Überblick

Diese Ausarbeitung visualisiert den Begriff der Rotation. Dazu wird von einem zweidimensionalen Geschwindigkeitsfeld ausgegangen. Bevorzugterweise stelle man sich eine Stömung in der (x,y)-Ebene vor. In diese Strömung werden Kugeln mit der gleichen Dichte wie die der Flüssigkeit eingetaucht. Die Drehung der Kugeln an unterschiedlichen Stellen entspricht der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes.

Inhaltsverzeichnis

Begriffserläuterung und Berechnung der Rotation

Allgemeine Rechenvorschrift für die Rotation

Darstellung der Rotation einer Funktion mit zwei Variablen

Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Weitere Beispiele

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Begriffserläuterung und Berechnung der Rotation

Es gibt Vektorfelder, bei denen der Wert des Linienintegrals zwischen zwei beliebigen Punkten vom gewählten Integrationsweg immer unabhängig ist (Beispiel: elektrisches Feld einer Punktladung). Ist dies der Fall, so ist das Ergebnis des Linienintegrals längs der geschlossenen Kurve gleich Null. Diese Vektorfelder nennt man wirbelfrei. Ist das Linienintegral ungleich Null, so heißen diese Vektorfelder Wirbelfelder. Der Wert des Linienintegrals (auch Zirkulation genannt) ist ein Maß für die Wirbelstärke. Dies ist jedoch ein mittlerer auf die vom Integrationsweg umschlossene Fläche bezogener Wert. Die Rotation liefert eine Aussage der Wirbeldichte in einem bestimmten Punkt .

In der Abbildung unten sind drei Vektorfelder gezeichnet. Die Zirkulation ist entlang des Kreises für das Feld 1 am größten und für das Feld 3 Null, da für Feld 1 die Vektorkomponenten in Richtung des Integrationsweges am größten sind.

Veranschaulichend lässt sich die Rotation aus der Zirkulation herleiten: Dazu bildet man das Verhältnis der Zirkulation zur Fläche A, die vom Integrationsweg C eingeschlossen wird und bestimmen der Grenzwert für :

Dabei müssen wir allerdings beachten, dass eine Fläche außer durch die Größe noch durch ihre Lage im Raum charakterisiert wird. Der Wert der Zirkualtion ist von dieser Lage der Fläche abhängig. Wählen wir als Richtung die drei Koordinatenachsen, dann ergeben sich für diesen Grenzwert im allgemeinen drei verschiedene Werte. Es kann nun gezeigt werden, dass diese drei Werte als die Komponenten eines Vektors aufgefasst werden können. Dieser Vektor heißt Rotation des Vektors F. In der Mathematik wird gezeigt, dass sich die Komponenten der Rotation direkt über das Vektorfeld berechnen lassen, ohne über die Integralformel gehen zu müssen:

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Allgemeine Rechenvorschrift für die Rotation

Die Rotation wird in Maple mit dem Kommando curl aus dem Paket linalg berechnet. Dieses Paket muss mit with(linalg) zuvor aktiviert werden. Die Rotation gibt als vektorielle Funktion Stärke und Richtung der im vektoriellen Feld auftretenden Wirbel an. Ein Vektor lässt sich mit dem gleichnamigen Befehl vector erzeugen. F sei hierbei ein dreidimensionaler Vektor (entsprechend den 3 Raumrichtungen x, y und z im kartesischen Koordinatensystem):
> F:=vector([fx(x,y,z), fy(x,y,z), fz(x,y,z)]);

Als Ergebnis der Rotation erhält man ebenfalls eine vektorielle Funktion:
> Rot:=curl(F, [x,y,z]):
> Rot=matrix(3,1,%);

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Darstellung der Rotation einer Funktion mit zwei Variablen

Ein anschauliches Beispiel für die Kennzeichnung eines Vektorfeldes v durch seine Rotation liefert eine Wasserströmung. Die Wasserströmung sei gegeben durch ein Geschwindigkeitsfeld v(x,y), wobei die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in x-Richtung vom y-Wert abhängt:

Dabei stellt die Prozedur Rotation das Vektorfeld einer zweidimensionalen Vektorfunktion graphisch dar. Falls der Parameter frames ungleich Null gesetzt wird, erfolgt eine Animation, indem man zwei Kugeln in das Vektorfeld einbringen kann, die dann die Rotation durch ihre Drehung darstellen.
> v := [y, 0]:
> Rotation(v, x=0.1..10, y=0.1..10, [3,3], [7,7], frames=0);

Aus dem Diagramm wird ersichtlich:
v ist ein Strömungsfeld, das in x-Richtung zeigt.
Die Stärke des Feldes und damit die Größe der Vektorpfeile ist in x-Richtung konstant und nimmt in y-Richtung linear zu.

Da die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an der Oberkante der Kugel größer ist als an der Unterkante, würde sich die Kugel im Uhrzeigersinn mit einer Rotationsachse in Richtung Bildschirmebende drehen.

Um die Rotation (=Drehgeschwindigkeit) zu visualisieren, setzen wir zwei Kugeln mit unterschiedlichen y-Positionen (Kugel1: y=3cm bzw. Kugel2:y=7cm) in die Strömung. Die Dichte der Kugeln sei genau so groß wie die Dichte des Wassers, so dass die Kugeln in der Strömung schweben. Gibt es Wirbel in der Strömung, ist rot(v) nicht überall Null, dann beginnen die Kugeln sich zu drehen. Die Rotationsachse, die natürlich ihre Orientierung von Ort zu Ort verändern kann, gibt die Richtung von rot v an. Die Wirbelgeschwindigkeit in Bezug auf die Drehachse ist proportional zum Betrag von rot v.
> Rotation(v, x=0.1..10, y=0.1..10, [3,3], [7,7], frames=10);

Animation !

Die lokale Geschwindigkeit ist also nur von der y-Position abhängig und beträgt an der Oberkante von Kugel1 4m/s und an der Unterkante 2m/s, an der Oberkante von Kugel2 8m/s und an der Unterkante 6m/s. Die Differenz zwischen der Geschwindigkeit an Oberkante und Unterkante ist daher für beide Kugeln gleich (2m/s). Beide Kugeln drehen sich also mit der gleichen Geschwindigkeit (bedingt durch das lineare Anwachsen der Strömungsgeschwindigkeit in y-Richtung). Führt man diese Betrachtung nun für weitere y-Positionen durch, so erhält man das gleiche Ergebnis. Die Kugel dreht sich also unabhängig von ihrer y-Position gleich schnell.

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Hagen-Poiseuillesches Gesetz

Unser Beispiel aus der Physik beschäftigt sich mit dem Hagen-Poiseuilleschen Gesetz, das die reibungsbehaftete Strömung einer Flüssigkeit in einem Rohr beschreibt. Durch Reibung der Flüssigkeitsschichten erhält man einen parabelförmigen Verlauf der Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius: In der Mitte des Rohres ist sie maximal, am Rand Null.
> v := [1-y^2,0]:
> Rotation(v, x=0.1..2, y=-1.01..1.01, [3,3], [7,7], frames=0);

Zu erkennen ist, dass das Geschwindigkeitsprofil in der Mitte am größten ist und zum Rand bei y=+/-1 zu Null abnimmt. Wir legen die beiden Kugeln in die obere Hälfte der Srömung und berechnen die Rotation
> Rotation(v, x=0.1..2, y=-1.01..1.01, [1,0.1], [1,0.8], frames=10);

Animation !

Die Rotation der Strömung ist proportional zu y, d.h. am Rand des Rohres dreht sich die Kugel schneller (der Geschwindigkeitsunterschied ist hier am größten). Die Kugel würde sich mit einer Drehachse parallel zur Rohrwand dreht.

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Weitere Beispiele

Beispiel 1
> v := [-x*y,0]:
> Rotation(v, x=0.1..10, y=0.1..10, [3,3], [7,7], frames=10);

Animation !

Die Rotation ist proportional zu x, d.h. die Kugeln drehen sich an unterschiedlichen x Positionen unterschiedlich schnell.

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Beispiel 2
> v := [1-y^2,x^2*y+1]:
> Rotation(v, x=0.01..2, y=-1..1, [0.5,-0.5], [1.4,0.7], frames=10);

Animation !

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Info: Die ursprüngliche Ausarbeitung wurde von Volker Ceh und Armin Jerger im Rahmen der Maple-Working Group an der Fachhochschule Karlsruhe im Studiengang Sensorsystentechnik erstellt und von Prof. Dr. Westermann für die CD-ROM "Visualisierung elementarer mathematischer Begriffe mit Maple" überarbeitet. Diese Arbeit wurde teilweise gefördert durch ein Projekt aus dem Förderprogramm "Leistungsanreize in der Lehre (LARS)" des Ministeriums für Wissenschaft und Forschung, Baden-Württemberg, 1997/98. Weitere Maple-Projekte der Maple Working-Group der Fachhochschule Karlsruhe stehen unter der Internet-Adresse

http://www.fh-karlsruhe.de/fbmn/st/projekte/maple

zur Verfügung.

Literatur

T. Westermann
Mathematik für Ingenieure mit Maple, Band 2
Springer-Verlag Heidelberg, 1997

Klaus Weltner
Mathematik für Physiker, Band 2
Vieweg Verlag