4.5 Die Greensfunktion für ein Kuchenstück
Auch das folgende Dirichletproblem in der Ebene mit einer deutlich verschiedenen Geometrie kann mit dem Standardmuster bewältigt werden. Man gewinnt einen Ansatz für die Greensfunktion anhand der Lösung der entsprechenden Laplacegleichung und muss dann nur noch die verschiedenen Bedingungen an diese Funktion umsetzen.
Aufgabenstellung
Die Greensche Funktion für Potentialprobleme in der Ebene wird durch die Differentialgleichung

bzw. explizit in ebenen Polarkoordinaten durch

bestimmt. Berechne die Greensfunktion für das in der Abbildung angedeutete Dirichletproblem, in dem ein Gebiet von zwei Strahlen mit dem eingeschlossenen Winkel und einem Kreisbogen (Radius ) umrandet wird (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Das Kuchenstück, mathematisch

Die Randbedingungen dieses Dirichletproblems sind

mit und

mit Bestimme die Greensfunktion für das vorgestellte Problem durch Entwicklung nach Lösungen der zweidimensionalen Laplacegleichung in ebenen Polarkoordinaten, die der Problemstellung angepasst sind.

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

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