Überblick

Dieses Arbeitsblatt stellt einige Prozeduren und Animationen vor, die speziell für den unterrichtlichen Einsatz in einem Leistungskurs Mathematik geschrieben wurden.
Die Visualisierung komplexer Begriffe und Gedankengänge aus dem Themenbereich Folgen soll dabei den Schülern nicht nur als einprägsames Hilfsmittel dienen, sondern auch ein ästhetisches Moment in den Unterricht bringen.
Es wird gezeigt, wie der Fachlehrer maßgeschneiderte, auf den aktuellen Unterrichtsstoff bezogene Illustrationen mathematischer Sachverhalte erstellen kann, um damit den Lernprozess an geeigneten Stellen zu unterstützen.

Inhaltsverzeichnis

Zur Einführung in das Stoffgebiet Folgen eignen sich u.a. Beispiele aus der fraktalen Geometrie.
Hier wird die Konstruktion der Schneeflockenkurve ( Helge von Koch 1904 ) vorgestellt.
Mit dem oben geladenen Paket Kochkurve wurden drei Animationen bereitgestellt: Umfang , Flaeche_einfarbig und Flaeche_mehrfarbig .

Konstruktionsprinzip der Schneeflockenkurve

> Umfang;

Animation !

Blick auf die Gesamtfläche

> Flaeche_einfarbig;

Animation !

Färbt man den Flächenzuwachs bei jedem Konstruktionsschritt in einer anderen Farbe, so bringt dies ein ästhetisches Moment in den Unterricht.

> Flaeche_mehrfarbig;

Animation !

>

Folgen können als Funktionen mit der Menge der natürlichen Zahlen als Definitionsmenge aufgefasst werden.
Bei der Konstruktion der Schneeflockenkurve ändert sich bei jedem Schritt die Seitenlänge ( l ) und die Seitenanzahl ( a ) der konstruierten Figur.
Geht man von einem gleichseitigen Dreieck mit einer anfänglichen Seitenlänge von einer Längeneinheit aus, so beschreiben die folgenden Funktionen die jeweilige Seitenlänge ( l ) bzw. Seitenanzahl ( a ).

> l:=n->(1/3)^(n-1);
a:=n->3*(4)^(n-1);

Die Folge, die zu jedem Konstruktionsschritt den entsprechenden Umfang ( u ) der Figur angibt, kann als Produkt der Folgen l und a definiert werden.

> u:=n->l(n)*a(n);

Werte einzelner Folgenglieder können wie Funktionswerte berechnet werden. (Definitionsmenge beachten!)

> a(1),a(2),a(3);

Term der Umfangsfolge ( u )

> u(n);

Die Prozedur Folgengraph aus dem Paket Folgen stellt Glieder einer Folge durch Punkte in einem zweidimensionalen Koordinatensystem graphisch dar.

Die unabhängige Variable kann dabei frei gewählt werden, muss aber bei der Bereichsangabe genannt werden.
Die horizontale Achse wird entsprechend beschriftet.

Schaubild der Umfangsfolge:

> Folgengraph(3*(4/3)^(n-1),n=1..15);

Die Prozedur Folgenwerte erstellt zu einer vorgegebenen Folge eine vertikal angeordnete Wertetabelle.
Die erste (zweite) Spalte enthält die Werte der unabhängigen (abhängigen) Variablen.

Wertetabelle mit exakten Werten der Umfangsfolge:

> Folgenwerte(3*(4/3)^(n-1),n=1..3);

Näherungswerte in Dezimaldarstellung erhält man, indem man in der Folgendefinition Fließkommazahlen (mit Dezimalpunkt) verwendet.

Wertetabelle mit Näherungswerten der Umfangsfolge:

> Folgenwerte(3.0*(4/3)^(n-1),n=39..41);

Bemerkung:
Es ist für viele Schüler erstaunlich, dass der Umfang "dieser kleinen Figur" nach nur wenigen Konstruktionsschritten bereits "Tausende von Kilometern" beträgt. Diese "Irritation" kann dazu beitragen, die Vertiefung des propädeutischen Grenzwertbegriffs zu motivieren .

Die Betrachtung der Flächeninhalte ( A ) führt zunächst auf eine rekursiv durch einen Anfangswert (gleichseitiges Dreieck) und eine Rekursionsgleichung gegebene Folge. Mit Mengenklammern lassen sich diese beiden Bedingungen zusammenfassen.

> Flaecheninhaltsfolge :=
{A(1)=1*sqrt(3)/4,A(n+1)=A(n)+a(n)*l(n+1)^2*sqrt(3)/4};

Auch rekursiv definierte Folgen können mit dem Befehl

> Folgengraph(Flaecheninhaltsfolge,n = 1 .. 10);

dargestellt werden.
Dabei wird der qualitative Unterschied (Konvergenz) zwischen der obengenannten Umfangsfolge ( u ) und der Flächeninhaltsfolge ( A ) deutlich sichtbar.

Auch für rekursiv gegebene Folgen kann eine Wertetabelle erstellt werden.

Die folgende Tabelle beschreibt beispielsweise den anwachsenden Flächeninhalt vom ersten bis zum dritten Konstruktionsschritt.

> Folgenwerte(Flaecheninhaltsfolge,n=1..3);

Hinweis:
Bei der Arbeit mit den Prozeduren des Pakets Folgen muss bei rekursiv gegebenen Folgen in der Rekursionsgleichung das (n+1)-te Glied auf der linken Seite stehen.
Die (konstanten) Anfangswerte müssen rechts vom Gleichheitszeichen stehen.
Das Gleichungssystem aus Anfangsbedingungen und Rekursionsgleichung muss widerspruchsfrei sein und in Mengenklammern übergeben werden.
Weitere Anwendungsbeispiele der Prozeduren Folgengraph und Folgenwerte findet man auf der zugehörigen Seite der Online-Hilfe .

>

Der MapleV Systembefehl rsolve liefert zu der rekursiv gegebenen Flächeninhaltsfolge einen Term. An der Struktur dieses Terms kann man die Beschränktheit und die Monotonie der Folge ( A ) erkennen.

> rsolve({A(1)=1*sqrt(3)/4,A(n+1)=A(n)+a(n)*l(n+1)^2*sqrt(3)/4},A(n));

Ein Vergleich der durch diesen Term explizit gegebenen Folge mit der rekursiv festgelegten Folge lässt die Richtigkeit der Maple V Ausgabe vermuten.

> Folgenwerte(2/5*sqrt(3)-27/80*sqrt(3)*(4/9)^n,n=1..3),
Folgenwerte({A(1)=1*sqrt(3)/4,A(n+1)=A(n)+a(n)*l(n+1)^2*sqrt(3)/4},n=1..3);

Bemerkung:
Der rsolve-Befehl wird hier als "Blackbox" , d.h. ohne Erläuterung des zugrunde liegenden Algorithmus verwendet.
Der Nachweis der Äquivalenz der beiden Folgendefinitionen ist jedoch nicht schwer und kann im Unterricht durch vollständige Induktion geführt werden.

>

Die folgenden Animationen zur des Grenzwerts einer Folge aus dem Paket Grenzwertbegriff zeigen von Zahlen, um deren Grenzwerteigenschaft auf anschaulichem Niveau zu diskutieren.

Zur Begriffsbildung werden typische Beispiele (Folgen mit Grenzwert) aber auch nichttriviale Gegenbeispiele (Folgen mit Häufungszahlen) betrachtet.

Beispiel 1

Als Beispiel einer Folge mit Grenzwert wird die monoton wachsende und beschränkte Folge mit dem Term betrachtet.
Bemerkung:
Die Termstruktur entspricht dem Term der Flächeninhaltsfolge ( A ) bei der Konstruktion der Schneeflockenkurve.

> Beispiel_1;

Animation !

>

Beispiel 2

Als zweites Beispiel wird die alternierende Folge mit dem Term betrachtet.
Dabei wird klar, dass Monotonie für die Konvergenz einer Folge nicht notwendig ist.

> Beispiel_2;

Animation !

>

Beispiel 3

Dass Beschränktheit für die Konvergenz einer Folge nicht hinreichend ist, belegt die Folge mit dem Term .
Diese Folge hat die beiden Häufungszahlen 4 und 1.

> Beispiel_3;

Animation !

>

Beispiel 4

Dass in jeder - Umgebung der Zahl 3 (Häufungszahl) unendlich viele Glieder einer Folge liegen, ist für die Grenzwerteigenschaft der Zahl 3 nicht hinreichend .
Die Folge mit dem Term besitzt (aber auch sonst) keinen Grenzwert.

> Beispiel_4;

Animation !

>

Die Animation Konvergenz veranschaulicht anhand der Folge ( ) den Zusammenhang zwischen dem Satz "Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert" und der Vollständigkeit der reellen Zahlen.
Der Grenzwert einer derartigen Folge ergibt sich als Zentrum einer mit dem Intervallhalbierungsverfahren gebildeten Intervallschachtelung.
Mit dem Aufruf der Prozedur readlib wird die Animation von der Bibliothek geladen und (wegen des abschließenden Strichpunkts) sofort angezeigt. Die Variable Konvergenz darf dabei nicht belegt sein.

> Konvergenz:='Konvergenz':
readlib(Konvergenz);

Animation !

Die Fibonacci-Folge kann rekursiv mit zwei Anfangswerten definiert und graphisch dargestellt werden.

> Folgenwerte({f(0)=0,f(1)=1,f(n+1)=f(n)+f(n-1)},n=0..4);

Maple V findet den Term der Fibonacci-Folge.

> rsolve({f(0)=0,f(1)=1,f(n+1)=f(n)+f(n-1)},f(n));

Mit dem unapply-Befehl kann dieser Term in eine Funktion konvertiert werden.

> fib:=unapply(%,n);

Die Funktionswerte haben allerdings keine einfache Darstellung.

> fib(3);

Im Systemprozedurpaket combinat befindet sich die Prozedur fibonacci .

> with(combinat,fibonacci);

Diese liefert schnell brauchbare Werte.

> fibonacci(200);

> Folgenwerte(fibonacci(n),n=199..201);

Da die Prozedur Folgengraph die MapleV-Systemprozedur plot benutzt, ist zur graphischen Darstellung der MapleV-Systemprozedur fibonacci eine Datentypkonvertierung erforderlich, die mit Hilfe der Prozedur round vorgenommen werden kann.

> Folgengraph(fibonacci(round(n)),n=1..5);

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