# 4 Ergänzung: Numerische Lösungsmethoden

Ist die Lösung einer Differentialgleichung analytisch nicht zugänglich, so muss man auf numerische Näherungsverfahren zurückgreifen. Eine kleine Auswahl solcher numerischer Verfahren für die Lösung von Anfangswertaufgaben von Differentialgleichungen erster Ordnung soll in diesem Abschnitt vorgestellt werden. Die Betrachtung von Differentialgleichungen erster Ordnung ist insofern ausreichend als

- man Differentialgleichungen -ter Ordnung (es interessieren im Wesentlichen Differentialgleichungen zweiter Ordung) in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung umschreiben kann, und
- die folgenden Ausführungen für eine Differentialgleichung erster Ordnung auf die Diskussion von Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung übertragen werden können.

Die Aufgabenstellung lautet demnach:

Bei der numerischen Behandlung dieser Aufgabe unterscheidet man Ein-schritt- und Mehrschrittverfahren. Zur Aufbereitung der ersteren, die einfacher zu handhaben sind, zerlegt man das Intervall in gleichgroße Teilintervalle. Die verfügbaren Stützstellen sind , wobei die Schrittweite darstellt. Integriert man die Differentialgleichung von einer Stützstelle bis zu der nächsten, so erhält man

oder

Unterschiedliche Einschrittverfahren gewinnt man durch Näherung des Integrals in diesem Ausdruck in der Form

Das Ziel von einfachen Näherungsmethoden ist dabei, dieses Integral so zu nähern, dass es nur von dem Funktionswert an der unteren Grenze abhängt. Eine Näherungslösung der Anfangswertaufgabe kann man dann durch sukzessive Auswertung der Gleichung

beginnend bei mit , berechnen.

Abbildung 6.4: Integrationsformeln

Das einfachste Verfahren dieser Art, das Euler-Cauchy Verfahren gewinnt man mit der Rechteckformel (siehe Abb. 6.4a) , durch die das Integral durch ein Rechteck mit der Höhe der unteren Stützstelle genähert wird. Für eine Verbesserung des Euler-Cauchy Verfahrens benutzt man z.B. die Sehnentrapezformel

(siehe Abb. 6.4b) und nähert den Funktionswert an der Obergrenze durch die ersten Glieder der Taylorentwicklung

so dass das genäherte Integral die Form

annimmt.
Anstatt die Funktion zwischen zwei Stützstellen durch eine Gerade zu nähern kann man eine Interpolation mit Kurven höherer Ordnung benutzen. Bei Interpolation mit einer Kurve zweiter Ordnung gewinnt man auf der Basis der Simpsonregel das vielbenutzte Runge-Kutta Verfahren.
Die Simpsonregel gewinnt man, indem man eine Funktion in einem Intervall zwischen den Stützstellen , und durch die quadratische Funktion

interpoliert. Die Koeffizienten werden durch

bestimmt. Integration über das Intervall liefert dann die klassische Formel

Abbildung 6.5: Zur Simpsonformel

Zur Bereitstellung einer Vielzahl von Runge-Kutta Varianten entwickelt man, nach Ersetzung von durch , die unbekannte Funktion an den oberen Stützstellen in verschiedenster Weise. Eine der klassischen Runge-Kutta Formeln entsteht, indem man den Term an der Stelle in einen `oberen` und einen `unteren` Beitrag aufspaltet

alle Funktionen bis zur ersten Ordnung entwickelt und für die Funktion an der `vorangehenden` Stützstelle benutzt. Das Ergebnis ist (in Standardnotation)

mit den Hilfsfunktionen

Trotz dieser Manipulation erhält man die Simpsonformel zurück, wenn man die Differentialgleichung mit der expliziten Lösung betrachtet. Das oben zitierte Runge-Kutta Verfahren ergibt wegen

genau die Ausgangsformel.
Einen alternativen Zugang zu Einschrittverfahren gewinnt man mit der Methode der Taylorentwicklung. Hier beginnt man (stetige Differenzierbarkeit bis zu der gewünschten Ordnung vorausgesetzt) mit

und gewinnt durch Einsetzen der Differentialgleichung die Näherungsformel

die eine sukzessive Auswertung erlaubt, falls die auftretenden totalen Ableitungen berechnet werden können.
Aus mathematischer Sicht sind an dieser Stelle zwei Punkte zu betrachten:

- Geht die genäherte Lösung auf den Stützstellen im Grenzfall in die wirkliche Lösung der Differentialgleichung, bei der vorgegebenen Anfangsbedingung, über? Die Beantwortung dieser Frage wird unter den Stichwörtern Konsistenz und Konvergenz diskutiert. Im Fall der Konsistenz geht es um die Frage, ob der Fehler der Näherung des Integrals für gleichmäßig verschwindet. Die Konsistenz ist jedoch alleine nicht ausreichend, um die Konvergenz des Verfahrens nachzuweisen. Konvergenz bedeutet dabei, dass die Folge der Lösungen mit verschwindender Schrittweite gegen die exakte Lösung des Anfangswertproblems konvergiert. Die Funktion muss eine zusätzliche Steigkeitsbedingung (Lipschitzbedingung) erfüllen. Für jedes der angedeuteten Verfahren kann Konvergenz nachgewiesen werden.
- Eine Frage von Interesse ist auch: Von welcher Ordnung in ist der Fehler bei den einzelnen Verfahren bzw. gibt es explizite Fehlerabschätzungen? Diese Frage wird hier nicht verfolgt.

Aus mehr praktischer Sicht muss man sich auch mit der Frage der Rundungsfehler auseinandersetzen. Wählt man die Schrittweite zu klein, so kann es zu einer Akkumulation der Rundungsfehler kommen. Eine zu große Schrittweite führt auf der anderen Seite zu einer zu ungenauen Darstellung des Integrals, so dass die optimale Wahl der Schrittweite keine einfache Angelegenheit ist. In der Praxis gibt man sich oft mit einer Abschätzung der Stabilität der Lösung durch Veränderung der Anzahl der Stützstellen zufrieden.
Für ein Systemen von Differentialgleichungen erster Ordnung stehen die Gleichungen

zur Diskussion. Die oben angegebenen Formeln können direkt übertragen werden. So lautet z.B. die Runge-Kutta Formel

mit bis auf die Indizierung wie zuvor

und

Bei Einschrittverfahren wird der gesuchte, genäherte Funktionswert an der Stützstelle durch den Funktionswert an der vorherigen Stelle bestimmt. Bei Mehrschrittverfahren wird der gesuchte Funktionswert durch die Näherung der Funktion in mehreren vorangehenden Punkten berechnet. Dies erreicht man, indem man den Integranden in der Grundformel durch ein Interpolationspolynom darstellt, in das die

- Funktionswerte an den Stellen (explizites Verfahren)
  oder
- Funktionswerte an den Stellen (implizites Verfahren)
  eingehen.

Auch bei Einschrittverfahren hätte man explizite oder implizite Varianten wählen können. Verzichtet man z.B. bei dem verbesserten Euler-Cauchy Verfahren auf die Entwicklung (und Näherung) von in der Trapezformel, so erhält man das implizite Einschrittverfahren

Die Größe ist durch Auflösung dieser impliziten Gleichung zu bestimmen.
Das Muster ist für ein explizites Mehrschrittverfahren ist

wobei sich die Summe durch die Anwendung einer Interpolationsformel und durch Näherung des Integrals ergibt. Da mehr als der eine Anfangswert vorgegeben sein muss, um eine sukzessive Auswertung zu beginnen, ist es erforderlich, zunächst eine Anlaufrechnung (z.B. mit einer geeigneten Variante eines Einschrittverfahrens) durchführen. Für Details wird auf die Literatur verwiesen.