# 1 Weitere Orientierung

Die allgemeine Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung für eine Funktion einer Variablen kann man durch eine implizite Gleichung zum Ausdruck bringen25

Für die Lösung (Integration) der Differentialgleichung bestehen die folgenden Optionen:

- Sucht man irgendeine Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt, so spricht man von einer speziellen oder Partikulärlösung.
- In der Physik sucht man im Normalfall nach einer Lösung der Differentialgleichung, die zusätzliche Bedingungen erfüllt (Funktionswerte oder Ableitungen sind für bestimmte -Werte vorgegeben). Je nach Situation liegt eine Anfangswertaufgabe, eine Randwertaufgabe oder eine Anfangs-Randwertaufgabe vor.
- Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist die allgemeinst mögliche Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Wie in Math.Kap. 2.1 angedeutet, enthält die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung -ter Ordnung Integrationskonstanten. Offensichtlich erlaubt die Kenntnis der allgemeinen Lösung die Beantwortung der in der zweiten Option angesprochenen Aufgaben.

Einige weitere, willkürlich gewählte Beispiele sollen die Vielfalt der Möglichkeiten noch einmal unterstreichen

1. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion , mit einer vorgegebenen Konstanten .
2. Die allgemeine Oszillatorgleichung , mit den Konstanten und einer vorgegebenen Funktion .
3. Die Differentialgleichung der konfluenten, hypergeometrischen Funktion , mit Konstanten . Diese Funktion ist eine der speziellen (d.h. nichtelementaren) Funktionen der mathematischen Physik (siehe Math.Kap. 6.3.3 für einige Bemerkungen des Themas spezielle Funktionen).
4. Die Differentialgleichung eines belasteten Balkens , wobei die Funktion die variable Belastung in der Horizontalen (Variable ) und die Durchbiegung beschreibt.
5. Ein Phantasieprodukt ,
6. sowie ein weiteres .

Zur Grobklassifikation kann man unter Umständen neben dem Begriff der Ordnung einer Differentialgleichung (siehe Math.Kap. 2.1) den Begriff Grad einer Differentialgleichung benutzen, und zwar dann, wenn die Differentialgleichung als Polynom in den Ableitungen geschrieben werden kann. Die Potenz der höchsten, auftretenden Ableitung bezeichnet man als den Grad der Differentialgleichung. Die Standardform einer Differentialgleichung, die durch Angabe eines Grades charakterisiert werden kann, ist

Dies ist eine Differentialgleichung n-ter Ordnung und -ten Grades. Für die oben aufgeführten Differentialgleichungen lautet die Grobklassifikation

Der einzige Punkt, der eventuell zu kommentieren ist, ist die Gradangabe für das Beispiel . Durch Logarithmieren kann man diese Differentialgleichung in umschreiben.
Hängt die zu bestimmende Funktion von mehreren Variablen ab

so liegt eine partielle Differentialgleichung vor. Die allgemeine implizite Form enthält die Variablen, die Funktion und deren partielle Ableitungen

Die Aufgabe ist auch hier die Bestimmung der Funktion aufgrund der vorgegebenen Differentialgleichung. Die Ausführung dieser Aufgabe ist im Allgemeinen schwieriger als die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Doch muss man feststellen, dass viele der grundlegenden Differentialgleichungen der theoretischen Physik (Maxwellgleichungen, Schrödingergleichung, ) partielle Differentialgleichungen sind. Zwei Beispiele aus der Mechanik sind die Wellengleichung (siehe Buch.Kap. 6.1) und die Poissongleichung der Potentialtheorie

Die Aufgabe, die mit der Poissongleichung gestellt wird, lautet: Bestimme die Potentialfunktion einer vorgegebenen Massenverteilung, die durch die Dichtefunktion charakterisiert wird. Die Diskussion der Lösung von partiellen Differentialgleichungen wird in Band 2 aufgegriffen.
Weitere Varianten unter dem Stichwort Differentialgleichungen, die in der mathematischen Physik eine Rolle spielen, sind:

- Systeme von Differentialgleichungen Ein Satz von Funktionen von einer Veränderlichen kann durch einen Satz von Differentialgleichungen charakterisiert werden

  im Allgemeinen mit . Ein relevantes Beispiel sind Newton's Bewegungsgleichungen für einen Massenpunkt in der dreidimensionalen Welt

  mit der vektoriellen Abkürzung

  Eine Aussage, die mit Nutzen bei Beweisführungen und bei numerischen Anwendungen angewandt werden kann, ist: Eine Differentialgleichung n-ter Ordung kann immer in einen Satz von n Differentialgleichungen erster Ordnung umgeschrieben werden und umgekehrt. So kann man z.B. aus der Differentialgleichung zweiter Ordnung mit den Ersetzungen und das Differentialgleichungsystem erster Ordnung

  gewinnen.
- Integralgleichungen Ein typisches Beispiel für eine Integralgleichung ist

  Die Funktion und der `Integralkern` sind vorgegeben, zu bestimmen ist die Funktion , die auch unter dem Integralzeichen auftritt. In Analogie zu der Verwandtschaft von Differentiation und Integration besteht ein entsprechender Zusammenhang zwischen Differentialgleichungen und Integralgleichungen, der sowohl formale als auch praktische Bedeutung hat.
- Integrodifferentialgleichungen sind dadurch charakterisiert, dass in einer Integralgleichung neben der gesuchten Funktion auch deren Ableitungen auftritt. Die Ableitungen können sowohl auf der linken Seite als auch unter dem Integralzeichen stehen, wie in dem folgenden Beispiel

  angedeutet wird.
- Eine letzte Variante sind Differenzen-Differentialgleichungen, die anhand eines konkreten Beispiels vorgestellt werden sollen. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

  beschreibt ein besonderes Wachstums- oder Zerfallsgesetz. Die Aussage, die dieses spezielle Gesetz charakterisiert, lautet: Die Änderung der Größe ist proportional zu der Größe zu dem Zeitpunkt . Betrachtet man jedoch die Differentialgleichung

  so findet man eine grundverschiedene Lösungsstruktur vor. Die relativ einfache Variation: Die zeitliche Änderung von ist proportional zu der Größe zu einem früheren oder späteren (für positives ) Zeitpunkt, führt zu einer veränderten Situation. Derartige Zeitverzögerungseffekte spielen bei der Diskussion von Regelproblemen und Rückkopplungssystemen eine wesentliche Rolle.

Die weitere Diskussion in diesem Kapitel wird sich jedoch auf die Frage der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen konzentrieren.