# Im folgenden wird die obige Fehlernorm alternativ mit Hilfe der
# GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit  n = 7  Sttzstellen auf der
# Basis von Tabelle 7.15a ermittelt:
> F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;

                                            //    eta\2     2\
                                            ||1 - ---|  - xi | eta
                  (10 - 6 xi - 5 eta) eta   \\     3 /       /
    F(xi, eta) := ----------------------- - ----------------------
                            63                        6

> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=
> sqrt(int(int(F(xi,eta)^2,xi=0..1-eta),eta=0..1));

                  /   1    1 - eta            \1/2
                  |  /    /                   |        1/2
                  | |    |          2         |      15
           L_2 := | |    |         F  dxi deta|    = -----
                  | |    |                    |      1890
                  |/    /                     |
                  \  0    0                   /

# Werte des Integranden in den  n = 7  Sttzstellen im Einheitsdreieck:
> a:=(6+sqrt(15))/21;  b:=(9-2*sqrt(15))/21;                   
> c:=(6-sqrt(15))/21;  d:=(9+2*sqrt(15))/21;
> #  
> 
# 

                                        1/2
                                      15
                           a := 2/7 + -----
                                       21


                                         1/2
                                     2 15
                          b := 3/7 - -------
                                       21


                                        1/2
                                      15
                           c := 2/7 - -----
                                       21


                                         1/2
                                     2 15
                          d := 3/7 + -------
                                       21

> f[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},F(xi,eta)^2);

                                    1849
                          f[S] := ---------
                                  104162436

> f[1]:=expand(subs({xi=a,eta=a},F(xi,eta)^2));

                                               1/2
                              33857      391 15
                    f[1] := ---------- + ---------
                            9262741068   771895089

> f[2]:=expand(subs({xi=b,eta=a},F(xi,eta)^2));

                                              1/2
                                713      11 15
                     f[2] := --------- - --------
                             189035532   15752961

> f[3]:=expand(subs({xi=a,eta=b},F(xi,eta)^2));

                                               1/2
                              19295      275 15
                    f[3] := ---------- - ---------
                            9262741068   771895089

> f[4]:=expand(subs({xi=c,eta=c},F(xi,eta)^2));

                                               1/2
                              33857      391 15
                    f[4] := ---------- - ---------
                            9262741068   771895089

> f[5]:=expand(subs({xi=d,eta=c},F(xi,eta)^2));

                                              1/2
                                713      11 15
                     f[5] := --------- + --------
                             189035532   15752961

> f[6]:=expand(subs({xi=c,eta=d},F(xi,eta)^2));

                                               1/2
                              19295      275 15
                    f[6] := ---------- + ---------
                            9262741068   771895089

# Wichtungsfunktionen:
> w[S]:=9/80;  w[1..3]:=(155+sqrt(15))/2400; 
> w[4..6]:=(155-sqrt(15))/2400;

                             w[S] := 9/80


                                            1/2
                                    31    15
                       w[1 .. 3] := --- + -----
                                    480   2400


                                            1/2
                                    31    15
                       w[4 .. 6] := --- - -----
                                    480   2400

> GAUSS_Quadratur:=sqrt(w[S]*f[S]+w[1..3]*sum(f[i],i=1..3)+w[4..6]*sum(f
> [k],k=4..6)):
> GAUSS_Quadratur:=expand(%):
> GAUSS_Quadratur:=simplify(%);

                                            1/2
                                         149
                      GAUSS_Quadratur := ------
                                          6804

> rel_Fehler:=(sqrt(15)/1890-sqrt(149)/6804)/(sqrt(15)/1890);

                                 /  1/2      1/2\
                                 |15      149   |   1/2
               rel_Fehler := 126 |----- - ------| 15
                                 \1890     6804 /

> rel_Fehler:=evalf(%);

                      rel_Fehler := 0.1245224700

# Der relative Fehler betrgt  12,5 %  aufgrund der zu geringen Anzahl
# von  n = 7  Sttzstellen. Daher wird im Folgenden die GAUSS-Quadratur
# mit  n = 13  Sttzstellen gem Tabelle 7.15b durchgefhrt.
#  n = 13  Sttzstellen 
> #  
> F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6;

                                            //    eta\2     2\
                                            ||1 - ---|  - xi | eta
                  (10 - 6 xi - 5 eta) eta   \\     3 /       /
    F(xi, eta) := ----------------------- - ----------------------
                            63                        6

> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=
> sqrt(int(int(F(xi,eta)^2,xi=0..1-eta),eta=0..1));

                  /   1    1 - eta            \1/2
                  |  /    /                   |        1/2
                  | |    |          2         |      15
           L_2 := | |    |         F  dxi deta|    = -----
                  | |    |                    |      1890
                  |/    /                     |
                  \  0    0                   /

# Werte des Integranden in den  n = 13  Sttzstellen im Einheitsdreieck:
> a:=10026259/38511290; b:=31723247/66185506; c:=2872201/44099439;

                                 10026259
                            a := --------
                                 38511290


                                 31723247
                            b := --------
                                 66185506


                                 2872201
                            c := --------
                                 44099439

> d:=34357532/39503231; e:=6574983/10298446; f:=18789041/60054692; 

                                 34357532
                            d := --------
                                 39503231


                                 6574983
                            e := --------
                                 10298446


                                 18789041
                            f := --------
                                 60054692

> g:=13094163/268927463; 

                                 13094163
                            g := ---------
                                 268927463

> 
> K[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},F(xi,eta)^2);

                                    1849
                          K[S] := ---------
                                  104162436

> K[1]:=subs({xi=a,eta=a},F(xi,eta)^2);

                410885576272140104586616554207059018314334281
      K[1] := --------------------------------------------------
              29133456550953711410227828917687140751132710250000

> K[2]:=subs({xi=b,eta=a},F(xi,eta)^2);

  K[2] := 16258853023579692113945755832776276680585750893747920615\

                              /
        8057229833845439289  /  3494005674280254158667993979861838\
                            /
        0448609099103359768535623236285591855030250000

> K[3]:=subs({xi=a,eta=b},F(xi,eta)^2);

  K[3] := 26003973291483340463005785661477393455618024946305536255\

                               /
        42019008754333601681  /  103198470411239451859813205409190\
                             /
        966234381188389643400976542568738984493955290000

> K[4]:=subs({xi=c,eta=c},F(xi,eta)^2);

                583780365583176193149494734324936136373169849
     K[4] := ----------------------------------------------------
             1050949839210280046249466864925521590255826775049124

> K[5]:=subs({xi=d,eta=c},F(xi,eta)^2);

  K[5] := 37749517746389458171369821254318612145003263679417539334\

                               /
        23051940931148812921  /  639812131063732450864870307879628\
                             /
        857791041308964696103441172616462631743894420201

> K[6]:=subs({xi=c,eta=d},F(xi,eta)^2);

  K[6] := 15416959328091804781552473193891889620101585761227710068\

                          /
        198240038306816  /  70424544898110381555703668597655525841\
                        /
        7583002499787595172354444250977777206129

> K[7]:=subs({xi=e,eta=f},F(xi,eta)^2);

  K[7] := 24675031976846940506713368134412410877147714126137569186\

                             /
        647885307165884601  /  47122906036124884134157475154459502\
                           /
        75911390688063765638373844483636657742299136

> K[8]:=subs({xi=f,eta=e},F(xi,eta)^2);

  K[8] := 52773728366490205646242473312447880693931243732530785192\

                          /
        138265969229449  /  17107893997279196072707754085634909521\
                        /
        72126651252858615626074630806886846464

> K[9]:=subs({xi=g,eta=e},F(xi,eta)^2);

  K[9] := 26814710464889927945114304144067058824731053253803300645\

                          /
        968587842809489  /  22463286531361102064838103217312027263\
                        /
        6605419026465161080735225900777526671616

> K[10]:=subs({xi=g,eta=f},F(xi,eta)^2);

  K[10] := 1153887033915418189482312221817584808915357513342365301\

                                   /
        304890302425376744469601  /  71550027137371306711562155082\
                                 /
        4565843984043241150916754343275599522990576563729874944

> K[11]:=subs({xi=f,eta=g},F(xi,eta)^2);

  K[11] := 1850986386466338758201122971945195294159216268887077959\

                                 /
        4676304182690640387809  /  1968152273684985869122838366130\
                               /
        6756383600533448844244160263423610866371755514643456

> K[12]:=subs({xi=e,eta=g},F(xi,eta)^2);

  K[12] := 1956126008205250243811493344422375345675856096911448937\

                           /
        0960110009255649  /  1701992746311289045386718322314477112\
                         /
        4728282542173688698985654730247167317527616

# Wichtungsfaktoren:
> w[S]:=-11880325/79429842/2; w[1..3]:=21277533/121159934/2;
> w[4..6]:=4638787/86954590/2; w[7..12]:=8113102/105209523/2;

                                  -11880325
                          w[S] := ---------
                                  158859684


                                     21277533
                        w[1 .. 3] := ---------
                                     242319868


                                      4638787
                        w[4 .. 6] := ---------
                                     173909180


                                      4056551
                       w[7 .. 12] := ---------
                                     105209523

> GAUSS_Quadratur:=evalf(sqrt(w[S]*K[S]+w[1..3]*sum(K[i],i=1..3)+w[4..6]
> *sum(K[j],j=4..6)+w[7..12]*sum(K[k],k=7..12)),15);

                GAUSS_Quadratur := 0.00204919753767588

> GAUSS_Quadratur:=convert(%,rational,16);

                                         238143
                     GAUSS_Quadratur := ---------
                                        116212808

> GAUSS_Quadratur:=evalf(%,15);

                GAUSS_Quadratur := 0.00204919753767588

# Im Vergleich dazu ist der exakte Wert:
> L_zwei:=sqrt(15)/1890=evalf(sqrt(15)/1890,15);

                            1/2
                          15
                L_zwei := ----- = 0.00204919753767588
                          1890

# Die GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit  n = 13  Sttzstellen
# liefert den exakten Wert.
