Detail 7.7
Die vollständige Multipolentwicklung

Die vollständige Multipolentwicklung des Senderproblems erlaubt einen systematischen Zugang zu der Berechnung der elektrodynamischen Potentiale. Die Bestimmung der zugehörigen Felder ist jedoch, infolge der Komplexität der letztlich auftretenden Winkelfunktionen, recht aufwendig. In Kap. 7.3.4 wird nur die Aufbereitung dieses Themenkreises angeschnitten. Man benötigt dazu die Multipolentwicklung der Greens Funktion des Senderproblems

| (1)

Die Diskussion dieser Funktion unterscheidet sich nur im Detail von der Diskussion des kugelsymmetrischen Dirichletproblems zur Berechnung elektrischer Potentiale, das in D.tail 4.3 vorgestellt wurde. Setzt man die Multipolentwicklung dieser Greenschen Funktion

| (2)

in die Helmholtzgleichung (siehe (7.56), Kap. 7.3.1) ein, so findet man für die radiale Greens Funktion die Differentialgleichung

| (3)

Die Greens Funktion (1) erfüllt die Symmetriebedingung

und die Randbedingungen:

- Die Funktion muss endlich am Koordinatenursprung sein

- Die Funktion geht im asymptotischen Bereich in eine auslaufende Welle

  über.

Der inhomogene Term in (3) bedingt, wie in D.tail 4.3 gezeigt wurde, die Sprungbedingung

| (4)

Die der Gleichung (3) entsprechende homogene Differentialgleichung für eine Funktion von einer Veränderlichen

| (5)

ist die Differentialgleichung der sphärischen Besselfunktionen. Einige Eigenschaften dieser Funktionen, die im Folgenden benötigt werden, sind in dem nächsten Abschnitt zusammengestellt.

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1 Sphärische Besselfunktionen

Als Fundamentallösungen der Differentialgleichung (5) kann man (siehe Math.Kap. 4.4.3) entweder

- die sphärischen Besselfunktionen und
- die sphärischen Neumannfunktionen ,

oder alternativ die sphärischen Hankelfunktionen

benennen. Eigenschaften dieser Funktionen, die für die momentane Diskussion wichtig sind, sind das Verhalten dieser Funktionen für und sowie eine Aussage über die ersten Ableitungen.

Am Koordinatenursprung (genauer für ) gilt (Zur Erinnerung: .)

| (6)

Die Besselfunktionen sind am Ursprung regulär, die Neumannfunktionen divergieren. Das asymptotische Verhalten dieser Funktionen wird durch abklingende trigonometrische Funktionen

| (7)

bestimmt. Für die Hankelfunktionen gilt dann

(8)

Bei der Betrachtung der Sprungbedingungen für die Ableitung der Funktion benötigt man eine Rekursionsformel, die die erste Ableitung der Lösungen der Besselschen Differentialgleichung enthält. Für die Ableitung aller vier Funktionen gilt

| (9)

Für die weitere Auswertung der Sprungbedingung benutzt man eine Relation, in der die Differenz von Produkten der Bessel- und der Neumannfunktion mit überkreuzten Indizes auftritt

| (10)

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2 Bestimmung der Greens Funktion

Die Lösung der (2) entsprechenden, homogenen Differentialgleichung, die in den Bereichen und gültig ist, kann man z.B. mit Bessel- und Neumannfunktionen

|  |  | (11)

ansetzten. Die Randbedingung, dass am Koordinatenursprung endlich sein muss, erfordert wegen der Eigenschaft (6)

Die Bedingung für den asymptotischen Bereich

kann nur erfüllt werden, wenn

ist, denn es folgt dann mit (7)

Der verbleibende Ausdruck für die Lösung in den beiden Gebieten

wird durch die Symmetriebedingung weiter eingeschränkt. Diese Bedingung erfordert

und somit

bzw. explizit

Die noch zu bestimmende Konstante ergibt sich aus der Sprungbedingung (4) an der Stelle . Man benutzt die Rekursionsformel (9) für die Ableitung und erhält zunächst

Die Terme, in denen der gleiche Index bei beiden Funktionen eines Produktes auftritt, heben sich nach dem Grenzübergang heraus. Es bleibt

Setzt man hier die Definition der Hankelfunktionen ein, so findet man, dass sich die Produkte mit zwei Besselfunktionen herausheben. Der dann verbleibende Ausdruck

kann mit der Produktrelation (10) vereinfacht werden

so dass man

erhält. Die Multipolentwicklung (2) der Greens Funktion des Senderproblem ist also

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