> F[10]:=36*sqrt(3)*Int(Int(xi*eta*(1-xi-eta),xi=0..1-eta),eta=0..1)=   
>                                                  
> 36*sqrt(3)*int(int(xi*eta*(1-xi-eta),xi=0..1-eta),eta=0..1);

                      1    1 - eta
                     /    /
               1/2  |    |
  F[10] := 36 3     |    |         xi eta (1 - xi - eta) dxi deta =
                    |    |
                   /    /
                     0    0

           1/2
        3 3
        ------
          10

> nx:=eta-2*xi*eta-eta^2;  ny:=(2*xi-2*xi^2-eta+eta^2-2*xi*eta)/sqrt(3);

                                               2
                     nx := eta - 2 xi eta - eta


                            2            2              1/2
                (2 xi - 2 xi  - eta + eta  - 2 xi eta) 3
          ny := -------------------------------------------
                                     3

> K[1010]:=(729*sqrt(3)/2)*Int(Int(nx^2+ny^2, xi=0..1-eta),eta=0..1)    
>                                                   
> =(729*sqrt(3)/2)*int(int(nx^2+ny^2, xi=0..1-eta),eta=0..1);

                           1    1 - eta
                          /    /
                    1/2  |    |                              2 2
  K[1010] := 729/2 3     |    |         (eta - 2 xi eta - eta )
                         |    |
                        /    /
                          0    0

                       2            2            2                1/2
           (2 xi - 2 xi  - eta + eta  - 2 xi eta)             81 3
         + --------------------------------------- dxi deta = -------
                              3                                 20

> Phi[10]:=(3/10)/(81/20)=evalf((3/10)/(81/20));

                   Phi[10] := 2/27 = 0.07407407407

# Dieser Wert stimmt mit der exakten Lsung berein. Das Torsionsmoment
# ermittelt man zu:
# 
> M:=(8*sqrt(3)/3)*Int(Int(xi*eta*(1-xi-eta),xi=0..1-eta), eta=0..1)    
>                                             
> =(8*sqrt(3)/3)*int(int(xi*eta*(1-xi-eta),xi=0..1-eta), eta=0..1);

                  1    1 - eta
                 /    /                                          1/2
           1/2  |    |                                          3
 M := 8/3 3     |    |         xi eta (1 - xi - eta) dxi deta = ----
                |    |                                           45
               /    /
                 0    0

# Auch dieses Ergebnis stimmt mit der exakten Lsung berein. Ersetzt
# man in der Torsionsfunktion die Koordinaten (xi, eta) des
# Einheitsdreiecks durch die lineare Transformation
# 
> xi:=sqrt(3)+x/2-y/2;       eta:=y;

                               1/2
                        xi := 3    + x/2 - y/2


                               eta := y

# so erhlt man die Torsionsfunktion in (x,y)-Koordinaten:
# 
> Phi:=simplify(2*(sqrt(3)*x/2-y/2)*y*(1-(sqrt(3)*x/2-y/2)-eta));

                         1/2                 1/2
                       (3    x - y) y (-2 + 3    x + y)
              Phi := - --------------------------------
                                      2

# die sich mit der exakten Torsionsfunktion deckt!
