Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.15

1. Notiere die Maxwellgleichungen mit dem Ansatz für Hohlleiterwellen in den relevanten Koordinaten.
2. Stelle die entsprechenden Bestimmungsgleichungen für die TM-Moden auf.
3. Löse die Differentialgleichung für mit den erforderlichen Randbedingungen.
4. Diskutiere die Dispersionsrelation der TM-Wellen.
5. Berechne und diskutiere die restlichen Feldkomponenten.
6. Gib die Komponenten des Poyntingvektors für die vorliegende Situation an.
7. Zur expliziten Auswertung ist eine reelle Form erforderlich. Gib diese an.
8. Berechne den zeitlichen Mittelwert des Poyntingvektors. Kommentiere.

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7.15 Antwort zu H1

Die Maxwellgleichungen

sind in kartesischen Koordinaten zu diskutieren. Mit dem Ansatz

erhält man als Bestimmungsgleichung für die sechs Funktionen und

Stelle die entsprechenden Bestimmungsgleichungen für die TM-Moden auf.

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7.15 Antwort zu H2

Für TM-Wellen ist Die restlichen Komponenten des -Feldes sind dann direkt mit den - und -Komponenten des -Feldes verknüpft

Die Gleichungen

liefern eine Verknüpfung der - und -Komponenten des -Feldes mit den partiellen Ableitungen von Definiert man

so kann man

schreiben. Die Gleichung

ist identisch erfüllt, während die Gleichung

die Bestimmungsgleichung für die -Komponente des -Feldes liefert

Löse die Differentialgleichung für mit den erforderlichen Randbedingungen.

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7.15 Antwort zu H3

Die Randbedingung lautet

Die elektrische Feldkomponente muss auf dem Rand des Hohlleiters verschwinden. Explizit erfordert dies

Die Differentialgleichung kann mit dem Ansatz

separiert werden

wobei

sein muss. Für die Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen

gelten die Randbedingungen

Diese Bedingungen erfordern und

Damit erhält man die Grundlösungen

für die -Komponente des elektrischen Feldes der TM-Wellen.

Diskutiere die Dispersionsrelation der TM-Wellen.

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7.15 Antwort zu H4

Die Indizes und können nicht den Wert Null annehmen, da dann die Lösung identisch verschwindet. Die Dispersionsrelation

kann in der Form

aufgelöst werden. Sie zeigt, dass zu jeder vorgegebenen Frequenz nur bestimmte, den Zahlenpaaren zugeordnete Werte der Wellenzahl zulässig sind. Für jedes Paar mit existiert eine Grenzfrequenz

Die niedrigst mögliche Grenzfrequenz erhält man für Die Funktion ist für verschiedene Kombinationen (für ) in Abbildung 0.1 angedeutet.

Abbildung 0.1: Dispersionsrelation der TM-Moden

Berechne und diskutiere die restlichen Feldkomponenten.

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7.15 Antwort zu H5

Die elektrischen Feldkomponenten gewinnt man durch Differentiation von

Die magnetische Induktion der TM-Wellen kann man aus den Gleichungen

bestimmen. Die Gleichungen besagen, dass

ist. Die Felder stehen in jedem Punkt des Hohlleiters senkrecht aufeinander (Abb. 0.2). Außerdem ist für sowie für .

Abbildung 0.2: Momentaufnahme der magnetischen Induktion auf der Randfläche

Das -Feld erfüllt die Randbedingung

die Normalenkomponente des -Feldes verschwindet auf der Randkurve des Hohlleiters.

Gib die Komponenten des Poyntingvektors für die vorliegende Situation an.

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7.15 Antwort zu H6

Zur Diskussion des Energietransportes ist der Poyntingvektor

zu berechnen. Für TM-Wellen findet man im Detail

Zur expliziten Auswertung ist eine reelle Form erforderlich. Gib diese an.

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7.15 Antwort zu H7

Um eine reelle Darstellung zu gewinnen, muss man

ersetzen. Es ist dann

Berechne den zeitlichen Mittelwert des Poyntingvektors. Kommentiere.

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7.15 Antwort zu H8

Die zeitlichen Mittelwerte der - und -Komponenten verschwindet, denn es ist ( )

Es findet im Mittel kein Energietransport in der Querrichtung des Hohlleiters statt. Für die -Komponente des Poyntingvektors ist das Zeitintegral

Der Energietransport in Richtung des (linearen) Hohlleiters ist

Der Energiefluss variiert über dem Querschnitt. Integriert man jedoch über den Querschnitt, so findet man wegen

die Aussage

Die im Zeitmittel durch den Querschnitt strömende Energie ist konstant.

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