#  Integralkosinus  Ci(xi):
> 
> gamma+ln(xi)+Int((1/t)*(cos(t)-1),t=0..xi)=
> gamma+ln(xi)+int((1/t)*(cos(t)-1),t=0..xi);

                                xi
                               /
                              |    cos(t) - 1
            gamma + ln(xi) +  |    ---------- dt = Ci(xi)
                              |        t
                             /
                               0

# Transformation:
> t:=xi*(1+x)/2;

                                xi (1 + x)
                           t := ----------
                                    2

> gamma+ln(xi)+Int((cos(xi*(1+x)/2)-1)/(1+x),x=-1..1)=           
> gamma+ln(xi)+int((cos(xi*(1+x)/2)-1)/(1+x),x=-1..1);

                            1     xi (1 + x)
                           /  cos(----------) - 1
                          |           2
        gamma + ln(xi) +  |   ------------------- dx = Ci(xi)
                          |          1 + x
                         /
                           -1

> Digits:=5:
> n:=1:
> Quadratur[1]:=gamma+ln(xi)+2*(cos(xi/2)-1);

                                                   xi
           Quadratur[1] := gamma + ln(xi) + 2 cos(----) - 2
                                                   2

> n:=2:
> Quadratur[2]:=gamma+ln(xi)+(cos(xi*(1-1/sqrt(3))/2)-1)/(1-1/sqrt(3))+(
> cos(xi*(1+1/sqrt(3))/2)-1)/(1+1/sqrt(3));

                                          /     1/2\
                                          |    3   |
                                       xi |1 - ----|
                                          \     3  /
                                   cos(-------------) - 1
                                             2
  Quadratur[2] := gamma + ln(xi) + ----------------------
                                               1/2
                                              3
                                          1 - ----
                                               3

                  /     1/2\
                  |    3   |
               xi |1 + ----|
                  \     3  /
           cos(-------------) - 1
                     2
         + ----------------------
                       1/2
                      3
                  1 + ----
                       3

> quadratur[2]:=evalf(%);

  quadratur[2] := -2.4228 + ln(xi) + 2.3661 cos(0.21132 xi)

         + 0.63395 cos(0.78870 xi)

> n:=3:
> Quadratur[3]:=gamma+ln(xi)+(8/9)*(cos(xi/2)-1)+(5/9)*((cos(xi*(1-sqrt(
> 3/5))/2)-1)/(1-sqrt(3/5))+(cos(xi*(1+sqrt(3/5))/2)-1)/(1+sqrt(3/5)));

                                            xi
  Quadratur[3] := gamma + ln(xi) + 8/9 cos(----) - 8/9
                                            2

                      /      1/2\                   /      1/2\
                      |    15   |                   |    15   |
                   xi |1 - -----|                xi |1 + -----|
                      \      5  /                   \      5  /
               cos(--------------) - 1       cos(--------------) - 1
                         2                             2
         + 5/9 ----------------------- + 5/9 -----------------------
                            1/2                           1/2
                          15                            15
                      1 - -----                     1 + -----
                            5                             5

> quadratur[3]:=evalf(%);

  quadratur[3] := -3.0896 + ln(xi) + 0.88889 cos(0.50000 xi)

         + 2.4648 cos(0.11270 xi) + 0.31306 cos(0.88730 xi)

> n:=4:
> g:=sqrt(525-70*sqrt(30))/35;                       
> G:=sqrt(525+70*sqrt(30))/35;            
> H:=(490+49*sqrt(30))/(900+48*sqrt(30));                           
> H:=factor(H);                           
> h:=(490-49*sqrt(30))/(900-48*sqrt(30));                           
> h:=factor(h);

                                        1/2 1/2
                            (525 - 70 30   )
                       g := -------------------
                                    35


                                        1/2 1/2
                            (525 + 70 30   )
                       G := -------------------
                                    35


                                         1/2
                              490 + 49 30
                         H := --------------
                                         1/2
                              900 + 48 30


                                        1/2
                                      30
                           H := 1/2 + -----
                                       36


                                         1/2
                              490 - 49 30
                         h := --------------
                                         1/2
                              900 - 48 30


                                        1/2
                                      30
                           h := 1/2 - -----
                                       36

> Quadratur[4]:=gamma+ln(xi)+h*((cos(xi*(1-G)/2)-1)/(1-G)+(cos(xi*(1+G)/
> 2)-1)/(1+G))+H*((cos(xi*(1-g)/2)-1)/(1-g)+(cos(xi*(1+g)/2)-1)/(1+g));

                                                 /
                                                 |
                                                 |
                                                 |
                                   /        1/2\ |
                                   |      30   | |
  Quadratur[4] := gamma + ln(xi) + |1/2 - -----| |
                                   \       36  / |
                                                 |
                                                 |
                                                 \

               /                1/2 1/2\
               |    (525 + 70 30   )   |
            xi |1 - -------------------|
               \            35         /
        cos(----------------------------) - 1
                         2
        -------------------------------------
                               1/2 1/2
                   (525 + 70 30   )
               1 - -------------------
                           35

                  /                1/2 1/2\     \                 /
                  |    (525 + 70 30   )   |     |                 |
               xi |1 + -------------------|     |                 |
                  \            35         /     |                 |
           cos(----------------------------) - 1|   /        1/2\ |
                            2                   |   |      30   | |
         + -------------------------------------| + |1/2 + -----| |
                                  1/2 1/2       |   \       36  / |
                      (525 + 70 30   )          |                 |
                  1 + -------------------       |                 |
                              35                /                 \

               /                1/2 1/2\
               |    (525 - 70 30   )   |
            xi |1 - -------------------|
               \            35         /
        cos(----------------------------) - 1
                         2
        -------------------------------------
                               1/2 1/2
                   (525 - 70 30   )
               1 - -------------------
                           35

                  /                1/2 1/2\     \
                  |    (525 - 70 30   )   |     |
               xi |1 + -------------------|     |
                  \            35         /     |
           cos(----------------------------) - 1|
                            2                   |
         + -------------------------------------|
                                  1/2 1/2       |
                      (525 - 70 30   )          |
                  1 + -------------------       |
                              35                /

# 
> quadratur[4]:=evalf(%);

  quadratur[4] := -3.5894 + ln(xi) + 2.5049 cos(0.069435 xi)

         + 0.18691 cos(0.93055 xi) + 0.98807 cos(0.33000 xi)

         + 0.48668 cos(0.67000 xi)

> plot({-2,1,Ci(xi),Quadratur[1],Quadratur[2],Quadratur[3],Quadratur[4]}
> , xi=0..8,-2..1,color=black);

> L_zwei:=sqrt((1/8)*Int((Integralkosinus-Quadratur)^2,xi=0..8));

                      /   8                                   \1/2
                      |  /                                    |
                  1/2 | |                                2    |
   L_zwei := 1/4 2    | |   (Integralkosinus - Quadratur)  dxi|
                      | |                                     |
                      |/                                      |
                      \  0                                    /

> Digits:=10:
> for i in [1,2,3,4] do                 
> L_zwei[i]:=evalf(sqrt(1/8)*(int((Ci(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..8)))    
>         od;
> 

                       L_zwei[1] := 2.461659097


                      L_zwei[2] := 0.01796112930


                    L_zwei[3] := 0.00009727945688


                                                -6
                    L_zwei[4] := 0.4819847355 10

#    Im betrachteten Bereich   <  0..8 >  ist  dieNherung mit einem
# Sttzpunkt  unbrauchbar, whrend die Nherung mit zwei      
# Sttzpunkten (n = 2) geringe Abweichungen zeigt. Die Nherungen mit n
# = 3  und  n = 4  GAUSS-Punkten fallen im Rahmen der Strichstrke mit
# dem  Integralkosinus zusammen. 
> #     Ergnzung:  Der Integralkosinus besitzt ein Maximum an der
# Stelle  xi = Pi/2 
> Integralkosinus[max]:=evalf(Ci(Pi/2));
#                                                                       
#  
> 

                 Integralkosinus[max] := 0.4720006514

# Im betrachteten Bereich  < 0..8 >  besitzt die erste Nherung folgende
# Extremwerte:
> eqn:=1/xi=sin(xi/2);

                               1          xi
                       eqn := ---- = sin(----)
                               xi         2

> for i from 1 to 2 do fsolve(eqn,xi,(i-1)..i*5) od;

                             1.481681910


                             5.945170981

> 
> Quadratur[1][max]:=evalf(subs(xi=1.481681910,Quadratur[1]));

                   Quadratur[1][max] := 0.446196037

> Quadratur[1][min]:=evalf(subs(xi=5.945170981,Quadratur[1]));

                  Quadratur[1][min] := Quadratur[1]

> plot({-1.611709548,0.4720006514,Ci(xi),
> gamma+ln(xi)+2*cos(xi/2)-2,Quadratur[2],Quadratur[3],Quadratur[4]},
> xi=0..8,-7/4...1/2,color=black);

> 
