Überblick

In den nachfolgenden Prozeduren werden zwei Näherungsverfahren - das Newton-Verfahren und das sog. allgemeine Iterationsverfahren - mit entsprechenden Anwendungen vorgestellt. Beide Verfahren werden durch Bildfolgen graphisch erläutert. Das Langzeitverhalten verschiedener Iteratoren lässt sich untersuchen, und ein Diagramm der Attraktoren aller Funktionen - das Feigenbaumdiagramm (Mitchell J. Feigenbaum, amerikanischer Physiker) - wird für a aus einem einzugebenden Intervall gezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

- Newton-Verfahren
- Graphische Darstellung des Newton-Verfahrens
- Allgemeines Iterationsverfahren
- Graphische Darstellung des allgemeinen Iterationsverfahrens
- Langzeitverhalten und Zeitreihe
- Feigenbaumdiagramm

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Bedienungserklärung

Newton-Verfahren

Die Prozedur Newton1 erzeugt mit Hilfe der Iterationsvorschrift nach Newton numerisch eine Folge ( ) von Näherungslösungen der Gleichung .

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->x^2-2;

Startwert:

`>` s:=3:

Anzahl der Schritte:

`>` n:=7:

Zahl der gültigen Ziffern:

`>` z:=15:

`>` Newton1(f,s,n,z);

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Graphische Darstellung des Newton-Verfahrens

Die Prozedur Newton2 liefert eine graphische Animation des Iterationsverfahrens nach Newton.

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->cos(x)-x;

Startwert:

`>` s:=3:

Anzahl der Schritte:

`>` n:=4:

`>` Newton2(f,s,n);

Animation !

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Allgemeines Iterationsverfahren

Die Prozedur Iteriere1 erzeugt ausgehend von einem Startwert s numerisch die ersten n Glieder der Folge ( ) mit .

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->cos(x);

Startwert:

`>` s:=1:

Anzahl der Schritte:

`>` n:=7:

Zahl der gültigen Ziffern:

`>` z:=15:

`>` Iteriere1(f,s,n,z);

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Graphische Darstellung des allgemeinen Iterationsverfahren

Diese Prozedur Iteriere2 liefert eine graphische Animation des allgemeinen Iterationsverfahrens.

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->2.8*x*(1-x);

Startwert:

`>` s:=0.2:

Anzahl der Schritte:

`>` n:=20:

`>` Iteriere2(f,s,n);

Animation !

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Langzeitverhalten und Zeitreihen

Die Prozedur Zeitreihe zeichnet ausgehend von einem Startwert s das Schaubild der Folge ( ) mit .

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->2.8*x*(1-x):

Startwert:

`>` s:=0.2:

Anzahl der Schritte:

`>` n:=20:

`>` Zeitreihe(f,s,n);

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Feigenbaumdiagramm

Die Prozedur Feigenbaum zeichnet das Feigenbaumdiagramm (Endzustand-Diagramm) des Iterators mit .

Eingabe der Funktion :

`>` f:=x->a*x*(1-x);

Start- und Endwert des Funktionsparameters a:

`>` von:=2.88:bis:=3.7:

Schrittweite:

`>` sw:=0.005:

`>` Feigenbaum(f,von,bis,sw);

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Literatur

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