# Ermittlung der L2-Fehlernormen für die einzelnen Näherungsfunktionen
> L_2:=sqrt(int(F(xi)^2,xi=0..1));

                            /   1           \1/2
                            |  /            |
                            | |        2    |
                     L_2 := | |   F(xi)  dxi|
                            | |             |
                            |/              |
                            \  0            /

# Darin ist F die Differenz aus der Näherungsfunktion und der exakten
# Lösung d.h. der wahre Fehler. Für die einzelnen Methoden ist F der
# Tabelle 7.7 entnommen.
# 1) Variationsmethode / GALERKIN-Verfahren / least-squares-Methode /
# optimale Kollokation
> F[1](xi):=-4*sin(Pi*xi)/Pi^3+(1-xi)*xi/2;

                             4 sin(Pi xi)   (1 - xi) xi
               F[1](xi) := - ------------ + -----------
                                   3             2
                                 Pi

> L_2[1]:=evalf(sqrt(int(F[1](xi)^2,xi=0..1)));

                       L_2[1] := 0.003470094127

# 2) Subdomain-Methode
> F[2](xi):=-sin(Pi*xi)/2/Pi+(1-xi)*xi/2;

                               sin(Pi xi)   (1 - xi) xi
              F[2](xi) := -1/2 ---------- + -----------
                                   Pi            2

> L_2[2]:=evalf(sqrt(int(F[2](xi)^2,xi=0..1)));

                       L_2[2] := 0.02159899979

# 3) Punktweise Kollokation mit dem Kollokationspunkt X=1/2
> F[3](xi):=-sin(Pi*xi)/Pi^2+(1-xi)*xi/2;

                              sin(Pi xi)   (1 - xi) xi
                F[3](xi) := - ---------- + -----------
                                   2            2
                                 Pi

> L_2[3]:=evalf(sqrt(int(F[3](xi)^2,xi=0..1)));

                       L_2[3] := 0.01988139567

# 4) Punktweise Kollokation mit dem Kollokationspunkt X=0.301
# Bei der Wahl dieses Punktes stimmt die maximale Durchbiegung aus der
# Näherung mit dem exakten Wert überein.
> F[4](xi):=-sin(Pi*xi)/8+(1-xi)*xi/2;

                                            (1 - xi) xi
              F[4](xi) := -1/8 sin(Pi xi) + -----------
                                                 2

> L_2[4]:=evalf(sqrt(int(F[4](xi)^2,xi=0..1)));

                       L_2[4] := 0.004479522513

# Die L2-Norm zeigt, dass die Variationsmethode, das GALERKIN-Verfahren,
# die least-squares-Methode oder auch die optimale Kollokation die
# besten Näherungen liefern.
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