Überblick

Dieses Worksheet stellt eine Einführung in die Visualisierung von Funktionen mit zwei Variablen und einfacher Begriffe für diese Funktionen dar. Zunächst erfolgt die graphische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen durch Standard-Maple-Befehle. Anschließend stellt die Prozedur Part die partiellen Ableitungen einer Funktion in zwei Variablen dreidimensional dar. Die Tangentialebene wird durch die Prozedur tang_ebene visualisiert. Mit den Maple-Befehlen gradplot bzw. gradplot3d können Gradienten einer Funktion mit zwei bzw. drei Variablen als Vektorgraphik dargestellt werden.

Inhaltsverzeichnis

Graphische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen

Darstellung der partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen

Graphische Darstellung der Tangentialebene

Gradient

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Graphische Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen

Maple bietet vielfältige Möglichkeiten zur Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen an. Der grundlegende Befehl ist plot3d . Hierbei müssen nur der Funktionsausdruck sowie der Variablenbereich spezifiziert werden:

Mexikanischer Hut
`>` f:=(x,y)->sin(sqrt(x^2+y^2))/sqrt(x^2+y^2);
`>` plot3d(f(x,y),x=-10..10,y=-10..10);

3D-Darstellung !

Höhenlinien des elektrischen Potentials
Ebenso wie beim ersten Beispiel wird mit dem plot3d -Befehl das elektrostatische Potential eines elektrischen Monopols dargestellt. Die view -Option schränkt dabei den dargestellten Wertebereich ein, axes =boxed erzwingt die Angabe der Koordinatenachsen und title spezifiziert den Titel
`>` Phi:=1/(4*Pi*epsilon)*(q/sqrt(x^2+y^2));
`>` epsilon:=8.8e-12:q:=1.6e-19:

`>` plot3d(Phi, x=-0.001..0.001,y=-0.001..0.001, view=0..0.00001, axes=boxed, title=`el. Monopol`);

3D-Darstellung !

Zusätzlich zum Graphen werden durch die Option style =PATCHCONTOUR Höhenlinien berechnet und eingezeichnet

`>` plot3d(Phi,x=-0.001..0.001,y=-0.001..0.001, view=0..0.00001, axes=boxed, contours=20, style=patchcontour, title=`el. Monopol`);

3D-Darstellung !

densityplot-Befehl bei Funktionen von zwei Variablen
Statt dem Darstellen von Höhenlinien bietet Maple im Paket plots, das mit >with(plots): aktiviert wird, den densityplot -Befehl an, der eine Funktion mit zwei Variablen in Grautönen zweidimensional darstellt. (Alle Graphikbefehle des plots-Pakets können durch >with(plots); sichtbar gemacht werden.) Mit der Option grid wird die Auflösung der Graphk erhöht.
`>` with(plots):
`>` f1:=sin(x*y);

`>` densityplot(f1, x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi, axes=boxed, style=patchnogrid, grid=[60,60]);

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Darstellung der partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen

Die Prozedur Part berechnet die partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen nach x und y und stellt die Funktion zusammen mit der jeweiligen Tangente in einem Schaubild graphisch dar.

Beispielaufruf der Prozedur für die partielle Ableitung nach x . Das zweite Argument 1 veranlasst die partielle Ableitung der Funktion nach der ersten Variablen im Punkte (x0,y0) = (0.2,0.2).
`>` f(x,y) := exp(-x^2-y^2); #Funktion
`>` x0:=0.2: y0:=0.2: #Punkt

`>` Part(f(x,y), 1, [x0,y0]);

3D-Darstellung !

Beispielaufruf der Prozedur für die partielle Ableitung nach y . Das zweite Argument 2 veranlasst die partielle Ableitung nach der zweiten Variablen.
`>` Part(f(x,y), 2, [x0,y0]);

3D-Darstellung !

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Graphische Darstellung der Tangentialebene

Die Prozedur tang_ebene berechnet die partiellen Ableitungen einer Funktion mit zwei Variablen nach x und y und stellt die Funktion zusammen mit der Tangentialebene in einem Schaubild graphisch dar.
`>` f(x,y):=exp(-(x^2+y^2)):
`>` x0:=0.15: y0:=0.15:

`>` tang_ebene(f(x,y), [x0, y0]);

3D-Darstellung !

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Gradient

Mit dem Befehl gradplot bzw. gradplot3d aus dem plots-Paket können Gradienten einer Funktion mit zwei bzw. drei Variablen als Vektorgraphik dargestellt werden.

`>` with(linalg, grad): with(plots):

1. Beispiel: Gesucht ist der Gradinet der 2-dimensionalen Funktion
`>` f1(x,y,z):=x^2*2*y+3*x*sin(y)*z+cos(z)*y^2;
`>` grad( f1(x,y,z), [x,y,z]);

2. Beispiel: Gesucht ist der Gradient und das Gradientenschaubild der 2-dimensionalen Funktion f2
`>` f2:=(x^2+y^2+1)^(1/2);
`>` grad( f2, [x,y]);

`>` gradplot(f2,x=-2..2,y=-2..2, arrows=SLIM, color = x^2+2*y^2+1);

3. Beispiel: Gesucht ist der Gradient und das Gradientenschaubild einer 3-dimensionalen Funktion f3
`>` f3:=(x^2+y^2+z^2+1)^(1/2);
`>` grad( f3, [x,y,z]);

`>` gradplot3d(f3,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2, grid=[10,10,5], axes=boxed);

3D-Darstellung !

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Quelle: Die Grundlage dieser Ausarbeitung stellen die Maple-Worksheets aus Kapitel X (Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen) des Lehrbuchs " Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 2) " , Springer-Verlag Heidelberg 1997, dar. Sie wurden von Matthias Hainz für die CD-ROM "Visualisierung elementarer mathematischer Begriffe" zusammengestellt.

Literatur

T.Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 2)
Springer-Verlag Heidelberg 1997