Überblick

Die in diesem Worksheet beschriebenen Prozeduren ermöglichen die näherungsweise Bestimmung von mithilfe der Methode der einbeschriebenen und umbeschriebenen regelmäßigen Vielecke, über deren (Teil-)Flächeninhalte dann nach Division durch die Näherung erfolgt. Die umbeschriebenen Vielecke entstehen durch zentrische Streckung aus den einbeschriebenen. Abhängig von der Zahl der Ecken beim Start (üblicherweise Dreiecke oder Vierecke) werden insgesamt fünf Eckenverdopplungen, also z.B. die Folge 3-, 6-, 12-, 24-,48-, 96-Eck bzw. 4-, 8-, 16-, 32-,64-, 128-Eck berechnet und gezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

- Graphische Darstellung der einbeschiebenen Vielecke
- Graphische Darstellung der umbeschriebenen Vielecke
- Berechnungen
- Herleitung

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Graphische Darstellung der einbeschriebenen Vielecke

Die Prozedur e_Vieleck zeichnet den Einheitskreis und einbeschriebene Vielecke, wobei der Startwert (Eckenzahl) übergeben werden muss. Man wird wohl meist mit Dreiecken oder Vierecken beginnen, um die Annäherung auch gut verfolgen zu können. Zur besseren Übersicht wird empfohlen, die Grafik auf Bildschirmgröße aufzuziehen.

`>` e_Vieleck(5);

Animation !

Weitere Beispiele

`>` e_Vieleck(4);

Animation !

`>` e_Vieleck(3);

Animation !

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Graphische Darstellung der umbeschriebenen Vielecke

Die Prozedur u_Vieleck zeichnet den Einheitskreis und umbeschriebene Vielecke, wobei der Startwert (Eckenzahl) = 4 fest eingestellt. wurde. Er kann nicht verändert werden. Zur besseren Übersicht wird empfohlen, die Grafik auf Bildschirmgröße aufzuziehen. Für Vorschläge zur Verallgemeinerung der Prozedur auf beliebige regelmäßige Vielecke wäre ich dankbar

`>` u_Vieleck();

Animation !

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Berechnungen

- ist der Flächeninhalt des einbeschriebenen n-Ecks.
- ist der Flächeninhalt des umbeschriebenen n-Ecks.
- Für gilt: .
- Für gilt: .
  Bitte beachten Sie, dass Maple Exponenten und Indices nicht verkleinert. Folgt einem Index eine Hochzahl, wie hier im Zähler, so ist diese der Variablen A und nicht dem Index 2n zuzuordnen.

Die Tabelle 1 stellt die Berechnungen mit dem Startwert n = 4 dar. Dazu muss man die Flächeninhalte von und kennen. Zur Vereinfachung wird der Radius wie in den Zeichnungen mit r = 1 angenommen. Dann stellen die Folgen der Flächeninhalte direkt die Näherung von dar. Die Werte wurden gerundet, weil Maple sonst "möglichst genaue" und hier damit unübersichtliche Ergebnisse präsentiert. Tabelle 2 liefert die Werte für den Startwert n = 3.

Tabelle 1:

Tabelle 2:

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Herleitung

Bild mit einbeschriebenen und umbeschriebenen 4- bzw. 8-Ecken
Die Grafik bereitet die Überlegungen der nächsten Sektion vor.

`>` with(plots,display,polygonplot):
Kreis:=plot([sin(t), cos(t), t=-Pi..Pi],color=red,thickness=3):
e_Eck_4:=n->[seq([cos(2*Pi*i/n),sin(2*Pi*i/n)],i=1..n)]:
e_Eck_8:=n->[seq([cos(2*Pi*i/(2*n)),sin(2*Pi*i/(2*n))],i=1..2*n)]:
u_Eck_4:=n->[seq([sqrt(2)*cos(2*Pi*i/n),sqrt(2)*sin(2*Pi*i/n)],i=1..n)]:
u_Eck_8:=n->[seq([2^(1/8)*cos(2*Pi*i/(2*n)),2^(1/8)*sin(2*Pi*i/(2*n))],i=1..2*n)]:
Bild1:=polygonplot(e_Eck_4(4),thickness=2):
Bild2:=polygonplot(e_Eck_8(4),thickness=2):
Bild3:=polygonplot(u_Eck_4(4),thickness=2):
Bild4:=polygonplot(u_Eck_8(4),thickness=2):
display(Kreis,Bild1,Bild2,Bild3,Bild4,scaling=constrained);

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Entwicklung der Formeln

Sei der Flächeninhalt des einbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks.
Sei der Flächeninhalt des umbeschriebenen regelmäßigen n-Ecks.
Man kann sehr schnell erkennen, daß in jedem regelmäßigen Vieleck jeweils gleichartige Dreiecke mit einer Spitze in M (Mittelpunkt des Kreises) betrachtet werden können. Es gilt:

(1)

(2) (Grundseite: , Höhe: )

In beiden Grundformeln ist die Strecke enthalten und läßt sich daher eliminieren. Dazu wird (1) nach aufgelöst und in (2) eingesetzt. Man erhält:

(3)

Da die umbeschriebenen Vielecke durch zentrische Streckung aus den einbeschriebenen hervorgehen, gilt für den Streckungsfaktor:

(4)

Bei einer zentrischen Streckung gilt für den Flächeninhalt der Bildfigur: . Damit folgt für den Flächeninhalt von :

(5)

Wir setzen nun (5) in (3) ein und erhalten:

(6)

Wie oben läßt sich aus den Eigenschaften der zentrischen Streckung ableiten:

(7)

In dieser Formel muß noch bestimmt werden. Dies geschieht mit Hilfe von r und .
S ist Mittelpunkt von . T ist Mittelpunkt von . Dann ist = . ist Mittellinie im Dreieck RR* und damit ist parallel zu und senkrecht zu . Damit wird zur Höhe im rechtwinkligen Dreieck MR*S. In diesem Dreieck kann man damit alle Sätze der Satzgruppe des Pythagoras anwenden, insbesondere den Kathensatz (hier = qc):

(8) Zusätzlich gilt (s.o.): = , , . Damit stellt sich (8) wie folgt dar:

(9)

In dem letzten Ausdruck wird noch aus (3) ersetzt. Mit folgt schließlich:

(10) .

Literatur

Reidt, Wolf, Athen
Elemente der Mathematik Bd. 2
Schroedel 1965