Überblick

Dieses Worksheet stellt einige kleine Routinen zur Verfügung, die gewisse Eigenschaften der Kegelschnitte verdeutlichen helfen.

In den ersten beiden Teilen dieses Worksheets werden die Kegelschnitte Ellipse und Parabel in einer 3D-Darstellung graphisch visualisiert.

In den nächsten beiden Menüpunkten wird die Brennpunktseigenschaft der Parabel bzw. Ellipse über eine Animation graphisch veranschaulicht.

Anschließend wird die Gärtnerkonstruktion in einer Animation nachvollzogen.

Die nächsten beiden Punkte beschäftigen sich mit der Leitgeradeneigenschaft der Parabel ; zunächst wird diese Leitgerade zusammen mit einem Punkt und die zugehörige Parabel graphisch dargestellt, anschließend wird die Konstruktion von Parabelpunkten über die Leitgeradeneigenschaft über eine Animation graphisch nachvollzogen.

Der letzte Abschnitt erstellt eine Animation zur Konstruktion von Ellipsentangenten (als Winkelhalbierende zwischen den Brennstrahlen).

Inhaltsverzeichnis

- Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Ellipse)
- Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Parabel)
- Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Parabel
- Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Ellipse
- Visualisierung der Gärtnerkonstruktion
- Parabel als geometrischer Ort gleicher Abstände zu einem Punkt und einer Geraden
- Visualisierung der Leitgeraden bei der Parabel
- Visualisierung der Tangenteneigenschaft bei der Ellipse

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Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Ellipse)

Die Prozedur ellbild zeichnet in dreidimensionaler Animation das Bild eines Kegels, der von einer Ebene so geschnitten wird, dass als Schnittkurve eine Ellipse entsteht. Die Anzahl der zu zeichnenden Bildpunkte ist frei wählbar; je größer die Zahl der Bildpunkte umso besser die Auflösung des Bildes, umso länger jedoch auch der Bildaufbau!

`>` Bilder:=15: # optional: Anzahl zu zeichnender Bilder

`>` ellbild(Bilder);

3D-Animation !

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Räumliche Darstellung eines Kegelschnitts (Parabel)

Die Prozedur parbild zeichnet in dreidimensionaler Animation das Bild eines Kegels, der von einer Ebene so geschnitten wird, dass als Schnittkurve eine Parabel entsteht (die Ebene verläuft in diesem Fall parallel zu einer Kegelkante). Die Anzahl der zu zeichnenden Bildpunkte ist frei wählbar; je größer die Zahl der Bildpunkte umso besser die Auflösung des Bildes, umso länger jedoch auch der Bildaufbau!

`>` Bilder:=15: # optional: Anzahl zu zeichnender Bilder

`>` parbild(Bilder);

3D-Animation !

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Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Parabel

Mit Hilfe der Prozedur brennpar werden parallel einfallende Strahlen gezeichnet und deren Reflexion an der Parabel graphisch dargestellt.

`>` k :=1: # optional: Form der Parabel (y=k*sqrt(x))
Strahlen:=18: # optional: Anzahl der Strahlen
Dicke :=2: # optional: Liniendicke der Strahlen
Optionen:=color=blue : # optional: Optionen für die Ausgabe

`>` brennpar(k,Strahlen,Dicke,Optionen);

Animation !

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Visualisierung der Brennpunktseigenschaft der Ellipse

Mit Hilfe der Prozedur brennell werden eine Ellipse, von einem Brennpunkt ausgehende Strahlen und deren Reflexionsstrahlen an der Parabel graphisch dargestellt.

`>` k :=3/5:# optional: Form der Ellipse ( = b/a )
Strahlen:=18: # optional: Anzahl der Strahlen
Dicke :=2: # optional: Liniendicke der Strahlen
Optionen:=color=[blue,red]: # optional: Optionen für die Ausgabe

`>` brennell(k,Strahlen,Dicke,Optionen);

Animation !

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Visualisierung der Gärtnerkonstruktion

Die Prozedur gaertner zeichnet in einer Animation die Gärtner-Konstruktion einer Ellipse nach.

`>` Bilder := 100: # optional: Anzahl der Schritte fuer einen Umlauf
Optionen:=color=[black,black,blue]: # optional: Optionen für die Ausgabe

`>` gaertner(Bilder,Optionen);

Animation !

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Parabel als geometrischer Ort gleicher Abstände zu einem Punkt und einer Geraden

Mit der Prozedur Leitgerade wird nach Übergabe einer Geraden (als Funktion) sowie eines Punktes die Parabel als diejenige Punktmenge mit gleichem Abstand zu diesen beiden Objekten erzeugt und in einem Schaubild dargestellt.

`>` Gerade := x-> 2*x+10: # Gerade (als Funktion)
Punkt := [0,0]: # Punkt
Optionen := view=[-10..10,-10..10],color=green: # optional: Optionen fuer Zeichnung
# z.B. Zeichenbereich

`>` Leitgerade (Gerade,Punkt,Optionen);

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Visualisierung der Leitgeraden bei der Parabel

Auf einer Parabel liegen alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt F (Brennpunkt) und einer Geraden g (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.

Die Prozedur anileitg stellt diesen Sachverhalt in einer kleinen Animation dar.

`>` a := 1/8: # optional: Parameter fuer die Parabel
n := 50: # optional: Anzahl Bilder fuer die Animation
Optionen:=color=[blue,red,black,maroon,brown]: # optional: Optionen für Ausgabe

`>` anileitg ( a, n , Optionen);

Animation !

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Visualisierung der Tangenteneigenschaft bei der Ellipse

Legt man die Tangente an eine Ellipse, dann ist diese Winkelhalbierende der beiden Geraden durch den Berührpunkt und einen Brennpunkt.

Diese Eigenschaft kann man zur Konstruktion von Ellipsentangenten ausnutzen: Man trägt von einem Brennpunkt aus eine Strecke der Länge 2a ab.

Die Mittelsenkrechte der Strecke mit den Endpunkten und dem Ende der abgetragenen Strecke ist dann eine Tangente an die Ellipse.

Die Prozedur anielli visualisiert diese Eigenschaft der Ellipsentangente.

`>` a:=5: b:=3: # optional: Halbachsen der Ellipse ( b < a )
n:=50: # optional: Anzahl Bilder fuer die Animation

`>` Optionen:=color=[black,black,red,red,blue,maroon]: # optional: Optionen für Ausgabe

`>` anielli(a,b,n,Optionen);

Animation !

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