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Überblick

Dieses Arbeitsblatt enthält drei Teile, mit denen die iterative Entwicklung einer Markovkette bearbeitet werden kann.

Im ersten Teil wird eine Anfangsverteilung (gegeben durch einen Startvektor) anhand einer Übergangsmatrix in die entsprechenden Folgezustände übergeführt.

Im zweiten Teil wird versucht, einen stabilen Zustand des Systems zu finden. Ausgegeben wird ggf. ein stabil bleibender Vektor (Eigenvektor) mit der gleichen Komponentensumme wie der Ausgangsvektor.

Im letzten Teil wird die Entwicklung der einzelnen Komponenten des Zustandsvektors graphisch dargestellt.

Startvektor und Übergangsmatrix kann nach eigenen Gutdünken variiert werden; für eine Markovkette ist jedoch die Spaltensumme 1 in der Übergangsmatrix zu beachten!)

Inhaltsverzeichnis

Iterierung einer Markovkette
Eine gegebene Anfangsverteilung wird anhand einer Übergangsmatrix in die entsprechenden Folgezustände übergeführt.

Stabiler Zustand des Systems
Ein Zustand eines Systems heißt stabil, wenn sich die Komponenten des Zustandsvektors beim Übergang zum Folgezustand nicht mehr ändern. Für einen stabilen Zustand genügt der Zustandsvektor s bzgl. der Übergangsmatrix M der Gleichung M s = s . Dieses Arbeitsblattteil versucht, einen solchen stabilen Zustand zu bestimmen.

Graphische Darstellung des Markovprozesses
Die einzelnen Komponenten eines Zustandsvektors verändern sich durch die Übergänge von einem Zeitpunkt zum nachfolgenden. Diese Komponentenveränderung wird in diesem Teil graphisch dargestellt.

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Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Die drei Teile des Arbeitsblatts sind unabhängig voneinander.

Iterierung eines Markovprozesses

Gegeben ist der Startzustand v eines Systems sowie die zu der Markovkette gehörende Übergangsmatrix M:

> v0 := [ 1 , 0 , 0 ]; # Anfangsverteilung

M := 1/1000*matrix(3,3,
[448, 054, 011, # Uebergangsmatrix
484, 699, 503,
068, 247, 486]);

Aus diesen Startbedingungen ergeben sich die nächsten Folgezustände:

> n := 12; # Anzahl der Iterationen

v:='v';
v[0]:=v0;
for i from 1 to n do
v[i] := multiply ( M , v[i-1] )
od:
for i from 1 to n do `v`[i]=evalf(evalm(v[i])) od;

>

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Stabiler Zustand des Systems

Eine stabile Verteilung s genügt der Gesetzmäßigkeit: M*s=s: Eine stabile Verteilung ergibt sich durch Lösung des entsprechenden linearen Gleichungssystems. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems wird durch die Prozedur MstProzStabil durchgeführt.

> v0 := [ 1 , 0 , 0 ]; # Anfangsverteilung
M := 1/1000*matrix(3,3, # Uebergangsmatrix
[448, 054, 011,
484, 699, 503,
068, 247, 486]);

> `v`[`stabil`]=MstProzStabil ( M, v0 );

>

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Graphische Darstellung des Markovprozesses

Dieser Teil liefert eine graphische Ausgabe für die Entwicklung der einzelnen Komponenten der Zustandsvektoren. Die Prozedur MstProzBild zeichnet hierbei den Verlauf der einzelnen Komponenten des Zustandsvektors im Laufe der Iteration auf.

> v0 := [ 1 , 0 , 0 ]; # Anfangsverteilung

M := 1/1000*matrix(3,3,
[448, 054, 011, # Uebergangsmatrix
484, 699, 503,
068, 247, 486]);
n := 6; # Anzahl der Iterationen

MstProzBild ( M, v0, n );

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