# Hyperbolischer Integralkosinus  Chi(xi):
> 
> gamma+ln(xi)+Int((1/t)*(cosh(t)-1),t=0..xi)=gamma+ln(xi)+int((1/t)*(co
> sh(t)-1),t=0..xi);

                               xi
                              /
                             |    cosh(t) - 1
           gamma + ln(xi) +  |    ----------- dt = Chi(xi)
                             |         t
                            /
                              0

# Transformation:
> t:=xi*(1+x)/2;

                                xi (1 + x)
                           t := ----------
                                    2

> gamma+ln(xi)+Int((cosh(xi*(1+x)/2)-1)/(1+x),x=-1..1)=           
> gamma+ln(xi)+int((cosh(xi*(1+x)/2)-1)/(1+x),x=-1..1);

                           1      xi (1 + x)
                          /  cosh(----------) - 1
                         |            2
       gamma + ln(xi) +  |   -------------------- dx = Chi(xi)
                         |          1 + x
                        /
                          -1

> Digits:=5:
> n:=1:
> Quadratur[1]:=gamma+ln(xi)+2*(cosh(xi/2)-1);

                                                   xi
          Quadratur[1] := gamma + ln(xi) + 2 cosh(----) - 2
                                                   2

> n:=2:
> Quadratur[2]:=gamma+ln(xi)+(cosh(xi*(1-1/sqrt(3))/2)-1)/(1-1/sqrt(3))+
> (cosh(xi*(1+1/sqrt(3))/2)-1)/(1+1/sqrt(3));

                                           /     1/2\
                                           |    3   |
                                        xi |1 - ----|
                                           \     3  /
                                   cosh(-------------) - 1
                                              2
  Quadratur[2] := gamma + ln(xi) + -----------------------
                                               1/2
                                              3
                                          1 - ----
                                               3

                   /     1/2\
                   |    3   |
                xi |1 + ----|
                   \     3  /
           cosh(-------------) - 1
                      2
         + -----------------------
                       1/2
                      3
                  1 + ----
                       3

> quadratur[2]:=evalf(%);

  quadratur[2] := -2.4228 + ln(xi) + 2.3661 cosh(0.21132 xi)

         + 0.63395 cosh(0.78870 xi)

> n:=3:
> Quadratur[3]:=gamma+ln(xi)+(8/9)*(cosh(xi/2)-1)+(5/9)*((cosh(xi*(1-sqr
> t(3/5))/2)-1)/(1-sqrt(3/5))+(cosh(xi*(1+sqrt(3/5))/2)-1)/(1+sqrt(3/5))
> );

                                             xi
  Quadratur[3] := gamma + ln(xi) + 8/9 cosh(----) - 8/9
                                             2

                       /      1/2\
                       |    15   |
                    xi |1 - -----|
                       \      5  /
               cosh(--------------) - 1
                          2
         + 5/9 ------------------------
                            1/2
                          15
                      1 - -----
                            5

                       /      1/2\
                       |    15   |
                    xi |1 + -----|
                       \      5  /
               cosh(--------------) - 1
                          2
         + 5/9 ------------------------
                            1/2
                          15
                      1 + -----
                            5

> quadratur[3]:=evalf(%);

  quadratur[3] := -3.0896 + ln(xi) + 0.88889 cosh(0.50000 xi)

         + 2.4648 cosh(0.11270 xi) + 0.31306 cosh(0.88730 xi)

> n:=4:
> g:=sqrt(525-70*sqrt(30))/35;                       
> G:=sqrt(525+70*sqrt(30))/35;            
> H:=(490+49*sqrt(30))/(900+48*sqrt(30));                           
> H:=factor(H);                           
> h:=(490-49*sqrt(30))/(900-48*sqrt(30));                           
> h:=factor(h);

                                        1/2 1/2
                            (525 - 70 30   )
                       g := -------------------
                                    35


                                        1/2 1/2
                            (525 + 70 30   )
                       G := -------------------
                                    35


                                         1/2
                              490 + 49 30
                         H := --------------
                                         1/2
                              900 + 48 30


                                        1/2
                                      30
                           H := 1/2 + -----
                                       36


                                         1/2
                              490 - 49 30
                         h := --------------
                                         1/2
                              900 - 48 30


                                        1/2
                                      30
                           h := 1/2 - -----
                                       36

> Quadratur[4]:=gamma+ln(xi)+h*((cosh(xi*(1-G)/2)-1)/(1-G)+(cosh(xi*(1+G
> )/2)-1)/(1+G))+H*((cosh(xi*(1-g)/2)-1)/(1-g)+(cosh(xi*(1+g)/2)-1)/(1+g
> ));

                                                 /
                                                 |
                                                 |
                                                 |
                                   /        1/2\ |
                                   |      30   | |
  Quadratur[4] := gamma + ln(xi) + |1/2 - -----| |
                                   \       36  / |
                                                 |
                                                 |
                                                 \

                /                1/2 1/2\
                |    (525 + 70 30   )   |
             xi |1 - -------------------|
                \            35         /
        cosh(----------------------------) - 1
                          2
        --------------------------------------
                               1/2 1/2
                   (525 + 70 30   )
               1 - -------------------
                           35

                   /                1/2 1/2\     \                 /
                   |    (525 + 70 30   )   |     |                 |
                xi |1 + -------------------|     |                 |
                   \            35         /     |                 |
           cosh(----------------------------) - 1|   /        1/2\ |
                             2                   |   |      30   | |
         + --------------------------------------| + |1/2 + -----| |
                                  1/2 1/2        |   \       36  / |
                      (525 + 70 30   )           |                 |
                  1 + -------------------        |                 |
                              35                 /                 \

                /                1/2 1/2\
                |    (525 - 70 30   )   |
             xi |1 - -------------------|
                \            35         /
        cosh(----------------------------) - 1
                          2
        --------------------------------------
                               1/2 1/2
                   (525 - 70 30   )
               1 - -------------------
                           35

                   /                1/2 1/2\     \
                   |    (525 - 70 30   )   |     |
                xi |1 + -------------------|     |
                   \            35         /     |
           cosh(----------------------------) - 1|
                             2                   |
         + --------------------------------------|
                                  1/2 1/2        |
                      (525 - 70 30   )           |
                  1 + -------------------        |
                              35                 /

# 
> quadratur[4]:=evalf(%);

  quadratur[4] := -3.5894 + ln(xi) + 2.5049 cosh(0.069435 xi)

         + 0.18691 cosh(0.93055 xi) + 0.98807 cosh(0.33000 xi)

         + 0.48668 cosh(0.67000 xi)

> plot({Chi(4),Chi(xi),Quadratur[1],Quadratur[2],Quadratur[3],Quadratur[
> 4]}, xi=0..4,-5..Chi(4.),color=black);

> L_zwei:=sqrt((1/4)*Int((hyp_Integralkosinus-Quadratur)^2,xi=0..4));

                  /   4                                       \1/2
                  |  /                                        |
                  | |                                    2    |
    L_zwei := 1/2 | |   (hyp_Integralkosinus - Quadratur)  dxi|
                  | |                                         |
                  |/                                          |
                  \  0                                        /

> Digits:=10:
> for i in [1,2,3,4] do                 
> L_zwei[i]:=evalf(sqrt(1/4)*(int((Chi(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..4)))   
>          od;
> 

                      L_zwei[1] := 0.9994507070


                     L_zwei[2] := 0.002677905672


                                                -5
                    L_zwei[3] := 0.1406497582 10

#    Im betrachteten Bereich  < 0..4> ist  dieNherung mit einem
# Sttzpunkt  unbrauchbar, whrend die Nherung mit zwei      
# Sttzpunkten (n = 2) kaum Abweichungen zeigt. Die Nherungen mit n = 3
#  und  n = 4  GAUSS-Punkten fallen im Rahmen der Strichstrke mit dem
# hyperbolischen Integralkosinus zusammen. 
> #                                                                     
#      
> 
