Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.20

1. Gib das elektrische Feld für die vorgegebene Situation an oder berechne es.
2. Wie lauten die Bewegungsgleichungen für das Ion in einer Zylinderebene?
3. Benutze die Bewegungsgleichungen zur Herleitung der Sollkreisbedingungen.
4. Wie lauten die Bewegungsgleichungen, wenn man sich auf lineare Abweichungen von den Sollbedingungen für Radius und Winkelgeschwindigkeit beschränkt und die modifizierten Anfangsbedingungen gelten?
5. Bestimme die Lösung der modifizierten Bewegungsgleichung für die Radialbewegung.
6. Benutze die Lösung zur Bestimmung des Fokussierungswinkels.

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7.20 Antwort zu H1

Ist der innere Zylinder auf dem Potential Null, der äußere auf dem Potential , so gilt für den Zylinderkondensator

Das entsprechende elektrische Feld ist

Wie lauten die Bewegungsgleichungen für das Ion in einer Zylinderebene?

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7.20 Antwort zu H2

Die Bewegungsgleichung für eine Punktladung mit der Masse und der positiven Ladung ist für die radiale Bewegung

Zusätzlich gilt der Flächensatz

Benutze die Bewegungsgleichungen zur Herleitung der Sollkreisbedingungen.

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7.20 Antwort zu H3

Um die Bedingung für die Bewegung auf einem Sollkreis mit Radius zu gewinnen, argumentiert man wie folgt: Mit den Anfangsbedingungen für die Bewegung

folgt aus dem Flächensatz

Die Forderung, dass sich der Radius nicht ändert, führt auf und (wegen ) somit auf

bzw.

Die Bedingung lautet also: Man wähle die Kondensatorspannung so, dass

gilt.

Wie lauten die Bewegungsgleichungen, wenn man sich auf lineare Abweichungen von den Sollbedingungen für Radius und Winkelgeschwindigkeit beschränkt und die modifizierten Anfangsbedingungen gelten?

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7.20 Antwort zu H4

Lässt man kleine Abweichungen von dem Sollradius

und von der Winkelgeschwindigkeit

zu, so ergeben sich für die Anfangsbedingungen

die folgende Situation: Aus dem Flächensatz folgt bei der Beschränkung auf Abweichungen in erster Ordnung

Fordert man, dass der Flächensatz unverändert bestehen bleibt, so folgt

Die radiale Bewegungsgleichung ergibt in der gleichen Näherung

Bestimme die Lösung der modifizierten Bewegungsgleichung für die Radialbewegung.

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7.20 Antwort zu H5

Setzt man in die radiale Bewegungsgleichung

ein, sortiert und benutzt die Sollkreisbedingung

so folgt die Oszillatorgleichung

Mit der Anfangsbedingung lautet die Lösung

Zur Bestimmung der verbleibenden Integrationskonstanten benutzt man

Die Amplitude der radialen Abweichung ist durch die Anfangsgeschwindigkeit in Radialrichtung gegeben

Benutze die Lösung zur Bestimmung des Fokussierungswinkels.

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7.20 Antwort zu H6

Die Abweichung wird durch die Oszillation korrigiert. Unabhängig von der (kleinen) Anfangsgeschwindigkeit gilt für die kleine Schwingung um den Sollkreis

Daraus folgt für den Fokussierungswinkel

Im Rahmen der linearen Näherung (bei nicht zu großen Abweichungen der anfänglichen Radialgeschwindigkeit von dem Wert Null) muss der Fokussierungssektor einen Winkel von haben.

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