# Numerische Ermittlung der L-zwei Fehlernorm aus  7.1.6 mit Hilfe der
# GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit n = 13 Sttzstellen auf der
# Basis von Tabelle 7.15b:
> F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;
> 

                                            //    eta\2     2\
                                            ||1 - ---|  - xi | eta
                  (10 - 6 xi - 5 eta) eta   \\     3 /       /
    F(xi, eta) := ----------------------- - ----------------------
                            63                        6

> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=sqrt(int(int(F(xi,eta)^2
> ,xi=0..1-eta),eta=0..1));
> 

                  /   1    1 - eta            \1/2
                  |  /    /                   |        1/2
                  | |    |          2         |      15
           L_2 := | |    |         F  dxi deta|    = -----
                  | |    |                    |      1890
                  |/    /                     |
                  \  0    0                   /

# Werte des Integranden in den n = 13 Sttzstelen im Einheitsdreieck:
> a:=10026259/38511290;   b:=31723247/66185506;   c:=2872201/44099439;
> 

                                 10026259
                            a := --------
                                 38511290


                                 31723247
                            b := --------
                                 66185506


                                 2872201
                            c := --------
                                 44099439

> d:=34357532/39503231;   e:=6574983/10298446;   f:=18789041/60054692;
> 

                                 34357532
                            d := --------
                                 39503231


                                 6574983
                            e := --------
                                 10298446


                                 18789041
                            f := --------
                                 60054692

> g:=13094163/268927463;
> 

                                 13094163
                            g := ---------
                                 268927463

> Digits:=15:
> K[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},F(xi,eta)^2):
> K[1]:=subs({xi=a,eta=a},F(xi,eta)^2):
> K[2]:=subs({xi=b,eta=a},F(xi,eta)^2):
> K[3]:=subs({xi=a,eta=b},F(xi,eta)^2):
> K[4]:=subs({xi=c,eta=c},F(xi,eta)^2):
> K[5]:=subs({xi=d,eta=c},F(xi,eta)^2):
> K[6]:=subs({xi=c,eta=d},F(xi,eta)^2):
> K[7]:=subs({xi=e,eta=f},F(xi,eta)^2):
> K[8]:=subs({xi=f,eta=e},F(xi,eta)^2):
> K[9]:=subs({xi=g,eta=e},F(xi,eta)^2):
> K[10]:=subs({xi=g,eta=f},F(xi,eta)^2):
> K[11]:=subs({xi=f,eta=g},F(xi,eta)^2):
> K[12]:=subs({xi=e,eta=g},F(xi,eta)^2):
# Wichtungsfaktoren:
> w[S]:=-11880325/79429842/2;   w[1..3]:=21277533/121159934/2;  
> w[4..6]:=4638787/86954590/2;   w[7..12]:=8113102/105209523/2;

                                  -11880325
                          w[S] := ---------
                                  158859684


                                     21277533
                        w[1 .. 3] := ---------
                                     242319868


                                      4638787
                        w[4 .. 6] := ---------
                                     173909180


                                      4056551
                       w[7 .. 12] := ---------
                                     105209523

> GAUSS_Quadratur:=evalf(sqrt(w[S]*K[S]+w[1..3]*sum(K[i],i=1..3)+w[4..6]
> *sum(K[j],j=4..6)+w[7..12]*sum(K[k],k=7..12)),15);

                GAUSS_Quadratur := 0.00204919753767588

> GAUSS_Quadratur:=convert(%,rational,16)=evalf(%,15);

                              238143
          GAUSS_Quadratur := --------- = 0.00204919753767588
                             116212808

# Im Vergleich dazu ist der exakte Wert:
> L_zwei:=sqrt(15)/1890=evalf(sqrt(15)/1890,15);
> 

                            1/2
                          15
                L_zwei := ----- = 0.00204919753767588
                          1890

# Die GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit n = 13 Sttzstellen liefert
# den exakten Wert. 
> relativer_Fehler:=(sqrt(15)/1890-238143/116212808)/(sqrt(15)/1890)=
> evalf((sqrt(15)/1890-238143/116212808)/(sqrt(15)/1890));

                                /  1/2            \
                                |15       238143  |   1/2
        relativer_Fehler := 126 |----- - ---------| 15    = 0.
                                \1890    116212808/

