Lösung der Aufgabe 4.7

Die Differentialgleichung für die eindimensionale Greensfunktion

kann in zwei Schritten direkt integriert werden Das Resultat kann in der Form

zusammengefasst werden. Benutzt man im zweidimensionalen Fall die Translationssymmetrie und Rotationssymmetrie

so findet man durch direkte Integration der Differentialgleichung

die nicht ganz saubere Lösung

Dieses Ergebnis kann in der Form

geschrieben werden, da positiv ist. Auch in der dreidimensionalen Welt bietet sich die Ausnutzung der Symmetrien an

Direkte Integration der vereinfachten Differentialgleichung

führt jedoch hier auf eine nicht ganz saubere Lösung

Eine saubere Lösung des dreidimensionalen Problems gewinnt man über eine Fourierdarstellung. Man benutzt die Fourierdarstellung der -Funktion

und den Fourieransatz

Die Differentialgleichung ergibt durch Koeffizientenvergleich

Die Auswertung der Fourierdarstellung für

mit dem Winkelintegral

und dem uneigentlichen Integral

führt auf das bekannte Resultat

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