# Torsionfunktion und Teilmoment im finiten Element I:
> Phi[I]:=(xi,eta)->(1/57)*(1-xi)*(1-eta)*(34+35*xi+35*eta+55*xi*eta)*a^
> 2;

  Phi[I] := (xi, eta) ->

                                                                   2
        1/57 (1 - xi) (1 - eta) (34 + 35 xi + 35 eta + 55 xi eta) a

> M[I]:=2*G*D*a^2*Int(Int(Phi[I],xi=0..1),eta=0..1)=2*G*D*a^2*int(int(Ph
> i[I](xi,eta),xi=0..1),eta=0..1);

                           1    1
                          /    /                             4
                      2  |    |                     571 G D a
       M[I] := 2 G D a   |    |   Phi[I] dxi deta = ----------
                         |    |                        1026
                        /    /
                          0    0

# Torsionfunktion und Teilmoment im finiten Element II:
> Phi[II]:=(xi,eta)->(1/57)*(1-eta)*(34+23*xi+35*eta)*a^2;

                                                                 2
   Phi[II] := (xi, eta) -> 1/57 (1 - eta) (34 + 23 xi + 35 eta) a

> M[II]:=2*G*D*a^2*Int(Int(Phi[II],xi=-eta..0),eta=0..1)=2*G*D*a^2*int(i
> nt(Phi[II](xi,eta),xi=-eta..0),eta=0..1);

                           1    0
                          /    /                               4
                      2  |    |                        61 G D a
      M[II] := 2 G D a   |    |     Phi[II] dxi deta = ---------
                         |    |                           228
                        /    /
                          0    -eta

# Torsionfunktion und Teilmoment im finiten Element III:
> Phi[III]:=(xi,eta)->(1/57)*(1-xi)*(34+23*eta+35*xi)*a^2;

                                                                 2
   Phi[III] := (xi, eta) -> 1/57 (1 - xi) (34 + 23 eta + 35 xi) a

> M[III]:=2*G*D*a^2*Int(Int(Phi[III],xi=-eta..1),eta=-1..0)=2*G*D*a^2*in
> t(int(Phi[III](xi,eta),xi=-eta..1),eta=-1..0);

                           0    1
                          /    /                                4
                      2  |    |                         61 G D a
     M[III] := 2 G D a   |    |     Phi[III] dxi deta = ---------
                         |    |                            228
                        /    /
                          -1   -eta

# Das Torsionmoment des Stabes ergibt sich aus der doppelten Summe der
# drei Teilmomente:
> M:=2*(M[I]+M[II]+M[III]);

                   1    1
                  /    /
              2  |    |
  M := 4 G D a   |    |   Phi[I] dxi deta
                 |    |
                /    /
                  0    0

                       1    0
                      /    /
                  2  |    |
         + 4 G D a   |    |     Phi[II] dxi deta
                     |    |
                    /    /
                      0    -eta

                       0    1
                      /    /                                  4
                  2  |    |                         1120 G D a
         + 4 G D a   |    |     Phi[III] dxi deta = -----------
                     |    |                             513
                    /    /
                      -1   -eta

> M:=G*D*a^4*evalf(1120/513);

                                             4
                       M := 2.183235867 G D a

Der relative Fehler gegenüber dem Wert 2.25 von TIMOSCHENKO / GOODIER
beträgt:
> f:=(9/4-1120/513)/(9/4)=evalf((9/4-1120/513)/(9/4));

                           137
                      f := ---- = 0.02967294780
                           4617

Der relative Fehler betägt somit 2.97%. Man beachte obige Anmerkung zu
diesem Ergebnis.
> 
