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4 Spezielle Funktionen der mathematischen Physik

Spezielle Funktionen, die eine komplexere Struktur als die elementaren Funktionen aufweisen, können in verschiedener Weise definiert werden. Die Gammafunktion, eine Erweiterung des Konzeptes der Fakultät, wird durch ein Integral oder alternativ durch eine Funktionalgleichung eingeführt. Da bei der Diskussion der anderen speziellen Funktionen, die in diesem Kapitel angesprochen werden, Eigenschaften der -Funktion benutzt werden, beginnt dieses Kapitel mit einer kompakten Zusammenstellung von Aussagen über diese Funktion (Math.Kap 4.1). Alle weiteren speziellen Funktionen in diesem Kapitel, wie die Besselfunktionen, Legendreschen Polynome etc., werden essentiell durch homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung definiert, die bei der Separation der Laplacegleichung in krummlinigen Koordinaten auftreten. Der Typus von Differentialgleichung, der in diesem Zusammenhang diskutiert werden muss, hat die Form

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wobei die Funktionen und vorgegeben sind. Die erste Aufgabe ist die Bereitstellung von Werkzeugen, um die Struktur derartiger Differentialgleichungen zu sortieren und Lösungsstrategien zu entwickeln. Diese Aufgabe wird in Math.Kap. 4.2 betrachtet. Im Weiteren werden dann in Math.Kap. 4.3 bis Math.Kap. 4.6 die wichtigsten speziellen Funktionen, die man in der Elektrodynamik antrifft, in einigem Detail vorgestellt.

Unterabschnitte

- 1 Die Gammafunktion
- 2 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
  - 1 Beispiele für singuläre Punkte
  - 2 Lösung durch Reihenentwicklung
- 3 Die Legendreschen Funktionen
  - 1 Die Legendreschen Polynome
  - 2 Die Eigenschaften der Legendrepolynome
    - 1 Erzeugende Funktion.
    - 2 Rekursionsformeln.
    - 3 Die Formel von Rodriguez.
    - 4 Integrale mit Legendrepolynomen.
    - 5 Die Funktionen
  - 3 Die zugeordneten Legendreschen Funktionen
    - 1 Rekursionsformeln.
    - 2 Die Formel von Rodriguez.
    - 3 Integrale mit den .
  - 4 Die Kugelflächenfunktionen
    - 1 Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen.
- 4 Die Besselfunktionen
  - 1 Generelle Eigenschaften der Lösungen der Besselschen Differentialgleichung
    - 1 Rekursionsrelationen mit .
    - 2 Besselfunktionen zweiter Art: Neumann und Hankelfunktionen.
  - 2 Die Funktionen
  - 3 Die sphärischen Besselfunktionen
- 5 Die hypergeometrische Funktion
- 6 Die konfluente hypergeometrische Funktion