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`>` restart:
with(plots):with(student): with(intutils);

`>`

Überblick

Bestimmung der Fläche des krummlinigen Trapezes durch Grenzübergang auf unendlich viele Intervalle

Nach der graphischen Einsicht in die Vorgehensweise ( integ1.mws) und einer konkret durchgeführten rechnerischen Abschätzung ( integ2.mws) werden diese Voraussetzungen nun für eine exakte rechnerische Überlegung verwendet.
Ausgehend von der Idee der Unter-/Obersumme wird für eine konkret vorgegebene Funktion eine erste Abschätzung für die Fläche bestimmt. Hier wird insbesondere in einem zweiten Schritt ein allgemeiner k-ter Streifen berechnet, um die Möglichkeit der Summation von Teilflächen zu eröffnen, welche danach die sukzessive Verfeinerung durch Erhöhung der Intervallanzahl ermöglicht.
Aus Vereinfachungsgründen (didaktische Reduktion) wird hier als Näherung für die Fläche eines Streifens die Fläche der Mittenrechtecke bestimmt. An dieser Stelle ist klarzumachen, dass diese Verfahrensweise beim Grenzübergang den gewünschten exakten Wert für die Fläche liefert (Eigenschaften der Intervallschachtelung der Unter- und Obersummen). Anschließend wird diese Abschätzung verbessert, indem zu sehr vielen Intervallen übergegangen wird und der Grenzübergang für n- > durchgeführt wird.
Der Zusammenhang zwischen dem Randfunktionsterm und dem Flächeninhaltsterm wird vorbereitet, indem die rechte Intervallgrenze nicht mehr auf einen festen Wert gesetzt, sondern durch eine Variable ersetzt wird. Hierdurch wird die Entdeckung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung vorbereitet.
Um die Entdeckung zu unterstützen, wird schließlich noch die Randfunktion variiert. Durch die Betrachtung verschiedener Funktionen wird anhand des jeweiligen Vergleichs von Randfunktionsterm und Flächeninhaltsfunktionsterm die selbständige Entdeckung des Satzes durch die Schüler "provoziert".

Bemerkung:

Auf diesem Arbeitsblatt sind mit Absicht die rechnerischen Ausgaben nicht gespeichert, um eine interaktive Abarbeitung des Arbeitsblattes (z.B. durch Betätigen der RETURN-Taste) zu ermöglichen.

Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Über das Inhaltsverzeichnis, das als Link den Sprung zu den vier Teilen ermöglicht, kann - nach Aufruf der ersten Sektion (Laden der Bibliothek) - an jede der vier möglichen Einsprungstellen gegangen werden.

Bitte beachten: Innerhalb jeden Paragraphs (Graphik, Abschätzung und Näherung) müssen die einzelnen Befehle der Reihe nach abgearbeitet werden, da einige Befehle abhängig von zuvor aufgerufenen Programmteilen sind.

Die Variablen f, a, b, n und k können , wenn sie durch einen anschließenden Kommentar ( #-Zeichen) erläutert sind, an diesen Stellen modifiziert werden.

Einige, entsprechend markierte Plots sind als Animationen vorbereitet. Diese können schrittweise ausgelöst werden, wenn man in der Symbolleiste auf klickt. Die Symbolleiste ist allerdings erst sichtbar, wenn vorher auf den Plot geklickt worden ist.

Bestimmung der Fläche des krummlinigen Trapezes durch Grenzübergang auf unendlich viele Intervalle

Da wir die Fläche des krummlinigen Trapezes möglichst genau gewinnen wollen, müssen wir eine Einteilung in "sehr viele" Teilintervalle vornehmen. Da die Bestimmung des minimalen und maximalen Funktionswerts in einem solchen Teilintervall rechenaufwendig ist, stellt man zunächst folgende Überlegung an:

Wenn man sehr viele Intervalle verwendet, werden die Intervallbreiten sehr klein. Wenn die Randfunktion stetig ist, unterscheiden sich die minimalen und maximalen Funktionswerte mit zunehmender Intervallanzahl beliebig wenig z.B. von dem Funktionswert in der Mitte des Intervalls.

Deshalb wird hier auf die Abschätzung der Fläche nach oben und unten verzichtet und nur die Fläche des Rechtecks als Näherungswert für die Fläche eines solchen Teilintervalls verwendet, welches als Breite die Intervallbreite und als Höhe den mittleren Funktionswert besitzt.

Diese Vorgehensweise und die zunehmende Genauigkeit der Flächenbestimmung wird zunächst nochmals visualisiert:

Für kleine Intervallanzahlen ist die Näherung natürlich noch recht grob, aber mit zunehmender Zahl von Intervallen wird die Genauigkeit immer besser. Schauen wir hierzu eine Animation an:

(Die Prozedur Mittenrechtecke erstellt eine Animation, in der ein krummliniges Trapez in n äquidistante Streifen eingeteilt wird und über jedem Streifen das Rechteck, dessen Breite der Breite des Streifens und dessen Höhe dem Funktionswert in der Mitte des Streifens entspricht, gezeichnet wird)

`>` f:=x->x*(6-x)^2; # Funktionszuweisung
a:=0;b:=6; # Grenzen des Gesamtintervalls
Teilung := [2,4,6,8,10,12,16,20,25,40,70,100,250,600]; # Zahl der Intervalle fuer die Animation

`>` q:=Mittenrechtecke(f,a,b,Teilung);k:='k':

`>` display(q[k]$k=1..nops(Teilung),insequence=true);

Animation !

`>`

Führen wir die obige Überlegung nun rechnerisch durch!

Aus den obigen Zahlenwerten ergibt sich:

`>` f:=x->x*(6-x)^2; # Funktionszuweisung
n:=4; # Anzahl Intervalle
a:=0;b:=6; # Grenzen des Gesamtintervalls
Intervallbreite := (b-a) / n;

`>`

Betrachten wir zunächst das k. Rechteck und bestimmen von diesem die Fläche:

`>` k:=2;
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite; # Mitte des k. Intervalls
Mittenwert := f(Stelle); # Funktionswert an dieser Stelle

`>`

Damit ergibt sich für die Fläche des k. Rechtecks:

`>` A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite;

`>`

Diese Berechnung wird nun für allgemeines k wiederholt:

`>` k:='k';
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite;
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite;

Nun kann man die n Rechteckflächen aufsummieren (der Index gibt die Zahl der verwendeten Intervalle an):

`>` Flaechensumme[n] := sum(A[k],k=1..n);
evalf(%);

`>`

Die Genauigkeit lässt sich steigern, indem man die Anzahl der Intervalle vergrößert und die Rechnung nochmals durchführt:

`>` n:=10;
Intervallbreite := (b-a)/n;
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite;
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite;
Flaechensumme[n] := sum(A[k],k=1..n);
evalf(%);

`>`

Warum nicht noch mehr Intervalle?

`>` n:=100;
Intervallbreite := (b-a)/n;
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite;
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite;
Flaechensumme[n] := sum(A[k],k=1..n);
evalf(%);

`>`

Und nochmals kleinere Intervallbreiten!

`>` n:=1000;
Intervallbreite := (b-a)/n;
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite;
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite;
Flaechensumme[n] := sum(A[k],k=1..n);
evalf(%);

`>`

Das Ganze lässt sich noch verallgemeinern, wenn man jetzt nicht mehr n fest vorgibt, sondern variabel lässt:

`>` n:='n';
Intervallbreite := (b-a)/n;
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite;
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite;
Flaechensumme[n] := simplify(sum(A[k],k=1..n));

`>`

Wenn n gegen Unendlich strebt, dann nähert sich die Fläche immer mehr einem Grenzwert, nämlich:

`>` limit(Flaechensumme[n],n=infinity);

`>`

Wir gehen nochmals einen Schritt weiter und lassen jetzt auch die rechte Grenze b variabel, berechnen die Summe der Mittenrechteckflächen und führen den Grenzübergang durch!!

`>` b:='b';
n:='n';
Intervallbreite := (b-a)/n;
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite;
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite;
Flaechensumme[n] := simplify(sum(A[k],k=1..n));
Flaeche_Grenzwert:=limit(Flaechensumme[n],n=infinity);

`>`

Wie hängt die hier gewonnene Flächenformel mit der Randfunktion zusammen?

`>` `f(x)`=sort(expand(f(x)));

`>` `A(b)`=sort(Flaeche_Grenzwert);

`>`

Den Zusammenhang sieht man vielleicht nicht sofort. Also führen wir das gleiche Verfahren bei einigen anderen Funktionen durch!

`>` f:=x->x^2;
b:='b': n:='n':Intervallbreite := (b-a)/n:
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite:
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite:

`>` Flaechensumme[n] := simplify(sum(A[k],k=1..n)):

`>` Flaeche_Grenzwert:=limit(Flaechensumme[n],n=infinity):

`>` `f(x)`=sort(expand(f(x)));

`>` `A(b)`=sort(Flaeche_Grenzwert);

`>`

`>` f:=x->x^3;
b:='b': n:='n':Intervallbreite := (b-a)/n:
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite:
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite:
Flaechensumme[n] := simplify(sum(A[k],k=1..n)):
Flaeche_Grenzwert:=limit(Flaechensumme[n],n=infinity):
`f(x)`=sort(expand(f(x)));
`A(b)`=sort(Flaeche_Grenzwert);

`>`

`>` f:=x->x^5+3*x^4+10*x;
b:='b': n:='n':Intervallbreite := (b-a)/n:
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite:
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite:
Flaechensumme[n] := simplify(sum(A[k],k=1..n)):
Flaeche_Grenzwert:=limit(Flaechensumme[n],n=infinity):
`f(x)`=sort(expand(f(x)));
`A(b)`=sort(Flaeche_Grenzwert);

`>`

`>` f:=x->6*x^5+5*x^4+2*x;
b:='b': n:='n':Intervallbreite := (b-a)/n:
Stelle := a + (k-1/2) * Intervallbreite:
A[k] := f(Stelle) * Intervallbreite:
Flaechensumme[n] := simplify(sum(A[k],k=1..n)):
Flaeche_Grenzwert:=limit(Flaechensumme[n],n=infinity):
`f(x)`=sort(expand(f(x)));
`A(b)`=sort(Flaeche_Grenzwert);

`>`

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Na und jetzt ? .....