Überblick

Hinweise zum Einsatz des Worksheets

Dieses Worksheet ist sicherlich sinnvoller in der Hand des Lehrers (zur Unterrichtsvorbereitung bzw. Lösung oder Korrektur von Klausuren/Klassenarbeiten) einsetzbar. Für den Einsatz im Unterricht wird sich dieses Worksheet eher nicht eignen.
Die Prozeduren sind so aufbereitet, dass sie den Anforderungen an schulische Kurvendiskussionen angepasst sind. Insbesondere wurde versucht, die komplexen Lösungen, die Maple standardmäßig mitliefert, auszublenden.

Inhaltsverzeichnis

- Eine Muster-Kurvendiskussion (am Ende des Worksheets)
- Definitionslücken
- Ableitungen
- Nullstellen
- Horizontalstellen
- Extremstellen
- Wendepunkte
- Tangente an Schaubild
- Normale in einem Kurvenpunkt
- Wertetabelle
- Näherungslösung einer Gleichung (Newton)
- Schaubild
- Polstellen
- Asymptoten

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Definitionslücken

Die Prozedur Definitionsluecken bestimmt die Menge der Definitionslücken der rationalen Funktion f, die Prozedur Definitionsbereich bestimmt den maximalen Definitionsbereich und gibt ihn aus.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;

`>` Definitionsluecken(f);

`>` Definitionsbereich(f);

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Ableitungen

Die Prozedur Ableitungen bestimmt die ersten drei Ableitungen der rationalen Funktion f.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;

`>` Ableitungen(f);

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`>`

Nullstellen

Die Prozedur Nullstellen bestimmt die Nullstellen der rationalen Funktion f.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;

`>` Nullstellen(f);

`>` Nullpunkte(f);

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Horizontalstellen

Die Prozedur Horizontalstellen bestimmt die Stellen der rationalen Funktion f mit Ableitung 0 , die Prozedur Horizontalpunkte entsprechend diejenigen Punkte mit horizontaler Tangente.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;
Stellen:=3:

`>` Horizontalstellen(f);

`>` Horizontalpunkte(f,Stellen);

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Extremstellen

Die Prozedur Extremstellen bestimmt die Extremstellen der rationalen Funktion f (Geprüft wird nur eine hinreichende Bedingung über die zweite Ableitung), die Prozedur Extrempunkte gibt die entsprechenden Punkte aus.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;
Stellen:=3:

`>` Extremstellen(f);

`>` Extrempunkte(f,Stellen);

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Wendestellen

Die Prozedur Wendestellen bestimmt die Wendestellen der rationalen Funktion f, die Prozedur Wendepunkte gibt die entsprechenden Punkte aus..

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;
Stellen:=3:

`>` Wendestellen(f);

`>` Wendepunkte(f,Stellen);

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Tangente an Schaubild

Die Prozedur Tangente bestimmt die Funktionsvorschrift der Tangente an die rationalen Funktion f an einer Stelle x0.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;
x0:=2:

`>` print(`Tangente an der Stelle x0=2: `);

`>` print(`y`=Tangente(f,x0)(x));

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Normale in einem Kurvenpunkt

Die Prozedur Normale bestimmt die Funktionsvorschrift der Normalen zu einer rationalen Funktion f an einer Stelle x0.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;
x0:=2:

`>` print(`Normale an der Stelle x0=2: `);

`>` print( `y`=Normale(f,x0)(x));

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`>`

Wertetabelle

Die Prozedur Wertetabelle gibt eine Wertetabelle für die rationale Funktion f im Intervall [a,b] mit der Schrittweite s aus..

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;
a:=-4: # optional: Startwert
b:=5: # optional: Endwert
s:=1: # optional: Schrittweite

`>` Wertetabelle(f,a,b,s);

``

    Wertetabelle für die Funktion  f: x -> 1/(x+1)-2/x

``

    ----------------------------------------------------------------------

``

       x         f(x)

``

    [ -4.000   / .167     ]

``

    [ -3.000   / .167     ]

``

    [ -2.000   / 0.000    ]

``

    Definitionslücke bei -1.000

``

    Definitionslücke bei 0.000

``

    [ 1.000    / -1.500   ]

``

    [ 2.000    / -.667    ]

``

    [ 3.000    / -.417    ]

``

    [ 4.000    / -.300    ]

``

    [ 5.000    / -.233    ]

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Näherungslösung einer Gleichung

Die Prozedur Newton bestimmt näherungsweise die Nullstelle einer Funktion g mit einem Startwert s mittels der Newton-Iteration mit n Iterationen.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;
g:= unapply( f(x)+1 , x);
Ziffern := 20: # optional: Ziffernanzahl
Startwert:=1; Schritte:=8;

`>` Newton( g, Startwert, Schritte , Ziffern);

``

    1. Näherung : 1.2857142857142857143

``

    2. Näherung : 1.4016288650030777972

``

    3. Näherung : 1.4140920532308439923

``

    4. Näherung : 1.4142135510374985901

``

    5. Näherung : 1.4142135623730949502

``

    6. Näherung : 1.4142135623730950488

``

    7. Näherung : 1.4142135623730950488

``

    8. Näherung : 1.4142135623730950488

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Schaubild

Die Prozedur Schaubild zeichnet das Schaubild der rationalen Funktion f im Intervall [a,b] mit dem Wertebereich [ymin,ymax].
Achtung : MapleV zeichnet standardmäßig die Polstellen als senkrechte Geraden in das Schaubild. Wenn dies nicht erwünscht ist, muss man die Option 'discont = true' ergänzen.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x; # Funktion
a:=-3: b:=2: # optional: Zeichenbereich
Optionen:=thickness=2,color=blue,view=[a..b,-5..10]: # optional

`>` Schaubild( f, a..b, Optionen );

`>`

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Polstellen

Die Prozedur Polstellen bestimmt die Polstellen der rationalen Funktion f..

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;

`>` print(`Polstellen liegen bei folgenden x-Werten vor:`);
print( op(Polstellen(f)) );

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Asymptoten

Die Prozedur Asymptote bestimmt die horizontale bwz schiefe Asymptote der rationalen Funktion f.

`>` f:=x->1/(x+1)-2/x;

`>` Asymptote(f);
lprint(`Die schiefe bzw. horizontale Asymptote heisst:`,y=Asymptote(f)(x));

``

    `Die schiefe bzw. horizontale Asymptote heisst:`, y = 0

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Muster-Kurvendiskussion

Im Folgenden wird eine Beispiel-Kurvendiskussion vorgestellt, die einen Teil der Prozeduren des Pakets kurvdisk verwendet. Die Befehle sind auf rationale Funktionen abgestimmt, eine Übertragbarkeit auf andere Funktionsklassen ist fraglich! Da die Aufgabenstellungen (insbesondere bei Tangenten und Normalen sowie dem Zeichenbereich fuer das Schaubild nicht unabhaengig von der Funktion sein koennen, wurde auf eine Kapselung in eine Prozedur verzichtet und stattdessen die Befehlsaufrufe einzeln aufgeführt.

Definition der Funktion:

`>` restart:with(kurvdisk):
f := x->1/6*(x+3/x+4);

Bestimmung der Definitionsmenge:

`>` Definitionsbereich(f);

Ableitungen:

`>` Ableitungen(f);

Untersuchung auf Polstellen und Asymptoten:

`>` if Polstellen(f) <> {} then
print(`vertikale Asymptote bei x=`,op(Polstellen(f)))
else
print(`keine Polstellen`) fi;

`>` if Asymptote(f) <> NULL then
print(`schiefe Asymptote:`,y=Asymptote(f)(x))
else
print(`keine schiefe oder horizontale Asymptote`) fi;

Nullstellen:

`>` Nullpunkte(f);

Extrempunkte:

`>` Extrempunkte(f);

Wendepunkte:

`>` Wendepunkte(f);

Näherungslösung für die Nullstelle von f mittels Newtonscher Iteration:

`>` Newton(f,1,7);

``

    1. Näherung : 5.

``

    2. Näherung : -5.90909091

``

    3. Näherung : -3.265147591

``

    4. Näherung : -3.009176545

``

    5. Näherung : -3.000013907

``

    6. Näherung : -3.000000001

``

    7. Näherung : -3.000000000

Wertetabelle:

`>` Wertetabelle(f,-4,4,1);

``

    Wertetabelle für die Funktion  f: x -> 1/6*x+1/2/x+2/3

``

    ----------------------------------------------------------------------

``

       x         f(x)

``

    [ -4.000   / -.125    ]

``

    [ -3.000   / 0.000    ]

``

    [ -2.000   / .083     ]

``

    [ -1.000   / 0.000    ]

``

    Definitionslücke bei 0.000

``

    [ 1.000    / 1.333    ]

``

    [ 2.000    / 1.250    ]

``

    [ 3.000    / 1.333    ]

``

    [ 4.000    / 1.458    ]

Tangente an der Stelle x=-2 an das Schaubild von f:

`>` t:=Tangente(f,1);

N ormale an das Schaubild von f an der Stelle x=1:

`>` n:=Normale(f,1);

Schaubild von f samt obiger Tangente und Normale: :

`>` Optionen:=color=[black,red,blue,maroon],
thickness=2,scaling=constrained,labels=["x","y"]:

`>` Schaubild([f,t,n,Asymptote(f)],-3..3,view=[-3..3,-3..3],Optionen);

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