Überblick

In diesem Worksheet werden Vektoren im R² und R³ graphisch dargestellt und die elementaren Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Projektion eines Vektors b in Richtung a, Vektorprodukt im R³) mit Vektoren visualisiert. Bis auf den Fall des Vektorproduktes, das ja nur für den R³ definiert ist, stehen immer eine zweidimensionale und eine dreidimensionale Version der entsprechenden Prozedur zur Verfügung, die sich in der Endung durch 2d oder 3d unterscheiden. Grundlegend für alle Darstellungen sind die Prozeduren arrow2d und arrow3d , die skalierbare Vektorpfeile zwischen zwei Punkten zeichnen.

Inhaltsverzeichnis

Die Prozeduren: arrow2d und arrow3d

Darstellung eines Vektors im R² und R³ durch Linearkombination der Einheitsvektoren

Darstellung zweier Vektoren im R² und R³

Darstellung der Addition von Vektoren

Darstellung der Subtraktion von Vektoren

Darstellung der Projektion eines Vektors b in Richtung a

Darstellung des Vektorproduktes (Kreuzprodukt)

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Prozeduren: arrow2d und arrow3d

Die Prozeduren arrow2d und arrow3d stellen für diese Ausarbeitung die grundlegenden Prozeduren dar, da sie 2D bzw. 3D Pfeile zeichnen. Diese beiden Prozeduren werden in jedem weiteren Programmteil benutzt!

2D-Pfeil: arrow2d ist die Prozedur, die den Anfangs- und Endpunkt eines Vektors einliest, den zugehörigen 2D-Pfeil errechnet und ihn graphisch darstellt.
`>` arrow2d([0,1],[1,0], color=blue, small);

3D-Pfeil: arrow3d ist die Prozedur, die den Anfangs- und Endpunkt eines Vektors einliest, den zugehörigen 3D-Pfeil errechnet und ihn graphisch darstellt.
`>` arrow3d([0,0,0],[1,1,1], color=green, big, box);

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Ia.) Darstellung von Vektoren im R² und R³

Definition und Darstellung: Unter Vektoren versteht man Größen, die durch Angabe von Maßzahl und Richtung vollständig beschrieben sind:

Ein 2- oder 3-dimensionaler Vektor ist durch einen Pfeil graphisch in einem Koordinatensystem darstellbar. Die Länge des Pfeils, die die Vektorgröße repräsentiert, heißt der Betrag des Vektors und wird durch Betragsstriche gekennzeichnet:

Die Pfeilspitze legt die Orientierung der Richtung des Vektors fest. Durch Betrag und Richtung ist der Vektor eindeutig bestimmt.

Komponentendarstellung des Vektors a:

a = =

2-dimensionaler Vektor: Der zweidimensionale Vektor (a) wird mit Hilfe der Prozedur Linkom2d durch die Linearkombination der zwei Einheitsvektoren dargestellt.
`>` Linkom2d([2,1]);

3-dimensionaler Vektor: Der dreidimensionale Vektor (a) wird mit Hilfe der Prozedur Linkom3d durch die Linearkombination der drei Einheitsvektoren dargestellt.
`>` Linkom3d([1,2,1]);

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Ib.) Darstellung zweier Vektoren im R² und R³

Darstellung von Vektoren im R²: Die Prozedur Darst2d zeichnet zwei zweidimensionale Ortsvektoren im .
`>` Darst2d([1,1],[2,0]);

Darstellung von Vektoren im R³: Die Prozedur Darst3d zeichnet zwei dreidimensionale Ortsvektoren im .
`>` Darst3d([4,1,4],[3,5,3]);

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II.) Darstellung der Addition von Vektoren

Addition von Vektoren: Zwei Vektoren a und b werden nach der folgenden Vorschrift geometrisch addiert:
1. Der Vektor b wird parallel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfangspunkt in den Endpunkt des Vektors a fällt.
2. Der vom Anfangspunkt des Vektors a zum Endpunkt des verschobenen Vektors b gerichtete Vektor ist der Summenvektor

Addition 2-dimensionaler Vektoren: Die Prozedur Add2d addiert zwei zweidimensionale Vektoren geometrisch im .
`>` Add2d([5,1],[-2,5]);

Addition 3-dimesionaler Vektoren: Die Prozedur Add3d addiert zwei dreidimensionale Vektoren geometrisch im .
`>` Add3d([2,1,3],[3,5,3]);

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III.) Darstellung der Subtraktion von Vektoren

Subtraktion von Vektoren: Unter dem Differenzvektor zweier Vektoren und versteht man den Summenvektor aus und , wobei -b der zu b entgegengesetzte Vektor ist:

+ (-b)

1. Der Vektor b wird zunächst in seiner Richtung umgekehrt: Dies führt zu dem inversen Vektor -b.
2. Dann wird der Vektor -b parallel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfangspunkt in den Endpunkt des Vektors a fällt.
3. Der vom Anfangspunkt des Vektors a zum Endpunkt des verschobenen Vektors -b gerichtete Vektor ist der gesuchte Differenzvektor d = a - b.

Subtraktion 2-dimensionaler Vektoren: Darstellung der Subtraktion zweier zweidimensionaler Vektoren durch die Prozedur Sub2d .
`>` Sub2d([4,4],[-5,5]);

Subtraktion 3-dimesionaler Vektoren: Darstellung der Subtraktion zweier dreidimensionaler Vektoren durch die Prozedur Sub3d .
`>` Sub3d([-1,2,0],[1,1,3]);

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IV.) Darstellung der Projektion eines Vektors b in Richtung a

Unter der Projektion des Vektors b auf den Vektor a versteht man den Vektor

wobei der projizierte Vektor, das Skalarprodukt von Vektor a mit b, das Betragsquadrat von Vektor a und der Vektor a ist. Der Vektor b a wird als die Projektion des Vektors b in Richtung des Vektors a bezeichnet.

Projektion 2-dimensionaler Vektoren: Die Prozedur Projek2d zeigt die Projektion des Vektors b auf den Vektor a im .
`>` Projek2d([2,5],[6,1]);

Projektion 3-dimensionaler Vektoren: Die Prozedur Projek3d bildet die Projektion des Vektors b auf den Vektor a im .
`>` Projek3d([1,2,3],[3,5,3]);

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V.) Darstellung des Vektorproduktes (Kreuzproduktes)

Vektorprodukt (Kreuzprodukt): Unter dem Vektorprodukt c = a x b zweier Vektoren a und b versteht man den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschaften:
1. c ist sowohl zu a als auch zu b orthogonal (senkrecht):
c*a = c*b = 0
( Die Skalarprodukte von und sind 0 => der Winkel zwischen c und a bzw. c und b beträgt 90°.)
2. Der Betrag von c ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren a und b und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels :
= 0° ... 180°
3. Die Vektoren a, b, c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System.

Vektorprodukt: Darstellung des Vektorproduktes x durch die Prozedur Vecprod .
`>` Vecprod([1,-1,0],[0.5,0.5,-0.5]);

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Info: Die Idee für diese Ausarbeitung entstand im Rahmen eines Projektes im Studiengang Sensorsystemtechnik an der Fachhochschule Karlsruhe im WS 1998/99. Das ursprüngliche Projekt wurde von Carsten Klewitz und Matthias Kienzler bearbeitet.

Literatur
T. Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 1)
2. Auflage, Springer-Verlag , Heidelberg 2000