Initialisierung

Die Eingaben dieser Sektion müssen ausgelöst werden!

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`>` restart:

`>` with(plots):with(kegelsch);

`>`

Überblick

Dieses Worksheet stellt einige kleine Routinen zur Verfügung, die gewisse Eigenschaften der Kegelschnitte verdeutlichen helfen.

In den ersten beiden Teilen dieses Worksheets werden die Kegelschnitte Ellipse und Parabel in einer 3D-Darstellung graphisch visualisiert.

In den nächsten vier Menüpunkten wird die Brennpunktseigenschaft der Parabel bzw. Ellipse rechnerisch hergeleitet und anschließend über eine Animation graphisch veranschaulicht.

Anschließend wird die Gärtnerkonstruktion in einer Animation nachvollzogen.

Die nächsten beiden Punkte beschäftigen sich mit der Leitgeradeneigenschaft der Parabel ; zunächst wird diese Eigenschaft rechnerisch hergeleitet und die resultierende Parabel graphisch dargestellt; anschließend wird die Konstruktion von Parabelpunkten über die Leitgeradeneigenschaft über eine Animation graphisch nachvollzogen.

Der letzte Abschnitt erstellt eine Animation zur Konstruktion von Ellipsentangenten (als Winkelhalbierende zwischen den Brennstrahlen).

Inhaltsverzeichnis

Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Ellipse)

Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Parabel)

Brennpunktseigenschaft einer Parabel

Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Parabel

Brennpunktseigenschaft einer Ellipse

Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Ellipse

Visualisierung der Gärtnerkonstruktion

Herleitung der Parabelgleichung aus der Leitgeradeneigenschaft

Visualisierung der Leitgeraden bei der Parabel

Visualisierung der Tangenteneigenschaft bei der Ellipse

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Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Die einzelnen Sektionen sind unabhängig voneinander. Deshalb kann über das Inhaltsverzeichnis an jede beliebige Sektion gesprungen werden. Die Befehle innerhalb einer Sektion sind jedoch nicht unbedingt unabhängig. Hier empfiehlt sich das schrittweise Abarbeiten der einzelnen Befehle.

Einige, entsprechend markierte Plots sind als Animationen vorbereitet. Diese können schrittweise ausgelöst werden, wenn man in der Symbolleiste auf klickt. Die Symbolleiste ist allerdings erst sichtbar, wenn vorher auf den Plot geklickt worden ist.

Einige Plots sind Schrägbilddarstellungen , bei denen der Blickwinkel verändert werden kann. Klicken Sie dazu auf das Bild und halten Sie die linke Maustaste gedrückt. Wenn Sie jetzt die Maus bewegen, dreht sich das Koordinatenkreuz.

Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Ellipse)

Die Prozedur ellbild zeichnet in dreidimensionaler Darstellung das Bild eines Kegels, der von einer Ebene so geschnitten wird, dass als Schnittkurve eine Ellipse entsteht. Die Anzahl der zu zeichnenden Bildpunkte ist frei wählbar; je größer die Zahl der Bildpunkte umso besser die Auflösung des Bildes, umso länger jedoch auch der Bildaufbau!

`>` numpt:=800; # Anzahl zu zeichnender Bildpunkte

`>` ellbild(numpt);

3D-Darstellung !

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Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Parabel)

Die Prozedur parbild zeichnet in dreidimensionaler Darstellung das Bild eines Kegels, der von einer Ebene so geschnitten wird, dass als Schnittkurve eine Parabel entsteht (die Ebene verläuft in diesem Fall parallel zu einer Kegelkante). Die Anzahl der zu zeichnenden Bildpunkte ist frei wählbar; je größer die Zahl der Bildpunkte umso besser die Auflösung des Bildes, umso länger jedoch auch der Bildaufbau!

`>` numpt:=800; # Anzahl zu zeichnender Bildpunkte

`>` parbild(numpt);

3D-Darstellung !

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Brennpunktseigenschaft einer Parabel

Aufgabenstellung :

Gegeben ist die Gleichung einer Parabel.

Zu zeigen: Parallel auf die Parabel einfallende Strahlen werden in einen Brennpunkt reflektiert.

In dieser Sektion wird die Brennpunktseigenschaft der Parabel durchgerechntet.
Im ersten Teil für eine konkrete Parabel und einen konkreten Einfallsstrahl,
im zweiten Teil für eine konkrete Parabel und einen beliebigen Einfallsstrahl und
im dritten Teil für eine allgemeine Parabel und einen allgemeinen Einfallsstrahl.

Teil 1

Zunächst wird die Aufgabenstellung für eine konkrete Parabel sowie einen bestimmten Einfallsstrahl y=2 realisiert:

1.1. Gegebene Objekte:
k:=4;c:=2;
f:=x->k*sqrt(x); # Parabel nach rechts geoeffnet
g1:=x->c; # (von rechts) einfallender Strahl

1.2. Schnitt des einfallenden Strahls mit der Parabel:
xs := solve(g1(x)=f(x),x);
ys := c;

1.3. Bestimmung des Einfallswinkels (=Winkel zwischen Einfallsstrahl und Normale im Schnittpunkt)
f1 := D(f);
m_Normale := -1/f1(xs);
Einf_Winkel:= simplify(-arctan(m_Normale));

1.4. Wegen der Gesetzmäßigkeit "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" ergibt sich für den Winkel zwischen Einfalls- und Reflexionsstrahl:
Winkel := simplify(2*Einf_Winkel);

1.5. Damit hat der ausfallende Strahl die Steigung:
m_reflex:= simplify(-tan(Winkel));

1.6. Die Geradengleichung des Reflexionsstrahls lautet somit:
g2 := unapply(m_reflex*(x-xs) + ys,x);

1.7. Berechnung des Schnittpunkts von Reflexionsstrahl und x-Achse:
xB := simplify(solve(g2(x)=0,x));

Ergebnis:

Der einfallende Strahl

`>` y=ys;
schneidet also die x-Achse im Punkt
F(xB,0);

Teil 2:

Nun wird die Aufgabenstellung für eine konkrete Parabel y = sowie einen allgemeinen Einfallsstrahl y=c realisiert:

2.1. Gegebene Objekte:
k:=4;c:='c';assume(c>=0);
f:=x->k*sqrt(x); # Parabel nach rechts geoeffnet
g1:=x->c; # (von rechts) einfallender Strahl

2.2. Schnitt des einfallenden Strahls mit der Parabel:

`>` xs := solve(g1(x)=f(x),x);
ys := c;

2.3. Bestimmung des Einfallswinkels (=Winkel zwischen Einfallsstrahl und Normale im Schnittpunkt)
f1 := D(f);
m_Normale := -1/f1(xs);
Einf_Winkel:= simplify(-arctan(m_Normale));

2.4. Wegen der Gesetzmäßigkeit "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" ergibt sich für den Winkel zwischen Einfalls- und Reflexionsstrahl:
Winkel := simplify(2*Einf_Winkel);

2.5. Damit hat der ausfallende Strahl die Steigung:
m_reflex:= simplify(-tan(Winkel));

2.6. Die Geradengleichung des Reflexionsstrahls lautet somit:
g2 := unapply(m_reflex*(x-xs) + ys,x);

2.7. Berechnung des Schnittpunkts von Reflexionsstrahl und x-Achse:
xB := simplify(solve(g2(x)=0,x));

Ergebnis:

Der einfallende Strahl

`>` y=ys;
schneidet also die x-Achse unabhängig vom Wert c stets im Punkt
F(xB,0);

Teil 3:

In dem nun folgenden dritten Schritt wird die Aufgabenstellung für eine allgemeine Parabel y = sowie einen allgemeinen Einfallsstrahl y=c realisiert:

3.1. Gegebene Objekte:
k:='k';assume(k>0);
c:='c';assume(c>=0);
f:=x->k*sqrt(x); # Parabel nach rechts geoeffnet
g1:=x->c; # (von rechts) einfallender Strahl

3.2. Schnitt des einfallenden Strahls mit der Parabel:
xs := solve(g1(x)=f(x),x);
ys := c;

3.3. Bestimmung des Einfallswinkels (=Winkel zwischen Einfallsstrahl und Normale im Schnittpunkt)
f1 := D(f);
m_Normale := -1/f1(xs);
Einf_Winkel:= simplify(-arctan(m_Normale));

3.4. Wegen der Gesetzmäßigkeit "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" ergibt sich für den Winkel zwischen Einfalls- und Reflexionsstrahl:
Winkel := simplify(2*Einf_Winkel);

3.5. Damit hat der ausfallende Strahl die Steigung:
m_reflex:= simplify(-tan(Winkel));

3.6. Die Geradengleichung des Reflexionsstrahls lautet somit:
g2 := unapply(m_reflex*(x-xs) + ys,x);

3.7. Berechnung des Schnittpunkts von Reflexionsstrahl und x-Achse:
xB := simplify(solve(g2(x)=0,x));

Ergebnis:

Der einfallende Strahl

`>` y=ys;
schneidet also die x-Achse in einem einzigen von k abhängigen Punkt
F(xB,0);

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Brennpunktseigenschaft einer Ellipse

Aufgabenstellung :

Gegeben ist die Gleichung einer Ellipse.

Zu zeigen: Alle von einem der beiden Brennpunkte ausgehenden Strahlen werden in den anderen Brennpunkt reflektiert.

In dieser Sektion wird die Brennpunktseigenschaft der Ellipse durchgerechntet.

Im ersten Teil für eine konkrete Ellipse und einen konkreten Einfallsstrahl,

im zweiten Teil für eine konkrete Ellipse und einen beliebigen Einfallsstrahl und

im dritten Teil für eine allgemeine Ellipse und einen allgemeinen Einfallsstrahl.

Teil 1

Zunächst wird die Aufgabenstellung für eine konkrete Ellipse sowie einen bestimmten Einfallsstrahl mit dem Spiegelpunkt S(xs;ys) realisiert:

1.1. Gegebene Objekte:
xs:=-1; # x-Koordinate des Spiegelpunkts
a:=5:b:=3: # Halbachsen der Ellipse
f:=x->b*sqrt(1-x^2/a^2); # Ellipsengleichung
ys:=f(xs); # y-Koordinate des Spiegelpunkts
k:=b/a; # Streckfaktor der Ellipse

1.2. Bestimmung der Steigung des Einfallsstrahls und des Ausfallstrahls (durch den anderen Brennpunkt) :
e:=sqrt(a^2-b^2): # Exzentrizitaet
m:=ys/(xs+e);evalf(%); # Steigung des Einfallsstrahls
mr:=ys/(xs-e);evalf(%); # Steigung des Ausfallstrahls

1.3. Bestimmung des Einfall- und Ausfallwinkels ( =Winkel zwischen Strahl und Normale)

`>` f1 := D(f);
m_Normale := -1/f1(xs);
Einf_Winkel:= simplify(arctan((m_Normale-m)/(1+m_Normale*m)));
Ausf_Winkel:=simplify(arctan((mr-m_Normale)/(1+m_Normale*mr)));

Ergebnis:

Der Einfalls- und Ausfallwinkel ist also jeweils gleich groß, nämlich

`>` Einfallswinkel=Einf_Winkel;
Ausfallwinkel=Ausf_Winkel;

Teil 2

Nun wird die Aufgabenstellung für eine konkrete Ellipse sowie einen beliebigen Einfallsstrahl mit dem Spiegelpunkt S(xs;ys) realisiert:

2.1. Gegebene Objekte:
xs:='xs'; # x-Koordinate des Spiegelpunkts
a:=5:b:=3: # Halbachsen der Ellipse
f:=x->b*sqrt(1-x^2/a^2); # Ellipsengleichung
ys:=f(xs); # y-Koordinate des Spiegelpunkts
k:=b/a; # Streckfaktor der Ellipse

2.2. Bestimmung der Steigung des Einfallsstrahls und des Ausfallstrahls (durch den anderen Brennpunkt) :
e:=sqrt(a^2-b^2): # Exzentrizitaet
m:=ys/(xs+e); # Steigung des Einfallsstrahls
mr:=ys/(xs-e); # Steigung des Ausfallstrahls

2.3. Bestimmung des Einfall- und Ausfallwinkels ( =Winkel zwischen Strahl und Normale)

`>` f1 := D(f);
m_Normale := -1/f1(xs);
Einf_Winkel:= simplify(arctan((m_Normale-m)/(1+m_Normale*m)));
Ausf_Winkel:=simplify(arctan((mr-m_Normale)/(1+m_Normale*mr)));

Ergebnis:

Der Einfalls- und Ausfallwinkel ist also jeweils gleich groß, nämlich

`>` Einfallswinkel=Einf_Winkel;
Ausfallwinkel=Ausf_Winkel;

`>`

Teil 3

Im dritten Teil wird die Aufgabenstellung für eine allgemeine Ellipse sowie einen beliebigen Einfallsstrahl mit dem Spiegelpunkt S(xs;ys) realisiert:

3.1. Gegebene Objekte:

`>` xs:='xs'; # x-Koordinate des Spiegelpunkts
assume(-a<xs,xs<a);
a:='a':b:='b': # Halbachsen der Ellipse
f:=x->b*sqrt(1-x^2/a^2); # Ellipsengleichung
ys:=f(xs); # y-Koordinate des Spiegelpunkts
k:=b/a; # Streckfaktor der Ellipse

3.2. Bestimmung der Steigung des Einfallsstrahls und des Ausfallstrahls (durch den anderen Brennpunkt) :
e:=sqrt(a^2-b^2): # Exzentrizitaet
m:=ys/(xs+e); # Steigung des Einfallsstrahls
mr:=ys/(xs-e); # Steigung des Ausfallstrahls

3.3. Bestimmung des Einfall- und Ausfallwinkels ( =Winkel zwischen Strahl und Normale)

`>` f1 := D(f);
m_Normale := -1/f1(xs);
tan_Einf_Winkel:= simplify((m_Normale-m)/(1+m_Normale*m));
tan_Ausf_Winkel:=simplify((mr-m_Normale)/(1+m_Normale*mr));
is (tan_Einf_Winkel=tan_Ausf_Winkel);

Ergebnis:

Der Einfalls- und Ausfallwinkel ist also jeweils gleich groß, nämlich

`>` tan_von_Einfallswinkel=tan_Einf_Winkel;
tan_von_Ausfallwinkel=tan_Ausf_Winkel;
is (tan_Einf_Winkel=tan_Ausf_Winkel);

`>`

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Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Parabel

Mit Hilfe der Prozedur brennpar werden parallel einfallende Strahlen gezeichnet und deren Reflexion an der Parabel graphisch dargestellt.

`>` k :=10; # Form der Parabel
Strahlen:=18; # Anzahl der Strahlen
Dicke :=1; # Liniendicke der Strahlen

`>` brennpar(k,Strahlen,Dicke);

Animation !

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Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Ellipse

Mit Hilfe der Prozedur brennell werden eine Ellipse, von einem Brennpunkt ausgehende Strahlen und deren Reflexionsstrahlen an der Parabel graphisch dargestellt.

`>` k :=3/5;# Form der Ellipse ( = b/a )
Strahlen:=18; # Anzahl der Strahlen
Dicke :=1; # Liniendicke der Strahlen

`>` brennell(k,Strahlen,Dicke);

Animation !

`>`

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Visualisierung der Gärtnerkonstruktion

Die Prozedur gaertner zeichnet in einer Animation die Gärtner-Konstruktion einer Ellipse nach.

`>` Bilder := 100; # Anzahl der Schritte fuer einen Umlauf

`>` gaertner(Bilder);

Animation !

`>`

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Herleitung der Gärtnerkonstruktion aus der Ellipsengleichung

Eine Ellipse ist gegeben durch die Gleichung .

Aus den Werten der Halbachsen a und b lässt sich zunächst die Lage der Brennpunkte bestimmen. und .

Zu zeigen ist jetzt, dass die Länge des Polygonzugs stets konstant ist.

`>` b:=3;a:=5;
f:=x->b*sqrt(1-x^2/a^2);
e:= sqrt(a^2-b^2);

Länge der Strecke bzw. der Strecke :

`>` L1 := sqrt( (x+e)^2 + f(x)^2 );
L2 := sqrt( (x-e)^2 + f(x)^2 );

Die Streckensumme beträgt also:

`>` L:=L1+L2;
assume(-a<=x,x<=a);
simplify(L,sqrt);

Diese Streckensumme ist also unabhängig vom gewählten Punkt auf der Ellipse stets gleich.

`>`

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Herleitung der Parabelgleichung aus der Leitgeradeneigenschaft

Gegeben seien die Gerade g und der Punkt F.

Gesucht sind diejenigen Punkte P(x,y), deren Abstand zu diesen beiden Objekten gleich ist.

1. Fall: (Standardfall): F(0,2), g: y=-2

`>` x:='x';
xF:=0 : yF:=2: # Koordinaten von F
m :=0 : c :=-2: # Stg und Achsenabschnitt von g
g :=x-> m*x+c: # Achsenabschnitt der Parallelen zur x-Achse

`>` # Abstand des Punktes P zur Geraden g
Abst1 := (y-g(x))/sqrt(1+m^2); # Verwendung der HNF!

`>` # Abstand des Punktes zu F
Abst2 := sqrt( (y-yF)^2 + (x-xF)^2 );

`>` yL:=solve (Abst1 = Abst2 , y);

`>` with(plottools):
p1:=plot ([g(x),yL], x=-4+xF..4+xF, color=[blue,black,black], scaling=constrained):
p2:=point([xF,yF], color=red,thickness=3, symbol=BOX):
display([p1,p2]);

2. Fall: (verschobene Parabell): F(2,2), g: y=-1
xF:=2 : yF:=2: # Koordinaten von F
m :=0 : c :=-1: # Stg und Achsenabschnitt von g
g :=x-> m*x+c: # Achsenabschnitt der Parallelen zur x-Achse

`>` # Abstand des Punktes P zur Geraden g
Abst1 := (y-g(x))/sqrt(1+m^2); # Verwendung der HNF!

`>` # Abstand des Punktes zu F
Abst2 := sqrt( (y-yF)^2 + (x-xF)^2 );

`>` yL:=solve (Abst1 = Abst2 , y);

`>` p1:=plot ([g(x),yL], x=-4+xF..4+xF, color=[blue,black,black], scaling=constrained):
p2:=point([xF,yF], color=red,thickness=2, symbol=BOX):
display([p1,p2]);

3. Fall: (Leitgerade nicht parallel zur x-Achse): F(-2,2), g: y=2x-2
xF:=-2: yF:=2: # Koordinaten von F
m :=2 : c:=-2: # Stg und Achsenabschnitt von g
g :=x-> m*x+c: # Achsenabschnitt der Parallelen zur x-Achse

`>` # Abstand des Punktes P zur Geraden g
Abst1 := (y-g(x))/sqrt(1+m^2); # Verwendung der HNF!

`>` # Abstand des Punktes zu F
Abst2 := sqrt( (y-yF)^2 + (x-xF)^2 );

`>` yL:=solve (Abst1 = Abst2 , y);
y=op(1,[yL]);
y=op(2,[yL]);

`>` p1:=plot ([g(x),yL], x=-4+xF..4+xF+3*m, color=[blue,black,black], scaling=constrained):
p2:=point([xF,yF], color=red,thickness=2, symbol=BOX):
display([p1,p2]);

`>`

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Visualisierung der Leitgeraden bei der Parabel

Auf einer Parabel liegen alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt F (Brennpunkt) und einer Geraden g (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.

Die Prozedur anileitg stellt diesen Sachverhalt in einer kleinen Animation dar.

`>` a := 1/8; # Parameter fuer die Parabel
n := 50; # Anzahl Bilder fuer die Animation

`>` anileitg ( a, n );

Animation !

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Visualisierung der Tangenteneigenschaft bei der Ellipse

Legt man die Tangente an eine Ellipse, dann ist diese Winkelhalbierende der beiden Geraden durch den Berührpunkt und einen Brennpunkt.

Diese Eigenschaft kann man zur Konstruktion von Ellipsentangenten ausnutzen: Man trägt von einem Brennpunkt aus eine Strecke der Länge 2a ab.

Die Mittelsenkrechte der Strecke mit den Endpunkten und dem Ende der abgetragenen Strecke ist dann eine Tangente an die Ellipse.

Die Prozedur anielli visualisiert diese Eigenschaft der Ellipsentangente.

`>` a:=5; b:=3; # Halbachsen der Ellipse ( b < a )
n:=50; # Anzahl Bilder fuer die Animation

`>` anielli(a,b,n);

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