3.9 Das Potential eines Quaders als Randwertaufgabe
Endlich steht hier ein Potentialproblem zu Diskussion, das von der üblichen Symmetrie abweicht. Eine Diskussion mit Hilfe von kartesischen Koordinaten ist hier gefragt. Die allgemeine Lösung der Laplacegleichung muss hier erarbeitet und die Entwicklungskoeffizienten mittels der vorgegebenen Randbedingungen bestimmt werden. Die Randbedingungen beinhalten die Vorgabe von Potentialwerten auf den Quaderflächen auf der einen, sowie die Vorgabe einer Flächenladungsverteilung auf der anderen Seite. Konzeptuell ist dies ein Vorgriff auf Kap. 4, in dem der erste Typ von Randwertaufgaben als Dirichletproblem, der zweite (indirekt) als Neumannproblem bezeichnet wird. Das Lösungsverfahren selbst wurde aber schon in Kap. 3 dargestellt.
Aufgabenstellung
Bestimme das Potential in einem Quader mit den Kantenlängen in -Richtung (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Der Quader

durch Lösung der Laplacegleichung in kartesischen Koordinaten für die folgenden Randbedingungen

(i)
  Das Potential hat den Wert Null auf allen Seitenflächen
  außer der Deckelfläche (), für die das Potential die Form

  annehmen soll (Abb. 0.2).

  Abbildung 0.2: Randbedingung (i) auf der Deckelfläche

(ii)
  Die Potentialvorgabe entspricht dem Fall (i) für die Seitenflächen jedoch soll nun die Bodenfläche () den Wert , die Deckelfläche den Wert annehmen (Abb. 0.3).

  Abbildung 0.3: Zur Randbedingung (ii) Gesamtansicht

(iii)
  Alle Flächen des Quaders sind ladungsfrei, auf der Deckelfläche ist die Ladung

  als Flächenladung verteilt. Die Flächenladungsdichte ist also

Rechne im CGS System.

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

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