Lösung der Aufgabe 4.14

Mit Hilfe der Formel

für das Potential eines Drahtes mit der Ladungsdichte im Abstand von der Drahtmitte und der Sortierung der Geometrie des Problems (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Sortierung der Abstände

erhält man das Potential der Doppelleitung in einem Feldpunkt

Zur Diskussion der Teilkapazitäten der zwei Drähte muss man das Potential auf der Oberfläche der Drähte betrachten, deren Radien mit und bezeichnet wurden. Sind diese Radien klein im Vergleich zu den anderen auftretenden Abständen, so gilt für das Potential für Punkte auf den Oberflächen der zwei Drähte

Der Satz von Gleichungen

kann nach den Ladungen aufgelöst werden. Führt man in der Lösung anstelle der Potentiale Potentialdifferenzen ein, so kann man in

die Kapazitätskoeffizienten ablesen. Man benutzt dabei die Vorgabe, dass die Erde das Potential hat. Mit der Definition

erhält man für die Teilkapazitäten

Eine anschauliche Interpretation der Teilkapazitäten gibt Abb. 0.2.

Abbildung 0.2: Teilkapazitäten

Die Teilkapazitäten entsprechen den Kapazitäten zwischen den drei `Metallflächen` der Anordnung. Liegen die Drähte in einer horizontalen Ebene und haben den gleichen Radius, so sind die Abstandswerte

einzusetzen. Liegt der Leiter (2) über dem Leiter (1) in einer vertikalen Ebene (und haben die Leiter den gleichen Radius), so muss man in den allgemeinen Resultaten

setzen. Die drei Optionen für effektive Kapazitäten bei unterschiedlicher Nutzung der Doppelleitung werden anhand der Schaltbildern erläutert. Der Draht (1) dient zur Hinleitung des Stromes zu einem Verbraucher, der andere (2) zur Rückleitung (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Nutzung Fall (I): Ersatzschaltbild

Hier ist

Der Draht (1) wird zur Hinleitung des Stromes, die Erde zur Rückleitung benutzt. Der zweite Draht (2) ist isoliert (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Nutzung Fall (II): Ersatzschaltbild

Das Schaltbild ergibt

Der Draht (1) wird zur Hinleitung des Stromes, die Erde zur Rückleitung benutzt. Der zweite Draht (2) ist jedoch geerdet (Abb. 0.5).

Abbildung 0.5: Nutzung Fall (III): Ersatzschaltbild

Hier spielt der Teilkondensator keine Rolle und es ist

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