Detail 8.3
Eine allgemeinere Variante der Lorentztransformation

Die einfachste Form der Lorentztransformation liegt vor, wenn man zwei Koordinatensysteme und betrachtet, die gleich orientiert sind, zu dem Zeitpunkt zusammenfallen und die sich in einer der Koordinatenrichtungen (z.B. der -Richtung) uniform gegeneinander bewegen. Die Transformationsgleichungen sind dann

|  |  | (1)

bzw. in kompakter Form für die interessanten Koordinaten

| (2)

Trotz der eingeschränkten Form kann man anhand dieser Gleichungen alle wesentlichen Folgerungen wie die Längenkontraktion, die Zeitdilation etc. diskutieren.

Allgemeinere Varianten der Lorentztransformation müssen betrachtet werden, wenn

- die Koordinatensysteme zwar gleich orientiert sind und zum Zeitpunkt zusammenfallen, die Relativgeschwindigkeit jedoch beliebig ist (Abb. 8.1 mit Sicht aus verschiedenen Perspektiven)

  Abbildung 8.1: Beliebige Relativbewegung von zwei Inertialsystemen
  | Ein späterer Zeitpunkt

oder wenn

- sowohl die relative Orientierung, als auch die relative Lage der Nullpunkte der Koordinatensysteme zum Zeitpunkt und die Relativgeschwindigkeit beliebig sind.

Für die erste dieser Verallgemeinerungen lauten die Transformationsgleichungen

|  |  | (3)

Die Herleitung dieser Relationen in der - als auch in der vollen -Welt soll hier vorgestellt werden.

Als Vorspann zu der eigentlichen Herleitung ist die folgende Überlegung im Rahmen der ko-/kontravarianten Formulierung nützlich: Die beiden (gleichorientierten) Koordinatensysteme werden zunächst so gedreht, dass die -Richtung mit der Richtung des Vektors übereinstimmt. Ist die Matrix für Raumdrehungen im Minkowskiraum und der Ereignisvektor in kovarianter Form , so wird die Drehung der Systeme und in der ko-/kontravarianten Schreibweise durch

dargestellt. Die Ereignisvektoren in den zwei gedrehten Systemen sind durch eine einfache Lorentztransformation, die durch die Matrix dargestellt wird, verknüpft

Schließlich werden die beiden Koordinatensysteme mit der inversen Drehmatrix wieder in die ursprüngliche Orientierung überführt.

Abbildung 8.2: Darstellung der Operationen zur Herleitung der allgemeineren Lorentztransformation

Es gilt

so dass man

erhält. Hier liest man ab, dass die Matrix mit den Elementen

| (4)

die allgemeinere Lorentztransformation darstellt.

Die hier auftretenden Matrizen sind mit den Matrizen in der einfachen Notation, die z.B. in (2) benutzt wird, in der folgenden Weise verknüpft:

- Die Transformationsmatrix soll eine Lorentztransformation (Raumdrehung, einfache Lorentztransformation, allgemeine Lorentztransformation) in der einfachen Schreibweise darstellen, in der nur kovariante Koordinaten

  | (5)

  benutzt werden. Die Matrixelemente der formal korrekten und der einfachen Transformationsgleichungen sind durch

  verknüpft. Benutzt man noch die Relation

  so findet man in der Tat anstelle von (5) die Aussage

  Es gilt dann auch infolge von (4)

  Hier kann man ablesen, dass sich in der einfachen Schreibweise die allgemeinere Lorentztransformation in der gleichen Weise zusammensetzt wie in der formalen

  | (6)

- Zur Veranschaulichung kann man die Relation

  die die Matrixelemente in der einfachen Schreibweise und der ko-/kontravarianten Schreibweise verknüpft, in expliziter Matrixform zu notieren. Es ist

- Trotz der unterschiedlichen Transformationsmatrizen und sind die vollständigen Transformationsgleichungen gleichwertig

  Im Weiteren wird die einfache Schreibweise benutzt, für die (6) gilt.

#### 1 Zwei Raumkoordinaten, z.B. und

Die zwei Matrizen, die die Lorentztransformation bestimmen, sind in diesem Fall

für die einfache Lorentztransformation und

für eine Drehung um die (nicht weiter beteiligte) -Achse. Zur Berechnung des Matrixproduktes kann man das Zwischenergebnis

und das Endergebnis

|  |  | (7)

notieren. Zur Interpretation dieses Resultates führt man die Multiplikation aus und betrachtet die drei Elemente des Produktes.

- Für die Zeitkoordinate in dem System erhält man (entsprechend der ersten Zeile der Matrix (7))

  Man erkennt in den zwei letzten Termen auf der rechten Seite dieser Gleichung die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen ( ) und somit das Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Positionsvektor . Man kann also zusammenfassen

  | (8)

- Die -Komponente ist mit den Minkowskikoordinaten in dem System durch

  verknüpft. Der erste Term der rechten Seite enthält die -Komponente der Relativgeschwindigkeit . Die restlichen Terme sortiert man in der Form

  Wieder findet man bis auf den fehlenden Faktor das Skalarprodukt von Position und Relativgeschwindigkeit, sowie die Projektion eines Einheitsvektors auf die -Achse. Erweiterung mit liefert das Resultat

- Die entsprechende Gleichung für die -Komponente

  ergibt mit einem entsprechenden Argument (ersetze durch ) das Ergebnis

Die Einzelgleichungen für die Raumkoordinaten in können, wie in (3) angegeben, in Vektorform zusammengefasst werden

| (9)

Dieses Resultat kann folgendermaßen interpretiert werden: Die Größe

ist die Komponente des Positionsvektors parallel zu dem Vektor der Relativgeschwindigkeit. Die Komponente senkrecht zu der Relativgeschwindigkeit ist . Die Relation (9) entspricht der vektoriellen Addition der Transformationsgleichung für die parallele Komponente, die durch (2) gegeben ist

und der Gleichung

die angibt, dass die senkrechte Komponente nicht transformiert wird. Diese Argumentation besagt, dass die Transformationsgleichungen (8) und (9) auch in der -Welt Gültigkeit haben. Trotzdem soll die Aufbereitung der allgemeineren Transformationsgleichung auch für diesen Fall angedeutet werden.

####
2 Drei Raumkoordinaten

Zur Auswertung der Relation (6) im Minkowskiraum (mit den Koordinaten ) benötigt man die in die vierdimensionale Welt eingebettete Drehmatrix in Abhängigkeit von den Eulerwinkeln

Die Matrixelemente sind in Band1, Kap. 6.3 (6.135) aufgeführt, werden hier aber nicht im Detail benötigt. Die für diese Diskussion relevante Information ist die Orthogonalitätsrelation , bzw. explizit

| (10)

Die Matrix der einfachen Lorentztransformation ist mit der Matrix aus Kap. 8.3.4 identisch

Die Auswertung des Matrixproduktes ergibt

Die Transformation kann man in der Form

notieren. Die einzelnen Elemente haben die Form

Diese Liste kann in kompakter Form zusammengefasst

und mit der Orthogonalitätsrelation (10) vereinfacht werden

Zur Interpretation betrachtet man auch hier die Transformationsgleichung . Die Minkowskikoordinaten in dem System sind

Der Anteil stellt die Projektion des Vektors auf die Richtung des Vektors der Relativgeschwindigkeit (der -Richtung nach der Drehung der ursprünglichen Koordinatensysteme) dar. Multipliziert man diesen Ausdruck mit , so erhält man das Skalarprodukt . Die Matrixelemente multipliziert mit dem Betrag der Relativgeschwindigkeit. kann man als die k-te Komponente dieser Geschwindigkeit interpretieren. Mit einer analogen Erweiterung und Umschreibung wie in Teil a. erhält man somit

Die vektorielle Zusammenfassung des Raumanteils entspricht dem vorherigen Resultat.

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