Überblick

Die in diesem Worksheet beschriebenen Prozeduren bestimmen Nullstellen von stetigen Funktionen durch die Anwendung iterativer Verfahren wie das Newtonverfahren und das Sekantenverfahren (=regula falsi). Diese Verfahren konvergieren im Gegensatz zu den Einschließungsverfahren in der Regel nur dann, wenn der Startwert (bzw. die beiden Startwerte im Falle der regula falsi) nahe der Nullstelle gewählt werden.

Inhaltsverzeichnis

Graphische Darstellung des Newtonverfahrens

Graphische Darstellung der regula falsi

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Graphische Darstellung des Newtonverfahrens

Die Prozedur Newtonverf bestimmt eine Nullstelle einer stetig-differenzierbaren Funktion durch das Newtonverfahren. Neben der Berechnung der Nullstelle durch das Newtonverfahren stellt sie noch eine graphische Animation des Annäherungsprozesses dar. Ausgehend von einem Startwert x0 wird der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse als neuer Wert der Iteration berechnet. Die Angabe des Intervalls beim Aufruf ist nur für die graphische Ausgabe, nicht aber für das Verfahren notwendig.
Gesucht ist eine Nullstelle der Funktion . Als Startwert wählen wir x0=2 und visualisieren das Verfahren im Intervall [1,2].

`>` Newtonverf(-x^5+sqrt(x^2+1), x=1..2, 2);

Animation !

    Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.34708378
    Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.17097587
    Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.09438802
    Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.08080625
    Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.08041874
    Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1.08041843

Weitere Beispiele
(1.) Gesucht ist eine Nullstelle der Parabel . Als Startwert wählen wir x0=5 und zeichnen das Verfahren im Intervall [0,5].

`>` Newtonverf(x^2-x, x=0..5,5);

Animation !

    Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.69376694
    Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.20159403
    Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.02896273
    Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.00079291
    Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.00000063
    Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1

(2.) Gesucht ist ein Schnittpunkt der Funktionen . Wir setzen und wählen als Startwert x0=2. Obwohl der näherliegende Schnittpunkt bei x=0.76 liegt, berechnet das Verfahren den gültigen Wert 10.21.
`>` Newtonverf(sin(x)-cos(x), x=-2..12,2);

Animation !

    Nach der 1. Iteration ist die NS bei 9.51604246
    Nach der 2. Iteration ist die NS bei 10.34835183
    Nach der 3. Iteration ist die NS bei 10.20928998
    Nach der 4. Iteration ist die NS bei 10.21017612
    Nach der 5. Iteration ist die NS bei 10.21017612

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Graphische Darstellung der regula falsi

Die Prozedur refa bestimmt eine Nullstelle einer stetigen Funktion durch das Sekantenverfahren (=regula falsi). Neben der Berechnung der Nullstelle durch das Sekantenverfahren stellt sie noch eine graphische Animation des Annäherungsprozesses dar. Ausgehend von den Startwerten x0 und x1 wird der Schnittpunkt der Sekanten mit der x-Achse als neuer Wert der Iteration berechnet. Die Angabe des Intervalls beim Aufruf ist nur für die graphische Ausgabe, nicht aber für das Verfahren notwendig. Gesucht ist eine Nullstelle der Funktion . Als Startwerte wählen wir x0=1.8 und x1=2 und visualisieren das Verfahren im Intervall [1,2].

`>` refa(-x^5+sqrt(x^2+1), x=1..2, 2, 1.8);

    Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.36249736
    Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.22275201
    Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.13567846
    Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.09358246
    Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.08180271
    Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1.08045517
    Nach der 7. Iteration ist die NS bei 1.08041853
    Nach der 8. Iteration ist die NS bei 1.08041843

Weitere Beispiele
(1.) Gesucht ist eine Nullstelle der Parabel . Als Startwerte wählen wir x0=5 und x1=4 und zeichnen das Verfahren im Intervall [0,5].

`>` refa(x^2-x, x=0..5, 5, 4);

    Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.81818182
    Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.36986301
    Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.13830393
    Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.03391767
    Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.00400176
    Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1.00013077
    Nach der 7. Iteration ist die NS bei 1.00000052
    Nach der 8. Iteration ist die NS bei 1

(2.) Gesucht ist ein Schnittpunkt der Funktionen . Wir setzen und wählen als Startwerte x0=1.9 und x1=2. Das Verfahren findet den Wert 0.785.
`>` refa(sin(x)-cos(x), x=-1..2,2.,1.9);

Animation !

    Nach der 1. Iteration ist die NS bei  .77503898
    Nach der 2. Iteration ist die NS bei  .78816839
    Nach der 3. Iteration ist die NS bei  .78539813
    Nach der 4. Iteration ist die NS bei  .78539816

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Literatur

T.Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 1)
Springer-Verlag , Heidelberg 1996