Überblick

Die in diesem Worksheet beschriebenen Prozeduren bestimmen Nullstellen von stetigen Funktionen durch die Anwendung iterativer Verfahren wie das Newtonverfahren und das Sekantenverfahren (=regula falsi). Diese Verfahren konvergieren im Gegensatz zu den Einschließungsverfahren in der Regel nur dann, wenn der Startwert (bzw. die beiden Startwerte im Falle der regula falsi) nahe der Nullstelle gewählt werden.

Inhaltsverzeichnis

Graphische Darstellung des Newtonverfahrens

Graphische Darstellung der regula falsi

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Graphische Darstellung des Newtonverfahrens

Die Prozedur Newtonverf bestimmt eine Nullstelle einer stetig-differenzierbaren Funktion durch das Newtonverfahren. Neben der Berechnung der Nullstelle durch das Newtonverfahren stellt sie noch eine graphische Animation des Annäherungsprozesses dar. Ausgehend von einem Startwert x0 wird der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse als neuer Wert der Iteration berechnet. Die Angabe des Intervalls beim Aufruf ist nur für die graphische Ausgabe, nicht aber für das Verfahren notwendig.
Gesucht ist eine Nullstelle der Funktion . Als Startwert wählen wir x0=2 und visualisieren das Verfahren im Intervall [1,2].
> Newtonverf(-x^5+sqrt(x^2+1), x=1..2, 2);

Animation !

Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.34708378
Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.17097587
Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.09438802
Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.08080625
Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.08041874
Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1.08041843

Weitere Beispiele
(1.) Gesucht ist eine Nullstelle der Parabel . Als Startwert wählen wir x0=5 und zeichnen das Verfahren im Intervall [0,5].
> Newtonverf(x^2-x, x=0..5,5);

Animation !

Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.69376694
Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.20159403
Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.02896273
Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.00079291
Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.00000063
Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1         

(2.) Gesucht ist ein Schnittpunkt der Funktionen . Wir setzen und wählen als Startwert x0=2. Obwohl der näherliegende Schnittpunkt bei x=0.76 liegt, berechnet das Verfahren den gültigen Wert 10.21.
> Newtonverf(sin(x)-cos(x), x=-2..12,2);

Animation !

Nach der 1. Iteration ist die NS bei 9.51604246
Nach der 2. Iteration ist die NS bei 10.34835183
Nach der 3. Iteration ist die NS bei 10.20928998
Nach der 4. Iteration ist die NS bei 10.21017612
Nach der 5. Iteration ist die NS bei 10.21017612

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Graphische Darstellung der regula falsi

Die Prozedur refa bestimmt eine Nullstelle einer stetigen Funktion durch das Sekantenverfahren (=regula falsi). Neben der Berechnung der Nullstelle durch das Sekantenverfahren stellt sie noch eine graphische Animation des Annäherungsprozesses dar. Ausgehend von den Startwerten x0 und x1 wird der Schnittpunkt der Sekanten mit der x-Achse als neuer Wert der Iteration berechnet. Die Angabe des Intervalls beim Aufruf ist nur für die graphische Ausgabe, nicht aber für das Verfahren notwendig. Gesucht ist eine Nullstelle der Funktion . Als Startwerte wählen wir x0=1.8 und x1=2 und visualisieren das Verfahren im Intervall [1,2].
> refa(-x^5+sqrt(x^2+1), x=1..2, 2, 1.8);

Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.36249736
Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.22275201
Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.13567846
Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.09358246
Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.08180271
Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1.08045517
Nach der 7. Iteration ist die NS bei 1.08041853
Nach der 8. Iteration ist die NS bei 1.08041843

Weitere Beispiele
(1.) Gesucht ist eine Nullstelle der Parabel . Als Startwerte wählen wir x0=5 und x1=4 und zeichnen das Verfahren im Intervall [0,5].
> refa(x^2-x, x=0..5, 5, 4);

Nach der 1. Iteration ist die NS bei 1.81818182
Nach der 2. Iteration ist die NS bei 1.36986301
Nach der 3. Iteration ist die NS bei 1.13830393
Nach der 4. Iteration ist die NS bei 1.03391767
Nach der 5. Iteration ist die NS bei 1.00400176
Nach der 6. Iteration ist die NS bei 1.00013077
Nach der 7. Iteration ist die NS bei 1.00000052
Nach der 8. Iteration ist die NS bei 1         

(2.) Gesucht ist ein Schnittpunkt der Funktionen . Wir setzen und wählen als Startwerte x0=1.9 und x1=2. Das Verfahren findet den Wert 0.785.
> refa(sin(x)-cos(x), x=-1..2,2.,1.9);

Animation !

Nach der 1. Iteration ist die NS bei  .77503898
Nach der 2. Iteration ist die NS bei  .78816839
Nach der 3. Iteration ist die NS bei  .78539813
Nach der 4. Iteration ist die NS bei  .78539816

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Literatur
T. Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple (Band 1)
2. Auflage, Springer-Verlag , Heidelberg 2000