> xi:=(arcsin(eta)-eta*sqrt(1-eta^2))/Pi;

                                                2 1/2
                      arcsin(eta) - eta (1 - eta )
                xi := -------------------------------
                                    Pi

> Diff(xi,eta)=diff(xi,eta);

       /                          2 1/2\
   d   |arcsin(eta) - eta (1 - eta )   |
  ---- |-------------------------------| =
  deta \              Pi               /

                                               2
              1                 2 1/2       eta
        ------------- - (1 - eta )    + -------------
                2 1/2                           2 1/2
        (1 - eta )                      (1 - eta )
        ---------------------------------------------
                             Pi

> simplify(%);
> 

          /                             2 1/2\             2
      d   |  -arcsin(eta) + eta (1 - eta )   |        2 eta
     ---- |- --------------------------------| = ----------------
     deta \                 Pi               /           2 1/2
                                                 (1 - eta )    Pi

# Das Integral über xi geht damit über in ein Integral über eta:
> (4/Pi)*Int(eta^4/sqrt(1-eta^2),eta=0..1)=(4/Pi)*int(eta^4/sqrt(1-eta^2
> ),eta=0..1);

                          1
                         /         4
                   4    |       eta
                  ----  |   ------------- deta = 3/4
                   Pi   |           2 1/2
                       /    (1 - eta )
                         0

# Den Durchmesser in Stabmitte erhält man somit zu
> d[0]:=4*sqrt(V/3/Pi/l);

                                  1/2 / V  \1/2
                               4 3    |----|
                                      \Pi l/
                       d[0] := ----------------
                                      3

# Damit ergibt sich die Knicklast des optimierten Stabes zu:
> P[krit]:=Pi*E*V^2/3/l^4;

                                           2
                                     Pi E V
                          P[krit] := -------
                                         4
                                      3 l

# Im vergleich dazu ist die Knicklast des Stabes mit konstantem
# Durchmesser durch
> P[krit]:=Pi*E*V^2/4/l^4;

                                           2
                                     Pi E V
                          P[krit] := -------
                                         4
                                      4 l

# gegeben, so daß man als Vergleich das Verhältnis 4/3 erhält, d.h., der
# optimierte Stab kann
# bei gleichem Volumen bzw. Gewicht eine um 33% größere Knicklast
# ertragen!
#     Der Durchmeser in Stabmitte des optimierten Stabes ist um den
# Faktor
> 2/sqrt(3)=evalf(2/sqrt(3));

                            1/2
                         2 3
                         ------ = 1.154700539
                           3

# d.h. um 15% größer als der konstante Durchmesser des nicht optimierten
# Stabes!
> xi:=(1/Pi)*(arcsin(eta)-eta*sqrt(1-eta^2));

                                                2 1/2
                      arcsin(eta) - eta (1 - eta )
                xi := -------------------------------
                                    Pi

> plot(xi,eta=0..1);

> 
> 
> 
> 
