Detail 6.2
Illustration der Dispersion von Wellenpaketen
Ein Wellenpaket, das oft zur Illustration der Dispersion herangezogen wird, ist das Gaußpaket. Zur Anfangszeit wird es durch die Funktion

beschrieben. Diese Funktion stellt eine Kurve dar, die als Glockenkurve bezeichnet wird (Abb. 6.1).

Abbildung 6.1: Die Glockenkurve für verschiedene Parameter

Sie ist symmetrisch in Bezug auf den Punkt und nimmt dort einen Maximalwert an. Die Glocke ist umso schmaler (breiter) je größer (kleiner) der Parameter ist. Der Vorfaktor ist so gewählt, dass die Fläche unter der Glockenkurve den Wert 1 hat. Um diese Aussage nachzuweisen, benötigt man das Integral

Dieses kann man auswerten, indem man das Integral quadriert, das Produkt in ein Doppelintegral umschreibt

und zu ebenen Polarkoordinaten übergeht

Das Radialintegral kann mit der Substitution elementar gewonnen werden

Im Endeffekt ist also

Eine oft benutzte Erweiterung ist

wobei vorausgesetzt wird, dass der Realteil von größer als Null ist (Re) und beliebige komplexe Zahlen sind. Dieses Resultat gewinnt man durch quadratische Ergänzung des Exponenten

und die Substitution

Es folgt dann

und somit das zitierte Resultat.
Das anfängliche Gaußpaket kann durch ein Fourierintegral dargestellt werden

| (1)

Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten bildet man

Auf der rechten Seite erhält man nach Vertauschung der Reihenfolge der Integration mit den Eigenschaften der -Funktion (Math.Kap. 1.4)

Auf der linken Seite ergibt die Anwendung der bereitgestellten Formel

Setzt man alle Faktoren zusammen, so findet man für die Fourieramplitude des Gaußpaketes

Die Fourieramplitude ist ebenfalls eine Glockenkurve, deren Breite durch charakterisiert wird. Ist das räumliche Gaußpaket breit, so ist die Fourieramplitude scharf und umgekehrt (siehe Abb. 6.2-6.4).

Abbildung 6.2: Die Fourieramplitude für verschiedene Parameter

Abbildung 6.3: Die Fourieramplitude (blau) im Vergleich mit (pink) für

Abbildung 6.4: Die Fourieramplitude (blau) im Vergleich mit (pink) für

Zur Diskussion der Zeitentwicklung des Gaußpaketes betrachtet man die Entwicklung nach ebenen Wellen

wobei die Frequenz für ein Paket im Vakuum (freies Paket) durch oder für ein einfaches, dispersives Paket in der Form vorgegeben wird. Damit berechnet man die zeitabhängigen Wellenpakete

wobei dem anfänglichen Wellenpaket entspricht (siehe (1)). Im Fall ist das Integral

auszuwerten. Dies entspricht dem oben bereitgestellten Integral mit

so dass man

bzw.

schreiben kann. Man erhält ein Gaußpaket, das sich ohne Dispersion uniform nach `rechts` bewegt.

Abbildung 6.5: Wellenpaket im Vakuum

Im Fall der Vorgabe ist das Integral

zu berechnen. Hier ist

und somit

Anstatt den Realteil dieser Funktion zu bestimmen, ist es einfacher die quadratische Form

die bei der Diskussion der Wellenfunktion der Quantenmechanik eine zentrale Rolle spielt, zu betrachten. Auch diese Funktion vermittelt einen Eindruck von der Zeitentwicklung des Wellenpaketes. Man findet

bzw. für das Betragsquadrat der Wellenfunktion nach Sortieren aller Faktoren

Der Schwerpunkt des Wellenpaketes 2 bewegt sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit nach rechts, doch bedingen sowohl der Vorfaktor als auch der zusätzliche Faktor im Exponenten das Auseinanderfließen des Wellenpaketes aufgrund der Dispersion.

Abbildung 6.6: Wellenpaket im Medium

Diese Funktion ist zu vergleichen mit der Zeitentwicklung des freien Wellenpaketes (Abb. 6.7)

Abbildung 6.7: Vergleich: Vakuum (grün), Medium (blau)

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