Überblick

In den nachfolgenden Prozeduren werden zwei Näherungsverfahren - das Newton-Verfahren und das sog. allgemeine Iterationsverfahren - mit entsprechenden Anwendungen vorgestellt. Beide Verfahren werden durch Bildfolgen graphisch erläutert. Das Langzeitverhalten verschiedener Iteratoren lässt sich untersuchen, und ein Diagramm der Attraktoren aller Funktionen - das Feigenbaumdiagramm (Mitchell J. Feigenbaum, amerikanischer Physiker) - wird für a aus einem einzugebenden Intervall gezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Bedienungserklärung

Die Prozedur Newton1 erzeugt mit Hilfe der Iterationsvorschrift nach Newton numerisch eine Folge ( ) von Näherungslösungen der Gleichung .

Eingabe einer Funktion f:

> f:=x->x^2-2;

Startwert:

> s:=3:

Anzahl der Schritte:

> n:=7:

Zahl der gültigen Ziffern:

> z:=15:

> Newton1(f,s,n,z);

>

Die Prozedur Newton2 liefert eine graphische Animation des Iterationsverfahrens nach Newton.

Eingabe einer Funktion f:

> f:=x->cos(x)-x;

Startwert:

> s:=3:

Anzahl der Schritte:

> n:=4:

> Newton2(f,s,n);

Animation !

>

Die Prozedur Iteriere1 erzeugt ausgehend von einem Startwert s numerisch die ersten n Glieder der Folge ( ) mit .

Eingabe einer Funktion f:

> f:=x->cos(x);

Startwert:

> s:=1:

Anzahl der Schritte:

> n:=7:

Zahl der gültigen Ziffern:

> z:=15:

> Iteriere1(f,s,n,z);

>

Diese Prozedur Iteriere2 liefert eine graphische Animation des allgemeinen Iterationsverfahrens.

Eingabe einer Funktion f:

> f:=x->2.8*x*(1-x);

Startwert:

> s:=0.2:

Anzahl der Schritte:

> n:=20:

> Iteriere2(f,s,n);

Animation !

>

Die Prozedur Zeitreihe zeichnet ausgehend von einem Startwert s das Schaubild der Folge ( ) mit .

Eingabe einer Funktion f:

> f:=x->2.8*x*(1-x):

Startwert:

> s:=0.2:

Anzahl der Schritte:

> n:=20:

> Zeitreihe(f,s,n);

>

Die Prozedur Feigenbaum zeichnet das Feigenbaumdiagramm (Endzustand-Diagramm) des Iterators mit .

Eingabe der Funktion :

> f:=x->a*x*(1-x);

Start- und Endwert des Funktionsparameters a:

> von:=2.88:bis:=3.7:

Schrittweite:

> sw:=0.005:

> Feigenbaum(f,von,bis,sw);

>

Literatur