Initialisierung

Die Eingaben dieser Sektion müssen ausgelöst werden!

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> with(linabb);

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Überblick

In der Sekundarstufe I werden Abbildungen für Punkte einer Ebene auf ihre Eigenschaften hin untersucht. Mit Hilfe der linearen bzw. affinen Abbildungen erhält man eine Klassifikation dieser bbildungen auf einfache Art. Ziel dieses Worksheets ist es nun, Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten, Eigenvektoren und den zugehörigen Abbildungen zu visualisieren. In den gewählten Beispielen rotieren ein Vektor und sein Bildvektor. Fallen beide zusammen, hat man einen Eigenvektor gefunden.

Inhaltsverzeichnis

Bedienungserklärung

Die Berechnungen auf diesem Arbeitsblatt können unter MapleV durch Drücken der Enter-Taste zeilenweise oder aber komplett über den Menüpunkt Edit - Execute - Worksheet ausgelöst werden.

Über die Bildlaufleisten kann ein beliebiger Ausschnitt ausgewählt werden.

Die einzelnen Sektionen sind unabhängig voneinander. Deshalb kann über das Inhaltsverzeichnis an jede beliebige Sektion gesprungen werden. Die Befehle innerhalb einer Sektion sind jedoch nicht unbedingt unabhängig. Hier empfiehlt sich das schrittweise Abarbeiten der einzelnen Befehle.

Einige, entsprechend markierte Plots sind als Animationen vorbereitet. Diese können schrittweise ausgelöst werden, wenn man in der Symbolleiste auf klickt. Die Symbolleiste ist allerdings erst sichtbar, wenn vorher auf den Plot geklickt worden ist.

Im Einzelfall empfiehlt sich die Vergrößerung des Animationsfensters, um sinnvolle Vektorgrößen zu erhalten. Man erreicht dies durch Ziehen mit der Maus an einem Eckpunkt des Fensters (des Bildes).

Bitte bei der Berechnung je nach Prozessorart und Taktfrequenz etwas Geduld mitbringen!

Mit Hilfe der Prozedur abbild soll der Zusammenhang von Eigenwerten und Eigenvektoren für eine vorgegebene Abbildung im visualisiert werden. Dazu werden die Werte der 2x2-Abbildungsmatrix an die Prozedur übergeben. Die Prozedur erzeugt eine Animation, bei der ein Vektor mit der Länge 1 und sein Bildvektor umlaufen. Fallen beide Vektoren zusammen, hat man nach Definition einen Eigenvektor gefunden.

Definition:

Sei f eine lineare Abbildung von V . Ein Vektor heißt Eigenvektor von f zum Eigenwert r (r ), wenn f( ) = r ist.

Zusätzlich werden bei den Beispielen zur jeweiligen Abbildungsmatrix die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet.

In diesem und allen folgenden Beispielen können - ggf. nach Betrachtung der Animation aus den gegebenen Werten - jederzeit die Werte der Matrix A geändert werden. Nach Drücken der Eingabetaste wird die Animation neu berechnet und ebenso die Eigenwerte und Eigenvektoren.

> A:=matrix(2,2,[[1,3],[0,4]]);

> abbild(A);
Eigenwerte:=eigenvals(A);
Eigenvektoren:=eigenvects(A);

A nimation !

>

Hinweis:

In der letzten Zeile der Ausgabe wird zunächst der Eigenwert "1" genannt, dann seine Vielfachheit "1" und schließlich der zugehörige Eigenvektor {[1,0]}. Für den zweiten Eigenwert "4" entsprechend.

Eine Parallelstreckung besitzt in mindestens einem Koordinatensystem eine Abbildungsmatrix der Form mit \{0;1}. Für s = 1 hätte man die identische Abbildung, die hier ohne Bedeutung ist und für s = 0 gibt es keine Affiniät.

> A:=matrix(2,2,[[1,0],[0,3]]);

> abbild(A);
eigenvals(A);
eigenvects(A);

A nimation !

>

Eine zentrische Streckung besitzt in mindestens einem Koordinatensystem eine Abbildungsmatrix der Form mit \{0;1}. Für r = 1 hätte man die identische Abbildung, die hier ohne Bedeutung ist und für r = 0 gibt es wieder keine Affiniät.

> A:=matrix(2,2,[[3,0],[0,3]]);

> abbild(A);
eigenvals(A);
eigenvects(A);

A nimation !

>

Eine EULER-Affinität besitzt in mindestens einem Koordinatensystem eine Abbildungsmatrix der Form mit \{0;1} und .

> A:=matrix(2,2,[[3,0],[0,2]]);

> abbild(A);
eigenvals(A);
eigenvects(A);

A nimation !

>

Eine Scherung besitzt in mindestens einem Koordinatensystem eine Abbildungsmatrix der Form mit \{0}.

> A:=matrix(2,2,[[1,2],[0,1]]);

> abbild(A);
eigenvals(A);
eigenvects(A);

A nimation !

>

Eine Scherstreckung besitzt in mindestens einem Koordinatensystem eine Abbildungsmatrix der Form mit \{0;1} und \{0}.

> A:=matrix(2,2,[[2,3],[0,2]]);

> abbild(A);
eigenvals(A);
eigenvects(A);

A nimation !

>

Die folgende Affinität besitzt keine (reellen) Eigenwerte, wie auch die Rechnung zeigt. Demnach darf es in der Animation keine Zustände geben, bei denen Vektor und Bildvektor zusammenfallen. Das wird sehr schön bestätigt.

> A:=matrix(2,2,[[2,-1],[1,2]]);

> abbild(A);
eigenvals(A);
eigenvects(A);

A nimation !

>

Affinitäten a mit Fixpunkt
Eigenwerte von fa	Zwei verschiedene Eigenwerte		Genau ein Eigenwert		Kein Eigenwert
	1 ist Eigenwert	1 ist kein Eigenwert
Eigenräume von fa	Zwei verschiedene Eigenräume	Zwei verschiedene Eigenräume	Genau ein 1-dimensionlaer Eigenraum	V ist Eigenraum
Normaldarstellung	Parallelstreckung	(echte) EULER-Affinität	Scherstreckung	zentrische Streckung	affine Drehstreckung
Spezialfälle	Achsenspiegelung	flächentreue EULER-Affinität	Scherung	Punktspiegelung oder Identität	mit a2 + b2 = 1 affine Drehung

Literatur

W.C. Bauldry, J.L. Hirst

A Graphical Tool for Linear Algebra

in: MapleTech 3 (3), 48-49, 1996

Lambacher-Schweizer

Themenhefte Mathematik Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Klett-Verlag, Stuttgart 1979

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