> L_2:=sqrt(int(int(F(xi,eta)^2,xi=0..1-eta),eta=0..1));

                  /   1    1 - eta                     \1/2
                  |  /    /                            |
                  | |    |                   2         |
           L_2 := | |    |         F(xi, eta)  dxi deta|
                  | |    |                             |
                  |/    /                              |
                  \  0    0                            /

> Phi:=(10-6*xi-5*eta)*eta/63;

                           (10 - 6 xi - 5 eta) eta
                    Phi := -----------------------
                                     63

> Phi[ex]:=((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;

                             //    eta\2     2\
                             ||1 - ---|  - xi | eta
                             \\     3 /       /
                  Phi[ex] := ----------------------
                                       6

> F:=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;

                                       //    eta\2     2\
                                       ||1 - ---|  - xi | eta
             (10 - 6 xi - 5 eta) eta   \\     3 /       /
        F := ----------------------- - ----------------------
                       63                        6

> L_2:=sqrt(int(int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1));

                                      1/2
                                    15
                             L_2 := -----
                                    1890

> L_2:=evalf(%);

                        L_2 := 0.002049197538

# Im folgenden wird die obige Fehlernorm alternativ mit Hilfe der
# GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit  n = 7  Sttzstellen auf der
# Basis von Tabelle 7.15a ermittelt:
> F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;
> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=
> sqrt(int(int(F(xi,eta)^2,xi=0..1-eta),eta=0..1));

         /   1    1 - eta
         |  /    /
         | |    |
  L_2 := | |    |
         | |    |
         |/    /
         \  0    0

        /                          //    eta\2     2\    \2         \
        |                          ||1 - ---|  - xi | eta|          |
        |(10 - 6 xi - 5 eta) eta   \\     3 /       /    |          |
        |----------------------- - ----------------------|  dxi deta|^
        \          63                        6           /          |
                                                                    |
                                                                    /

        1/2   /   1    1 - eta
              |  /    /
              | |    |
            = | |    |         (
              | |    |
              |/    /
              \  0    0

        1/63 (10 - 6 xi(xi, eta) - 5 eta(xi, eta)) eta(xi, eta)

                                      2              2
         - 1/6 ((1 - 1/3 eta(xi, eta))  - xi(xi, eta) ) eta(xi, eta))^

                  \1/2
                  |
        2         |
          dxi deta|
                  |
                  |
                  /

# Werte des Integranden in den  n = 7  Sttzstellen im Einheitsdreieck:
> a:=(6+sqrt(15))/21;  b:=(9-2*sqrt(15))/21;                   
> c:=(6-sqrt(15))/21;  d:=(9+2*sqrt(15))/21;
> #  
> 
# 

                                        1/2
                                      15
                           a := 2/7 + -----
                                       21


                                         1/2
                                     2 15
                          b := 3/7 - -------
                                       21


                                        1/2
                                      15
                           c := 2/7 - -----
                                       21


                                         1/2
                                     2 15
                          d := 3/7 + -------
                                       21

> f[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},F(xi,eta)^2);

  f[S] := (1/63 (10 - 11 (1/3)(1/3, 1/3)) (1/3)(1/3, 1/3) - 1/6

                                  2                  2
        ((1 - 1/3 (1/3)(1/3, 1/3))  - (1/3)(1/3, 1/3) )

                        2
        (1/3)(1/3, 1/3))

> f[1]:=expand(subs({xi=a,eta=a},F(xi,eta)^2));

                    2            3    20     4    32    5   16    6
  f[1] := 1/15876 %1  + 4/3969 %1  + ----- %1  - ---- %1  + --- %1
                                     11907       1701       729

                    /        1/2\         1/2          1/2
                    |      15   |       15           15
              %1 := |2/7 + -----|(2/7 + -----, 2/7 + -----)
                    \       21  /        21           21

> f[2]:=expand(subs({xi=b,eta=a},F(xi,eta)^2));

           31     4            5            6    17    2   2
  f[2] := ----- %1  - 2/1701 %1  + 1/2916 %1  + ---- %1  %2
          23814                                 2646

                     2            2               3              4
         + 1/15876 %1  + 2/1323 %1  %2 - 8/1323 %1  %2 + 2/567 %1  %2

                  2   3           3   2           4   2
         - 2/63 %1  %2  + 2/189 %1  %2  - 1/162 %1  %2

                  2   4            3
         + 1/36 %1  %2  - 2/3969 %1

        /        1/2\           1/2          1/2
        |      15   |       2 15           15
  %1 := |2/7 + -----|(3/7 - -------, 2/7 + -----)
        \       21  /         21            21

        /          1/2\           1/2          1/2
        |      2 15   |       2 15           15
  %2 := |3/7 - -------|(3/7 - -------, 2/7 + -----)
        \        21   /         21            21

> f[3]:=expand(subs({xi=a,eta=b},F(xi,eta)^2));

                    2            2       17    2   2            3
  f[3] := 1/15876 %1  + 2/1323 %1  %2 + ---- %1  %2  - 8/1323 %1  %2
                                        2646

                   4             2   3           3   2
         + 2/567 %1  %2 - 2/63 %1  %2  + 2/189 %1  %2

                   4   2          2   4            3    31     4
         - 1/162 %1  %2  + 1/36 %1  %2  - 2/3969 %1  + ----- %1
                                                       23814

                    5            6
         - 2/1701 %1  + 1/2916 %1

        /          1/2\         1/2            1/2
        |      2 15   |       15           2 15
  %1 := |3/7 - -------|(2/7 + -----, 3/7 - -------)
        \        21   /        21            21

        /        1/2\         1/2            1/2
        |      15   |       15           2 15
  %2 := |2/7 + -----|(2/7 + -----, 3/7 - -------)
        \       21  /        21            21

> f[4]:=expand(subs({xi=c,eta=c},F(xi,eta)^2));

                    2            3    20     4    32    5   16    6
  f[4] := 1/15876 %1  + 4/3969 %1  + ----- %1  - ---- %1  + --- %1
                                     11907       1701       729

                    /        1/2\         1/2          1/2
                    |      15   |       15           15
              %1 := |2/7 - -----|(2/7 - -----, 2/7 - -----)
                    \       21  /        21           21

> f[5]:=expand(subs({xi=d,eta=c},F(xi,eta)^2));

                    3    31     4            5            6
  f[5] := -2/3969 %2  + ----- %2  - 2/1701 %2  + 1/2916 %2
                        23814

                     2            2       17    2   2            3
         + 1/15876 %2  + 2/1323 %2  %1 + ---- %2  %1  - 8/1323 %2  %1
                                         2646

                   4             2   3           3   2
         + 2/567 %2  %1 - 2/63 %2  %1  + 2/189 %2  %1

                   4   2          2   4
         - 1/162 %2  %1  + 1/36 %2  %1

        /          1/2\           1/2          1/2
        |      2 15   |       2 15           15
  %1 := |3/7 + -------|(3/7 + -------, 2/7 - -----)
        \        21   /         21            21

        /        1/2\           1/2          1/2
        |      15   |       2 15           15
  %2 := |2/7 - -----|(3/7 + -------, 2/7 - -----)
        \       21  /         21            21

> f[6]:=expand(subs({xi=c,eta=d},F(xi,eta)^2));

                    3    31     4            5            6
  f[6] := -2/3969 %2  + ----- %2  - 2/1701 %2  + 1/2916 %2
                        23814

                     2            2       17    2   2            3
         + 1/15876 %2  + 2/1323 %2  %1 + ---- %2  %1  - 8/1323 %2  %1
                                         2646

                   4             2   3           3   2
         + 2/567 %2  %1 - 2/63 %2  %1  + 2/189 %2  %1

                   4   2          2   4
         - 1/162 %2  %1  + 1/36 %2  %1

        /        1/2\         1/2            1/2
        |      15   |       15           2 15
  %1 := |2/7 - -----|(2/7 - -----, 3/7 + -------)
        \       21  /        21            21

        /          1/2\         1/2            1/2
        |      2 15   |       15           2 15
  %2 := |3/7 + -------|(2/7 - -----, 3/7 + -------)
        \        21   /        21            21

# Wichtungsfunktionen:
> w[S]:=9/80;  w[1..3]:=(155+sqrt(15))/2400; 
> w[4..6]:=(155-sqrt(15))/2400;

                             w[S] := 9/80


                                            1/2
                                    31    15
                       w[1 .. 3] := --- + -----
                                    480   2400


                                            1/2
                                    31    15
                       w[4 .. 6] := --- - -----
                                    480   2400

> GAUSS_Quadratur:=sqrt(w[S]*f[S]+w[1..3]*sum(f[i],i=1..3)+w[4..6]*sum(f
> [k],k=4..6)):
> GAUSS_Quadratur:=expand(%):
> GAUSS_Quadratur:=simplify(%);

                                            1/2
                                         149
                      GAUSS_Quadratur := ------
                                          6804

> rel_Fehler:=(sqrt(15)/1890-sqrt(149)/6804)/(sqrt(15)/1890);

                                 /  1/2      1/2\
                                 |15      149   |   1/2
               rel_Fehler := 126 |----- - ------| 15
                                 \1890     6804 /

> rel_Fehler:=evalf(%);

                      rel_Fehler := 0.1245224700

# Der relative Fehler betrgt  12,5 %  aufgrund der zu geringen Anzahl
# von  n = 7  Sttzstellen. Daher wird im Folgenden die GAUSS-Quadratur
# mit  n = 13  Sttzstellen gem Tabelle 7.15b durchgefhrt.
#  n = 13  Sttzstellen 
> #  
> F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;
> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=
> sqrt(int(int(F(xi,eta)^2,xi=0..1-eta),eta=0..1));

         /   1    1 - eta
         |  /    /
         | |    |
  L_2 := | |    |
         | |    |
         |/    /
         \  0    0

        /                          //    eta\2     2\    \2         \
        |                          ||1 - ---|  - xi | eta|          |
        |(10 - 6 xi - 5 eta) eta   \\     3 /       /    |          |
        |----------------------- - ----------------------|  dxi deta|^
        \          63                        6           /          |
                                                                    |
                                                                    /

        1/2   /   1    1 - eta
              |  /    /
              | |    |
            = | |    |         (
              | |    |
              |/    /
              \  0    0

        1/63 (10 - 6 xi(xi, eta) - 5 eta(xi, eta)) eta(xi, eta)

                                      2              2
         - 1/6 ((1 - 1/3 eta(xi, eta))  - xi(xi, eta) ) eta(xi, eta))^

                  \1/2
                  |
        2         |
          dxi deta|
                  |
                  |
                  /

# Werte des Integranden in den  n = 13  Sttzstellen im Einheitsdreieck:
> a:=10026259/38511290; b:=31723247/66185506; c:=2872201/44099439;

                                 10026259
                            a := --------
                                 38511290


                                 31723247
                            b := --------
                                 66185506


                                 2872201
                            c := --------
                                 44099439

> d:=34357532/39503231; e:=6574983/10298446; f:=18789041/60054692; 

                                 34357532
                            d := --------
                                 39503231


                                 6574983
                            e := --------
                                 10298446


                                 18789041
                            f := --------
                                 60054692

> g:=13094163/268927463; 

                                 13094163
                            g := ---------
                                 268927463

> 
> K[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},F(xi,eta)^2);

  K[S] := (1/63 (10 - 11 (1/3)(1/3, 1/3)) (1/3)(1/3, 1/3) - 1/6

                                  2                  2
        ((1 - 1/3 (1/3)(1/3, 1/3))  - (1/3)(1/3, 1/3) )

                        2
        (1/3)(1/3, 1/3))

> K[1]:=subs({xi=a,eta=a},F(xi,eta)^2);

                                                     2     2     2
    K[1] := (1/63 (10 - 11 %1) %1 - 1/6 ((1 - 1/3 %1)  - %1 ) %1)

                         /10026259\ 10026259  10026259
                   %1 := |--------|(--------, --------)
                         \38511290/ 38511290  38511290

> K[2]:=subs({xi=b,eta=a},F(xi,eta)^2);

          /     /       /31723247\ 31723247  10026259        \
  K[2] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, --------) - 5 %1| %1
          \     \       \66185506/ 66185506  38511290        /

               /            2   /31723247\ 31723247  10026259 2\   \2
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, --------) | %1|
               \                \66185506/ 66185506  38511290  /   /

        /10026259\ 31723247  10026259
  %1 := |--------|(--------, --------)
        \38511290/ 66185506  38511290

> K[3]:=subs({xi=a,eta=b},F(xi,eta)^2);

          /     /       /10026259\ 10026259  31723247        \
  K[3] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, --------) - 5 %1| %1
          \     \       \38511290/ 38511290  66185506        /

               /            2   /10026259\ 10026259  31723247 2\   \2
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, --------) | %1|
               \                \38511290/ 38511290  66185506  /   /

        /31723247\ 10026259  31723247
  %1 := |--------|(--------, --------)
        \66185506/ 38511290  66185506

> K[4]:=subs({xi=c,eta=c},F(xi,eta)^2);

                                                     2     2     2
    K[4] := (1/63 (10 - 11 %1) %1 - 1/6 ((1 - 1/3 %1)  - %1 ) %1)

                         /2872201 \ 2872201   2872201
                   %1 := |--------|(--------, --------)
                         \44099439/ 44099439  44099439

> K[5]:=subs({xi=d,eta=c},F(xi,eta)^2);

          /     /       /34357532\ 34357532  2872201         \
  K[5] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, --------) - 5 %1| %1
          \     \       \39503231/ 39503231  44099439        /

               /            2   /34357532\ 34357532  2872201  2\   \2
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, --------) | %1|
               \                \39503231/ 39503231  44099439  /   /

        /2872201 \ 34357532  2872201
  %1 := |--------|(--------, --------)
        \44099439/ 39503231  44099439

> K[6]:=subs({xi=c,eta=d},F(xi,eta)^2);

          /     /       /2872201 \ 2872201   34357532        \
  K[6] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, --------) - 5 %1| %1
          \     \       \44099439/ 44099439  39503231        /

               /            2   /2872201 \ 2872201   34357532 2\   \2
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, --------) | %1|
               \                \44099439/ 44099439  39503231  /   /

        /34357532\ 2872201   34357532
  %1 := |--------|(--------, --------)
        \39503231/ 44099439  39503231

> K[7]:=subs({xi=e,eta=f},F(xi,eta)^2);

          /     /       /6574983 \ 6574983   18789041        \
  K[7] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, --------) - 5 %1| %1
          \     \       \10298446/ 10298446  60054692        /

               /            2   /6574983 \ 6574983   18789041 2\   \2
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, --------) | %1|
               \                \10298446/ 10298446  60054692  /   /

        /18789041\ 6574983   18789041
  %1 := |--------|(--------, --------)
        \60054692/ 10298446  60054692

> K[8]:=subs({xi=f,eta=e},F(xi,eta)^2);

          /     /       /18789041\ 18789041  6574983         \
  K[8] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, --------) - 5 %1| %1
          \     \       \60054692/ 60054692  10298446        /

               /            2   /18789041\ 18789041  6574983  2\   \2
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, --------) | %1|
               \                \60054692/ 60054692  10298446  /   /

        /6574983 \ 18789041  6574983
  %1 := |--------|(--------, --------)
        \10298446/ 60054692  10298446

> K[9]:=subs({xi=g,eta=e},F(xi,eta)^2);

          /     /       /13094163 \ 13094163   6574983         \
  K[9] := |1/63 |10 - 6 |---------|(---------, --------) - 5 %1| %1
          \     \       \268927463/ 268927463  10298446        /

               /            2   /13094163 \ 13094163   6574983  2\
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |---------|(---------, --------) | %1
               \                \268927463/ 268927463  10298446  /

        \2
        |
        /

        /6574983 \ 13094163   6574983
  %1 := |--------|(---------, --------)
        \10298446/ 268927463  10298446

> K[10]:=subs({xi=g,eta=f},F(xi,eta)^2);

           /     /       /13094163 \ 13094163   18789041        \
  K[10] := |1/63 |10 - 6 |---------|(---------, --------) - 5 %1| %1
           \     \       \268927463/ 268927463  60054692        /

               /            2   /13094163 \ 13094163   18789041 2\
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |---------|(---------, --------) | %1
               \                \268927463/ 268927463  60054692  /

        \2
        |
        /

        /18789041\ 13094163   18789041
  %1 := |--------|(---------, --------)
        \60054692/ 268927463  60054692

> K[11]:=subs({xi=f,eta=g},F(xi,eta)^2);

           /     /       /18789041\ 18789041  13094163         \
  K[11] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, ---------) - 5 %1| %1
           \     \       \60054692/ 60054692  268927463        /

               /            2   /18789041\ 18789041  13094163  2\   \
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, ---------) | %1|^
               \                \60054692/ 60054692  268927463  /   /

        2

        /13094163 \ 18789041  13094163
  %1 := |---------|(--------, ---------)
        \268927463/ 60054692  268927463

> K[12]:=subs({xi=e,eta=g},F(xi,eta)^2);

           /     /       /6574983 \ 6574983   13094163         \
  K[12] := |1/63 |10 - 6 |--------|(--------, ---------) - 5 %1| %1
           \     \       \10298446/ 10298446  268927463        /

               /            2   /6574983 \ 6574983   13094163  2\   \
         - 1/6 |(1 - 1/3 %1)  - |--------|(--------, ---------) | %1|^
               \                \10298446/ 10298446  268927463  /   /

        2

        /13094163 \ 6574983   13094163
  %1 := |---------|(--------, ---------)
        \268927463/ 10298446  268927463

# Wichtungsfaktoren:
> w[S]:=-11880325/79429842/2; w[1..3]:=21277533/121159934/2;
> w[4..6]:=4638787/86954590/2; w[7..12]:=8113102/105209523/2;

                                  -11880325
                          w[S] := ---------
                                  158859684


                                     21277533
                        w[1 .. 3] := ---------
                                     242319868


                                      4638787
                        w[4 .. 6] := ---------
                                     173909180


                                      4056551
                       w[7 .. 12] := ---------
                                     105209523

> GAUSS_Quadratur:=evalf(sqrt(w[S]*K[S]+w[1..3]*sum(K[i],i=1..3)+w[4..6]
> *sum(K[j],j=4..6)+w[7..12]*sum(K[k],k=7..12)),15);

                GAUSS_Quadratur := 0.00204919753767588

> GAUSS_Quadratur:=convert(%,rational,16);

                                         238143
                     GAUSS_Quadratur := ---------
                                        116212808

> GAUSS_Quadratur:=evalf(%,15);

                GAUSS_Quadratur := 0.00204919753767588

# Im Vergleich dazu ist der exakte Wert:
> L_zwei:=sqrt(15)/1890=evalf(sqrt(15)/1890,15);

                            1/2
                          15
                L_zwei := ----- = 0.00204919753767588
                          1890

> 
# Die GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit  n = 13  Sttzstellen
# liefert den exakten Wert.
