In diesem Worksheet wird ausgehend von der Binomialverteilung für große Zahlen der Übergang zur Normalverteilung erläutert. Die Eigenschaften der Normalverteilung sowie die Darstellung als Glockenkurve werden thematisiert.

Die Pakete stats, statevalf und statplots sind etwas spröde bezüglich der Benutzung für den Unterricht, da sie auf ein anderes Zielpublikum ausgerichtet sind. Es empfiehlt sich daher, diese Pakete durch einige eigene Funktionen zu kapseln. Außerdem scheint statevalf bezüglich der summierten diskreten Verteilungen fehlerhaft zu sein, was ebenfalls eigene Lösungen erfordert.

Inhaltsverzeichnis

Vergleicht man bei fester Trefferwahrscheinlichkeit p Binomialverteilungen mit unterschiedlicher Probenzahl n, so sieht man sofort, dass mit wachsendem n der Erwartungswert und die Standardabweichung größer werden. Betrachtet man die zugehörigen Histogramme der Verteilungen, so äußert sich dies folgendermaßen: Mit n wächst die Anzahl der Rechtecke, die Höhen werden jedoch immer niedriger. Das Maximum "wandert" nach rechts und die Breite nimmt zu.

Mit Hilfe der Prozedur bv_ani aus dem Paket binomi kann man dies sehr gut demonstrieren.

> with(binomi,bv_ani):

> bv_ani(5..70,0.5,color=cyan,view=[-1..50,0..0.5]);

A nimation !

Um die Verteilungen besser vergleichen zu können, kann man nun eine lineare Transformation durchführen. Dazu führt man zwei neue Variablen x und y wie folgt ein: Das Schaubild wird um nach links verschoben. Um das Abflachen auszugleichen, werden die B-Werte mit dem Faktor gestreckt. Damit die Fläche unter der Kurve aber weiterhin den Inhalt 1 hat, müssen die k-Werte um gestaucht werden. Alles in allem ergibt sich folgende Transformation: und .

Die Prozeduren histo_norm und zug_norm zeigen das Histogramm bzw. den Polygonzug einer auf diese Weise normierten Binomialverteilung.

> histo_norm(16,0.5,color=cyan);

> zug_norm(16,0.5,view=[-4..4,0..0.4],color=blue);

Natürlich kann man diese Darstellung mit Hilfe des display -Befehls auch kombinieren

> plots[display](histo_norm(16,0.5,color=turquoise),zug_norm(16,0.5,color=blue,thickness=2));

Nun kann man die Bedeutung von wachsenden Zahlen n mit der Prozedur histo_norm_ani verdeutlichen.

> histo_norm_ani(10..100,0.5,color=magenta,view=[-5..5,0..0.5]);

A nimation !

Betrachtet man die Ausgabe der Prozedur zug_norm_ani , so nähern sich die Streckenzüge für große n nach und nach einer Glockenkurve.

> zug_norm_ani(5..50,0.5,color=red,view=[-5..5,0..0.5]);

A nimation !

Man kann nun zeigen, dass sich für die entstehenden Streckenzüge einer Grenzkurve nähern, die das Schaubild der Funktion ist. 1734 hat Abraham de Moivre (1667 - 1754) diese Kurve untersucht. 1812 konnte Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827) beweisen, dass sich auch bei p ungleich 0,5 für große n dieselbe Grenzkurve ergibt.
Die Funktion folgende f ergibt sich aus der obigen Transformation und mit und .

> n:='n':k:='k':x:='x':p:=1/2:
mu:=n*p:
sigma:=sqrt(n*p*(1-p)):

> k:=x*sigma+mu;

> f:=x->binomial(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)*sqrt(n*p*(1-p));

Bildet man nun den Grenzwert für , erhält man die sogenannte Gauß-Funktion . Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) hatte diese Funktion eingehend untersucht.

> phi:=unapply(limit(f(x),n=infinity),x);

Das Schaubild von heißt Gaußsche Glockenkurve.

> plot(phi(x),x=-4..4);

Dass es sich wirklich um eine Dichtefunktion handelt lässt sich leicht überprüfen:

> Int(phi(x),x=-infinity..infinity)=int(phi(x),x=-infinity..infinity);

Das Schaubild der Gauß-Funktion ist symmetrisch zur y-Achse:

> evalb(phi(x)=phi(-x));

Die x-Achse ist waagerechte Asymptote:

> Limit(phi(x),x=infinity)=limit(phi(x),x=infinity);
Limit(phi(x),x=-infinity)=limit(phi(x),x=-infinity);

Sie hat genau ein Maximum, und zwar an der Stelle 0. Bei -1 und 1 hat sie Wendestellen.

> phi1:=unapply(D(phi)(x),x):
phi2:=unapply(D(phi1)(x),x):
phi3:=unapply(D(phi2)(x),x):

> solve(phi1(x)=0,x);evalb(phi2(%)<>0);
solve(phi2(x)=0,x);evalb(phi3(%)<>0);

Die zur Gaußfunktion gehörende Verteilungsfunktion heißt GaußscheIntegralfunktion

> Phi:=x->int(phi(t),t=-infinity..x);

> plot(Phi(x),x=-4..4,color=red,thickness=2);

Die Wahrscheinlichkeit P, dass eine normalverteilte Zufallsvariable X die Werte annimmt, läßt sich nun mit angeben:

> Phi(1.5);

Dabei entspricht der obigen Wahrscheinlichkeit im Schaubild der Flächeninhalt zwischen und 1.5. Dies kann man mit der Prozedur phi_fill bzw. visualisieren.

> phi_fill(-infinity..1.5,view=[-6..6,0..1]);

> p:=1.5:

> plots[display](phi_fill(-infinity..p),\

> plot(Phi(x),x,color=red,thickness=2),\

> plot([[p,0],[p,Phi(p)]],color=black),view=[-5..5,0..1]);

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung errechnet sich die Wahrscheinlichkeit für und aus der Differenz .

> a:=-1.5:b:=1.5:

> plots[display](phi_fill(a..b),view=[-5..5,0..1]);

> Int(phi(x),x=a..b)=int(phi(x),x=a..b);

> Phi(1.5)-Phi(-1.5);

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion f ist definiert als die reelle Zahl , die Varianz als die reelle Zahl . Im Falle der Gaußschen Dichte-Funktion bedeutet dies:

> phi := x-> 1/(sqrt(2*Pi))*exp(-0.5*x^2):

> mu:=int(x*phi(x),x=-infinity..infinity);

> varianz:=int((x-mu)^2*phi(x),x=-infinity..infinity);

> sigma:=sqrt(varianz);

Bei einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem obigen Erwartungswert und obiger Standardabweichung liegen die beobachtbaren Ergebnisse zu ca. 68% im Intervall [ ; ]. Man nennt dieses Interval auch den normalen Streuungsbereich

> Phi(mu+sigma)-Phi(mu-sigma);

Schon rund 95% liegen im Zwei-Sigma-Bereich

> Phi(mu+2*sigma)-Phi(mu-2*sigma);

und ausserhalb des 3- -Bereiches werden fast keine Werte mehr auftreten

> 1-(Phi(mu+3*sigma)-Phi(mu-3*sigma));

Man nennt die Zahlen und auch die Parameter der Normalverteilung und spricht kurz von einer N( ; )-verteilten Zufallsvariablen. Die N(0;1)-Verteilung heisst auch Standard-Normalverteilung. Jede N( ; )-Verteilung lässt sich durch Transformation X* = und Y* = in eine Standard-Normalverteilung transformieren.

Die Prozedur N_vert bzw. N_int definieren jeweils Dichte- bzw. Integralfunktion einer N( ; )-Verteilung.

> mu:=3:sigma:=0.5:

> N1:=N_vert(mu,sigma):

> N1_int:=N_int(mu,sigma):

> plot([N1(x),N1_int(x)],x=0..10,0..1,color=[red,blue]);

Um verschiedene Verteilungen zu vergleichen, kann man sie auch in ein Schaubild zeichnen lassen.

> N2:=N_vert(2,1):N3:=N_vert(5,2):

> plot([N1(x),N2(x),N3(x)],x=0..10,0..1,color=[red,blue,sienna]);

Auch bei der allgemeinen Normalverteilung ergeben sich die gleichen Wahrscheinlichkeiten für den -, 2 - und 3 -Bereich, wie bei der Standardnormalverteilung.

> N1_int(mu+sigma)-N1_int(mu-sigma);

> N1_int(mu+2*sigma)-N1_int(mu-2*sigma);

> N1_int(mu+3*sigma)-N1_int(mu-3*sigma);

Literatur

Lauter / Rüdiger
Mathematik Sekundarstufe II - Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Schwann-Verlag 1979

Lambacher / Schweizer
Stochastik Leistungskurs
Klett-Verlag 1988

Hahn / Dzewas
Grundkurs Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Westermann-Verlag 1978