Überblick

Differentialgleichungen werden zur Beschreibung von Vorgängen in Natur und Technik verwendet. Dabei sind die meisten Gleichungen nicht analytisch lösbar, so dass auf numerische Verfahren zurückgegriffen wird. Bekannte numerische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen sind das Euler-Verfahren oder auch das Verfahren nach Runge-Kutta. Den numerischen Verfahren ist gemein, dass sie naturgemäß nicht den kontinuierlichen Verlauf betrachten, sondern statt dessen den Differentialquotienten überführen zu einem Differenzenquotienten. Dabei wird die unendlich kleine Zeitdifferenz dt zu einem durchaus nicht gegen Null gehenden . Aus der kontinuierlichen Differentialgleichung ist eine diskrete Beschreibung geworden. Hier muss Vorsicht walten, denn das charakteristische Verhalten eines Systems kann sich durch diese Umwandlung in eine diskrete Beschreibung grundlegend verändern. Wird die logistische Gleichung als Differentialgleichung geschrieben, so ergibt sich ein kontinuierlicher Anstieg der Populationsgröße bis die Sättigung bei 100% erreicht ist. Nur die diskrete Beschreibung dieser Gleichung zeigt chaotisches Verhalten. Dies sollte zu Denken geben, Differentialgleichungen numerisch von einem Rechner lösen zu lassen, ohne sich viele Gedanken über mögliche prinzipielle Fehler durch das angewandte Rechenverfahren zu machen!

Diese Schwierigkeiten führten zur Entwicklung der numerischen Stabilitätsanalyse. Dabei wird u.a. untersucht, wie klein gewählt werden muss, um beim Beispiel der logistischen Gleichung Konvergenz gegen die Sättigung 100%, also 1, zu erreichen. Im Rahmen dieser Ausarbeitung wird auf diese Stabilitätsbetrachtungen nicht weiter eingegangen und vorausgesetzt, dass für die numerische Berechnung des Oszillatorverhaltens klein genug gewählt wurde.
Bei den Betrachtungen zur logistischen Gleichung wurde der Begriff Sensitivität eingeführt. Sensitivität kann über die Zeitreihen zweier sich nur geringfügig unterscheidenden Startwerte und die Differenz der Zeitreihen leicht erkannt werden. Liegt Sensitivität vor, so muss die Abweichung die Größe der eigentlichen Zeitreihen erreichen. Das folgende Bild zeigt die Zeitreihe für eine Anfangsauslenkung 0.3, darauffolgend das Bild für eine Anfangsauslenkung von 0.301 und schließlich die Differenz zwischen beiden Zeitreihen.

Inhaltsverzeichnis

Anwendung der Begriffe auf den Duffing-Oszillator
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Anwendung der Begriffe auf den Duffing-Oszillator

`>` ds:=v: # erstes DG-System
`>` dv:=-c*v+b*s-a*s^3+A*sin(wE*t):
`>
``>` ds_2:=v_2: # zweites DG-System
`>` dv_2:=-c*v_2+b*s_2-a*s_2^3+A*sin(wE*t):
`>
``>` a:=0.53:b:=0.2:c:=0.04:A:=0.4:wE:=0.19: # gemeinsame Parameter
`>
``>` s_0:=0.3:s_0_2:=0.301:Dauer:=400:Aufloesung:=2000:
`>` DGdiff(ds,dv,ds_2,dv_2,s_0,s_0_2,Dauer,Aufloesung,0);

Die Bilder der Prozedur DGdiff zeigen deutlich: Es liegt Sensitivität vor. Es dauert jedoch einige Iterationsschritte bis die Abweichung der Anfangsbedingungen zur Signalgröße angewachsen ist. Es mag auf den ersten Blick verwunderlich erscheinen, dass die Abweichung manchmal mehr als die Signalgröße beträgt. Dies liegt einfach daran, dass hier im Gegensatz zur logistischen Gleichung auch negative Werte in den Zeitreihen auftreten, die Abweichung jedoch als Betrag angegeben ist.
Für die logistische Gleichung ergab sich bei Variation des Parameters r das Feigenbaum-Endzustandsdiagramm. Wird beispielsweise der Parameter b variiert erhält man ein Feigenbaum-Diagramm, das dem der logistischen Gleichung sehr ähnelt. Dies zeigt, dass Chaos zwar chaotisch sein mag aber nicht ohne Regelmäßigkeit. Der Weg ins Chaos über Bifurkation, die Periodenverdopplung, wie sie auch bei der logistischen Gleichung auftrat, scheint universeller Natur zu sein.
Für die logistische Gleichung wurde der Begriff Attraktor eingeführt. Auch bei der Duffing-Gleichung existieren Attraktoren, wobei hier jedoch wesentlich komplexere Strukturen zugrunde liegen, was durchaus einzusehen ist, da verschiedene Werte für 5 Parameter gewählt und kombiniert werden können. Zur Duffing-Gleichung sind deshalb eingehende numerische Studien in den frühen 80er Jahren durchgeführt worden, z.B. durch Ueda .

Bei der Betrachtung des Verhaltens der Duffing-Gleichung kommt man nicht umhin, den Begriff des "seltsamen Attraktors" zumindest zu streifen. Früher ging man davon aus, dass sich Systeme mit Reibung auf gewisse Punkte oder Grenzzyklen einpendeln, denen wir auch im Kapitel 2 über Oszillatoren begegnet sind. Es gibt jedoch im Gegensatz dazu sogenannte seltsame Attraktoren. Durch sie wird wie durch einen Grenzzyklus, das Langzeitverhalten von Systemen beschrieben. Sie haben eine komplexe, chaotische Struktur. Intuitiv sind die seltsamen Attraktoren eigentlich nicht verstehbar, sondern nur mit Hilfe ausgefeilter mathematischer Methodik.

Bei den numerischen Untersuchungen zur Duffing-Gleichung wurde erkannt, dass mehrere Attraktoren nebeneinander existieren können. Dabei interessiert, welche Anfangsbedingungen von welchem Attraktionsgebiet angezogen werden. Es hängt damit auch von den Anfangsbedingungen ab, ob sich chaotisches Verhalten ergibt oder nicht, je nachdem zu welcher Art von Attraktor der Bereich der gewählten Anfangsbedingungen gezogen wird. Ist er seltsam, so tritt chaotisches Verhalten auf, ansonsten nicht.
Die Erforschung der Charakteristika von seltsamen Attraktoren ist aktueller Forschungsgegenstand. In den verschiedensten Disziplinen werden die Möglichkeiten diskutiert, die sich durch die Beschreibung von Systemen aller Art mittels seltsamer Attraktoren ergeben. Dies zieht sich von den "harten" Naturwissenschaften, der Physik und Chemie, über die Neurowissenschaften hinein in die Soziologie und die Volks- und Betriebswirtschaftslehre (11).
Der erste seltsame Attraktor, der in der Wissenschaft gefunden wurde, war der Lorenz-Attraktor, der von dem mathematisch bewanderten Meteorologen Lorenz in einem Modell für das Wettergeschehen gefunden wurde. Lorenz konnte zeigen, dass sich ein primitives System aus drei Differentialgleichungen bereits chaotisch verhalten kann. Unglücklicherweise geriet der Bericht in Vergessenheit, so dass bis zur weiterern tiefergehenden Untersuchung Jahre vergingen.

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