# Hyperbolischer Integralsinus  Shi(xi):
> 
> Int((1/t)*sinh(t),t=0..xi)=int((1/t)*sinh(t),t=0..xi);

                         xi
                        /
                       |    sinh(t)
                       |    ------- dt = Shi(xi)
                       |       t
                      /
                        0

# Transformation:
> t:=xi*(1+x)/2;

                                xi (1 + x)
                           t := ----------
                                    2

> Int(sinh(xi*(1+x)/2)/(1+x),x=-1..1)=           
> int(sinh(xi*(1+x)/2)/(1+x),x=-1..1);

                     1      xi (1 + x)
                    /  sinh(----------)
                   |            2
                   |   ---------------- dx = Shi(xi)
                   |        1 + x
                  /
                    -1

> Digits:=5:
> n:=1:
> Quadratur[1]:=2*sinh(xi/2);

                                             xi
                     Quadratur[1] := 2 sinh(----)
                                             2

> n:=2:
> Quadratur[2]:=sinh(xi*(1-1/sqrt(3))/2)/(1-1/sqrt(3))+sinh(xi*(1+1/sqrt
> (3))/2)/(1+1/sqrt(3));

                              /     1/2\            /     1/2\
                              |    3   |            |    3   |
                           xi |1 - ----|         xi |1 + ----|
                              \     3  /            \     3  /
                      sinh(-------------)   sinh(-------------)
                                 2                     2
      Quadratur[2] := ------------------- + -------------------
                                1/2                   1/2
                               3                     3
                           1 - ----              1 + ----
                                3                     3

> quadratur[2]:=evalf(%);

  quadratur[2] := 2.3661 sinh(0.21132 xi) + 0.63395 sinh(0.78870 xi)

> n:=3:
> Quadratur[3]:=simplify(8/9)*sinh(xi/2)+(5/9)*(sinh(xi*(1-sqrt(3/5))/2)
> /(1-sqrt(3/5))+sinh(xi*(1+sqrt(3/5))/2)/(1+sqrt(3/5)));

                                               /      1/2\
                                               |    15   |
                                            xi |1 - -----|
                                               \      5  /
                                       sinh(--------------)
                            xi                    2
  Quadratur[3] := 8/9 sinh(----) + 5/9 --------------------
                            2                     1/2
                                                15
                                            1 - -----
                                                  5

                       /      1/2\
                       |    15   |
                    xi |1 + -----|
                       \      5  /
               sinh(--------------)
                          2
         + 5/9 --------------------
                          1/2
                        15
                    1 + -----
                          5

> quadratur[3]:=evalf(%);

  quadratur[3] := 0.88889 sinh(0.50000 xi) + 2.4648 sinh(0.11270 xi)

         + 0.31306 sinh(0.88730 xi)

> n:=4:
> g:=sqrt(525-70*sqrt(30))/35;                       
> G:=sqrt(525+70*sqrt(30))/35;            
> H:=(490+49*sqrt(30))/(900+48*sqrt(30));                           
> H:=factor(H);                           
> h:=(490-49*sqrt(30))/(900-48*sqrt(30));                           
> h:=factor(h);

                                        1/2 1/2
                            (525 - 70 30   )
                       g := -------------------
                                    35


                                        1/2 1/2
                            (525 + 70 30   )
                       G := -------------------
                                    35


                                         1/2
                              490 + 49 30
                         H := --------------
                                         1/2
                              900 + 48 30


                                        1/2
                                      30
                           H := 1/2 + -----
                                       36


                                         1/2
                              490 - 49 30
                         h := --------------
                                         1/2
                              900 - 48 30


                                        1/2
                                      30
                           h := 1/2 - -----
                                       36

> Quadratur[4]:=h*(sinh(xi*(1-G)/2)/(1-G)+sinh(xi*(1+G)/2)/(1+G))+H*(sin
> h(xi*(1-g)/2)/(1-g)+sinh(xi*(1+g)/2)/(1+g));

                                /        /                1/2 1/2\
                                |        |    (525 + 70 30   )   |
                                |     xi |1 - -------------------|
                                |        \            35         /
                  /        1/2\ |sinh(----------------------------)
                  |      30   | |                  2
  Quadratur[4] := |1/2 - -----| |----------------------------------
                  \       36  / |                     1/2 1/2
                                |         (525 + 70 30   )
                                |     1 - -------------------
                                \                 35

                   /                1/2 1/2\ \                 /
                   |    (525 + 70 30   )   | |                 |
                xi |1 + -------------------| |                 |
                   \            35         / |                 |
           sinh(----------------------------)|   /        1/2\ |
                             2               |   |      30   | |
         + ----------------------------------| + |1/2 + -----| |
                                1/2 1/2      |   \       36  / |
                    (525 + 70 30   )         |                 |
                1 + -------------------      |                 |
                            35               /                 \

                /                1/2 1/2\
                |    (525 - 70 30   )   |
             xi |1 - -------------------|
                \            35         /
        sinh(----------------------------)
                          2
        ----------------------------------
                             1/2 1/2
                 (525 - 70 30   )
             1 - -------------------
                         35

                   /                1/2 1/2\ \
                   |    (525 - 70 30   )   | |
                xi |1 + -------------------| |
                   \            35         / |
           sinh(----------------------------)|
                             2               |
         + ----------------------------------|
                                1/2 1/2      |
                    (525 - 70 30   )         |
                1 + -------------------      |
                            35               /

# 
> quadratur[4]:=evalf(%);

  quadratur[4] := 2.5049 sinh(0.069435 xi) + 0.18691 sinh(0.93055 xi)

         + 0.98807 sinh(0.33000 xi) + 0.48668 sinh(0.67000 xi)

> plot({Shi(4),Shi(xi),Quadratur[1],Quadratur[2],Quadratur[3],Quadratur[
> 4]}, xi=0..4,0..Shi(4.),color=black);

> L_zwei:=sqrt((1/4)*Int((hyp_Integralsinus-Quadratur)^2,xi=0..4));

                   /   4                                     \1/2
                   |  /                                      |
                   | |                                  2    |
     L_zwei := 1/2 | |   (hyp_Integralsinus - Quadratur)  dxi|
                   | |                                       |
                   |/                                        |
                   \  0                                      /

> Digits:=10:
> for i in [1,2,3,4] do                 
> L_zwei[i]:=evalf(sqrt((1/4)*int((Shi(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..4)))   
>          od;
> 

                      L_zwei[1] := 0.8078690550


                      L_zwei[2] := 0.04004098198


                     L_zwei[3] := 0.0009022625460


                    L_zwei[4] := 0.00001177165955

#    Im betrachteten Bereich  < 0..4> ist  dieNherung mit einem
# Sttzpunkt  unbrauchbar, whrend die Nherung mit zwei      
# Sttzpunkten (n = 2) nur geringfgige Abweichungen zeigt. Die
# Nherungen mit n = 3  und  n = 4  GAUSS-Punkten fallen im Rahmen der
# Strichstrke mit dem hyperbolischen Integralsinus zusammen. 
> #     Ersetzt man  "sin"  durch  "sinh" , so erhlt man aus dem
# MAPLE-Programm fr  "Integralsinus"  unmittelbar die numerische
# Auswertung des  "hyperbolischen Integralsinus" . In gleicher Weise
# findet man die Quadraturen fr verwandte Integralausdrcke.
> #  
> #                                                                     
# 
# 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
