1 festgehalten werden: keine Sensitivität, keine Durchmischung, kein chaotisches Verhalten. Als Attraktor tritt ein periodischer Zyklus auf. Es gibt im Gegensatz zu r < 3 keinen einzelnen Endwert, der sich nach mehr oder weniger Iterationen einstellt, sondern zwei Endwerte, zwischen denen der Wert für hin- und herpendelt. Der Zyklus ist somit 2-(Iterationen-)periodisch .

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4er Zyklus bei r=3.5

Ein letzter empirischer Vorstoß mit r = 3.5 ergibt die folgenden beiden Graphiken.
`>` f:=x->3.5*x*(1-x);
`>` Iteriere2(f,0.4,100);

`>` logistischeGleichung(3.5,0.40,0.43,70,1);

Den 4-er Zyklus, der sich einstellt, ist leicht zu entdecken. Es handelt sich hierbei also um ein periodisches Verhalten mit doppel so großer Periodizität, wie bei r = 3.1. Nach all diesen Blindschüssen mit relativ beliebig ausgewählten Parametern drängt sich die Frage auf, ob diese Effekte für alle denkbaren Parameter zwischen 1 und 4 denn nicht auf andere Art und Weise ermittelt und dargestellt werden können. Anbieten würde sich ein Endzustandsdiagramm, das die Punkte enthält, die bei einem bestimmten Parameter entweder stabil oder in periodischer Folge erreicht werden. Es werden dabei die Endzustandspunkte über dem Parameter r abgetragen. Für r = 2 erhält man z.B. nur einen Punkt, bei r = 3.1 zwei und bei r = 3.5 vier Punkte, die über der r-Achse abgetragen werden.

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Feigenbaum-Diagramm

Das unten angegebene Bild zeigt dieses Endzustandsdiagramm, das auch als Feigenbaumdiagramm bezeichnet wird. Es fasst die grundlegenden Arbeiten des Physikers Mitcchell Feigenbaum zusammen (1) und wurde zu einem der Symbole für den Fortschritt der Erkenntnis durch die Chaostheorie.
`>` f:=x->a*x*(1-x);
`>` Feigenbaum(f,1,3.7,.01);

Im Feigenbaumdiagramm sind die hier ausgeführten Beobachtungen zusammengefasst. Es zeigt, dass für alle Parameter kleiner 1 der Nullpunkt einen Attraktor darstellt. Liegt der Parameter dagegen zwischen 1 und dem sogenannten Feigenbaum-Punkt bei r = 3.5699456... (1), so tritt Periodenverdopplung auf: wenn der Parameter r größer wird, so verdoppelt sich die Periodizität immer weiter: 1-, 2-, 4-, 8- , usw - periodisch ist dann der Endzustandszyklus. Man bezeichnet diese Periodenverdoppelung als Bifurkation, also eine Gabelung in jeweils zwei Äste. Wird der Parameter größer als der Abszissenabschnitt des Feigenbaum-Punktes, so tritt Chaos auf, das jedoch interessanterweise von Bereichen der Ordnung unterbrochen wird. Dieses Phänomen zeigt sich im Diagramm an den schwarz-weißen streifigen Strukturen. Das Feigenbaum-Diagramm stellt eine fraktale Struktur dar. Auf Fraktale soll in dieser Ausarbeitung nicht eingegangen. Der interessierte Leser sei auf das Kapitel Fraktale verwiesen.

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