## 4 Grenzwert einer Funktion

Die strenge Definition lautet:
Gegeben ist eine Funktion mit einem Definitionsbereich. Man betrachtet einen Punkt , der als Grenzwert einer ganz im Definitionsbereich gelegenen Zahlenfolge erhalten werden kann. Die Funktion hat an der Stelle den Grenzwert , geschrieben

wenn gilt:
Für jede in dem Definitionsbereich liegende Zahlenfolge mit dem Grenzwert

Auch diese etwas umständlich erscheinende Definition ist verdaulicher als sie zunächst aussieht, ein konkretes Beispiel kann helfen. Betrachte die Funktion

die für wohldefiniert ist. Das Schaubild der Funktion in der Nähe der Stelle ist in Abb. 1.6 gezeigt.

Abbildung 1.6: Grenzwertbetrachtung für die Funktion

Die Aufgabe soll sein, den Grenzwert dieser Funktion an der Stelle zu bestimmen. Man würde zu diesem Zweck folgendermaßen vorgehen:

1.
  Betrachte Folgen mit dem Grenzwert , so zum Beispiel eine Folge mit .
2.
  Betrachte die entsprechende Folge , in dem Beispiel also . Es ist dann das obige Kriterium zu benutzen, um zu zeigen, dass der Grenzwert ist.
3.
  Der springende Punkt der Definition ist jedoch: Für jede ... Folge ... . Da dies nicht so einfach durchzuführen ist, geht man die Angelegenheit in der Praxis auf andere Weise, zum Beispiel durch Vergleich mit Folgen, deren Konvergenzverhalten bekannt ist, an (siehe unten Math.Kap. 1.3.3). Es ist dann nur für die zum Vergleich benutzten Folgen (mit einem einfacheren Bildungsgesetz) die vollständige Grenzwertbetrachtung durchzuführen. Eine andere Möglichkeit ist die Formulierung einer äquivalenten Definition des Grenzwertes einer Funktion im Rahmen der Epsilontik.

Setzt man voraus, dass derartiges geschehen ist, so hätte man festgestellt, dass für das Beispiel die Aussage

gilt. Eine weiterer Punkt ist jedoch zu beachten: Der Punkt gehört nicht zu dem ursprünglichen Definitionsbereich. Die Funktion ist für nicht definiert. Der Wert ist aber der Grenzwert von ganz in dem Definitionsbereich liegenden Zahlenfolgen. Den Anforderungen der Definition ist also Genüge getan und der Grenzwert der Funktion an der Stelle wurde bestimmt.