Überblick

In dieser Arbeit werden einfache Beispiele besprochen und dabei diskutiert, dass ganz einfache Systeme ein unglaublich komplexes Verhalten aufzeigen können, das die Wissenschaft immer noch in Atem hält. Wir werden von einigen Überlegungen zu grundlegenden Begriffen und Anschauungen ausgehen, z.B. der Frage nachgehen, was denn "deterministisches Chaos" ist. In Kapitel 2 wird ausgehend vom harmonischen Oszillator durch Hinzufügen weiterer, realerer Eigenschaften der Weg ins Chaos beschritten. In Kapitel 3 werden grundlegende Begriffe und Darstellungen anhand eines sehr einfachen Beispiels diskutiert, die in Kapitel 4 teilweise auf die zuvor besprochenen Oszillatoren angewendet werden. Die Visualisierung erfolgt durch mehrere Maple-Prozeduren. animatDG liefert eine graphische Animationen des Verhaltens von Oszillatoren, die durch zwei Differentialgleichungen v'=f(s,v,t) und s'=v beschrieben werden und die Prozedur visualDG liefert die zugehörige, nichtanimierte Graphik. Die Prozedur DGdiff stellt die Differenz der Zeitreihen von Differentialgleichungen für 2 unterschiedliche Startwerte dar. Die Prozedur logistischeGleichung gibt eine graphische Darstellung der Zeitreihen der logistischen Gleichung und die Differenz von Zeitreihen für zwei verschiedene Startwerte an. Schließlich werden zwei Prozeduren Iteriere2 und Feigenbaum aus dem Paket newfeig benutzt.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung
Vom linearen, ungedämpften Masse-Feder-Schwinger zum chaotischen Oszillator
Beschreibung von Chaos
Anwendung der Begriffe auf den Duffing-Oszillator
Ausblick
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Einleitung

Deterministisches Chaos. Beim Begriff Chaos wird meist an völlige Unordnung ohne jede Struktur gedacht: ein unaufgeräumtes Studentenzimmer wird als chaotisch bezeichnet, Chaoten gelten als völlig regel- und zügellose Personen. Dieses populäre Verständnis von Chaos ist im wesentlich historisch begründet und schlichtweg falsch. Dass auch ein determiniertes System, das durch Differentialgleichungen beschrieben wird, chaotisches Verhalten zeigen kann, ist eine Erkenntnis, die erst in der jüngsten Gegenwart erfasst und beschrieben wurde. Sie hängt eng mit dem Kausalitätsbegriff zusammen.

Starke und schwache Kausalität. In der klassischen Physik herrscht das streng deterministische Kausalitätsprinzip. Dieses besagt, dass jedes Ereignis auf ein Ursache in der Vergangenheit zurückgeführt werden kann und jede Ursache ein Ereignis in der Zukunft zur Folge hat. Der französische Mathematiker und Astronom Laplace formulierte: "Gleiche Ursachen haben gleiche Wirkungen". Diese Annahme wird als schwache Kausalität bezeichnet, die mathematisch durch Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssysteme beschrieben wird. Bei gleichen Anfangsbedingungen verhält sich das System immer gleich, es ist deterministisch.

Es war ebenfalls Laplace, der den Gedanken eines Dämons, einer übernatürlichen Intelligenz ersann, der durch Kenntnis des Orts und der Geschwindigkeit aller Atome sowohl die Zukunft vorhersagen als auch die uns nicht bekannte Vergangenheit berechnen könne. Diese Idee vom Laplace'schen Dämon prägte das Denken von Wissenschaftlern bis heute. Die Ansicht, man müsse nur genau genug die Umstände und Anfangsbedingungen messen und bestimmen, um eine perfekte Vorhersage treffen zu können, ist immer noch weit verbreitet, trifft jedoch in der realen, dynamischen, nichtlinearen, chaotischen Welt nie zu.
In der klassischen Physik wurde noch eine weitere Annahme zwar nie so deutlich formuliert, jedoch immer stillschweigend angenommen. Diese als starkes Kausalitätsprinzip bezeichnete Annahme kann man in dem einfachen Satz zusammenfassen: "Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen". Die Forderung nach der Reproduzierbarkeit eines klassischen Experiments zeigt die implizite Anerkennung des starken Kausalitätsprinzips in der Wissenschaft. Da jede auch noch so genaue Messung einen, wenn auch kleinen Fehler hat, bedeutet dies, dass Reproduzierbarkeit nur dort gefordert werden kann, wo dieses Prinzip gilt.
Die mögliche Existenz eines Laplace'schen Dämons und die universelle Gültigkeit des starken Kausaltiätsprinzips wurde erstmals durch die Quantentheorie, spezieller der Heisenberg'schen Unschärferelation, widerlegt. Die Unschärferelation sagt aus, dass im atomaren Bereich nicht gleichzeitig Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens bekannt sein können, es sind lediglich statistische Aussagen möglich. Damit ist die grundlegende Eigenschaft des Dämons in Frage gestellt, von allen Teilchen den Ort und die Geschwindigkeit zu kennen.
Die Chaostheorie zeigt auch für den makroskopischen Bereich, dass das starke Kausalitätsprinzip nur im Spezialfall gilt.

Vom linearen, ungedämpften Masse-Feder-Schwinger zum chaotischen Oszillator

Dieser Abschnitt führt zu einem ersten Kontakt mit chaotischem Verhalten und seinen Eigenarten. Es werden Oszillatoren verschiedener Art simuliert. Ausgehend von dem einfachen harmonischen Oszillator werden Schritt für Schritt die Differentialgleichungen zur Beschreibung der Systeme ausgebaut, bis schließlich chaotisches Verhalten beobachtet werden kann.
Hinein ins Chaos!

Beschreibung von Chaos

Hier sollen Methoden und Instrumente besprochen werden, mit denen chaotisches Verhalten sowohl qualitativ als auch quantitativ beschrieben werden kann. Es werden Begrife wie z.B. die Sensitivität und der Ljapunov-Exponent, die Mischungseigenschaft und ergodische Bahnen anhand der logistischen Gleichung erklärt. Dies führt auch auf die Begriffe eines Attraktors bzw. dem zyklischen Verhalten.
Beschreibung von Chaos

Anwendung der Begriffe auf den Duffing-Oszillator

Im zweiten Kapitel wurde ausgehend von dem einfachen harmonischen Oszillator ohne Dämpfung der Duffing-Oszillator betrachtet, der je nach gewählten Parametern chaotisches Verhalten zeigen kann. Sein Verhalten wird durch eine Differentialgleichung beschrieben. In Kapitel 3 wurde dann die logistische Gleichung als diskretes System genauer untersucht und verschiedene Begriffe, Größen und Diagramme zur Beschreibung von Chaos eingeführt. Doch wie hängen diskrete Systeme mit Anordnungen zusammen, die durch Differentialgleichungen beschreibar sind? Können die für die logistische Gleichung erarbeiteten Begriffe auch auf die als Einstieg besprochenen Oszillatoren verwendet werden?
Anwendung der Begriffe auf den Dufffing-Oszillator

Ausblick

In Kapitel 2 wurde mit einfachen, altbekannten Oszillatoren begonnen, in Richtung Chaos aufzubrechen. Es wurden Terme für Reibung und für periodische Anregung hinzugefügt. Durch Einfügen eines einzigen nichtlinearen Terms ergab sich ein weitaus komplexerer Grenzzyklus, durch geeignete Parameterwahl chaotisches Verhalten.

Es ist erstaunlich, wie einfach eine Differentialgleichung aussehen kann und was für eine Dynamik ein System entwickeln kann, das gerade durch diese einfach scheinende Gleichung beschrieben wird. Noch erstaunlicher ist es, dass erst seit ein paar Jahrzehnten diese Effekte erforscht und besser verstanden, ja überhaupt erst als Phänomene wahrgenommen werden. Dies steht sicher auch mit der Tatsache im Zusammenhang, dass leistungsfähige Rechenmaschinen erst seit dieser kurzen Zeit zur Verfügung stehen. Ein Feigenbaum-Diagramm ist ohne Computer nicht zu erstellen und benötigt selbst heute noch einige Rechenzeit. Damit stand zuvor das Werkzeug für die Untersuchung von Chaos gar nicht zur Verfügung.
Die Chaostheorie, die Beschreibung von chaotischen Systemen führte zu einer Welle der Euphorie. Durch die gefundenen Methoden sollten viele ungeklärten Phänomene in Natur und Technik aufgehellt und mathematisch beschreibbar gemacht werden. Heute sieht man die gewonnenen Erkenntnisse wesentlich nüchterner, da sich nach und nach zeigt, dass eben die Welt in der wir leben, unglaublich komplex ist. Die Bedeutung der verschiedenen Gesetzmäßigkeiten, die gerne als "Chaostheorie" zusammengefaßt werden, ist jedoch unbestritten. Sie haben das Weltbild und den Blickwinkel von vielen Menschen verändert und erweitert und hoffentlich zu einem kritischeren Umgang mit wissenschaftlichen Paradigmen und Prinzipien geführt. Jedoch auch die Methoden für die Beschreibung von chaotischen Systemen können nur ein paar wenige weitere Mosaiksteine in unserem unvollkommenen Bild von der Wirklichkeit sein.
Diese Arbeit soll mit einem Zitat von Leon O. Chua schließen (1):

" In der Geschichte von Wissenschaft und Technik hat es niemals ein derart allgegenwärtiges Phänomen gegeben, niemals solch ein universelles Paradigma oder einen Bereich, der so interdisziplinär wäre, wie der des Chaos. Bisher steht Chaos lediglich für die Spitze eines gewaltigen Eisbergs, unter dem sich eine wesentlich feinere Struktur von unermeßlicher Komplexität verbirgt, ein geometrisches Labyrinth endloser Verschlingungen und eine surrealistische Landschaft außerordentlicher Schönheit. Das Grundgestein, auf dem dieses Gebiet lokaler sowie globaler Verzweigungen verankert liegt, ist die alles beherrschende Nichtlinearität, die in vergangenen Zeiten von Technikern und Wissenschaftlern aus angewandten Disziplinen bedenkenlos linearisiert wurde, womit sie ihre einzige Gelegenheit eingebüßt haben, sich mit der Realität auseinanderzusetzen."

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Literatur

(1) Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe
Chaos - Bausteine der Ordnung
Rowohlt Taschenbuch Verlag 1998

(2) Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe
Bausteine des Chaos - Fraktale
Rowohlt Taschenbuch Verlag 1998

(3) John Argyris, Gunter Faust, Maria Haase
Die Erforschung des Chaos
Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft 1994

(4) Heinz Georg Schuster
Deterministisches Chaos - eine Einführung
VCH Verlagsgesellschaft 1994

(5) T. Kapitaniak
Chaos for Engineers - Theory, Applications and Control
Springer-Verlag 1998

(6) H . J. Korsch, H.-J. Jodl
Chaos - A Program Collection for the PC
Springer-Verlag 1994

(7) Frank C. Hoppensteadt
Analysis and Simulation of Chaotic Systems
Springer-Verlag 1993

(8) Walter Seifritz
Wachstum, Rückkopplung und Chaos - Eine Einführung in die Welt der Nichtlinearität und des Chaos
Hanser-Verlag 1989

(9) Peter Plaschko, Klaus Brod
Nichtlineare Dynamik, Bifurkationen und chaotische Systeme
Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft 1995

(10) W. Metzler
Nichtlineare Dynamik und Chaos
B. G. Teubner 1998

(11) Klaus Mainzer (Herausgeber)
Komplexe Systeme und nichtlineare Dynamik in Natur und Gesellschaft -
Komplexitätsforschung in Deutschland auf dem Weg in das nächste Jahrtausend
Springer-Verlag 1999

(12) Werner Ebeling
Chaos - Ordnung - Information
Urania-Verlag 1991

(13) http://www.chaos.de : Seite mit Links zu weiteren Seiten über Chaos und Fraktale