# DEBYEsche Funktion
> d_:=(3/xi^3)*Int(t^3/(exp(t)-1),t=0..xi);

                                 xi
                                /        3
                           3   |        t
                    d_ := ---  |    ---------- dt
                            3  |    exp(t) - 1
                          xi  /
                                0

> d(xi):=(3/xi^3)*int(t^3/(exp(t)-1),t=0..xi);

             /    4
             |  xi      3                       2
  d(xi) := 3 |- --- + xi  ln(1 - exp(xi)) + 3 xi  polylog(2, exp(xi))
             \   4

                                                                4\
                                                              Pi |
         - 6 xi polylog(3, exp(xi)) + 6 polylog(4, exp(xi)) - ---|
                                                              15 /

           /   3
          /  xi
         /

> plot({limit(d(xi),xi=0),d(xi)},xi=0..5,color=black);

> D_:=(3/2/xi^2)*Int((xi*(1+x)/2)^3/(exp(xi*(1+x)/2)-1),x=-1..1);

                     /       1                           \
                     |      /           3        3       |
                     | 1   |          xi  (1 + x)        |
           D_ := 3/2 |---  |   1/8 ------------------- dx|
                     |  2  |           xi (1 + x)        |
                     |xi   |       exp(----------) - 1   |
                     |    /                2             |
                     \      -1                           /

> D(xi):=(3/2/xi^2)*int((xi*(1+x)/2)^3/(exp(xi*(1+x)/2)-1),x=-1..1);

                       4
  D(xi) := -1/20 (15 xi  - 360 polylog(4, exp(xi))

                3
         - 60 xi  ln(1 - exp(xi)) + 360 xi polylog(3, exp(xi))

                 2                           4    /   3
         - 180 xi  polylog(2, exp(xi)) + 4 Pi )  /  xi
                                                /

> plot({limit(D(xi),xi=0),D(xi)},xi=0..5,color=black);

> L_zwei:=sqrt((1/5)*int((D(xi)-d(xi))^2,xi=0..5));

                             L_zwei := 0

> Quadratur[1]:=(3/8/xi^2)*xi^3/(exp(xi/2)-1);

                                           xi
                  Quadratur[1] := 3/8 -------------
                                           xi
                                      exp(----) - 1
                                           2

> Quadratur[2]:=(3*xi/16)*(1-1/sqrt(3))^3/(exp(xi*(1-1/sqrt(3))/2)-1)+(3
> *xi/16)*(1+1/sqrt(3))^3/(exp(xi*(1+1/sqrt(3))/2)-1);

  Quadratur[2] :=

                    /     1/2\3                   /     1/2\3
                    |    3   |                    |    3   |
                 xi |1 - ----|                 xi |1 + ----|
                    \     3  /                    \     3  /
        3/16 ---------------------- + 3/16 ----------------------
                    /     1/2\                    /     1/2\
                    |    3   |                    |    3   |
                 xi |1 - ----|                 xi |1 + ----|
                    \     3  /                    \     3  /
             exp(-------------) - 1        exp(-------------) - 1
                       2                             2

> Quadratur[3]:=(3*xi/16)*(8/9)/(exp(xi/2)-1)+(3*xi/16)*(5/9)*(1-sqrt(3/
> 5))^3/(exp(xi*(1-sqrt(3/5))/2)-1)+(3*xi/16)*(5/9)*(1+sqrt(3/5))^3/(exp
> (xi*(1+sqrt(3/5))/2)-1);

                                                  /      1/2\3
                                                  |    15   |
                                               xi |1 - -----|
                           xi                     \      5  /
  Quadratur[3] := 1/6 ------------- + 5/48 -----------------------
                           xi                     /      1/2\
                      exp(----) - 1               |    15   |
                           2                   xi |1 - -----|
                                                  \      5  /
                                           exp(--------------) - 1
                                                     2

                       /      1/2\3
                       |    15   |
                    xi |1 + -----|
                       \      5  /
         + 5/48 -----------------------
                       /      1/2\
                       |    15   |
                    xi |1 + -----|
                       \      5  /
                exp(--------------) - 1
                          2

> plot({1,D(xi),Quadratur[1],Quadratur[2],Quadratur[3]},xi=0..5,color=bl
> ack);

> L_zwei:=sqrt((1/5)*Int((DEBYE-Quadratur)^2,xi=0..5));

                           /   5                         \1/2
                           |  /                          |
                       1/2 | |                      2    |
        L_zwei := 1/5 5    | |   (DEBYE - Quadratur)  dxi|
                           | |                           |
                           |/                            |
                           \  0                          /

> for i in [1,2,3] do 
> L_zwei[i]:=evalf(sqrt((1/5)*int((D(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..5)),15)
> od;
> 

                                                           -17
     L_zwei[1] := 0.0878029179962592 - 0.120454591512944 10    I


                                                            -16
     L_zwei[2] := 0.00564964909105318 + 0.102306642292941 10    I


                                                             -17
    L_zwei[3] := 0.0000957832004126750 + 0.110942107316632 10    I

>   # Im betrachteten Bereich  <  0..5  >  ist die Nherung mit einem
# Sttzpunkt zu ungenau. Die Nherungen mit  n = 2  und  n = 3 
# GAUSS-Punkten sind sehr zufrieden stellend. Die imaginren Anteile
# sind numerische Effekte und verschwindend klein. 
> for i in [1,2,3] do      
> L_zwei[i]:=evalf(sqrt((1/5)*int((d(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..5)),15)
> od;
> #  
> 
Warning, computation interrupted

