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1 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Die Forderung nach der Differenzierbarkeit führt auf eine spezifische Verknüpfung von Real- und Imaginärteil von analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Schreibt man

wobei und reelle Funktionen der reellen Variablen sind, so kann man den Differentialquotienten

in der Form

schreiben. Differenzierbarkeit im Komplexen beinhaltet die Aussage (analog zu dem Fall einer Funktion von zwei Veränderlichen), dass der Wert der Ableitung unabhängig von der Richtung ist, in der man sich einer Stelle annähert. Man kann sich einer Stelle somit z.B. zum einen parallel zu der reellen ( ), zum anderen parallel zu der imaginären ( ) Achse annähern und erhält

Trennung von Real- und Imaginärteil liefert die (reellen) Differentialgleichungen

die unter der Bezeichnung Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen bekannt sind.

Betrachtet man die zweiten Ableitungen der Funktionen und , so folgt aus den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen z.B.

Unter der Voraussetzung, dass die (gemischten) zweiten Ableitungen stetig sind, kann man die Reihenfolge der Differentiation vertauschen. Addition der beiden Gleichungen ergibt dann

Die Funktion erfüllt eine (zweidimensionale) Laplacegleichung. Entsprechend gewinnt man

Sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil einer analytischen Funktion erfüllen die Laplacegleichung. Die zwei Funktionen können jedoch nicht willkürlich gewählt werden, sie sind durch die Cauchy-Riemann Bedingungen verknüpft. Allgemeine Methoden zur Lösung der Laplacegleichung in zwei und drei Raumdimensionen findet man in Math.Kap. 3.1

Die Cauchy-Riemann Bedingungen erlauben die Begründung einer geometrischen Aussage über die Funktionen und :

Die Kurvenscharen und schneiden sich unter einem rechten Winkel.

Man betrachtet das Skalarprodukt der Gradienten von Real- und Imaginärteil

und findet, dass dieses Produkt mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Bedingungen z.B. in der Form

geschrieben werden kann. Die Gradienten in einem Punkt der komplexen Ebene sind orthogonal. Da die Gradienten senkrecht auf den Kurven der zwei Scharen stehen, schneiden sich die Kurven in jedem Punkt des Bildbereiches der analytischen Funktion mit den Kurven unter einem rechten Winkel.

Die Konsequenzen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für Integrale mit komplexen Funktionen werden in den folgenden Abschnitten aufgegriffen.