Considérons une zone de l'espace où le potentiel V(x) est égal à une valeur constante V et intéressons nous à un état stationnaire d'énergie E. L'équation aux valeurs propres est alors une simple équation différentielle du second ordre à coefficients constants.
Deux cas peuvent être distingués selon la valeur de l'énergie, qui peut être prise supérieure ou inférieure à la valeur constante du potentiel. Dans le premier cas, où E est supérieur à V, définissons la grandeur $k$ par la relation $E-V=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m}$. L'équation aux valeurs propres devient alors $\frac{d^2 \phi}{d x^2}+k^2 \phi=0$ et la solution peut s'écrire \begin{eqnarray} \phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x} \end{eqnarray} où A et B sont deux coefficients complexes. Il s'agit donc de la superposition de deux ondes de de Broglie contra-propagative, la grandeur $k$ correspondant au vecteur d'onde. Notons que la longueur d'onde de de Broglie est d'autant plus grande que $E-V$ est petit.
Dans le second cas, où E est inférieur à V, définissons la grandeur $\k$ par la relation $V-E=\frac{\hbar^2 k^2}{2 m}$. L'équation aux valeurs propres s'écrit maintenant $\frac{d^2 \phi}{d x^2}-k^2 \phi=0$ et la solution devient \begin{eqnarray} \phi(x) = A e^{k x} + B e^{-k x} \end{eqnarray} où A et B sont deux coefficients complexes. Il s'agit maintenant de la superposition d'une exponentielle croissante et d'une exponentielle décroissante. La variation de ces exponentielles est d'autant plus abrupte que $V-E$ est grand.

Etat stationnaire ...

Considérons un puits de potentiel de profondeur V₀ et intéressons-nous à un état lié, c'est à dire un état dont l'énergie est inférieure au potentiel dans la barrière, ici V₀. Dans la zone de l'espace appelée (I), nous savons que $\phi(x)$ est alors la somme de deux exponentielles, l'une croissante et l'autre décroissante. Mais, cette zone étant d'extension spatiale semi-infinie, la fonction d'onde ne pourra être de carré sommable que si nous éliminons celle des deux exponentielles qui diverge. Cette condition détermine entièrement la solution dans cette zone de l'espace, à une constante multiplicative près. En appliquant maintenant les relations de continuité aux interfaces comme nous l'avons vu précédemment, nous en déduisons la fonction d'onde dans tout l'espace. Le plus souvent on aboutira à une solution divergente lorsque x tend vers $+\infty$. La solution ne peut alors pas être normalisée et n'est donc pas physiquement acceptable. Une telle valeur de l'énergie sera interdite. En fait, il n'existe que certaines valeurs bien précises de l'énergie, en nombre discret, pour lesquelles on aboutit à une solution physiquement acceptable de l'équation aux valeurs propres. Nous en déduisons donc ce résultat fondamental: l'énergie des états liés est quantifiée.

De façon plus générale, considérons un potentiel de forme plus quelconque, dont on supposera seulement qu'il prend une valeur constante $V_0$ en dehors de la zone centrale. Cherchons maintenant un état lié, c'est à dire tel que l'énergie E de cet état soit inférieure à $V_0$. Comme dans le cas du puits rectangulaire, on part d'une solution variant exponentiellement dans la barrière de gauche. Connaissant la fonction d'onde et sa dérivée en un point de cette zone, nous en déduisons l'unique solution de l'équation aux valeurs propres puisque cette équation est une équation différentielle du second ordre. Ici encore, il n'y a aucune raison que l'on n'obtienne pas une fonction divergeant exponentiellement dans la barrière de droite. On retrouve donc la quantification de l'énergie, à savoir que seules certaines valeurs discrètes de l'énergie sont permises.

Etudions quelques propriétés générales des états liés d'un puits de potentiel unidimensionnel. Pour cela augmentons progressivement la valeur de l'énergie en partant de la valeur minimale prise par le potentiel. On montre aisément que pour de très petites valeurs de l'énergie, $\phi(x)$ ne prend que des valeurs positives, avec une exponentielle croissante dans la barrière de droite. Mais lorsque l'on augmente encore l'énergie, cette composante exponentielle s'ammoindrit, jusqu'à s'annuler complètement. Nous avons trouvé le premier état lié: l'état fondamental. On peut en déduire de façon générale que la fonction d'onde de l'état fondamental ne s'annule jamais. Augmentons encore la valeur de l'énergie. La fonction d'onde change alors de signe dans la partie droite résultant en une réapparition de la divergence exponentielle. Cette dernière finit par disparaître si l'on augmente encore la valeur de l'énergie. On atteint ainsi le second état lié, pour lequel la fonction d'onde s'annule une et une seule fois. De même la fonction d'onde de l'état suivant s'annulera deux fois, et ainsi de suite. Nous avons démontré un résultat très général: si l'on numérote les états liés en commençant par n=0 pour l'état fondamental, on voit que le nombre de points où la fonction d'onde s'annule est simplement égal au numéro de l'état, résultat qui s'applique bien entendu au cas particulier du puits rectangulaire.

Nous pouvons déduire du résultat précédent une méthode numérique pour déterminer les états liés d'un potentiel unidimensionnel. Par exemple, supposons que l'on cherche l'état n=2 et essayons une valeur de l'énergie au milieu de l'intervalle où celle-ci peut se trouver a priori. La fonction d'onde ainsi obtenue s'annule 3 fois, ce qui signifie que cette valeur d'essai se trouve entre l'état n=2 et l'état n=3. L'état n=2 est donc nécessairement en dessous de la valeur d'essai et l'on a divisé par deux la zone où peut se trouver l'énergie de l'état n=2. Essayons maintenant l'état se trouvant au milieu de ce nouvel intervalle. La fonction d'onde s'annule maintenant seulement deux fois ce qui signifie que l'on est en dessous de l'état cherché. A chaque essai on divise donc par deux l'intervalle où peut se trouver l'état cherché et en procédant par dichotomie on converge très vite vers l'état recherché. On peut procéder de la même façon pour déterminer tous les états liés d'un potentiel unidimensionnel.

Vous pouvez essayer ici différents types de potentiel et modifier simplement leurs caractéristiques, ce qui vous permettra de vous familiariser avec les résultats que nous avons établi précédemment sur les états liés d'un potentiel unidimensionnel.

[stationary]

Considérons dans un premier temps l'évolution temporelle d'un état stationnaire. L'état initial du système est ainsi pris proportionnel à l'état propre phi_1 d'énergie E_1. phi(x) à l'instant t=0 est égal à C phi_1(x) où C est un coefficient complexe. La fonction d'onde de cet état est représentée dans le panneau supérieur gauche, la partie réelle en vert et la partie imaginaire en orange.

Il est possible de modifier le coefficient complexe C, soit dans le panneau central en modifiant la partie réelle et la partie imaginaire de C, soit en modifiant directement le coefficient dans le plan complexe. Le panneau inférieur montre le carré de la fonction d'onde, psi(x,t) au carré, c'est à dire la densité de probabilité de trouver la particule au point x.

Observons maintenant l'évolution temporelle de la fonction d'onde. Nous savons que psi(x,t) reste à tout instant proportionnel à l'état propre phi_1(x), le coefficient de proportionnalité C(t) décrivant un cercle dans le plan complexe comme représenté en haut à droite. En conséquence le carré de la fonction d'onde n'évolue pas car le module de C(t) reste constant. La densité de probabilité ne dépend pas du temps. C'est la raison pour laquelle un tel état est dénommé état stationnaire.

[stationary2]

Considérons maintenant un second état stationnaire, d'énergie E_2. La seule différence avec le cas précédent est que l'énergie de cet état étant plus grande, la fréquence omega_2 est plus élevée ce qui résulte en un mouvement plus rapide pour le coefficient C(t). La densité de probabilité, toujours indépendante du temps, s'écrit maintenant phi_2(x) en module au carré et présente deux maxima.

[superposition]

Considérons maintenant une superposition linéaire des deux états stationnaires étudiés précédemment. Lorsque les deux coefficients sont en phase les fonctions propres interfèrent constructivement dans la partie gauche alors qu'elles interfèrent destructivement dans la partie droite. phi_1(x) + phi_2(x) a une amplitude maximale dans la partie gauche et la particule a donc plus de chance d'être détectée de ce côté.

A l'inverse, lorsque C_1 et C_2 sont en opposition de phase, les fonctions propres interfèrent destructivement à gauche et constructivement à droite. phi_1(x) - phi_2(x) a une amplitude maximale dans la partie droite et la particule a plus de chance d'être détectée de ce côté.

Observons maintenant l'évolution temporelle de cette superposition linéaire de deux états stationnaires. On voit que C_1(t) et C_2(t) sont alternativement en phase puis en opposition de phase en raison de leurs fréquences de rotation différentes. La position moyenne de la particule oscille donc à la fréquence omega_21 = omega_2 - omega_1. On peut en conclure que la superposition linéaire de deux états stationnaires n'est plus un état stationnaire.

[nh3]

Cette animation représente l'évolution de la molécule d'ammoniac lorsque son état quantique est une superposition des deux premiers états propres. La partie gauche représente un modèle simplifié unidimensionnel de la molécule, reposant sur un double puits. La partie droite tente de représenter la molécule elle-même.

[harmonic]

[box_2d]