# Die zweiten Ableitungen der Ritz-Ansätze seien durch a,b,c
# gekennzeichnet:
> with(linalg):
> 
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unprotected

> a(xi):=2*(1-3*xi)/L^2; b(xi):=6*(1-2*xi)*xi/L^2;
> c(xi):=4*(3-5*xi)*xi^2/L^2;
> 

                                 2 (1 - 3 xi)
                        a(xi) := ------------
                                       2
                                      L


                                6 (1 - 2 xi) xi
                       b(xi) := ---------------
                                       2
                                      L


                                              2
                               4 (3 - 5 xi) xi
                      c(xi) := ----------------
                                       2
                                      L

> A:= matrix(1,3,[a(xi),b(xi),c(xi)]);
> 

           [                                                  2]
           [2 (1 - 3 xi)    6 (1 - 2 xi) xi    4 (3 - 5 xi) xi ]
      A := [------------    ---------------    ----------------]
           [      2                2                   2       ]
           [     L                L                   L        ]

> J:= multiply(transpose(A),A):
> K:=(4*EI/L^3)*evalm((L^4/4)*map(int,J,xi=0..1));
> 

                                [1     1     1 ]
                                [              ]
                                [            13]
                                [1    6/5    --]
                           4 EI [            10]
                                [              ]
                                [     13     52]
                                [1    --     --]
                                [     10     35]
                      K := ---------------------
                                     3
                                    L

# Mit dem Belastungsvektor
> P:= (L*q[0]*vector(3,[1/12,1/20,1/30]));
> 

                    P := L q[0] [1/12, 1/20, 1/30]

# erhält man das lineare Gleichungssystem [K]{C} = {P} mit folgenden
# Lösungen für die RITZ-Parameter:
# 1) Eingliedriger Näherungsansatz mit dem Parameter C11
> solve({1*C[11] = L^3/(4*EI) * L*q[0]/12},{C[11]});
> 

                                       4
                                      L  q[0]
                        {C[11] = 1/48 -------}
                                        EI

# 2) Zweigliedriger Näherungsansatz mit den Parametern C21 und C22
> solve({1*C[21]+C[22]=L^3/(4*EI) * L*q[0]/12,
>        1*C[21]+6/5*C[22]=L^3/(4*EI) * L*q[0]/20},{C[21],C[22]});
> 

                            4                     4
                           L  q[0]               L  q[0]
            {C[22] = -1/24 -------, C[21] = 1/16 -------}
                             EI                    EI

# 3) Dreigliedriger Näherungsansatz mit den Parametern C31, C31 und C33
> solve({1*C[31]+C[32]+C[33]=L^3/(4*EI) * L*q[0]/12,
>        1*C[31]+6/5*C[32]+13/10*C[33]=L^3/(4*EI) * L*q[0]/20,
>        1*C[31]+13/10*C[32]+52/35*C[33]=L^3/(4*EI) * L*q[0]/30},
>        {C[31],C[32],C[33]});

                      4                                 4
                     L  q[0]                           L  q[0]
       {C[31] = 1/16 -------, C[33] = 0, C[32] = -1/24 -------}
                       EI                                EI

# Der dreigliedrige Näherungsansatz stimmt mit dem zweigliedrigen
# Näherungsansatz überein,
# da der Ritz-Parameter C33 = 0 ist. Man erhält die exakte Lösung.
# Allgemein gilt:
# Falls im gewählten Ritz-Ansatz (7.6) zufällig die exakte Lösung
# enthalten ist,
# liefert das Ritzsche Verfahren die Ansatzfreiwerte gerade so, dass der
# Näherungsansatz
# mit der exakten Lösung übereinstimmt. Somit wird in diesem Beispiel
# C33 = 0,
# so dass die Testfunktion psi_3  gemäß (5c) in (4) keinen Einfluss auf
# die Biegelinie hat.
# Damit ergeben sich folgende Näherungsansätze:
> v[1](xi):=((L^4*q[0])/(48*EI))*(1-xi)*xi^2;
> v[2](xi):=((q[0]*L^4)/(48*EI))*(3-5*xi+2*xi^2)*xi^2;
> 

                                  4                 2
                                 L  q[0] (1 - xi) xi
                v[1](xi) := 1/48 --------------------
                                          EI


                                  4                 2    2
                            q[0] L  (3 - 5 xi + 2 xi ) xi
           v[2](xi) := 1/48 ------------------------------
                                          EI

# Die letzte Näherung v2 stimmt mit der exakten Biegelinie überein!
# Dimensionslose Darstellung der Ritz-Ansätze
> V[1]:=-(1-xi)*xi^2;
> 

                                            2
                        V[1] := -(1 - xi) xi

> V[2]:=-(3-5*xi+2*xi^2)*xi^2;
> 

                                            2    2
                   V[2] := -(3 - 5 xi + 2 xi ) xi

# Die zweite Näherung V2 stimmt bereits mit der exakten Biegelinie
# überein.
> plot({V[1],V[2]},xi=0..1,colour=black,thickness=2);
> # 

> 
