Beschreibung

Insbesondere mit der Sinusfunktion werden viele physikalische Phänomene auf mathematischer Ebene beschrieben. Ein solches Beispiel sind die Schwingungen. Deren Überlagerung ist Gegenstand vieler Betrachtungen unter unterschiedlichen Voraussetzungen. Dabei geht man meist von der Darstellung der Form und bzw. aus. Es interessieren z.B. folgende Fälle:

- Gleichphasige eindimensionale Überlagerung bei gleicher Frequenz, d.h. ( gesondertes Worksheet).
- Gegenphasige eindimensionale Überlagerung bei gleicher Frequenz, d.h. ( gesondertes Worksheet).
- Beliebige Phasenverschiebung bei gleicher Frequenz ( gesondertes Worksheet).
- Überlagerung bei gleicher Amplitude und geringem Frequenzunterschied ( gesondertes Worksheet).
- Senkrechte Überlagerung (Lissajous-Figuren).

Inhaltsverzeichnis

- Senkrechte Überlagerung ohne Phasenverschiebung .
- Senkrechte Überlagerung mit Phasenverschiebung von .
- Senkrechte Überlagerung bei gleichen Amplituden und Frequenzverhältnis 1 : 1 .
- Senkrechte Überlagerung bei gleichen Amplituden und Frequenzverhältnis 1 : 2 .
- Senkrechte Überlagerung bei gleichen Amplituden und Frequenzverhältnis 1 : 3 .
- Verschiedene Amplituden und beliebiges Frequenzverhältnis

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Senkrechte Überlagerung

Die Teilschwingungen verlaufen längs der x-Achse bzw. längs der y-Achse. Es gilt = und = .

Keine Phasenverschiebung = 0.

Man kann bilden: = oder = . Das ist eine Gerade mit der Steigung = .

`>` x:=t->a*sin(omega*t):y:=t->b*sin(omega*t):
`>` a:=1:b:=2:
`>` plot(b/a*t,t=0..5,scaling=constrained);

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Phasenverschiebung .

Unterstellen wir zunächst gleiche Amplituden, so erhalten wir und = . Dies ist die Parameterdarstellung für einen Kreis mit dem Radius r. Diesen Sachverhalt verdeutlicht schön die folgende Animation.

`>` with(plots,animate):
omega:=100:
`>` animate([r*cos(omega*t),r*sin(omega*t),t=-Pi..Pi],r=1..8,
view=[-8..8,-8..8],numpoints=100,scaling=constrained,thickness=2,frames =50);

Animation !

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Verallgemeinerung

Die Verallgemeinerung erfolgt schrittweise.

Gleiche Amplituden und Frequenzverhältnis 1 : 1

Gegeben sind = und = .

Das Ergebnis ist eine Variation vom Fall ohne Phasenverschiebung (Gerade) über Ellipsen hin zum Fall der Phasenverschiebung von (Kreis) und wieder zurück.
`>` with(plots,animate):
`>` omega:=314:
`>` r1:=6:
`>` r2:=6:
`>` u:=1:
`>` x:=t->r1*sin(u*omega*t+delta):
`>` y:=t->r2*sin(omega*t):
`>` animate( [x(t),y(t),t=0..2.01],delta=0..Pi,view=[-6..6,-6..6],\
numpoints=100,thickness=2,frames=50,scaling=constrained);

Animation !

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Gleiche Amplituden und Frequenzverhältnis 1 : 2

Gegeben sind = und = .

Das Ergebnis ist eine Variation vom Fall ohne Phasenverschiebung (eine "Acht") über "Schlaufen" hin zum Fall der Phasenverschiebung von ("Parabel") und wieder zurück.

`>` with(plots,animate):
`>` omega:=314:
`>` r1:=6:
`>` r2:=6:
`>` u:=2:
`>` x:=t->r1*sin(u*omega*t+delta):
`>` y:=t->r2*sin(omega*t):
`>` animate( [x(t),y(t),t=0..2.01],delta=0..Pi,view=[-6..6,-6..6],numpoints=100,
thickness=2,frames=50,scaling=constrained);

Animation !

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Gleiche Amplituden und Frequenzverhältnis 1 : 3

Gegeben sind = und = .

Das Ergebnis ist eine Variation vom Fall ohne Phasenverschiebung (ein "S") über "Doppelschlaufen" hin zum Fall der Phasenverschiebung von ("eingepacktes Bonbon") und wieder zurück.

`>` with(plots,animate):
`>` omega:=314:
`>` r1:=6:
`>` r2:=6:
`>` u:=3:
`>` x:=t->r1*sin(u*omega*t+delta):
`>` y:=t->r2*sin(omega*t):
`>` animate( [x(t),y(t),t=0..2.01],delta=0..Pi,view=[-6..6,-6..6],numpoints=100,\
thickness=2,frames=50,scaling=constrained);

Animation !

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Verschiedene Amplituden und beliebiges Frequenzverhältnis

Gegeben sind = und = .

- Wird gegenüber kleiner (bei gleichem Frequenzverhältnis), so wird die Figur "gestaucht" in x-Richtung.
- Wird gegenüber größer (bei gleichem Frequenzverhältnis), so wird die Figur "gestaucht" in y-Richtung.
- Ändert sich zusätzlich das Frequenzverhältnis (also z.B. 1:1 oder 1:2 oder 1:3), erhält man wieder die Figuren wie oben.

`>` with(plots,animate):
`>` omega:=314:
`>` r1:=2:
`>` r2:=6:
`>` u:=2:
`>` x:=t->r1*sin(u*omega*t+delta):
`>` y:=t->r2*sin(omega*t):
`>` animate( [x(t),y(t),t=0..2.01],delta=0..Pi,view=[-6..6,-6..6],numpoints=100,\
thickness=2,frames=50,scaling=constrained);

Animation !

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Literatur

Dorn / Bader
Physik Oberstufe MS
Schroedel Verlag 1975

Diemer / Bachert / Laule
Mathematik mit MapleV
Dümmler-Verlag 1997