> INT:=(t/Pi)*Int((exp(I*x*t))*sqrt(1-x^2),x=-1..1)=     
> (t/Pi)*int((exp(I*x*t))*sqrt(1-x^2),x=-1..1);

                     1
                    /
              t    |                    2 1/2
      INT := ----  |   exp(x t I) (1 - x )    dx = BesselJ(1, t)
              Pi   |
                  /
                    -1

> Digits:=15:
> n:=1:
> Quadratur[1]:=2*t/Pi:
> quadratur[1]:=evalf(%);

                 quadratur[1] := 0.636619772367582 t

> n:=2:
> Quadratur[2]:=((t/Pi)*sqrt(1-1/3))*(exp(-I*t/sqrt(3))+exp(I*t/sqrt(3))
> ):
> quadratur[2]:=evalf(%):
> quadratur[2]:=simplify(%);

     quadratur[2] := 0.519797867489118 t cos(0.577350269189626 t)

> n:=3:
> Quadratur[3]:=(t/Pi)*(8/9)+((5*t/9/Pi)*sqrt(1-3/5))*(exp(-I*t*sqrt(3/5
> ))+exp(I*t*sqrt(3/5))):
> quadratur[3]:=evalf(%):
> quadratur[3]:=simplify(%);

  quadratur[3] := 0.223685387131054 t cos(0.774596669241484 t)

         + 0.282942121052259 t

> n:=4:
> X[4]:=(1/35)*sqrt(525+70*sqrt(30)):
> x[4]:=(1/35)*sqrt(525-70*sqrt(30)): H[4]:=1/2+sqrt(30)/36:
> h[4]:=1/2-sqrt(30)/36:
> Quadratur[4]:=(t*H[4]/Pi*sqrt(1-x[4]^2))*(exp(-x[4]*I*t)+exp(x[4]*I*t)
> )+(t*h[4]/Pi*sqrt(1-X[4]^2))*(exp(-X[4]*I*t)+exp(X[4]*I*t)):
> quadratur[4]:=evalf(%):
> quadratur[4]:=simplify(%);

  quadratur[4] := 0.112580097210559 t cos(0.861136311594052 t)

         + 0.390437862770456 t cos(0.339981043584857 t)

> n:=5:
> X[5]:=(1/21)*sqrt(245+14*sqrt(70)):
> x[5]:=(1/21)*sqrt(245-14*sqrt(70)): H[5]:=161/450+13*sqrt(70)/900:
> h[5]:=161/450-13*sqrt(70)/900:
> Quadratur[5]:=128*t/225/Pi+(t*H[5]/Pi*sqrt(1-x[5]^2))*(exp(-x[5]*I*t)+
> exp(x[5]*I*t))+(t*h[5]/Pi*sqrt(1-X[5]^2))*(exp(-X[5]*I*t)+exp(X[5]*I*t
> )):
> quadratur[5]:=evalf(%):
> quadratur[5]:=simplify(%);

  quadratur[5] := 0.0637858688006752 t cos(0.906179845938666 t)

         + 0.256757739811274 t cos(0.538469310105681 t)

         + 0.181082957473446 t

> n:=6:
> Quadratur[6]:=(0.467913934572690*t/Pi*sqrt(1-0.238619186083197^2))*(ex
> p(-0.238619186083197*I*t)+exp(0.238619186083197*I*t))+(0.3607615730481
> 32*t/Pi*sqrt(1-0.661209386466265^2))*(exp(-0.661209386466265*I*t)+exp(
> 0.661209386466265*I*t))+(0.171324492379175*t/Pi*sqrt(1-0.9324695142031
> 52^2))*(exp(-0.932469514203152*I*t)+exp(0.932469514203152*I*t)):
> quadratur[6]:=evalf(%):
> quadratur[6]:=simplify(%);

  quadratur[6] := 0.0394008725292942 t cos(0.932469514203152 t)

         + 0.172297219033464 t cos(0.661209386466265 t)

         + 0.289278373934626 t cos(0.238619186083197 t)

> plot({1,BesselJ(1,t),Quadratur[4],Quadratur[5],Quadratur[6]},
> t=0..10,color=black);

> L_zwei:=sqrt((1/10)*Int((Bessel[1]-Quadratur)^2,t=0..10));

                          /   10                            \1/2
                          |  /                              |
                      1/2 | |                           2   |
     L_zwei := 1/10 10    | |    (Bessel[1] - Quadratur)  dt|
                          | |                               |
                          |/                                |
                          \  0                              /

> Digits:=15:
> for i in [4,5,6] do                           
> L_zwei[i]:=evalf(sqrt((1/10)*int((BesselJ(1,t)-Quadratur[i])^2,t=0..10
> )))     od;

                    L_zwei[4] := 1.74877554738411


                    L_zwei[5] := 0.778703454698324


                    L_zwei[6] := 0.217209826420258

> l_zwei:=sqrt((1/5)*Int((Bessel[1]-Quadratur)^2,t=0..5));

                          /   5                            \1/2
                          |  /                             |
                      1/2 | |                          2   |
       l_zwei := 1/5 5    | |   (Bessel[1] - Quadratur)  dt|
                          | |                              |
                          |/                               |
                          \  0                             /

> for i in [4,5,6] do                                             
> l_zwei[i]:=evalf(sqrt((1/5)*int((BesselJ(1,t)-Quadratur[i])^2,t=0..5))
> )       od;

                   l_zwei[4] := 0.0397264612382610


                   l_zwei[5] := 0.00468800321668990


                   l_zwei[6] := 0.00167438600949535

# Die Nherungen  n = 4, 5, 6  sind im Bereich  t = [0,5]  besser als im
# Bereich t = [0,10], wie man auch aus der obigen Grafik unmittelbar
# erkennt.
> plot({BesselJ(0,t),BesselJ(1,t)},t=0..25,color=black);
> 

> 
