Überblick

In diesem Worksheet wird zunächst die Addition zweier trigonometrischer Funktionen - hier konkret nur die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion - visualiert. Dabei zeigen die Animationen in festgelegten Abständen die Werte beider Funktionen und den addierten Wert an. Dann wird die Idee der animierten Superpostion auf die Varianten der beiden Funktionen und schließlich auf nicht trigonometrische Funktionen übertragen. Dabei muss man beachten, das die ausgewählten Funktionen keine Definitionslücken im gewünschten Animationsbereich haben dürfen.

Inhaltsverzeichnis

- Das Superpositionsprinzip am Beispiel der Sinus- und Kosinusfunktion
- Varianten der Sinus- und/oder Kosinusfunktion
- Superposition bei nicht trigonometrischen Funktionen

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Das Superpositionsprinzip am Beispiel der Sinus- und Kosinusfunktion

Das Intervall [0; ] wurde in 36 gleiche Teile zerlegt. Für alle n Vielfachen von mit n Î {0, 1, 2, ..., 36} werden die Werte des Sinus (schwarz), des Kosinus (blau) und deren Summe (rot) berechnet und in einer Liste gespeichert und schließlich als Animation angezeigt.

`>` with(plots,display,pointplot):
Bildliste:=[]:Bild1:=[]:Bild2:=[]:Bild3:=[]:
for i from 0 to 36 do
Bild1:=[op(Bild1),pointplot([Pi/18*i,sin(Pi/18*i)],color=black,symbol=circle)]:
Bild2:=[op(Bild2),pointplot([Pi/18*i,cos(Pi/18*i)],color=blue,symbol=box)]:
Bild3:=[op(Bild3),pointplot([Pi/18*i,cos(Pi/18*i)+sin(Pi/18*i)],color=red,symbol=cross)]:
Bildliste:=[op(Bildliste),display(Bild1,Bild2,Bild3)]:
od:
display(Bildliste,insequence=true);

Animation !

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mit Koordinatensystem

Manchmal würde man ein solches Schaubild gerne mit einem Gitter unterlegen. Dazu gibt es die Funktion coordplot , die solche Gitter für eine Unzahl (s. Hilfe-Seite) von Koordinatensystemen erzeugt sowie die Funktion display mit der mehrere Plotstrukturen überlagert werden können.
Achtung: Sehr rechenintensiv!

`>` with(plots,display,pointplot,coordplot):
Bildliste:=[]:Bild1:=[]:Bild2:=[]:Bild3:=[]:
for i from 0 to 36 do
f:=x->0:
Linie:=plot(f(x),x=-1..6.5,y=-2..2,axes=normal):
Koord:=coordplot(cartesian,[-1..8,-2..2],grid=[19,11],color=[gray,gray]):
Bild1:=[op(Bild1),pointplot([Pi/18*i,sin(Pi/18*i)],color=black,symbol=circle)]:
Bild2:=[op(Bild2),pointplot([Pi/18*i,cos(Pi/18*i)],color=blue,symbol=box)]:
Bild3:=[op(Bild3),pointplot([Pi/18*i,cos(Pi/18*i)+sin(Pi/18*i)],color=red,symbol=cross)]:
Bildliste:=[op(Bildliste),display(Bild1,Bild2,Bild3,Linie,Koord)]:
od:
display(Bildliste,view=[-1..6.5,-2..2],insequence=true);

Animation !

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mit Koordinatensystem am Ende der Animation

Im vorherigen Abschnitt wurde das Koordinatensystem für jedes Teilbild erzeugt und erscheint daher auch während der Animation. Für weniger gut ausgestattete Rechner kann man das Gitter auch erst am Ende der Animation anzeigen lassen. Das beschleunigt die Berechnung erheblich.

`>` with(plots,display,pointplot,coordplot):
Bildliste:=[]:Bild1:=[]:Bild2:=[]:Bild3:=[]:
for i from 0 to 36 do
Bild1:=[op(Bild1),pointplot([Pi/18*i,sin(Pi/18*i)],color=black,symbol=circle)]:
Bild2:=[op(Bild2),pointplot([Pi/18*i,cos(Pi/18*i)],color=blue,symbol=box)]:
Bild3:=[op(Bild3),pointplot([Pi/18*i,cos(Pi/18*i)+sin(Pi/18*i)],color=red,symbol=cross)]:
Bildliste:=[op(Bildliste),display(Bild1,Bild2,Bild3)]:
od:
f:=x->0:
Linie:=plot(f(x),x=-1..6.5,y=-2..2,axes=normal):
Koord:=coordplot(cartesian,[-1..8,-2..2],grid=[19,11],color=[gray,gray]):
Bildliste:=[op(Bildliste),display(Bild1,Bild2,Bild3,Linie,Koord)]:
display(Bildliste,view=[-1..6.5,-2..2],insequence=true);

Animation !

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Varianten der Sinus- und/oder Kosinusfunktion

Zunächst geben Sie die gewünschten Varianten der Sinus- und/oder der Kosinusfunktion als f bzw. g und die Grenzen des Überlagerunsgbereichs als ganzzahlige Vielfache von ein. Dann übernimmt die Prozedur Superposition den Rest.
Achtung: Für die Tangens- und Kotangensfunktion ist die Prozedur nur bedingt geeignet!

`>` f:=x->2*cos(1/2*x-Pi/4):

`>` g:=x->cos(2*x-Pi/4):

`>` a:=0:

`>` b:=2*Pi:

`>` superpos1(f,g,a,b);

Animation !

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Superposition bei nicht trigonometrischen Funktionen

Voraussetzung ist, dass im gewählten Bereich beide Funktionen definiert sein müssen.

`>` f:=x->1/5*x^3-3/10*x^2-6/5*x+2:

`>` g:=x->3/8*x^4-2*x^2+1/2*x:

`>` a:=-3:

`>` b:=3:

`>` superpos2(f,g,a,b);

Animation !

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Literatur

Diemer / Bachert / Laule
Mathematik mit MapleV
Dümmler-Verlag 1997