Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.4

1. Die Koordinatenflächen, auf denen je eine der Koordinaten konstant ist, bestimmt man durch geeignete Kombination der kartesischen Koordinaten. Wie können z.B. die Größen und eliminiert werden, um die Koordinatenfläche für zu gewinnen?
2. Welche Fläche beschreibt die Gleichung, die in H1 gewonnen wurde? Skizziere sie.
3. Eliminiere die Größen und und beschreibe die Koordinatenflächen für die Variable .
4. Stelle die Gleichung für die letzte Koordinatenfläche auf und beschreibe sie.
5. Wie berechnet man die angegebenen Differentialoperatoren?
6. Berechne die benötigten Ableitungen und daraus die metrischen Koeffizienten.
7. Setze die Differentialoperatoren zusammen.
8. Anstelle der Koordinaten und kann man auch die Koordinaten und benutzen, die durch die Substitution

   definiert sind. Bestimme wie oben die metrischen Koeffizienten und die Differentialoperatoren.

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3.4 Antwort zu H1

Addiere die Quadrate von und und ersetze mit Hilfe der Gleichung für Ausgehend von

findet man

Die gesuchten Flächen werden somit durch die Gleichung

beschrieben.

Welche Fläche beschreibt die hier gewonnene Gleichung? Skizziere sie.

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3.4 Antwort zu H2

Diese Fläche stellt für jeden Wert von ein abgeplattetes Rotationsellipsoid um die -Achse (Abb. 0.1) mit den Halbachsen

dar.

Abbildung 0.1: Das abgeplattete Rotationsellipsoid

Eliminiere die Größen und und beschreibe die Koordinatenflächen für die Variable .

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3.4 Antwort zu H3

Addiere die Quadrate von und wie zuvor und ersetze nun mit Hilfe der Gleichung für Für einen -Wert findet man

Diese Fläche ist ein einschaliges Rotationshyperboloid (Abb. 0.2) um die -Achse mit den Halbachsen

Abbildung 0.2: Das Rotationshyperboloid

Stelle die Gleichung für die letzte Koordinatenfläche auf und beschreibe sie.

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3.4 Antwort zu H4

Bilde den Quotienten aus und und erhalte für

eine Gleichung, die für jedes eine Halbebene (Abb. 0.3) beschreibt.

Abbildung 0.3: Die Halbebene const.

Alle drei Koordinatenflächen sind in Abb. 0.4 dargestellt.

Abbildung 0.4: Die drei Koordinatenflächen für oblat elliptische Koordinaten

Wie berechnet man die angegebenen Differentialoperatoren?

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3.4 Antwort zu H5

Um die infinitesimalen Abstände entlang den Achsen in den krummlinigen Koordinaten anzugeben, benötigt man die metrischen Koeffizienten. Diese gewinnt man aus den Ableitungen der kartesischen nach den krummlinigen Koordinaten. Mit Hilfe dieser infinitesimalen Größen kann man infinitesimale Flächen und Volumina und letztlich die geforderten Differentialoperatoren angeben.

Berechne die benötigten Ableitungen und daraus die metrischen Koeffizienten.

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3.4 Antwort zu H6

Mit der Festlegung

ist

und somit

Entsprechend folgt aus

der Koeffizient

sowie

und

Setze die Differentialoperatoren zusammen.

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3.4 Antwort zu H7

Die gesuchten Differentialoperatoren können mit Hilfe der direkt angegeben werden. Es ist

Anstelle der Koordinaten und kann man auch die Koordinaten und benutzen, die durch die Substitution

definiert sind. Bestimme wie oben die metrischen Koeffizienten und die Differentialoperatoren.

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3.4 Antwort zu H8

Es gilt dann

mit etwas deutlicherer Anlehnung an die Kugelkoordinaten. Die Definitionsbereiche und entsprechen den Wertebereichen für und Die zur Berechnung der metrischen Koeffizienten benötigten Ableitungen sind ( )

Der zugehörige metrische Koeffizient ist

Weiterhin ist

und

sowie

und

Damit erhält man auch

Bei einer direkten Umrechnung der -Koordinaten in die -Koordinaten bzw. umgekehrt wäre zu beachten , dass z.B.

bzw.

(und entsprechend für und ) zu benutzen ist. Die Berechnung der Differentialoperatoren ist wieder eine Fleißaufgabe (siehe z.B. P. Moon, D. Eberle: `Field Theory Handbook` (Springer Verlag, Heidelberg, 1961))

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