# Numerische Ermittlung der L-zwei Fehlernorm aus  7.1.6 mit Hilfe der
# GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit n = 7 Sttzstellen auf der
# Basis von Tabelle 7.15a:
> F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;
> 

                                            //    eta\2     2\
                                            ||1 - ---|  - xi | eta
                  (10 - 6 xi - 5 eta) eta   \\     3 /       /
    F(xi, eta) := ----------------------- - ----------------------
                            63                        6

> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=sqrt(int(int(F(xi,eta)^2
> ,xi=0..1-eta),eta=0..1));
> 

                  /   1    1 - eta            \1/2
                  |  /    /                   |        1/2
                  | |    |          2         |      15
           L_2 := | |    |         F  dxi deta|    = -----
                  | |    |                    |      1890
                  |/    /                     |
                  \  0    0                   /

# Werte des Integranden in den n = 7 Sttzstellen im Einheitsdreieck:
> a:=(6+sqrt(15))/21;   b:=(9-2*sqrt(15))/21;   c:=(6-sqrt(15))/21;  
> d:=(9+2*sqrt(15))/21;
> 

                                        1/2
                                      15
                           a := 2/7 + -----
                                       21


                                         1/2
                                     2 15
                          b := 3/7 - -------
                                       21


                                        1/2
                                      15
                           c := 2/7 - -----
                                       21


                                         1/2
                                     2 15
                          d := 3/7 + -------
                                       21

> f[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},F(xi,eta)^2);
> 

                                    1849
                          f[S] := ---------
                                  104162436

> f[1]:=expand(subs({xi=a,eta=a},F(xi,eta)^2));
> 

                                               1/2
                              33857      391 15
                    f[1] := ---------- + ---------
                            9262741068   771895089

> f[2]:=expand(subs({xi=b,eta=a},F(xi,eta)^2));
> 

                                              1/2
                                713      11 15
                     f[2] := --------- - --------
                             189035532   15752961

> f[3]:=expand(subs({xi=a,eta=b},F(xi,eta)^2));
> 

                                               1/2
                              19295      275 15
                    f[3] := ---------- - ---------
                            9262741068   771895089

> f[4]:=expand(subs({xi=c,eta=c},F(xi,eta)^2));
> 

                                               1/2
                              33857      391 15
                    f[4] := ---------- - ---------
                            9262741068   771895089

> f[5]:=expand(subs({xi=d,eta=c},F(xi,eta)^2));
> 

                                              1/2
                                713      11 15
                     f[5] := --------- + --------
                             189035532   15752961

> f[6]:=expand(subs({xi=c,eta=d},F(xi,eta)^2));
> 

                                               1/2
                              19295      275 15
                    f[6] := ---------- + ---------
                            9262741068   771895089

# Wichtungsfaktoren:
> w[S]:=9/80;   w[1..3]:=(155+sqrt(15))/2400;  
> w[4..6]:=(155-sqrt(15))/2400;
> 

                             w[S] := 9/80


                                            1/2
                                    31    15
                       w[1 .. 3] := --- + -----
                                    480   2400


                                            1/2
                                    31    15
                       w[4 .. 6] := --- - -----
                                    480   2400

> GAUSS_Quadratur:=sqrt(w[S]*f[S]+w[1..3]*sum(f[i],i=1..3)+w[4..6]*sum(f
> [k],k=4..6)):
> GAUSS_Quadratur:=expand(%):
> GAUSS_Quadratur:=simplify(%);
> 

                                            1/2
                                         149
                      GAUSS_Quadratur := ------
                                          6804

> rel_Fehler:=expand((sqrt(15)/1890-sqrt(149)/6804)/(sqrt(15)/1890));
> 

                                        1/2    1/2
                                      15    149
                    rel_Fehler := 1 - ------------
                                           54

> rel_Fehler:=evalf(%);
> 

                      rel_Fehler := 0.1245224697

# Der relative Fehler betrgt 12,5 % aufgrund der zu geringen Anzahl von
# n = 7 Sttzstellen. Daher wird im folgenden MAPLE-Programm die
# GAUSS-Quadratur mit n = 13 Sttzstellen gem Tabelle 7.15b
# durchgefhrt.
# 
> 
> 
