Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.9

1. Setze eine allgemeine Form für das Gesamtpotential in dem Zwischenraum zwischen den geerdeten Kugelschalen an.
2. Spezifiziere die Einzelpotentiale des Ansatzes genauer und gib die explizite Form des Gesamtpotentials an.
3. Implementiere die Randbedingungen und bestimme die vollständige Lösung.
4. Betrachte die Grenzfälle und
5. Was erwartest Du bezüglich der Konvergenz der Multipolentwicklung? Betrachte das Zahlenbeispiel und

   und berechne die Faktoren der Legendrepolynome für und für . Kommentiere.
6. Berechne die induzierte Verteilung von Oberflächenladungen auf den Kugelschalen und diskutiere das Resultat anhand der Parameter

   für verschiedene Werte von .

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4.9 Antwort zu H1

Das Gesamtpotential kann man durch Superposition eines Punktladungspotentials und eines Potentials, das von den geerdeten Kugelflächen hervorgebracht wird, darstellen

Spezifiziere die Einzelpotentiale des Ansatzes genauer und gib die explizite Form des Gesamtpotentials an.

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4.9 Antwort zu H2

Abbildung 0.1: Geometrie des Problems

Wählt man die Richtung von dem Koordinatenursprung zu dem Punkt als die z-Achse, so ist Zylindersymmetrie gegeben. Die Multipolentwicklung des Punktpotentials ist dann

mit und der kleinere/größere der beiden Abstände und vom Koordinatenursprung. Für das Potential, das die zwei Kugelschalen erzeugen, setzt man (infolge der Zylindersymmetrie, die dem Problem durch die Punktladung aufgeprägt wird) eine allgemeine Multipolentwicklung nach den Legendrepolynomen mit unbestimmten Koeffizienten an

Das Gesamtpotential ist dann

Implementiere die Randbedingungen und bestimme die vollständige Lösung.

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4.9 Antwort zu H3

Da die beiden Kugelschalen geerdet sind, lauten die Randbedingungen

das Potential verschwindet auf beiden Kugelschalen. Anwendung der Randbedingungen ergibt als Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Entwicklungskoeffizienten und

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems lautet

womit das Potential vollständig bestimmt ist.

Betrachte die Grenzfälle und

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4.9 Antwort zu H4

Im Grenzfall ist

Für den Raum zwischen den Kugelschalen lautet dann der Ausdruck für das Potential (setze ein und )

Das Potential verschwindet in dem gesamten Zwischenraum. Die Interpretation dieses Ergebnisses ist:
welche?
Die Randbedingung kann nur erfüllt werden, wenn auf der inneren Kugelschale an der Stelle ( ) der ursprünglichen Ladung eine Ladung angebracht wird. Die Potentiale der beiden Ladungen kompensieren sich offensichtlich. Im Grenzfall ist

Das Potential V(r) (mit ) verschwindet in dem Zwischenraum ebenfalls.

Was erwartest Du bezüglich der Konvergenz der Multipolentwicklung? Betrachte das Zahlenbeispiel und

und berechne die Faktoren der Legendrepolynome für und für . Kommentiere.

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4.9 Antwort zu H5

Die direkteste Methode ist die Auswertung der von abhängigen Funktionen und oder besser von und in

mit

Die erfragten Koeffizienten der Multipolentwicklung sind

Man erkennt, dass die Werte für einen gegebenen Abstand für die ersten Koeffizienten zunächst ansteigen. Für den Kreis, auf dem die Punktladung angebracht ist, steigen die Werte (falls der Wert für nicht aus dem Rahmen fällt) weiter an, während sie für Kreise mit kleineren und größeren Radien für höhere -Werte wieder abfallen. Die Darstellung der Singularität des Punktladungspotentials an der Stelle mit einer Entwicklung, die auf den Koordinatenursprung zugeschnitten ist, führt auf eine langsam (wenn überhaupt) konvergente Reihe. Eine graphische Darstellung der Funktionen und für die angegebenen Radien und -Werte in dem Bereich bis zeigt die Abb. 0.2. Die Kurven entsprechen blau: schwarz: rot:

Abbildung 0.2: Variation von und mit

Berechne die induzierte Verteilung von Oberflächenladungen auf den Kugelschalen und diskutiere das Resultat anhand der Parameter

für verschiedene Werte von .

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4.9 Antwort zu H6

Die Verteilung der Oberflächenladungen auf einer Fläche berechnet man anhand der Formel

Die Normalenableitung des Potentials für die innere bzw. die äußere Kugelschale ist nun

Die Normale zeigt in das Innere des Gebietes , das zur Diskussion steht. Im vorliegenden Fall in das Gebiet zwischen den beiden Schalen. Somit erhält man

Die Variation der Ladungsverteilungen mit ist für die -Werte (und ) in den Abb. 0.3, 0.4 und 0.5 für eine Ladung mit Einheiten dargestellt. Die Ladungsverteilung auf der inneren Schale ist durch die grünen Kurven, die auf der äußeren Schale durch die blauen Kurven dargestellt

Abbildung 0.3: Ladungsverteilung für | Abbildung 0.4: Ladungsverteilung für

Abbildung 0.5: Ladungsverteilung für

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