Überblick

Durch Messungen, welche die Abhängigkeit einer Größe y von einer anderen Größe x ermittelt, seien n Wertepaare (x1, y1),...,(xn, yn) erfasst worden. Die Aufgabe der Ausgleichsrechnung besteht darin, eine Funktion f(x) zu finden, die sich einerseits den vorliegenden Punkten möglichst gut anschmiegt und die andererseits einen möglichst glatten Verlauf besitzt.

Die Prozedur regressionsgerade bestimmt zu einer Liste von Wertepaaren die Regressionsgerade und stellt diese zusammen mit den Wertepaaren graphisch dar. Die Prozedur ausgleich passt zu einer Liste von Wertepaaren und vorgegebenem Polynomausdruck die freien Parameter an und stellt diese zusammen mit den Wertepaaren graphisch dar. Dabei wird die Summe der Abstandsquadrate gebildet, die Summe partiell nach den Parametern differenziert und gleich Null gesetzt. Anschließend werden die Gleichungen nach den Parametern aufgelöst. Es erfolgt sowohl die Berechnung der Parameter als auch das Abstandsquadrat.

Inhaltsverzeichnis

Berechnung der Regressionsgeraden

Bestimmung eines Ausgleichspolynoms

Interpolationspolynom

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Berechnung der Regressionsgeraden

Die Prozedur regressionsgerade bestimmt zu einer Liste aus vorgegebenen Wertepaaren [[x1, y1],...,[xn, yn]] die Parameter a und b der Ausgleichsgeraden y = a x + b und zeichnet sowohl die Messwerte als auch die Regressionsgerade in ein Schaubild.

Beispiel: Gesucht ist die Regressionsgerade durch die Punkte [0,3], [1,5], [2,7], [3,8], [4,10] und [5,10] :

> werte := [[0,3], [1,5],[2,7], [3,8], [4,10], [5,10]];
> regressionsgerade(werte, view=[0..5.5,2..11]);

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Bestimmung eines Ausgleichspolynoms

In Verallgemeinerung der Vorgehensweise bei der Berechnung der Parameter der Ausgleichsgeraden bestimmt die Prozedur ausgleich die freien Parameter einer vorgegebenen Polynomfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Beispiel: Für die Wertepaare [0,3], [1,5], [2,7], [3,8], [4,10] und [5,10] soll sowohl eine Ausgleichsgerade als auch eine Ausgleichsparabel angepasst werden.

> werte := [[0,3], [1,5], [2,7], [3,8], [4,10], [5,10]];
> ausgleich(a*x+b, [a ,b], werte, view=[0..5,3..11]);

> ausgleich(a*x^2+b*x+c, [a, b, c], werte);

Man erkennt, dass sich die Parabel besser dem qualitativen Verlauf der Punkte anpasst als die Ausgleichsgerade.

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Interpolationspolynom

Wählt man den Grad des Ausgleichspolynoms gleich n-1, wenn n die Anzahl der Wertepaare ist, dann erhält man das Interpolationspolynom und das Abstandsquadrat ist Null:

> werte := [[0,3], [1,5], [2,7], [3,8], [4,10], [5,10]]:
> ausgleich(a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f, [a, b, c, d, e, f], werte, view=[0..5,2..12]);

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Quelle: Die Prozeduren dieser Ausarbeitung regressionsgerade und ausgleich wurden aus Kapitel X (Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen) des Lehrbuchs T. Westermann, "Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 2)", Springer-Verlag Heidelberg 1997, entnommen.

Literatur
T. Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 2)
Springer-Verlag Heidelberg 1997