Initialisierung

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`>` with(plots):with(newfeig);

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Überblick

In den nachfolgenden Prozeduren werden zwei Näherungsverfahren - das Newton-Verfahren und das sog. allgemeine Iterationsverfahren - mit entsprechenden Anwendungen vorgestellt. Beide Verfahren werden durch Bildfolgen graphisch erläutert. Das Langzeitverhalten verschiedener Iteratoren lässt sich untersuchen, und ein Diagramm der Attraktoren aller Funktionen - das Feigenbaumdiagramm (Mitchell J. Feigenbaum, amerikanischer Physiker) - wird für a aus einem einzugebenden Intervall gezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Newton-Verfahren

Graphische Darstellung des Newton-Verfahrens

Allgemeines Iterationsverfahren

Graphische Darstellung des allgemeinen Iterationsverfahrens

Langzeitverhalten und Zeitreihe

Feigenbaumdiagramm

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Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Die einzelnen Sektionen sind unabhängig voneinander. Deshalb kann über das Inhaltsverzeichnis an jede beliebige Sektion gesprungen werden. Die Befehle innerhalb einer Sektion sind jedoch nicht unbedingt unabhängig. Hier empfiehlt sich das schrittweise Abarbeiten der einzelnen Befehle.

Einige, entsprechend markierte Plots sind als Animationen vorbereitet. Diese können schrittweise ausgelöst werden, wenn man in der Symbolleiste auf klickt. Die Symbolleiste ist allerdings erst sichtbar, wenn vorher auf den Plot geklickt worden ist.

Newton-Verfahren

Die Prozedur Newton1 erzeugt mit Hilfe der Iterationsvorschrift nach Newton numerisch eine Folge ( ) von Näherungslösungen der Gleichung .

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->x^2-2;

`>` Newton1(f,3,7,15);

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Graphische Darstellung des Newton-Verfahrens

Die Prozedur Newton2 liefert eine graphische Animation des Iterationsverfahrens nach Newton.

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->cos(x)-x;

`>` Newton2(f,3,4);

Animation !

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Allgemeines Iterationsverfahren

Die Prozedur Iteriere1 erzeugt ausgehend von einem Startwert s numerisch die ersten n Glieder der Folge ( ) mit .

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->cos(x);

`>` Iteriere1(f,1,7,15);

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Graphische Darstellung des allgemeinen Iterationsverfahren

Diese Prozedur Iteriere2 liefert eine graphische Animation des allgemeinen Iterationsverfahrens.

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->2.8*x*(1-x);

`>` Iteriere2(f,0.2,20);

Animation !

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Langzeitverhalten und Zeitreihen

Die Prozedur Zeitreihe zeichnet ausgehend von einem Startwert s das Schaubild der Folge ( ) mit .

Eingabe einer Funktion f:

`>` f:=x->2.8*x*(1-x):

`>` Zeitreihe(f,0.2,20);

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Feigenbaumdiagramm

Die Prozedur Feigenbaum zeichnet das Feigenbaumdiagramm (Endzustand-Diagramm) des Iterators mit .

Eingabe der Funktion :

`>` f:=x->a*x*(1-x);

`>` Feigenbaum(f,2.88,3.7,.005);

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Literatur

Diemer / Bachert / Laule

Mathematik mit MapleV

Dümmler-Verlag 1997

Lambacher / Schweizer

Analysis Zwei

Klett-Verlag 1989

Peitgen / Jürgens / Saupe

Chaos, Iteration, Sensitivität, Mandelbrotmenge

- Ein Arbeitsbuch -

Springer / Klett 1992

Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple
Springer-Verlag 1996

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