Überblick

Dieses Arbeitsblatt enthält drei Teile, mit denen die iterative Entwicklung einer Markovkette bearbeitet werden kann.

Im ersten Teil wird eine Anfangsverteilung (gegeben durch einen Startvektor) anhand einer Übergangsmatrix in die entsprechenden Folgezustände übergeführt.

Im zweiten Teil wird versucht, einen stabilen Zustand des Systems zu finden. Ausgegeben wird ggf. ein stabil bleibender Vektor (Eigenvektor) mit der gleichen Komponentensumme wie der Ausgangsvektor.

Im letzten Teil wird die Entwicklung der einzelnen Komponenten des Zustandsvektors graphisch dargestellt.

Startvektor und Übergangsmatrix kann nach eigenen Gutdünken variiert werden; für eine Markovkette ist jedoch die Spaltensumme 1 in der Übergangsmatrix zu beachten!)

Inhaltsverzeichnis

Gegeben ist der Startzustand v eines Systems sowie die zu der Markovkette gehörende Übergangsmatrix M:

> v0 := [ 1 , 0 , 0 ]; # Anfangsverteilung
M := 1/1000 * matrix(3,3,
[448, 054, 011, # Uebergangsmatrix
484, 699, 503,
068, 247, 486]);
n := 12: # optional:Anzahl der Iterationen

Aus diesen Startbedingungen ergeben sich mit Hilfe der Prozedur Iteration die nächsten Folgezustände:

> Iteration ( M, v0, n);

Eine stabile Verteilung s genügt der Gesetzmäßigkeit: M*s=s: Eine stabile Verteilung ergibt sich durch Lösung des entsprechenden linearen Gleichungssystems. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems wird durch die Prozedur MstProzStabil durchgeführt.

> v0 := [ 1 , 0 , 0 ]; # Anfangsverteilung
M := 1/1000*matrix(3,3, # Uebergangsmatrix
[448, 054, 011,
484, 699, 503,
068, 247, 486]);

> MstProzStabil ( M, v0 );

Dieser Teil liefert eine graphische Ausgabe für die Entwicklung der einzelnen Komponenten der Zustandsvektoren. Die Prozedur MstProzBild zeichnet hierbei den Verlauf der einzelnen Komponenten des Zustandsvektors im Laufe der Iteration auf.

> v0 := [ 1 , 0 , 0 ]; # Anfangsverteilung
M := 1/1000*matrix(3,3,
[300, 900, 001, # Uebergangsmatrix
010, 097, 950,
690, 003, 049]);
n := 10; # optional: Anzahl der Iterationen

> MstProzBild ( M, v0, n );