### 1 Die wichtigsten Taylorreihen.

Beispiel 1: Für die Taylorreihe der Exponentialfunktion erhält man wegen

die Entwicklung

Die Reihe, die bei der Diskussion des freien Falls mit Reibung benutzt wurde (Buch.Kap. 2), erhält man durch die Ersetzung

Beispiel 2: Für erhält man die Ableitungen

bzw.

Alle geraden Potenzen der Reihenentwicklung verschwinden. Dies ist ein Ausdruck der Tatsache, dass eine ungerade Funktion ist. Es bleibt

Diese Andeutung der Reihe kann man in der Form

zusammenfassen.
Beispiel 3: Es folgt ein Beispiel, das aufzeigt, dass die Berechnung der geforderten Ableitungen sehr mühselig sein kann. Für die Funktion findet man die Ableitungen

Von dieser Stelle an wird die Rechnung immer unübersichtlicher (man versuche es!). Die weiteren Terme in der Entwicklung des Tangens

werden auch aus den Entwicklungen von und gewonnen, wobei jedoch eine Reihe von Regeln zu beachten ist. In vielen Fällen dieser Art gewinnt man die gesuchte Taylorreihe nicht über die direkte Auswertung der höheren Ableitungen, sondern man versucht, eine Sammlung von Rechenregeln für Reihen zu entwickeln, um die Reihen für komplizierte Funktionen aus den Reihen für einfachere Funktionen zu konstruieren.
Beispiel 4: Oft benutzt wird die sogenannte binomische Reihe. Sie entspricht der Taylorreihe der Funktion

Die Berechnung der Koeffizienten ist elementar, erfordert aber etwas Schreibarbeit

Die -te Ableitung ist

so dass sich für der Wert ergibt. Man erhält somit

Die Koeffizienten werden in dem binomischen Symbol zusammengefasst

Mit Hilfe dieser Reihe kann man viele, nützliche Formeln der Physik gewinnen, so zum Beispiel für den typischen, relativistischen Ausdruck

Für kleine Werte von kann man sich auf die Betrachtung der ersten Terme der Reihe beschränken. Mit den Ersetzungen , erhält man

Derartige Näherungsformeln werden (in der Physik) an vielen Stellen eingesetzt.
Ein vielbenutzter Spezialfall der binomischen Reihe ist die geometrische Reihe. Sie entspricht und

Falls eine positive ganze Zahl ist (), bricht die binomische Reihe ab und man erhält die bekannte binomische Formel

Für ganze Zahlen kann man die Binomialkoeffizienten auch durch Fakultäten ausdrücken

Anstatt nach Approximationen einer Funktion in der Nähe der Stelle kann man auch nach Approximationen in der Nähe einer beliebigen Stelle fragen. Die Taylorentwicklung einer Funktion um die Stelle lautet

Differenziert man diesen Ansatz beliebig oft (unter der Voraussetzung, dass dies möglich ist), so erhält man (bei gleicher Einschränkung wie in dem Spezialfall )

Die Beantwortung der Frage, ob die angegebenen Potenzreihen die jeweiligen Funktionen wirklich darstellen, ist eine etwas langwierigere Angelegenheit. Sie wird erst unter der Überschrift `Konvergenzkriterien` (wenigstens andeutungsweise) beantwortet werden. Der erste Schritt ist die Betrachtung von numerischen Reihen, ein Typ von Reihen, der in der Physik und der Mathematik auch in eigener Sache von Interesse ist.