> with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected

> K:=matrix(3,3,[24/l,0,-12/l,0,8*l,-6,-12/l,-6,12/l]);

                         [  24                12 ]
                         [ ----      0     - ----]
                         [  l                 l  ]
                         [                       ]
                    K := [  0       8 l      -6  ]
                         [                       ]
                         [   12              12  ]
                         [- ----    -6      ---- ]
                         [   l               l   ]

> n:=matrix(3,3,[24/l,0,-12/l,0,8*l/3,-1,-12/l,-1,12/l]);

                         [  24                12 ]
                         [ ----      0     - ----]
                         [  l                 l  ]
                         [                       ]
                         [          8 l          ]
                    n := [  0       ---      -1  ]
                         [           3           ]
                         [                       ]
                         [   12              12  ]
                         [- ----    -1      ---- ]
                         [   l               l   ]

> A:=multiply(K,inverse(n));

                         [  1        0        0  ]
                         [                       ]
                         [  4 l               8 l]
                    A := [- ---    14/5     - ---]
                         [  15                15 ]
                         [                       ]
                         [-1/6     - 2/l     2/3 ]

> cp:=charpoly(A,lambda);

                               /      2   52             \
            cp := (lambda - 1) |lambda  - -- lambda + 4/5|
                               \          15             /

> solve(cp);

                                1/2           1/2
                       26   4 31     26   4 31
                    1, -- + -------, -- - -------
                       15     15     15     15

# Aus diesen charakteristischen Zahlen erhält man wegen l=L/4 die
# Knicklasten nach der Formel:
> P:=lambda->(160*EL/L^2)*lambda;

                                    160 EL lambda
                     P := lambda -> -------------
                                          2
                                         L

> evalf(P(26/15-(4/15)*sqrt(31)));

                            39.77538704 EL
                            --------------
                                   2
                                  L

# Der EULERsche Wert ist
> 4*Pi^2*EI/L^2;

                                   2
                               4 Pi  EI
                               --------
                                   2
                                  L

# so dass der nach  FE-Methode ermittelte Wert mit einem Fehler von
# 0.75% behaftet ist.
# Die erste Näherung ist mit einem Fehler von 1.32% behaftet!
#  
# Mit den anderen Eigenwerten ergeben sich folgende Knicklasten:
> evalf(P(1));evalf(P(26/15+(4/15)*sqrt(31)));

                               160. EL
                               -------
                                  2
                                 L


                            514.8912795 EL
                            --------------
                                   2
                                  L

# Die entsprechenden EULERschen Werte erhält man nach der Formel:
> Pn:=n->4*n^2*Pi^2*EI/L^2;

                                      2   2
                                   4 n  Pi  EI
                        Pn := n -> -----------
                                        2
                                       L

# für n=2 und n=3 zu:
> P[2]:=evalf(Pn(2)); P[3]:=evalf(Pn(3));

                                157.9136705 EI
                        P[2] := --------------
                                       2
                                      L


                                355.3057585 EI
                        P[3] := --------------
                                       2
                                      L

# so dass die entsprechenden Näherungswerte mit Fehlern von 1,32% und
# 44,9% behaftet sind!
# Der zweite Eigenwert, der mit einem Fehler von 1,32% behaftet ist,
# stimmt mit der ersten Näherung überein!
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