# L-zwei-Fehlernorm in Ziffer 4.12 # CD-ROM 4.12-5.mws #
> X:=xi*(2*xi-1)+2*sqrt(2)*(1-xi)*xi;
> 

                                       1/2
               X := xi (2 xi - 1) + 2 2    (1 - xi) xi

> Y:=eta*(2*eta-1)+2*sqrt(2)*(1-eta)*eta;
> 

                                       1/2
             Y := eta (2 eta - 1) + 2 2    (1 - eta) eta

> Z:=1-(3-2*sqrt(2))*(xi+eta)-2*(sqrt(2)-1)*(xi+eta)^2;
> 

                      1/2                   1/2                2
     Z := 1 - (3 - 2 2   ) (xi + eta) - 2 (2    - 1) (xi + eta)

> rr:=X^2+Y^2+Z^2:
> rr:=expand(%):
> rr:=simplify(%):
> rr:=collect(%,xi):
> r(xi,eta):=+sqrt(%):
> L_2:=sqrt(Int(Int((1-r)^2,eta=0..1-xi),xi=0..1))=sqrt(int(int((1-r(xi,
> eta))^2,eta=0..1-xi),xi=0..1));
> 
Warning, computation interrupted

# Die Rechnung wird unterbrochen, aufgrund der langen Rechenzeit. Daher
# wird in Band 1 eine GAUSS-Quadratur gemäß (4.288) mit n = 7 und n = 13
# GAUSS-Punkten im Einheitsdreieck (Tabelle 4.12) vorgeschlagen. Im
# Folgenden soll eine GAUSS-LEGENDRE-Quadratur im Master-Quadrat
# vorgenommen werden. Dazu ist eine bilineare Transformation des
# Einheitsdreiecks auf das Master-Quadrat erforderlich.
> L_2:=sqrt(Int(Int((1-r)^2,eta=0..1-xi),xi=0..1));
> 

                    /   1    1 - xi                  \1/2
                    |  /    /                        |
                    | |    |               2         |
             L_2 := | |    |        (1 - r)  deta dxi|
                    | |    |                         |
                    |/    /                          |
                    \  0    0                        /

> xi:=(1+x)*(3-y)/8;   eta:=(1+y)*(3-x)/8;  
> JACOBI_Determinante:=(2-x-y)/16;
> 

                              (1 + x) (3 - y)
                        xi := ---------------
                                     8


                               (1 + y) (3 - x)
                        eta := ---------------
                                      8


                                             x      y
               JACOBI_Determinante := 1/8 - ---- - ----
                                             16     16

> L_zwei:=sqrt(Int(Int(R,y=-1..1),x=-1..1));
> 

                             /   1    1        \1/2
                             |  /    /         |
                             | |    |          |
                   L_zwei := | |    |   R dy dx|
                             | |    |          |
                             |/    /           |
                             \  -1   -1        /

> r(xi,eta):=+sqrt(X^2+Y^2+Z^2):
> R(x,y):=(1/16)*(2-x-y)*subs({xi=(1+x)*(3-y)/8,eta=(1+y)*(3-x)/8},(1-r(
> xi,eta))^2):
# Werte des Integranden in den 3 x 3 GAUSS-Punkten:
> a:=sqrt(3/5);
> 

                                     1/2
                                   15
                              a := -----
                                     5

> Q[1]:=simplify(subs({x=-a,y=-a},R(x,y))):
> Q[2]:=simplify(subs({x=a,y=-a},R(x,y))):
> Q[3]:=simplify(subs({x=a,y=a},R(x,y))):
> Q[4]:=simplify(subs({x=-a,y=a},R(x,y))):
> Q[5]:=simplify(subs({x=0,y=-a},R(x,y))):
> Q[6]:=simplify(subs({x=a,y=0},R(x,y))):
> Q[7]:=simplify(subs({x=0,y=a},R(x,y))):
> Q[8]:=simplify(subs({x=-a,y=0},R(x,y))):
> Q[9]:=simplify(subs({x=0,y=0},R(x,y))):
# Wichtungsfaktoren:
> w[1..4]:=25/81;   w[5..8]:=40/81;   w[9]:=64/81;
> 

                                        25
                           w[1 .. 4] := --
                                        81


                                        40
                           w[5 .. 8] := --
                                        81


                                      64
                              w[9] := --
                                      81

> GAUSS_Quadratur:=sqrt(w[1..4]*sum(Q[i],i=1..4)+w[5..8]*sum(Q[j],j=5..8
> )+w[9]*Q[9]):
> GAUSS_Quadratur:=evalf(%);
> 

                   GAUSS_Quadratur := 0.04058481142

# Der vergleichbare Wert in Tabelle 4.12 aus band 1 ist
# L-zwei=0.0416136,
#  der mit n = 7 GAUSS-Punkten im Einheitsdreieck ermittelt wurde.
#     Im Folgenden wird die GAUSS-Quadratur mit 4 x 4 GAUSS-Punkten
# durchgeführt.
#  Die Werte des Integranden sind
> A:=sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7);   B:=sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7);
> 

                                        1/2 1/2
                            (525 + 70 30   )
                       A := -------------------
                                    35


                                        1/2 1/2
                            (525 - 70 30   )
                       B := -------------------
                                    35

> q[1]:=simplify(subs({x=-A,y=-A},R(x,y))):
> q[2]:=simplify(subs({x=A,y=-A},R(x,y))):
> q[3]:=simplify(subs({x=A,y=A},R(x,y))):
> q[4]:=simplify(subs({x=-A,y=A},R(x,y))):
> q[5]:=simplify(subs({x=-B,y=-B},R(x,y))):
> q[6]:=simplify(subs({x=B,y=-B},R(x,y))):
> q[7]:=simplify(subs({x=B,y=B},R(x,y))):
> q[8]:=simplify(subs({x=-B,y=B},R(x,y))):
> q[9]:=simplify(subs({x=-A,y=-B},R(x,y))):
> q[10]:=simplify(subs({x=A,y=-B},R(x,y))):
> q[11]:=simplify(subs({x=A,y=B},R(x,y))):
> q[12]:=simplify(subs({x=-A,y=B},R(x,y))):
> q[13]:=simplify(subs({x=-B,y=-A},R(x,y))):
> q[14]:=simplify(subs({x=B,y=-A},R(x,y))):
> q[15]:=simplify(subs({x=B,y=A},R(x,y))):
> q[16]:=simplify(subs({x=-B,y=A},R(x,y))):
# Wichtungsfaktoren:
> w[1..4]:=59/216-(1/6)*sqrt(5/6);
> 

                                            1/2
                                    59    30
                       w[1 .. 4] := --- - -----
                                    216    36

> w[5..8]:=59/216+(1/6)*sqrt(5/6);
> 

                                            1/2
                                    59    30
                       w[5 .. 8] := --- + -----
                                    216    36

> w[9..16]:=49/216;
> 

                                        49
                          w[9 .. 16] := ---
                                        216

> gauss_quadratur:=sqrt(w[1..4]*sum(q[i],i=1..4)+w[5..8]*sum(q[j],j=5..8
> )+w[9..16]*sum(q[k],k=9..16)):
> gauss_quadratur:=simplify(%):
> gauss_quadratur:=evalf(%);
> 

                   gauss_quadratur := 0.04164896580

# Die vergleichenden Werte in Tabelle 4.12 aus Band 1 sind L_zwei =
# 0.04161136 bzw. L_zwei = 0.0416464, die mit n = 7 bzw. n = 13
# GAUSS-Punkten im Einheitsdreieck ermittelt wurden. Der durch iterative
# Aufsummierung gewonnene Wert war L_zwei = 0.0415987, der ebenfalls in
# Tabelle 4.12 angegeben ist.
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