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Überblick

Graphische Darstellung einer Flächenabschätzung über Unter- und Obersumme
Dieses Arbeitsblatt dient dazu, die prinzipielle Vorgehensweise zu visualisieren. Schrittweise wird hier die Idee der Aufteilung der Fläche in n Teilflächen sowie der Ansatz für Abschätzung über die Unter- und Obersumme hergeleitet.
Hinweise zur Methodik des Einsatzes:
Mit diesem Worksheet kann als Hinführung zum Integralgedanken die sukzessive Verfeinerung der Aufteilung graphisch visualisiert werden.
Zunächst wird die zu bestimmende Fläche dargestellt .
Im nächsten Schritt wird die Einteilung dieser Fläche in n krummlinige Trapeze gezeigt, so dass in dieser Phase des Unterrichts das Gespräch reduziert werden kann auf die Bestimmung der Fläche durch Summation von Teilflächen.
Nach Klärung dieses Sachverhalts wird man auf die Annäherung der Flächen durch ein- und umbeschriebene Rechtecke hinsteuern. Zur Verdeutlichung wird ein solcher Streifen farblich hervorgehoben und die dazugehörenden Rechtecksflächen farbig hervorgehoben .
Die anschließende Verfeinerung zielt auf die Erkenntnis der Fehlerreduktion ab.
Diese Verkleinerung des Fehlers durch sukzessive Verfeinerung wird ebenfalls durch die anschließende Animation vorgeführt. Beim Durchlaufen der Animation wird den Schülern deutlich vor Augen geführt, wie die zunächst "kantige" Gesamtfläche sich in der Form immer mehr der gewünschten Gesamtfläche annähert.
Den Abschluss bildet eine Gesamtanimation , in der alle Teilbilder nochmals der Reihe nach dargestellt sind. Auf Wunsch kann der Fachlehrer auch anstelle der Abarbeitung dieses Arbeitsblattes nur diese Animation im Unterricht einsetzen und die entsprechenden Sachverhalte im Unterrichtsgespräch klären.

Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Über das Inhaltsverzeichnis, das als Link den Sprung zu den vier Teilen ermöglicht, kann - nach Aufruf der ersten Sektion (Laden der Bibliothek) - an jede der vier möglichen Einsprungstellen gegangen werden.

Bitte beachten: Innerhalb jeden Paragraphs (Graphik, Abschätzung und Näherung) müssen die einzelnen Befehle der Reihe nach abgearbeitet werden, da einige Befehle abhängig von zuvor aufgerufenen Programmteilen sind.

Die Variablen f, a, b, n und k können , wenn sie durch einen anschließenden Kommentar ( #-Zeichen) erläutert sind, an diesen Stellen modifiziert werden.

Einige, entsprechend markierte Plots sind als Animationen vorbereitet. Diese können schrittweise ausgelöst werden, wenn man in der Symbolleiste auf klickt. Die Symbolleiste ist allerdings erst sichtbar, wenn vorher auf den Plot geklickt worden ist.

Aufgabe: Gegeben ist eine Funktion f, gesucht ist die Fläche zwischen Kurve und x-Achse in einem Intervall I = [a;b] .

Zunächst wird einmal das Schaubild der Funktion visualisiert:

> f := x-> x*(6-x)^2; # Funktion
a := 0; b:= 6; # Intervallgrenzen
p[1] := plot(f,a..b,color=black,thickness=2):
display(p[1]);

>

Und jetzt die Aufgabenstellung:

Zu bestimmen ist die Fläche, die von der Kurve und der x-Achse eingeschlossen wird :

(Die Prozedur Flaeche zeichnet das Schaubild der Funktion f und teilt diese Fläche in n äquidistante Streifen; diese Prozedur wird verwendet, um durch eine große Anzahl von Streifen die Fläche insgesamt einzufärben)

> p[2]:=Teilflaeche(f,a,b,1,1):
display(p[2]);

>

Nun brauchen wir eine Idee zur Bestimmung dieser Fläche !

Irgendwie muss man diese Fläche aufteilen! Aber wie?

Wie wäre es denn mit senkrechten Streifen?

(Die Prozedur Flaeche zeichnet das Schaubild der Funktion f und teilt diese Fläche im Intervall [a,b] in n äquidistante Streifen)

> n:=40: # Anzahl der Streifen

> p[3]:=Flaeche(f,a,b,n): display(p[3]);

>

Dies ist noch ein wenig unübersichtlich! Probieren wir es vereinfachend einmal mit weniger Streifen aus:

(Die Prozedur Flaeche zeichnet das Schaubild der Funktion f und teilt diese Fläche im Intervall [a,b] in n äquidistante Streifen)

> n:=5; # Anzahl der Streifen

> p[4]:=Flaeche(f,a,b,n): display(p[4]);

>

Wie groß ist denn solch ein Streifen, sagen wir mal der k. Streifen?

(Die Prozedur Teilflaeche zeichnet die Einteilung einer Fläche in n äquidistante Streifen und hebt einen Streifen farbig hervor)

> k:=2; # Nummer des Streifens, der hervorgehoben wird

> p[5]:=Teilflaeche(f,a,b,n,k):display(p[5]);

>

Wie groß ist die hervorgehobene Fläche?

Wie groß ist sie denn mindestens? Wie groß ist sie maximal?

Die Prozedur Unterflaeche teilt eine Fläche in n äquidistante Streifen ein und schätzt die Fläche des k. Streifens durch Rechtecke nach unten und oben ab. (Eine andere Möglichkeit ist die Aproximation der Fläche durch Trapezflächen mit Hilfe der Prozedur Trapezflaeche .)

> p[6]:=Unterflaeche(f,a,b,n,k): display(p[6]);

>

Wie können wir den Fehler jetzt verringern?

Gehen wir doch einfach zu dünneren Streifen und damit zu mehr Rechtecken über:

(Die Prozedur Unterflaeche teilt eine Fläche in n äquidistante Streifen ein und schätzt die Fläche des k. Streifens durch Rechtecke nach unten und oben ab)

> n:=20: # Zahl der Rechtecke

> k:=6: # Nummer des betrachteten Rechtecks

> p[7]:=Unterflaeche(f,a,b,n,k): display(p[7]);

>

Oder noch ein bisschen kleinere Rechtecke:

(Die Prozedur Unterflaeche teilt eine Fläche in n äquidistante Streifen ein und schätzt die Fläche des k. Streifens durch Rechtecke nach unten und oben ab)

> n:=50: # Zahl der Rechtecke

> k:=12: # Nummer des betrachteten Rechtecks

> p[8]:=Unterflaeche(f,a,b,n,k): display(p[8]);

>

Schauen wir uns die Aufteilung sowie den entstehenden Fehler nochmals schrittweise und für die gesamte Fläche an!

Vorsicht! Um hier Rechenzeit zu sparen, wird auf eingebaute Funktionen zurückgegriffen sowie die rechte und linke Grenze als minimaler und maximaler Funktionswert verwendet. Deshalb stellen die gezeichneten Rechtecke nicht unbedingt Unter- und Obergrenzen für die Teilflächen dar, wenn das Schaubild innerhalb eines Intervalls ein Extremum besitzt. Es sollte also darauf geachtet werden, dass alle Extrema stets auf den Grenzen der Teilintervalle liegen (zumindest bei den ersten Teilungswerten)!

(Die Prozedur Schachtelung zeichnet über einem krummlinigen Trapez die Abschätzungen über Unter- und Obersummen ein)

> Teilung:=[6,12,25,50,100,250,600]; # Anzahl der Rechtecke bei der sukzessiven Teilung
i:='i':q:=Schachtelung(f,a,b,Teilung):

> display(q[i]$i=1..nops(Teilung),insequence=true);

Animation !

>

Wiederholen wir nochmals die Überlegungen bis hierher:

> display(p[i]$i=1..8,q[i]$i=1..nops(Teilung),insequence=true);

Animation !

>