> f(xi,eta,zeta):=xi^4*eta^4*zeta^4;
> 

                                        4    4     4
                  f(xi, eta, zeta) := xi  eta  zeta

> Int(Int(Int(f,xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1)=
> int(int(int(f(xi,eta,zeta),xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1);
> 

                  1    1    1
                 /    /    /
                |    |    |
                |    |    |   f dxi deta dzeta = 8/125
                |    |    |
               /    /    /
                 -1   -1   -1

# Funktionswerte des Integranden:
> a:=sqrt(3/5);
> 

                                     1/2
                                   15
                              a := -----
                                     5

> F[1]:=subs({xi=-a,eta=-a,zeta=-a},f(xi,eta,zeta));
> 

                                     729
                            F[1] := -----
                                    15625

# Aufgrund der speziellen Form des Integranden stimmen die Werte F[2]
# mit F[1] überein.
> 
> F[9]:=subs({xi=0,eta=-a,zeta=-a},f(xi,eta,zeta));
> 

                              F[9] := 0

# Ebenso verschwinden alle weiteren Integranden. Mit dem Wichtungsfaktor
# w = 125/729 aus Tabelle 7.16 ergibt sich die Quadratur zu:
> GAUSS_Quadratur:=8*(125/729)*F[1];
> 

                       GAUSS_Quadratur := 8/125

# Dieses Ergebnis stimmt mit dem exakten Integralwert überein. Wählt man
# im Monom die Potenzen p = q = r = 5, so liefert die
# GAUSS-LEGENDRE-Quadratur ebenfalls den exakten Integralwert, der
# jedoch NULL ist.
#    Der folgende MAPLE-Ausdruck zeigt ein weiteres Beispiel:
> g(xi,eta,zeta):=xi^2*(sin(eta))^2*cos(zeta);
> 

                                   2         2
             g(xi, eta, zeta) := xi  sin(eta)  cos(zeta)

> Int(Int(Int(g,xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1)=
> int(int(int(g(xi,eta,zeta),xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1);
> 

     1    1    1
    /    /    /
   |    |    |
   |    |    |   g dxi deta dzeta = -4/3 (cos(1) sin(1) - 1) sin(1)
   |    |    |
  /    /    /
    -1   -1   -1

> 
> Integralwert:=-evalf((4/3)*(cos(1)*sin(1)-1)*sin(1));
> 

                     Integralwert := 0.6118630454

# Funktionswerte des Integranden:
> a:=sqrt(3/5);
> 

                                     1/2
                                   15
                              a := -----
                                     5

> G[1]:=subs({xi=-a,eta=-a,zeta=-a},g(xi,eta,zeta));
> 

                                    1/2 2         1/2
                                  15            15
                G[1] := 3/5 sin(- -----)  cos(- -----)
                                    5             5

# Aufgrund der speziellen Form des Integranden stimmen die Werte G[2]
# bis G[8] mit G[1] überein.
> G[9]:=subs({xi=0,eta=-a,zeta=-a},g(xi,eta,zeta));   G[10]:=G[9]:  
> G[11]:=0:   G[12]:=0:   G[13]:=0:   G[14]:=0:   G[15]:=0:   G[16]:=0: 
>     
> 

                              G[9] := 0

> G[17]:=subs({xi=-a,eta=-a,zeta=0},g(xi,eta,zeta));
> 

                                       1/2 2
                                     15
                  G[17] := 3/5 sin(- -----)  cos(0)
                                       5

> G[18]:=G[17]:   G[19]:=G[17]:   G[20]:=G[17]:
# Die restliche Integralwerte G[21] bis G[27] verschwinden, so dass man
# folgende Näherung erhält:
> GAUSS_Quadratur:=8*(125/729)*G[1]+4*(200/729)*G[17];
> 

                                1/2 2       1/2              1/2 2
                      200     15          15       160     15
   GAUSS_Quadratur := --- sin(-----)  cos(-----) + --- sin(-----)
                      243       5           5      243       5

> GAUSS_Quadratur:=evalf(%);
> 

                   GAUSS_Quadratur := 0.6098698035

> relativer_Fehler:=(Integralwert-GAUSS_Quadratur)/Integralwert;
> 

                  relativer_Fehler := 0.003257660215

> 
> 
