Überblick

Auf den klassischen Feder-Masse-Schwinger stützt sich die erste Annäherung an das Chaos. Wir werden sehen, dass chaotisches Verhalten durchaus für den Ingenieur Praxisrelevanz besitzt. Da die Lösung von linearen Differentialgleichungen so einfach ist, wird die Welt gerne linear gesehen. Die irdischen Phänomene zeichnen sich jedoch ganz im Gegensatz zu diesem Bestreben durch nichtlineares Verhalten aus, das zu chaotischen Zuständen führen kann. Das Verhalten eines ungedämpften, linearen Feder-Masse-Pendels wird durch die Differentialgleichung

beschrieben. Dabei ist
... die zweite Ableitung der Auslenkung nach der Zeit t
... die Auslenkung
...die Federkonstante und
...die Masse.
Für die Simulation dieses Verhaltens wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung in zwei Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt. Dazu wird folgende Setzung vorgenommen:

s(t) = x(t)

v(t) = s'(t)

Damit ergibt sich ein lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung durch:

s'(t) = v(t)

v'(t) = -C/m s(t)

In den folgenden Maple-Zeilen stellt ds immer die Ableitung der Auslenkung s(t) und dv immer die Ableitung der Geschwindigkeit v(t) dar.

Inhaltsverzeichnis

Der lineare, ungedämpfte Masse-Feder-Schwinger
Der lineare, gedämpfte Masse-Feder-Schwinger
Erzwungene Schwingung eines linearen, gedämpften Masse-Feder-Schwingers
Duffing-Gleichung
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Der lineare, ungedämpfte Masse-Feder-Schwinger

Wird die Masse eines ungedämpften, linearen Feder-Masse-Pendels aus ihrer Ruhelage ausgelenkt, so kommt es zu einer Sinus- bzw. Kosinus-Schwingung. Die folgende Animation zeigt das Schwingverhalten des ungedämpften, linearen Oszillators. Die Realisierung erfolgt durch die Prozedur animatDG , die obige Differentialgleichungen numerisch löst. Mit dem Darstellungsmodus 1 wird auf der Ordinate die Auslenkung s(t) über der Zeit t abgetragen. Die folgende Graphik zeigt dieses Schwingungsverhalten:
`>` ds:=v: # Eingabe der Differentialgleichungen
`>` dv:=-s*C/m:
`>` C:=3.:m:=1.: # Parameter
`>` s_0:=10:v_0:=0: # Anfangswerte
`>` Dauer:=15:Aufloesung:=100: # Rechenparameter
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,1);

Animation!

In der obigen Graphik wurde die Auslenkung s(t) über der Zeit t abgetragen. Es kann aber ebenso das Schwingungsverhalten so dargestellt werden, dass die Geschwindigkeit v(t) über der Zeitachse abgetragen wird. Dazu wählen wir bei den gleichen Parametern für die Prozedur animatDG den Darstellungsmodus=2
`>` ds:=v: # Eingabe der Differentialgleichungen
`>` dv:=-s*C/m:
`>` C:=3.:m:=1.: # Parameter
`>` s_0:=10:v_0:=0: # Anfangswerte
`>` Dauer:=15: Aufloesung:=100: # Rechenparameter
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,2);

Animation!

Die beiden obenstehenden Bilder stellen Zeitverläufe dar. Eine andere Möglichkeit die Vorgänge graphisch zu beschreiben, ist eine Projektion auf die Geschwindigkeits-Auslenkungs-Ebene. Wir setzen dazu den Modus der Prozedur auf 3 und wählen für die Darstellung eine höhere Auflösung
`>` ds:=v: # Eingabe der Differentialgleichungen
`>` dv:=-s*C/m: #
`>` C:=3.:m:=1.: # Parameter
`>` s_0:=10:v_0:=0: # Anfangswerte
`>` Dauer:=6:Aufloesung:=200: # Rechenparameter
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,3);

Animation!

Durch einen Vergleich mit den beiden Zeitverläufen ist erkennbar, dass auf der Abszisse die Auslenkung und auf der Ordinate die Geschwindigkeit abgetragen sind. Diese Diagrammform enthält zwar keine eindeutigen Zeitinformationen, es können jedoch die beiden entscheidenden Größen gleichzeitig dargestellt werden. Die Kurven werden als Bahnkurven oder Trajektorien im zweidimensionalen Phasenraum bezeichnet. Schön zu sehen ist, wie die Energie des Systems ständig zwischen kinetischer und potentieller Energie hin- und her pendelt. Am Geschwindigkeitsmaximum ist die Auslenkung gleich Null (Ruhelagendurchgang). Am Auslenkungsmaximum ist die Geschwindigkeit gleich Null; das Pendel hat den Umkehrpunkt erreicht.

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Der lineare, gedämpfte Masse-Feder-Schwinger

Systeme gänzlich ohne Reibung kommen in unserem Alltag nie vor. Deshalb erhält die Differentialgleichung des linearen Oszillators einen weiteren Term, der die Reibung beschreibt. Es wird hierbei von einer Reibungskraft ausgegangen, die proportional zur Geschwindigkeit ist. Die modifizierte Differentialgleichung lautet:
mit d als Konstante, welche die Dämpfung beschreibt. Als Zeitverlauf der Auslenkung ergibt sich das im folgenden gezeigte Szenario:
`>` ds:=v:
`>` dv:=-2*daempfung*sqrt(C/m)*v-C/m*s:
`>` C:=3.:m:=1.:daempfung:=0.2:
`>` s_0:=10:v_0:=0:Dauer:=15:Aufloesung:=100:
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,1);

Animation!

Als Trajektorie, also als Projektion auf die s-v-Ebene, ergibt sich:
`>` ds:=v:
`>` dv:=-2*daempfung*sqrt(C/m)*v-C/m*s:
`>` C:=3.:m:=1.:daempfung:=0.2:
`>` s_0:=10:v_0:=0:Dauer:=15:Aufloesung:=200:
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,3);

Animation!

Im obigen Bild ist deutlich zu erkennen, wie die maximale Auslenkung und Geschwindigkeit immer geringer wird und die Trajektorie dem Nullpunkt des Koordinatensystems sich spiralförmig nähert. Hier kommt bereits das erste Mal ein Begriff ins Spiel, der in Kapitel 3 ausführlicher behandelt wird: der Attraktor . Ein Attraktor eines dynamischen Systems ist ein Punkt oder, wie weiter unten gezeigt wird, ein anderes geometrisches Gebilde, das die Trajektorie magisch anzieht. Beim hier gezeigten System handelt es sich um einen Punktattraktor. Es ist noch zu betonen, dass dieser Attraktor unabhängig von der Anfangsauslenkung alle Trajektorien anzieht. Es ist somit gleichgültig, welche Anfangsauslenkung gewählt wird, nach kurzer oder längerer Zeit steht der Oszillator still.

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Erzwungene Schwingung eines linearen, gedämpften Masse-Feder-Schwingers

Der mit Reibung behaftete Oszillator soll nun von außen sinusförmig angetrieben werden. Dies kann beispielsweise dadurch realisiert werden, dass der Aufhängepunkt der Feder bewegt wird, z.B. durch eine sich drehende Scheibe mit Pleuelstange. Für die Beschreibung dieses angeregten Oszillators muss die Differentialgleichung erweitert werden zu
mit
.... Amplitude der Anregung

...Kreisfrequenz der Anregung
Bei der Simulation dieses Systems ergibt sich die im folgenden Bild gezeigte Trajektorie:
`>` ds:=v:
`>` dv:=-2*daempfung*sqrt(C/m)*v-C/m*s+A*sin(wE*t):
`>
>` C:=1.:m:=1.:daempfung:=0.2:A:=1:wE:=1:
`>` s_0:=10:v_0:=0:Dauer:=40:Aufloesung:=200:
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,3);

Animation!

Hierbei zeigt sich ein interessantes Bild: Nach kaum mehr als zwei Perioden stellt sich eine Bahn ein, die durch das Verhältnis der Reibung zum Antrieb gekennzeichnet ist. Sie verläuft stabil. Welche Anfangsauslenkung auch immer gewählt wird, die Trajektorie wird von einem Attraktor angezogen, in diesem Fall jedoch kein Punktattraktor sondern ein Grenzzyklus, der eben die Gleichgewichtssituation beschreibt. Das Langzeitverhalten zweier unterschiedlicher Anfangswerte ist damit ähnlich. Das in der Einführung beschriebene Kausalitätsprinzip ist erfüllt.

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Duffing-Gleichung

Nun erfolgt der Übergang zu nichtlinearen Systemen, denn nur diese können chaotisches Verhalten aufweisen. Als Beispiel soll eine den oben ähnliche Differentialgleichung verwendet werden. Diese Gleichung enthält einen zusätzlichen nichtlinearen Term bzw. das lineare Glied ist durch die beiden ersten Glieder einer Reihenentwicklung ersetzt worden. Sie ist als Duffing-Gleichung bekannt und wurde von Georg Duffing 1918 aufgestellt. Die spezielle Form, die hier diskutiert wird, kann zur Beschreibung eines fremderregten, eingespannten Balkens verwendet werden (3).
Die Parameter a, b und c beschreiben die Proportionen des Systems. Bezüglich der genauen physikalischen Zusammenhänge sei auf Quelle (3) verwiesen. Für den "Hausgebrauch" kann man es sich als ein System vorstellen, das statt einer linearen Beziehung der Rückstellkraft einen Term dritten oder höheren Grades besitzt. Die Simulation ergibt folgendes Bild für die Trajektorie für die Parameter a=2, b=8, c=0.55, A=24, =1 und der Anfangsauslenkung s_0=1:
`>` ds:=v:
`>` dv:=-c*v+b*s-a*s^3+A*sin(wE*t):
`>
>` a:=2.:b:=8:c:=0.55:A:=24:wE:=1:
`>` s_0:=1:v_0:=0:Dauer:=15:Aufloesung:=300:
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,3);

Animation!

Aus Rechenzeitgründen ist die animierte Version der Trajektorie nur in der Anfangsphase dargestellt. Über einen längeren Zeitraum hinweg ergibt sich mit der Prozedur visualDG folgendes Bild:
`>` ds:=v:
`>` dv:=-c*v+b*s-a*s^3+A*sin(wE*t):
`>` a:=2.:b:=8:c:=0.55:A:=24:wE:=1:
`>` s_0:=1:v_0:=0:Dauer:=50:Aufloesung:=1000:
`>` visualDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,3);

Die Trajektorie beginnt genau im Punkt (1,0), der durch die gewählte Anfangsauslenkung bestimmt ist. Dann dauert es gewisse Zeit bis sich eine Periodizität einstellt. Man kann den Grenzzyklus, der sich herausbildet, daran erkennen, dass hier die Linie dicker zu sein scheint. Er ist wie auch beim getriebenen, gedämpften linearen Oszillator stabil, jedoch im Gegensatz zu einem simplen Kreis oder einer Ellipse komplexer aufgebaut. Anscheinend ist der Duffing-Oszillator zwar nichtlinear, aber keineswegs chaotisch. Oder etwa doch?

Werden für die Parameter andere Werte gewählt, so ergibt sich das folgende Bild:
`>` ds:=v:
`>` dv:=-c*v+b*s-a*s^3+A*sin(wE*t):
`>` a:=0.53:b:=0.2:c:=0.04:A:=0.4:wE:=0.19:
`>` s_0:=1:v_0:=0:Dauer:=100:Aufloesung:=600:
`>` animatDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,3);

Animation!

Aus Rechenzeitgründen kann die Animation nur für eine relativ geringe Anzahl von Iterationen berechnet werden. Um das Langzeitverhalten zu betrachten, kommt die statische Graphik, visualDG , zum Einsatz:
`>` ds:=v:
`>` dv:=-c*v+b*s-a*s^3+A*sin(wE*t):
`>` a:=0.53:b:=0.2:c:=0.04:A:=0.4:wE:=0.19:
`>` s_0:=1:v_0:=0:Dauer:=400:Aufloesung:=2400:
`>` visualDG(ds,dv,s_0,v_0,Dauer,Aufloesung,3);

Diese beiden Graphiken lassen nur einen Schluss zu: Erstkontakt!

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