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> with(plots):with(dynsys);

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Überblick

Die fundierte Bewertung politischer Entscheidungen, ökonomischer Prozesse oder ökologischer Zusammenhänge sind Beispiele für die Notwendigkeit, bei Schülerinnen und Schülern das Verständnis der Wechselwirkungen in vernetzten Systemen auszubilden. Die Komplexität dieser Systeme erfordert zu ihrer Beschreibung leistungsfähige Modelle. Die Schulung in vernetztem Denken und in der Methode der Modellbildung ist daher ein zentrales Bildungsziel des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.
Die Untersuchung veränderlicher, realer Prozesse ist eine Möglichkeit diesem Ziel näherzukommen. Wachstums- und Zerfallsprozesse sowie periodische Prozesse spielen in Natur und Technik eine herausgehobene Rolle und stammen zudem oft aus dem unmittelbaren Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler. Die Beschreibung dieser komplizierten und vernetzten Systeme bedingt jedoch zunächst eine Beschränkung auf die wesentlichen Faktoren. Ein Modell als reduziertes Abbild der Wirklichkeit ist die Folge.
Es zeigt sich, dass die meisten Wachstums- und Zerfallsprozesse auf vier Grundmodelle zurückgeführt werden können. Es handelt sich dabei um das lineare , das exponentielle (oder natürliche), das (exponentiell) beschränkte und das logistische Wachstum .

Im folgenden sollen diese vier Wachstumsformen dargestellt werden. Da dieses Arbeitsblatt vor allem für Kollegen gedacht ist, die in der Mittelstufe (in Baden-Württemberg Klasse 10) unterrichten, muss auf eine kontinuierliche Beschreibung der Systeme, die auf eine Behandlung von Differentialgleichungen führt, in diesem Abschnitt verzichtet werden. Vielmehr wird hier die Modellierung durch die Angabe fester Zeitschritte vorgenommen.

Inhaltsverzeichnis

Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Die einzelnen Sektionen sind unabhängig voneinander. Deshalb kann über das Inhaltsverzeichnis an jede beliebige Sektion gesprungen werden. Die Befehle innerhalb einer Sektion sind jedoch nicht unbedingt unabhängig. Hier empfiehlt sich das schrittweise Abarbeiten der einzelnen Befehle.

Einige, entsprechend markierte Plots sind als Animationen vorbereitet. Diese können schrittweise ausgelöst werden, wenn man in der Symbolleiste auf klickt. Die Symbolleiste ist allerdings erst sichtbar, wenn vorher auf den Plot geklickt worden ist

Informationen über den Umgang mit Tabellen (Spreadsheets) in Maple entnehmen Sie bitte dem entsprechenden Einführungskapitel " Tabellen in MapleV " oder der englischen Hilfe zu diesem Thema .

Versucht man reale Wachstums- oder Zerfallsprozesse mathematisch zu beschreiben, so liegt die Einführung einer Größe nahe, die ein Maß für den betrachteten, wachsenden oder zerfallenden Gegenstand ist. Diese Größe nennt man Bestandsgröße B . Je nach Zusammenhang kann dies z.B. die Anzahl von Kaninchen in einem gewissen Areal, der Durchmesser einer Fichte, die Temperatur einer Teetasse o.ä. sein. Ein funktionaler Zusammenhang liegt auf der Hand. Die Funktion, die die Bestandsgröße zu einem bestimmten Zeitpunkt t angibt, nennt man Wachstums- oder Zerfallsfunktion . Ein realer Wachstumsvorgang lässt sich also durch die eindeutige Zuordnung "Zeitpunkt --> Bestandsgröße zu diesem Zeitpunkt" oder in mathematischer Schreibweise beschreiben. Dies ist aber im allgemeinen für nicht-periodische Prozesse nur für die Vergangenheit und Gegenwart sowie ausschließlich für diskrete Zeiten möglich (man denke an Messzeiten und Messdauer).
Das Hauptziel der Untersuchungen eines Wachstumsprozesses ist es jedoch, Aussagen über die zukünftige Entwicklung machen zu können. Da das Datenmaterial nur in der Gegenwart gesammelt werden kann, d.h. nur Datenpaare der Form vorliegen, wobei einen Zeitpunkt zwischen "jetzt und früher" bezeichnet, bedarf es einer Modellierung des Systems. Es bedarf der Angabe einer Änderungsrate R , die angibt, wie groß die Änderungsgröße DB (d.h. der Zuwachs oder die Abnahme) der Bestandsgröße pro Zeitintervall Dt ist. Es besteht folgender Zusammenhang:

Obige Gleichungen gelten für alle vier Wachstumsformen. Die Unterschiede müssen daher auf das unterschiedliche Verhalten ihrer Änderungsrate zurückzuführen sein.

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Ein quaderförmiger Behälter mit 1 Quadratmeter Grundfläche und 5m Höhe wird mit Wasser befüllt. Neben dem Tank befindet sich folgende Notiz:

Die Identifikation der Bestandgröße mit der Füllhöhe bereitet keine Schwierigkeiten. Als erstes kann man die realen Daten in ein Schaubild eintragen:

> Daten:=[[14,2.4],[15,3.6],[16,4.8]]:

> Punkte:=plot(Daten,11..17,0..5,style=POINT,symbol=CROSS):
display(Punkte);

>

Die Frage nach dem Beginn der Befüllung kann die Suche nach einem Modell motivieren, das den realen Ablauf näherungsweise beschreibt. Folgenden Annahmen sind Voraussetzung

• der Wasserzufluss ist konstant
• der Behälter war zu Beginn leer
• der Behälter ist wirklich ein Quader
• die angegebenen Maße stimmen
• es findet keine Verdunstung oder Versickern statt
• die Zeitmessung war genau
• das Ablesen der Füllhöhe war genau
• die Temperatur des Wasser bleibt konstant
  

Unter diesen Voraussetzungen und mit Blick auf das Schaubild erscheint eine affine (lineare) Funktion als Modellfunktion eine sinnvolle Wahl. Die konstante Änderungsrate ergibt sich aus den Daten zu 1,2 m pro Stunde. für die Wachstumsfunktion B gilt dann:

> t1:=14:
h1:=2.4:
t2:=15:
h2:=3.6:

> R:=(h2-h1)/(t2-t1);

> B:=unapply(R*(t-t1)+h1,t);

Der Zeitpunkt der Befüllung und das Ende ergeben sich demnach aus:

> t0:=solve(B(t)=0,t);
te:=solve(B(t)=5,t);

Die Zeitpunkte t0 und te geben gleichzeitig die Grenzen des Intervalls an, in dem die Funktion B definiert ist.

> Gerade:=plot(B,t0..te,color=blue):

> display({Punkte,Gerade},view=[11..18,0..6]);

Bleibt festzuhalten: Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate konstant.

>

weiteres Beispiel

Die Prozedur linwachs stellt die Wachstumsfunktion zu einem gegebenen Prozess graphisch dar.

Von einem (unverzinsten) Guthaben von 1000 Euro werden monatlich 125 Euro abgehoben.

> linwachs(1000,-125,1,0..10,ja);

>

Eine Spareinlage von 1000 Euro wird mit 6% järlich verzinst. Wann hat sich die Gesamtsumme verdoppelt?

Das Problem des Zinseszins führt auf die Überlegung, dass hier die Bestandsgröße zum Zeitpunkt t+Dt abhängig ist von der Bestandsgröße zum Zeitpunkt t.

>

Nach etwa zwölf Jahren hat sich das Kapital verdoppelt.

Bei einer vierteljährlichen Verzinsung würde sich folgender Fall ergeben:

Bleibt festzuhalten: Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate zum Bestand proportional.

>

Beispiel 1

In einer genügend großen Nährlösung befinden sich anfangs 100 Bakterien, die sich alle 20 Minuten durch Zellteilung teilen. Wann wird die kritische Anzahl von 500 000 Bakterien erreicht?

> display({expwachs(100,2,1,0..8,nein),plot(500000,0..8,color=black)});

Nach etwa 7,5 Zeitschritten, d.h. nach 2,5 Stunden ist diese kritische Anzahl erreicht.

>

Beispiel 2

Die Zerfallskonstante von Tritium (H-3) beträgt 0.0564. Stellen Sie die Abnahme der radioaktiven Kerne im Zeitraum von 60 Jahren dar. Gehen Sie von einem 1 000 000 Kerne aus.

> N0:=1000000:
k:=-0.0564:
Dt:=1:

> expwachs(N0,k,Dt,0..60,nein,0..70,0..1e+6);

>

Wachstumsprozesse werden in der Natur oft durch äußere Grenzen beeinflusst. So kann sich eine Bakterienkolonie in einer Nährlösung nur solange vermehren, wie genügend Nahrung vorhanden ist, ein Gerücht sich nur solange ausbreiten, wie es Leute gibt, dies es noch nicht gehört haben. Die Zahl der ISDN-Anschlüsse wird nur zunehmen, solange es Haushalte gibt, die noch keinen haben. Haben alle Haushalte einen Anschluss, so wird der Verkauf auf Null zurückgehen. Die Gesamtzahl der Haushalte ist in diesem Beispiel die obere Grenze des Wachstums.
Man spricht auch von einem Sättigungsprozess . Die Änderungsrate ist proportional zu der noch freien Kapazität, dem sogenannten Sättigungsmanko , das sich aus der Differenz zwischen Grenze und Bestandsgröße ergibt.

Die Prozedur grenzwachs stellt einen exponentiell begrenzten Wachsttumsprozess graphisch dar.

Beispiel 1

In einem Areal, das 100 Falken ernähren kann wurden 1990 10 Falken gezählt, 1993 waren es schon 28.

> k:='k':
B0:=10:
B1:=28:
G:=100:
Dt:=1: # 1 Zeitschritt entspricht 3 Jahren
k:=solve(B1=B0+k*(G-B0)*Dt,k);

> grenzwachs(B0,k,Dt,G,0..30,nein);

>

Beipiel 2

Bei einer Raumtemperatur von 20 Grad Celsius wird eine Tasse Tee mit einer Anfangstemperatur von 90 Grad Celsius eine Viertelstunde lang stehengelassen. Welche Temperatur hat der Tee nach dieser Zeit, wenn die Abkülungskonstante pro Minute sei mit 0.025 angegeben wird.

> display({grenzwachs(90,0.025,1,20,0..60,nein,0..60,0..90),
plot([[15,0],[15,90]],color=black)});

>

Die Verkaufszahlen eines neuen technischen Produktes, das auf eine bestimmte Zielgruppe zugeschnitten ist, werden durch die Anzahl der Personen in dieser Gruppe beschränkt. Wenn alle ein solches Produkt gekauft haben, dann wird die Änderungsrate auf Null zurückgehen. Es liegt also nahe ein exponentiell beschränktes Wachstum anzunehmen.
Dies würde aber bedeuten, dass die Zuwachsrate (Änderungsrate) zu Verkaufsbeginn ihren größten Wert hat. Mit anderen Worten: Die Nachfrage nach dem neuen technischen Gerät müsste in den ersten Monaten am stärksten sein. Häufig ist jedoch ein anderer Wachstumsverlauf aus folgenden Gründen wahrscheinlicher.

* Eine technische Innovation muss sich durchsetzen. Viele Käufer warten erst einmal ab.

* Je mehr Menschen ein solch neues Gerät besitzen (und zufrieden sind), desto stärker wird die Nachfrage. (Mundpropaganda). Die Anzahl der neuen Käufer ist also proportional zu dem Anteil der Besitzer bezogen auf die gesamte mögliche Käuferschaft . (Denn die Mundpropaganda nutzt nur unter den möglichen Käufern etwas).

* DieAnzahl der Personen aus der Zielgruppe bleibt eine Beschränkung.

Einen Wachstumsprozess, bei dem die Änderungsgröße sowohl proportional zu dem Quotienten aus vorhandenen Bestand B(t) und Grenze, als auch proportional zum Sättigungsmanko G-B(t) ist, nennt man logistisch , das Wachstum logistisches Wachstum .

Die Prozedur logistwachs stellt ein logistisches Wachstum graphisch dar.

Beispiel 1

In einer Stadt gibt es 40 000 Haushalte, von denen schätzungsweise jeder fünfte für den Kauf einer ISDN-Anlage in Frage kommt. Es ist damit zu rechnen, dass der Absatz des Produktes mit der Zeit schwieriger wird, da die Zahl der möglichen Käufer abnimmt.
Zu Beginn der Verkaufsphase werden 8 ISDN-Anlagen verkauft, nach einem Monat sind es 12 .
Kann der Hersteller davon ausgehen, dass innerhalb des ersten Jahres wenigstens 2000 Stück verkauft werden?

> k:='k':
B0:=8:
G:=8000:
B1:=12:
Dt:=1: # ein Zeitschritt entspricht 1 Monat
k:=fsolve(B1=B0+k*B0*(G-B0)*Dt/G,k);

> display({logistwachs(B0,k,1,G,0..30,nein),plot(2000,0..30,color=black)});

Die Annahme des Händlers ist zu optimistisch.

>

Beispiel 2

In einem bislang fischfreien Baggersee, der für maximal 4000 Karpfen Lebensraumn bietet, wurden 1990 insgesamt 100 Karpfen ausgesetzt. Im Jahre 1992 wurden bereits 256 Karpfen gezählt. Simulieren Sie die Entwicklung des Karpfenbestandes bis zum Jahr 2020.

> k:='k':
B0:=100:
G:=4000:
B1:=256:
Dt:=1: # ein Zeitschritt entspricht 2 Jahren
k:=fsolve(B1=B0+k*B0*(G-B0)*Dt/G,k);

> logistwachs(B0,k,1,G,0..15,nein);

>

Schon bei der Betrachtung der Zinseszins-Problematik fällt die Bedeutung der Größe der Zeitschritte Dt auf. So steigt bei vierteljährlicher Verzinsung das Kapital sehr viel schneller an, obwohl der Quartalszins auch nur ein Viertel des Jahreszinses beträgt.

In der folgenden Animation kann die Größe der Zeitschritte für die jeweiligen Wachstumsformen variiert werden. Zur Bedeutung der einzelnen Parameter lesen Sie bitte in der Hilfe zur Prozedur DT_ani nach.

> DT_ani(100,0.1,[5,3,1,1/2,1/4,1/12],0..50,exp,0..60,0..15000);

A nimation !

> DT_ani(10,0.3,[7,6,5,4,3,2,1,1/2,1/4,1/12],0..50,logist,100,0..60,0..120,color=blue);

A nimation !

>

Die Prozedur k_ani bietet die Möglichkeit den Wachstumsfaktor zu verändern, so dass dessen Beduetung für die einzelnen Wachstumsformen demonstriert werden kann.

> k_ani(1,[0.1,0.2,0.3,.4],1,0..10,grenz,100);

A nimation !

> k_ani(1,[0.2,0.3,.4],1,0..40,logist,100);

A nimation !

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Literatur

Lambacher / Schweizer
LS Analysis Zwei - Leistungskurs
Klett - Verlag, Stuttgart 1989

Enz
Differentialgleichungen
Landesinstitut für Erziehung und Unterricht, Stuttgart 1995

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