Überblick

Bestimmung der Fläche des krummlinigen Trapezes durch Grenzübergang auf unendlich viele Intervalle

Der Inhalt eines krummlinigen Trapezes wird durch Approximation der Mittenrechtecksflächen bestimmt.

In einer Animation wird die Konvergenz dieser Approximation gegen einen Grenzwert mit zunehmender Intervallzahl visualisiert.

In einem zweiten Schritt wird die Fläche für eine beliebige Intervallzahl n bestimmt und im Grenzübergang die Entdeckung des Hauptsatzes vorbereitet.

Inhalt

- Visualisierung der Approximation durch Mittenrechtecke
- Flächenabschätzung für beliebige Intervallzahlen und Grenzübergang bei festen Intervallgrenzen
- Flächenabschätzung für beliebige Intervallzahlen und Grenzübergang bei variabler (rechter) Intervallgrenze

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Visualisierung der Approximation durch Mittenrechtecke

Die Prozedur Mittenrechtecke erstellt eine Animation, in der ein krummliniges Trapez in n äquidistante Streifen eingeteilt wird und über jedem Streifen das Rechteck, dessen Breite der Breite des Streifens und dessen Höhe dem Funktionswert in der Mitte des Streifens entspricht, gezeichnet wird)

`>` f:=x->x*(6-x)^2; # Funktionszuweisung
Bereich:=0..6: # Grenzen des Gesamtintervalls
Teilung := [2,4,6,8,10,12,16,20,25,40,70,100,250,600]; # Zahl der Intervalle fuer die # Animation

`>` Mittenrechtecke(f,Bereich,Teilung);

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Flächenabschätzung und Grenzübergang bei festen Intervallgrenzen

Die Prozedur Hauptsatz bestimmt für eine beliebige Zahl k von Teilintervallen die Fläche der Mittenrechtecke.

Durch Grenzübergang für wird die Fläche unter der Kurve bestimmt.

Hinweis: Hier kann das Intervall nach Belieben verändert werden!

`>` f:=x->x*(6-x)^2; # Funktionszuweisung

`>` Hauptsatz ( f, 0..6 );

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Flächenabschätzung und Grenzübergang bei variabler rechter Grenze

Die Prozedur Hauptsatz bestimmt für eine beliebige Zahl k von Teilintervallen die Fläche der Mittenrechtecke.

Durch Grenzübergang für wird die Fläche unter der Kurve bestimmt.

Wählt man hierbei das Gesamtintervall z.B. I=[0;b], dann lässt sich anhand der entstehenden Ergebnisse der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung "entdecken".

Hinweis: Hier kann die Funktion f nach Belieben verändert werden!

`>` f:=x->x^2+5; # Funktionszuweisung
b:='b':

`>` Hauptsatz ( f, 0..b );

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