# Integralsinus  Si(xi):
> Int((1/t)*sin(t),t=0..xi)=int((1/t)*sin(t),t=0..xi);

                          xi
                         /
                        |    sin(t)
                        |    ------ dt = Si(xi)
                        |      t
                       /
                         0

# Transformation:
> t:=xi*(1+x)/2;

                                xi (1 + x)
                           t := ----------
                                    2

> Int(sin(xi*(1+x)/2)/(1+x),x=-1..1)=           
> int(sin(xi*(1+x)/2)/(1+x),x=-1..1);

                      1     xi (1 + x)
                     /  sin(----------)
                    |           2
                    |   --------------- dx = Si(xi)
                    |        1 + x
                   /
                     -1

> Digits:=5:
> n:=1:
> Quadratur[1]:=2*sin(xi/2);

                                            xi
                     Quadratur[1] := 2 sin(----)
                                            2

> n:=2:
> Quadratur[2]:=sin(xi*(1-1/sqrt(3))/2)/(1-1/sqrt(3))+sin(xi*(1+1/sqrt(3
> ))/2)/(1+1/sqrt(3));

                              /     1/2\           /     1/2\
                              |    3   |           |    3   |
                           xi |1 - ----|        xi |1 + ----|
                              \     3  /           \     3  /
                       sin(-------------)   sin(-------------)
                                 2                    2
       Quadratur[2] := ------------------ + ------------------
                                 1/2                  1/2
                                3                    3
                            1 - ----             1 + ----
                                 3                    3

> quadratur[2]:=evalf(%);

   quadratur[2] := 2.3661 sin(0.21132 xi) + 0.63395 sin(0.78870 xi)

> n:=3:
> Quadratur[3]:=simplify(8/9)*sin(xi/2)+(5/9)*(sin(xi*(1-sqrt(3/5))/2)/(
> 1-sqrt(3/5))+sin(xi*(1+sqrt(3/5))/2)/(1+sqrt(3/5)));

                                             /      1/2\
                                             |    15   |
                                          xi |1 - -----|
                                             \      5  /
                                      sin(--------------)
                           xi                   2
  Quadratur[3] := 8/9 sin(----) + 5/9 -------------------
                           2                     1/2
                                               15
                                           1 - -----
                                                 5

                      /      1/2\
                      |    15   |
                   xi |1 + -----|
                      \      5  /
               sin(--------------)
                         2
         + 5/9 -------------------
                          1/2
                        15
                    1 + -----
                          5

> quadratur[3]:=evalf(%);

  quadratur[3] := 0.88889 sin(0.50000 xi) + 2.4648 sin(0.11270 xi)

         + 0.31306 sin(0.88730 xi)

> n:=4:
> g:=sqrt(525-70*sqrt(30))/35;                       
> G:=sqrt(525+70*sqrt(30))/35;            
> H:=(490+49*sqrt(30))/(900+48*sqrt(30));                           
> H:=factor(H);                           
> h:=(490-49*sqrt(30))/(900-48*sqrt(30));                           
> h:=factor(h);

                                        1/2 1/2
                            (525 - 70 30   )
                       g := -------------------
                                    35


                                        1/2 1/2
                            (525 + 70 30   )
                       G := -------------------
                                    35


                                         1/2
                              490 + 49 30
                         H := --------------
                                         1/2
                              900 + 48 30


                                        1/2
                                      30
                           H := 1/2 + -----
                                       36


                                         1/2
                              490 - 49 30
                         h := --------------
                                         1/2
                              900 - 48 30


                                        1/2
                                      30
                           h := 1/2 - -----
                                       36

> Quadratur[4]:=h*(sin(xi*(1-G)/2)/(1-G)+sin(xi*(1+G)/2)/(1+G))+H*(sin(x
> i*(1-g)/2)/(1-g)+sin(xi*(1+g)/2)/(1+g));

                                /       /                1/2 1/2\
                                |       |    (525 + 70 30   )   |
                                |    xi |1 - -------------------|
                                |       \            35         /
                  /        1/2\ |sin(----------------------------)
                  |      30   | |                 2
  Quadratur[4] := |1/2 - -----| |---------------------------------
                  \       36  / |                     1/2 1/2
                                |         (525 + 70 30   )
                                |     1 - -------------------
                                \                 35

                  /                1/2 1/2\ \                 /
                  |    (525 + 70 30   )   | |                 |
               xi |1 + -------------------| |                 |
                  \            35         / |                 |
           sin(----------------------------)|   /        1/2\ |
                            2               |   |      30   | |
         + ---------------------------------| + |1/2 + -----| |
                                1/2 1/2     |   \       36  / |
                    (525 + 70 30   )        |                 |
                1 + -------------------     |                 |
                            35              /                 \

               /                1/2 1/2\
               |    (525 - 70 30   )   |
            xi |1 - -------------------|
               \            35         /
        sin(----------------------------)
                         2
        ---------------------------------
                             1/2 1/2
                 (525 - 70 30   )
             1 - -------------------
                         35

                  /                1/2 1/2\ \
                  |    (525 - 70 30   )   | |
               xi |1 + -------------------| |
                  \            35         / |
           sin(----------------------------)|
                            2               |
         + ---------------------------------|
                                1/2 1/2     |
                    (525 - 70 30   )        |
                1 + -------------------     |
                            35              /

# 
> quadratur[4]:=evalf(%);

  quadratur[4] := 2.5049 sin(0.069435 xi) + 0.18691 sin(0.93055 xi)

         + 0.98807 sin(0.33000 xi) + 0.48668 sin(0.67000 xi)

> plot({2,Pi/2,Si(2*Pi),Si(xi),Quadratur[1],Quadratur[2],Quadratur[3],Qu
> adratur[4]}, xi=0..2*Pi,0..2,color=black);

> L_zwei:=sqrt((1/(2*Pi))*Int((Integralsinus-Quadratur)^2,xi=0..2*Pi));

  L_zwei :=

                 /        2 Pi                                 \1/2
                 |       /                                     |
             1/2 | 1    |                                 2    |
        1/2 2    |----  |      (Integralsinus - Quadratur)  dxi|
                 | Pi   |                                      |
                 |     /                                       |
                 \       0                                     /

> Digits:=10:
> for i in [1,2,3,4] do                 
> L_zwei[i]:=evalf(sqrt((1/(2*Pi))*int((Si(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..2*P
> i)))             od;
> 

                      L_zwei[1] := 0.4174539947


                      L_zwei[2] := 0.07079899745


                     L_zwei[3] := 0.004521402226


                     L_zwei[4] := 0.0001562619752

#    Im betrachteten Bereich  < 0..2Pi> ist  dieNherung mit einem
# Sttzpunkt  unbrauchbar, whrend die Nherung mit zwei      
# Sttzpunkten (n = 2) nur geringfgige Abweichungen zeigt. Die
# Nherungen mit n = 3  und  n = 4  GAUSS-Punkten fallen im Rahmen der
# Strichstrke mit dem Integralsinus zusammen. 
> #                                                                     
#      
> Grenzwert:=Integralsinus(infinity)=Si(infinity);
> Grenzwert:=Integralkosinus(infinity)=Ci(infinity);

                                                     Pi
             Grenzwert := Integralsinus(infinity) = ----
                                                     2


              Grenzwert := Integralkosinus(infinity) = 0

> plot({-2,2,Pi/2,Si(xi),Ci(xi),Quadratur[4]},xi=0..10,-2..2,
> scaling=constrained);

> plot({Si(xi),Quadratur[4]},xi=0..20);

> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
