Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.13

1. Notiere (gemäß Kap. 7.2.3) die Standardansätze für die Felder und das Skalarpotential der TEM-Mode.
2. Löse die Differentialgleichung für das skalare Potential mit Standardrandbedingungen auf Metallflächen.
3. Bestimme die Felder und diskutiere das Resultat.
4. Diskutiere den Grenzfall .

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7.13 Antwort zu H1

Zur Diskussion der notwendigen Gleichungen dieses Problems benutzt man den Standardansatz (Kap. 7.2.3 (7.28))

Die Komponenten des elektrischen Feldes können durch eine skalare Funktion dargestellt werden (Kap. 7.2.3.1 (7.36))

Die Komponenten des - und des -Feldes sind durch die Relationen (Kap. 7.2.3.1 (7.33))

verknüpft. Die Differentialgleichung für die Funktion lautet in Zylinderkoordinaten (Kap. 7.2.3.1)

Löse die Differentialgleichung für das skalare Potential mit Standardrandbedingungen auf Metallflächen.

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7.13 Antwort zu H2

Die Lösung der Differentialgleichung

muss den Randbedingungen

genügen. Da die Randbedingung nicht von der Variablen abhängt, kann die Lösung der Differentialgleichung ebenfalls nicht von abhängen

Die verbleibende gewöhnliche Differentialgleichung

hat die allgemeine Lösung

Die Integrationskonstanten gewinnt man aus

zu

Bestimme die Felder und diskutiere das Resultat.

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7.13 Antwort zu H3

Das elektrische Feld hat nur eine radiale Komponente

das Magnetfeld entsprechend nur eine -Komponente

Die Konstante ist

Der physikalische Gehalt wird durch die Realteile dieser Funktion beschrieben, also durch den Faktor

anstelle der komplexen Exponentialfunktion. Eine Momentaufnahme des Feldlinienbildes in einer Ebene senkrecht zu der Ausbreitungsrichtung der Welle ist in (Abb. 0.1) angedeutet.

Abbildung 0.1: Feldlinienbild

Die Feldlinien schneiden sich (gemäß ) unter einem rechten Winkel. Beobachtet man das Zeitverhalten an einer Stelle mit der Koordinate in dem Hohlleiter, so variieren die Felder an jeder Stelle mit der Zeit gemäß dem Kosinusgesetz (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Variation der Feldbeträge für mit

Diskutiere den Grenzfall .

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7.13 Antwort zu H4

Geht der Radius des inneren Leiters gegen Null

so erhält man

Das Potential ist über dem gesamten Querschnitt konstant und die Felder verschwinden. Eine TEM-Welle kann in einem `Koaxialleiter` ohne Kern nicht existieren.

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