Überblick

In diesem Worksheet werden Geraden im R² und R³ sowie Ebenen im R³ graphisch dargestellt. Bei den Geraden wird sowohl die 2-Punkte-Form als auch die Punkt-Richtungs-Form realisiert. Hierbei stehen immer eine zweidimensionale und eine dreidimensionale Version der entsprechenden Prozeduren zur Verfügung, die sich in der Endung durch 2d oder 3d unterscheiden. Im Falle der Darstellung der Ebenen wird sowohl die 3-Punkte-Form als auch die Punkt-Richtungs-Form realisiert. Grundlegend für alle Darstellungen sind die Prozeduren arrow2d und arrow3d, die skalierbare Vektorpfeile zwischen zwei Punkten zeichnen.

Inhaltsverzeichnis

Die Prozeduren arrow2d und arrow3d

Geraden im R² und R³

Ebenen im R³

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Prozeduren: arrow2d und arrow3d

Die Prozeduren arrow2d und arrow3d stellen für diese Ausarbeitung die grundlegenden Prozeduren dar, da sie 2D bzw. 3D Pfeile zeichnen. Diese beiden Prozeduren werden in jedem weiteren Programmteil benutzt!

2D-Pfeil: arrow2d ist die Prozedur, die den Anfangs- und Endpunkt eines Vektors einliest, den zugehörigen 2D-Pfeil errechnet und ihn graphisch darstellt.
> arrow2d([0,1],[1,0], color=blue, small);

3D-Pfeil: arrow3d ist die Prozedur, die den Anfangs- und Endpunkt eines Vektors einliest, den zugehörigen 3D-Pfeil errechnet und ihn graphisch darstellt.
> arrow3d([0,0,0],[1,1,1], color=green, big, box);

3D-Darstellung !

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Darstellung von Geraden im R² und R³

Man unterscheidet zwei unterschiedliche Darstellungsformen von Geraden:

1. Bei der 2-Punkte-Form einer Geraden werden zwei Punkte der Geraden spezifiziert (z.B. p1, p2), dann lassen sich alle Punkt der Geraden beschreiben durch:

.

Dabei ist eine beliebige reelle Zahl.

2. Bei der Punkt-Richtungs-Form einer Geraden werden ein Punkt (der Aufpunkt) und ein Richtungsvektor a vorgegeben. Dann lassen sich alle Punkte der Geraden darstellen durch

.

Dabei ist eine beliebige reelle Zahl.

Geraden im R²

2-Punkte-Form: Mittels der Prozedur Gerade_punkt_punkt_2d wird die Gerade über die 2-Punkte-Form festgelegt und zweidimensional graphisch dargestellt.
> Gerade_punkt_punkt_2d([0,5],[5,4]);

Punkt-Richtungs-Form: Mit Hilfe der Prozedur Gerade_punkt_richtung_2d wird die Gerade über die Punkt-Richtungs-Form festgelegt und zweidimensional graphisch dargestellt. Der erste Vektor gibt den Aufpunkt und der zweite den Richtungsvektor an.
> Gerade_punkt_richtung_2d([1,1],[1,0.2]);

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Geraden im R³

2-Punkte-Form: Mittels der Prozedur Gerade_punkt_punkt_3d wird die Gerade über die 2-Punkte-Form festgelegt und dreidimensional graphisch dargestellt.
> Gerade_punkt_punkt_3d([0,2,2],[5,4,1]);

3D-Darstellung !

Punkt-Richtungs-Form: Mit Hilfe der Prozedur Gerade_punkt_richtung_3d wird die Gerade über die Punkt-Richtungs-Form festgelegt und dreidimensional graphisch dargestellt. Der erste Vektor gibt den Aufpunkt und der zweite den Richtungsvektor an.
> Gerade_punkt_richtung_3d([1,1,2],[1,2,0.5]);

3D-Darstellung !

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Darstellung von Ebenen im R³

Man unterscheidet zwei unterschiedliche Darstellungsformen von Ebenen:

1. Bei der 3-Punkte-Form einer Ebene werden 3 Punkte dieser Ebene spezifiziert (z.B. p1, p2, p3), dann lassen sich alle Punkt der Ebene darstellen durch:

.

Dabei sind und beliebige reelle Zahlen.

2. Bei der Punkt-Richtungs-Form einer Ebene werden ein Punkt (der Aufpunkt) und zwei Richtungsvektoren a, b vorgegeben. Dann lassen sich alle Punkte der Ebene darstellen durch

.

Dabei sind und beliebige reelle Zahlen.

3-Punkte-Form einer Ebene: Die Ebene wird mit Hilfe der Prozedur Ebene_3punkt über die 3-Punkte-Form festgelegt und dreidimensional graphisch dargestellt.
> Ebene_3punkt([3,1,3],[3,3,1],[2,1,2]);

3D-Darstellung !

Punkt-Richtungs-Form einer Ebene: Die Ebene wird mit Hilfe der Prozedur Ebene_punkt_richtung über die Punkt-Richtungs-Form festgelegt und dreidimensional graphisch dargestellt. Der erste Vektor gibt den Aufpunkt und die beiden folgenden Vektoren geben die Richtungsvektoren an.
> Ebene_punkt_richtung([1,0.2,1],[1,0,0],[0,1,0.2]);

3D-Darstellung !

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Info: Die Idee für diese Ausarbeitung entstand im Rahmen eines Projektes im Studiengang Sensorsystemtechnik an der Fachhochschule Karlsruhe im WS 1998/99. Das ursprüngliche Projekt wurde von Carsten Klewitz und Matthias Kienzler bearbeitet.

Literatur
T. Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 1)
2. Auflage, Springer Verlag, Heidelberg 2000