Lösung der Aufgabe 8.9

Die Bahngleichung

zeigt, dass die Bahnform im Wesentlichen durch die Parameter und bestimmt wird. Diese wiederum hängen von der Energie und dem Drehimpuls ab. Der Parameter bestimmt hingegen die `Skalierung` der Bahn. In die Definition von geht eine Integrationskonstante ein. Legt man diese durch die Betrachtung eines Minimalabstandes fest, so kann man (essentiell durch Elimination des Drehimpulses) als Funktion von und Energiegrößen darstellen. Je nachdem ob der Drehimpuls größer, kleiner oder gleich ist, nimmt Werte aus einem bestimmten Bereich an. Die erste Aufgabe ist somit die Bestimmung der Funktion

Ist der Drehimpuls groß, das heißt ist

so nimmt der Parameter

Werte zwischen und an. Setzt man für die Diskussion voraus, dass ist (für gelten entsprechende Aussagen, siehe klassisches Keplerproblem der Mechanik Band 1, Kap. 4.1.2.3), so findet man einen minimalen Abstand

für den Maximalwert des Kosinus bei Durch Elimination von und des Drehimpulses zugunsten der Energieparameter gewinnt man die Relation

die es erlaubt, für vorgegebene -Werte (bestimmt durch den Drehimpuls) und Energiewerte den Bereich des Parameters anzugeben. Um die Energieverhältnisse in geeigneter Weise darzustellen (Abb. 0.1),

Abbildung 0.1: Die Energiesituation im relativistischen Coulombproblem

schreibt man die Gesamtenergie

in der folgenden Form um

wobei das klassische Zentralpotential ist

Der Grund für diese Darstellung ist die Tatsache, dass man die relativistische Energie

nicht in einfacher Weise in einen Radial- und Winkelanteil trennen kann. In der Abbildung 0.1 sieht man, dass im Wesentlichen das Bild des Keplerproblems um die Ruheenergie verschoben ist.

- Falls und ist, ist die potentielle Energie dem Betrag nach größer als die kinetische Energie. Unter diesen Umständen ist die Bewegung gebunden, das Elektron nimmt einen Maximalabstand von der Zentralladung ein. Die Relation bedingt für einen Epsilonwert mit Der Maximalabstand

  wird für Punkte angenommen, für die ist. Da das Argument der Kosinusfunktion und nicht selbst ist, ist die Bahn nur in dem Grenzfall eine Ellipse. Im Allgemeinen hat die Bahn die Gestalt einer nichtgeschlossenen Rosette zwischen zwei Kreisen mit den Radien und Die Abbildung (Abb. 0.2) zeigt eine Rosettenbahn.

  Abbildung 0.2: Bahnkurve für und : Rosettenbahn mit und

- Für und ist die kinetische Energie größer als der Betrag der potentiellen. Mit folgt aus der Relation die Aussage Die Bewegung ist ungebunden mit einer Bahn, die den Keplerhyperbeln ähnelt. Die Bahnkurven besitzen zwei Asymptoten, die durch

  bestimmt sind (Abb. 0.3). Die dritte Möglichkeit ergibt und eine parabelähnliche Bahn (Abb. 0.4).

  Abbildung 0.3: Bahnkurve für und : relativistische `Coulombhyperbel` mit | Abbildung 0.4: Bahnkurve für und : relativistische `Coulombparabel` ( )

- Liegt eine Situation mit vor, so ist

  Man benutzt in diesem Fall die Umschreibung mit reellem und

  Eine Rechnung zur Bestimmung der Funktion , analog zu dem Fall ist nicht notwendig, da man das Ergebnis direkt umschreiben kann. Ersetzt man durch , so erhält man

  Definiert man noch

  so kann man die Lösung des Bewegungsproblems in der Form

  schreiben. Damit der Nenner nicht immer negativ ist, muss man für das negative Vorzeichen wählen. Man definiert noch

  und schreibt

- Ist und , so ist Für erhält man den Abstandswert

  Da der hyperbolische Kosinus mit wachsendem eine monoton wachsende Funktion ist, ist dies der maximal mögliche Abstand von der Zentralladung. Der Abstand verkleinert sich von Umlauf zu Umlauf. Die Bahnkurve ist dann eine Spirale, die für an bei beginnt und je nach Größe des Parameters die Punktladung enger oder weiter umkreist (Abb. 0.5).

  Abbildung 0.5: Bahnkurve für und : Spirale mit endlichem Maximalabstand für und

- Ist auf der anderen Seite und , so ist Die Bahn besitzt wiederum zwei Asymptoten, die durch die Winkel

  bestimmt sind (Abb. 0.6). Das Elektron nähert sich z.B. dem Kern auf einer der Asymptoten und umkreist den Kern in engen und schnell enger werdenden Spiralen, wobei der Umlaufsinn durch die Asymptoten bestimmt wird:

  |  | Drehung gegen den Uhrzeigersinn
  |  | Drehung mit dem Uhrzeigersinn.

  Abbildung 0.6: Bahnkurve für und : Spirale mit Asymptote für und

- In dem Fall lautet die Lösung

  Es liegt ebenfalls eine Spiralbahn vor, die jedoch den Ursprung mit wachsendem langsamer umkreist als im Fall (Abb. 0.7).

  Abbildung 0.7: Bahnkurve für und : Spirale mit endlichem Anfangswert (

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