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`>` restart:
with(plots):with(student): with(intutils);

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Überblick

Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Fläche eines krummlinigen Trapezes (über Unter- und Obersumme) .
In diesem Arbeitsblatt werden die im Arbeitsblatt integ1.mws graphisch erläuterten Überlegungen in eine konkrete rechnerische Abschätzung umgesetzt.
Dieser Block kann dazu verwendet werden, die Intervallschachtelung zu verdeutlichen, die durch Aufbau immer feinerer Teilungen für die Untersumme und Obersumme der Rechteckflächen entsteht. Damit wird die Existenz eines Grenzwertes für die Fläche des krummlinigen Trapezes motiviert.

Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Über das Inhaltsverzeichnis, das als Link den Sprung zu den vier Teilen ermöglicht, kann - nach Aufruf der ersten Sektion (Laden der Bibliothek) - an jede der vier möglichen Einsprungstellen gegangen werden.

Bitte beachten: Innerhalb jeden Paragraphs (Graphik, Abschätzung und Näherung) müssen die einzelnen Befehle der Reihe nach abgearbeitet werden, da einige Befehle abhängig von zuvor aufgerufenen Programmteilen sind.

Die Variablen f, a, b, n und k können , wenn sie durch einen anschließenden Kommentar ( #-Zeichen) erläutert sind, an diesen Stellen modifiziert werden.

Einige, entsprechend markierte Plots sind als Animationen vorbereitet. Diese können schrittweise ausgelöst werden, wenn man in der Symbolleiste auf klickt. Die Symbolleiste ist allerdings erst sichtbar, wenn vorher auf den Plot geklickt worden ist.

Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Fläche
(Unter- und Obersumme)

Gehen wir die vorhergehenden graphischen Überlegungen der Abschätzung der Fläche des krummlinigen Trapezes durch Rechteckflächen jetzt quantitativ durch!

Um eine exakte Abschätzung der Fläche des krummlinigen Trapezes durchführen zu können, muss das gesamte Intervall in Teilintervalle geteilt werden und in jedem Teilintervall der minimale und maximale Funktionswert bestimmt werden. Diese Abschätzung wird im folgenden für immer mehr Intervalle durchgeführt.

Zunächst nochmals zur Erinnerung die entsprechenden Schaubilder:

Einteilung der Fläche in mehrere Streifen:

(Die Prozedur Flaeche teilt ein krummliniges Trapez in n äquidistante Streifen ein)

`>` f:=x->x*(6-x)^2; # Funktionsdefinition

`>` a:=0;b:=6;n:=4: # Intervallgrenzen und Anzahl der Streifen

`>` Intervallbreite := (b-a) / n ;

`>` Flaeche(f,a,b,n);

`>`

Betrachtung des k. Streifens:

(Die Prozedur Unterflaeche teilt ein krummliniges Trapez in n äquidistante Streifen ein, hebt einen Streifen farbig hervor und schätzt dessen Fläche durch Rechtecke nach oben und unten ab)

`>` k:=2: # Nummer des betrachteten Streifens

`>` lprint(`Nummer des betrachteten Streifens:`,k);

`>` Unterflaeche(f,a,b,n,k);

Nummer des betrachteten Streifens: 2

`>`

In diesem Streifen wird jetzt rechnerisch der minimale bzw. maximale Funktionswert sowie durch Multiplikation dieser Werte mit der Intervallbreite die daraus abgeleitete Unter- bzw. Obergrenze für die Fläche des Streifens bestimmt:

(Die Prozedur Abschaetzung schätzt die Fläche eines krummlinigen Trapezes mittels Einteilung in n äquidistante Streifen durch Rechtecke nach oben und unten ab)

`>` Abschaetzung(f,a,b,n,k,k);

Funktionsterm: x*(6-x)^2

Gesamtintervall: [0, 6]

Einteilung in: 4 Intervalle

2 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 27.

Maximaler Funktionswert : 32.

Untere Grenze fuer die Flaeche: 40.50000000

Obere Grenze fuer die Flaeche: 48.

`>`

Diese Abschätzung wird nun für die anderen Intervalle analog durchgeführt sowie über alle Teilflächen die Summe gebildet und damit eine untere und obere Abschätzung für die Fläche des krummlinigen Trapezes gewonnen:

(Die Prozedur Abschaetzung schätzt die Fläche eines krummlinigen Trapezes mittels Einteilung in n äquidistante Streifen durch Rechtecke nach oben und unten ab)

`>` Abschaetzung(f,a,b,n,1,n);

Funktionsterm: x*(6-x)^2

Gesamtintervall: [0, 6]

Einteilung in: 4 Intervalle

1 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 0

Maximaler Funktionswert : 30.37500000

Untere Grenze fuer die Flaeche: 0

Obere Grenze fuer die Flaeche: 45.56250000

2 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 27.

Maximaler Funktionswert : 32.

Untere Grenze fuer die Flaeche: 40.50000000

Obere Grenze fuer die Flaeche: 48.

3 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 10.12500000

Maximaler Funktionswert : 27.

Untere Grenze fuer die Flaeche: 15.18750000

Obere Grenze fuer die Flaeche: 40.50000000

4 .Intervall

Minimaler Funktionswert: 0

Maximaler Funktionswert : 10.12500000

Untere Grenze fuer die Flaeche: 0

Obere Grenze fuer die Flaeche: 15.18750000

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 4 :

Untere Grenze fuer die Flaeche: 55.68750000

Obere Grenze fuer die Flaeche: 149.2500000

`>`

Die Genauigkeit der Abschaetzung kann erhoeht werden, indem man die Gesamtflaeche in mehr Teilflaechen einteilt:

`>` n:=20:Abschaetzung(f,a,b,n,1,n);

Funktionsterm: x*(6-x)^2

Gesamtintervall: [0, 6]

Einteilung in: 20 Intervalle

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 20 :

Untere Grenze fuer die Flaeche: 98.14770000

Obere Grenze fuer die Flaeche: 117.3300000

`>` n:=100:Abschaetzung(f,a,b,n,1,n);

Funktionsterm: x*(6-x)^2

Gesamtintervall: [0, 6]

Einteilung in: 100 Intervalle

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 100 :

Untere Grenze fuer die Flaeche: 106.0693445

Obere Grenze fuer die Flaeche: 109.9090555

`>` n:=1000:Abschaetzung(f,a,b,n,1,n);

Funktionsterm: x*(6-x)^2

Gesamtintervall: [0, 6]

Einteilung in: 1000 Intervalle

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 1000 :

Untere Grenze fuer die Flaeche: 107.8078921

Obere Grenze fuer die Flaeche: 108.1918919

`>` n:=5000:Abschaetzung(f,a,b,n,1,n); # Achtung: auf langsamen Rechnern
# recht zeitintensiv!

Funktionsterm: x*(6-x)^2

Gesamtintervall: [0, 6]

Einteilung in: 5000 Intervalle

Summarische Abschaetzung der Intervalle Nr. 1 bis 5000 :

Untere Grenze fuer die Flaeche: 107.9615957

Obere Grenze fuer die Flaeche: 108.0383957

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