# EULERsche Konstante
> g_:=-Int(exp(-t)*ln(t),t=0..xi)=-int(exp(-t)*ln(t),t=0..xi);

           xi
          /
         |
 g_ := - |    exp(-t) ln(t) dt = exp(-xi) ln(xi) + Ei(1, xi) + gamma
         |
        /
          0

> g(xi):=gamma+Ei(1,xi)+exp(-xi)*ln(xi);

             g(xi) := exp(-xi) ln(xi) + Ei(1, xi) + gamma

> limit(g_,xi=infinity);

                               xi
                              /
                             |
                lim        - |    exp(-t) ln(t) dt = gamma
           xi -> infinity    |
                            /
                              0

> EULERsche_Konstante:=evalf(gamma);

                 EULERsche_Konstante := 0.5772156649

# Transformation:
> t:=xi*(1+x)/2;

                                xi (1 + x)
                           t := ----------
                                    2

> G(xi):=-(xi/2)*Int(exp(-xi*(1+x)/2)*ln(xi*(1+x)/2),x=-1..1)=
> -(xi/2)*simplify(int(exp(-xi*(1+x)/2)*ln(xi*(1+x)/2),x=-1..1));

                      1
                     /
                    |         xi (1 + x)     xi (1 + x)
  G(xi) := -1/2 xi  |   exp(- ----------) ln(----------) dx = 1/2 (
                    |             2              2
                   /
                     -1

        2 ln(xi) + 2 Ei(1, xi) exp(xi) + Pi exp(xi) I

         + Pi csgn(xi I) exp(xi) I - Pi csgn(xi) exp(xi) I

         - Pi csgn(xi) csgn(xi I) exp(xi) I + 2 gamma exp(xi))

        exp(-xi)

> limit(G(xi),xi=infinity);

                             1
                            /
                           |         xi (1 + x)     xi (1 + x)
       lim        -1/2 xi  |   exp(- ----------) ln(----------) dx =
  xi -> infinity           |             2              2
                          /
                            -1

        gamma

> plot(G(xi),xi=0..5,color=black);
Plotting error, empty plot
> Quadratur[1]:=-xi*exp(-xi/2)*ln(xi/2);

                                          xi       xi
               Quadratur[1] := -xi exp(- ----) ln(----)
                                          2        2

> Quadratur[2]:=-(xi/2)*(exp(-xi*(1-1/sqrt(3))/2)*ln(xi*(1-1/sqrt(3))/2)
> +exp(-xi*(1+1/sqrt(3))/2)*ln(xi*(1+1/sqrt(3))/2));

                          /         /     1/2\        /     1/2\
                          |         |    3   |        |    3   |
                          |      xi |1 - ----|     xi |1 - ----|
                          |         \     3  /        \     3  /
  Quadratur[2] := -1/2 xi |exp(- -------------) ln(-------------)
                          \            2                 2

                    /     1/2\        /     1/2\ \
                    |    3   |        |    3   | |
                 xi |1 + ----|     xi |1 + ----| |
                    \     3  /        \     3  / |
         + exp(- -------------) ln(-------------)|
                       2                 2       /

> Quadratur[3]:=-(xi/2)*(8/9)*exp(-xi/2)*ln(xi/2)-(xi/2)*(5/9)*exp(-xi*(
> 1-sqrt(3/5))/2)*ln(xi*(1-sqrt(3/5))/2)-(xi/2)*(5/9)*exp(-xi*(1+sqrt(3/
> 5))/2)*ln(xi*(1+sqrt(3/5))/2);

                                 xi       xi
  Quadratur[3] := -4/9 xi exp(- ----) ln(----)
                                 2        2

                            /      1/2\        /      1/2\
                            |    15   |        |    15   |
                         xi |1 - -----|     xi |1 - -----|
                            \      5  /        \      5  /
         - 5/18 xi exp(- --------------) ln(--------------)
                               2                  2

                            /      1/2\        /      1/2\
                            |    15   |        |    15   |
                         xi |1 + -----|     xi |1 + -----|
                            \      5  /        \      5  /
         - 5/18 xi exp(- --------------) ln(--------------)
                               2                  2

> n:=5: x:=sqrt(245-14*sqrt(70))/21; X:=sqrt(245+14*sqrt(70))/21;      
> H:=161/450+13*sqrt(70)/900; h:=161/450-13*sqrt(70)/900;

                                        1/2 1/2
                            (245 - 14 70   )
                       x := -------------------
                                    21


                                        1/2 1/2
                            (245 + 14 70   )
                       X := -------------------
                                    21


                                         1/2
                              161   13 70
                         H := --- + --------
                              450     900


                                         1/2
                              161   13 70
                         h := --- - --------
                              450     900

> Quadratur[5]:=-(xi/2)*(128/225)*exp(-xi/2)*ln(xi/2)-(xi/2)*H*(exp(-xi*
> (1-x)/2)*ln(xi*(1-x)/2)+exp(-xi*(1+x)/2)*ln(xi*(1+x)/2))-(xi/2)*h*(exp
> (-xi*(1-X)/2)*ln(xi*(1-X)/2)+exp(-xi*(1+X)/2)*ln(xi*(1+X)/2));

                   64            xi       xi
  Quadratur[5] := ---- xi exp(- ----) ln(----) - 1/2 xi
                   225           2        2

                         /         /                1/2 1/2\
                         |         |    (245 - 14 70   )   |
        /           1/2\ |      xi |1 - -------------------|
        |161   13 70   | |         \            21         /
        |--- + --------| |exp(- ----------------------------)
        \450     900   / \                   2

              /                1/2 1/2\
              |    (245 - 14 70   )   |
           xi |1 - -------------------|
              \            21         /
        ln(----------------------------) +
                        2

                 /                1/2 1/2\
                 |    (245 - 14 70   )   |
              xi |1 + -------------------|
                 \            21         /
        exp(- ----------------------------)
                           2

              /                1/2 1/2\ \                           /
              |    (245 - 14 70   )   | |                           |
           xi |1 + -------------------| |          /           1/2\ |
              \            21         / |          |161   13 70   | |
        ln(----------------------------)| - 1/2 xi |--- - --------| |
                        2               /          \450     900   / \

                 /                1/2 1/2\
                 |    (245 + 14 70   )   |
              xi |1 - -------------------|
                 \            21         /
        exp(- ----------------------------)
                           2

              /                1/2 1/2\
              |    (245 + 14 70   )   |
           xi |1 - -------------------|
              \            21         /
        ln(----------------------------) +
                        2

                 /                1/2 1/2\
                 |    (245 + 14 70   )   |
              xi |1 + -------------------|
                 \            21         /
        exp(- ----------------------------)
                           2

              /                1/2 1/2\ \
              |    (245 + 14 70   )   | |
           xi |1 + -------------------| |
              \            21         / |
        ln(----------------------------)|
                        2               /

> plot({gamma,g(xi),Quadratur[1],Quadratur[2],Quadratur[3],Quadratur[5]}
> , xi=0..10,color=black);

> limit(Quadratur[5],xi=infinity);

                                  0

> 
