> with(linalg):
# Dimensionslose RITZ-Anstze:
> p(xi,eta):=(1-xi^2)*(1-eta^2);

                                       2          2
                  p(xi, eta) := (1 - xi ) (1 - eta )

> q(xi,eta):=(1-xi^2)*(1-eta^2)*xi^2*eta^2;

                                  2          2    2    2
             q(xi, eta) := (1 - xi ) (1 - eta ) xi  eta

> r(xi,eta):=(1-xi^2)*(1-eta^2)*xi^4*eta^4;

                                  2          2    4    4
             r(xi, eta) := (1 - xi ) (1 - eta ) xi  eta

# Ihre partiellen Ableitungen ergeben sich zu:
> a(xi,eta):=diff(p(xi,eta),xi);

                                                2
                    a(xi, eta) := -2 xi (1 - eta )

> b(xi,eta):=diff(q(xi,eta),xi);

  b(xi, eta) :=

             3         2     2            2          2        2
        -2 xi  (1 - eta ) eta  + 2 (1 - xi ) (1 - eta ) xi eta

> c(xi,eta):=diff(r(xi,eta),xi);

  c(xi, eta) :=

             5         2     4            2          2    3    4
        -2 xi  (1 - eta ) eta  + 4 (1 - xi ) (1 - eta ) xi  eta

# Die Matrix [K] im Gleichungssystem [k] {C}={P} ermittelt man durch
# Integrationen:
> J:=matrix(3,3,[a(xi,eta)*a(xi,eta),a(xi,eta)*b(xi,eta),a(xi,eta)*c(xi,
> eta),
> b(xi,eta)*a(xi,eta),b(xi,eta)*b(xi,eta),b(xi,eta)*c(xi,eta),
> c(xi,eta)*a(xi,eta),c(xi,eta)*b(xi,eta),c(xi,eta)*c(xi,eta)]):
> K:=map(int,map(int,J,xi=0..1),eta=0..1);

                         [ 32       32       32  ]
                         [ --      ----     -----]
                         [ 45      1575     11025]
                         [                       ]
                         [ 32       352      32  ]
                    K := [----     -----    -----]
                         [1575     33075    10395]
                         [                       ]
                         [ 32       32       32  ]
                         [-----    -----    -----]
                         [11025    10395    22869]

# Der "Belastungsvektor" {P} ergibt sich zu:
> Q:=matrix(3,1,[p(xi,eta),q(xi,eta),r(xi,eta)]):
> P:=evalm(2*map(int,map(int,Q,xi=0..1),eta=0..1));

                                 [ 8/9  ]
                                 [      ]
                            P := [8/225 ]
                                 [      ]
                                 [8/1225]

# Im Folgenden wird der Lsungsvektor {C} fr drei verschiedene
# Nherungsanstze ermittelt.
# 
# 1) Eingliedriger Nherungsansatz mit dem Parameter C11:
> solve({(32/45)*C[11]=8/9},{C[11]});

                            {C[11] = 5/4}

# 2) Zweigliedriger Nherungsansatz mit dem Parametern C21 und C22:
> solve({C[21]/45+C[22]/1575=8/9/32,C[21]/1575+(11/33075)*C[22]=8/225/32
> },{C[21],C[22]});

                               127          105
                      {C[21] = ---, C[22] = ---}
                               104          104

> C[21]:=evalf(127/104); C[22]:=evalf(105/104);

                         C[21] := 1.221153846


                         C[22] := 1.009615385

# 3) Dreigliedriger Nherungsansatz mit dem Parametern C31, C32 und C33:
> solve({C[31]/45+C[32]/1575+C[33]/11025=8/9/32,C[31]/1575+(11/33075)*C[
> 32]+C[33]/10395=8/225/32,
> C[31]/11025+C[32]/10395+C[33]/22869=8/1225/32},{C[31],C[32],C[33]});

                     24089          10689          -4851
            {C[31] = -----, C[32] = -----, C[33] = -----}
                     19744          9872           19744

> C[31]:=evalf(24089/19744);C[32]:=evalf(10689/9872);C[33]:=evalf(-4851/
> 19744);

                         C[31] := 1.220066856


                         C[32] := 1.082759319


                        C[33] := -0.2456948947

# Das Torsionsmoment ermittelt man nach der Formel
> M:=2*G*D*Int(Int(Phi(x,y),x=-a..a),y=-b..b);

                               b    a
                              /    /
                             |    |
                 M := 2 G D  |    |   Phi(x, y) dx dy
                             |    |
                            /    /
                              -b   -a

# Fr die einzelnen Nherungsanstze erhlt man die bezogenen Werte:
> M[1]:=10*int(int(p(xi,eta),xi=0..1),eta=0..1);M[1]:=evalf(40/9);

                             M[1] := 40/9


                         M[1] := 4.444444444

> M[2]:=8*int(int(C[21]*p(xi,eta)+C[22]*q(xi,eta),xi=0..1),eta=0..1);

                         M[2] := 4.485470085

> M[3]:=8*int(int(C[31]*p(xi,eta)+C[32]*q(xi,eta)+C[33]*r(xi,eta),xi=0..
> 1),eta=0..1);

                         M[3] := 4.485589772

# Der Vergleichswert nach TIMOSHENKO / GOODIER ist: M = 4.5 .
> 
