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3 Verallgemeinerte Funktionen

Ausgangspunkt der Überlegungen ist der Begriff des Funktionals in der Form

Jedem Paar von Funktionen wird durch diese Vorschrift eine Zahl zugeordnet

Die Frage, die im Endeffekt zur Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes führt, lautet: Kann man diese Zuordnung umkehren? Kann man durch Vorgabe eines Satzes von Funktionen und Zahlenwerten mit z.B. eine Funktion definieren?

Einen Hinweis auf die Beantwortung dieser Fragen ergibt sich aus der Theorie der Funktionsreihen, z.B. der Fourierreihen. Die übliche Aussage über Fourierreihen lautet: Die Fourierdarstellung einer Funktion in dem Intervall hat die Form

wobei die Koeffizienten durch

zu berechnen sind. Die Reihe stellt die Funktion eindeutig dar, wenn sie gleichmäßig konvergiert.

Man kann den gleichen Sachverhalt beschreiben, indem man die Akzente etwas verschiebt und dabei den Sprachgebrauch, der bei der Diskussion der verallgemeinerten Funktionen üblich ist, einführt. Durch den Satz von Testfunktionen

und durch die Vorgabe des Satzes von Zahlenwerten

ist die Funktion in dem Intervall eindeutig definiert. Man könnte alle Eigenschaften von auch anhand des Satzes von Größen , bzw. der Reihe, in der diese Größen als Entwicklungskoeffizienten auftreten, diskutieren.

Diesen Sachverhalt hat L. Schwartz als Hintergrund für die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes benutzt. Zur Durchführung des Programmes sind die folgenden Schritte notwendig:

(1)
  Man definiert einen geeigneten Satz von Testfunktionen . Abzählbarkeit ist nicht unbedingt erforderlich, doch ist es einfacher mit einem derartigen Satz zu argumentieren anstatt mit einem allgemeinen Satz Eine zulässige Testfunktion ist durch die folgenden Aussagen charakterisiert:

  (1a)
    Sämtliche Ableitungen von existieren und sind stetig. Diese Aussage wird für die Definition der verallgemeinerten Funktion eigentlich nicht benötigt. Man braucht sie, um die Ableitungen der verallgemeinerten Funktion zu diskutieren.

  (1b)
    Es gibt ein so dass alle für ist. Diese Forderung garantiert, dass das Integral (sprich Funktional)

    für jede stetige Funktion existiert.

  (1b')
    Alternativ kann man verlangen, dass jede Testfunktion , zusammen mit ihren Ableitungen, für schneller gegen Null strebt als eine beliebige Potenz von Die Testfunktionen müssen im asymptotischen Bereich schnell genug abfallen.

  (1b'')
    Andere Varianten von Testräumen sind möglich.

  Man beweist dann,

(2)
  dass für jeden Satz von Forderungen (1) hinreichend viele Testfunktionen existieren und dass die Zuordnung

  immer eindeutig umkehrbar ist

  Man bezeichnet einen Satz von Funktionalen über einem wohldefinierten Raum von Testfunktionen als eine verallgemeinerte Funktion.

Anstatt eine Funktion in der üblichen Weise durch eine Zuordnung der Form zu definieren, charakterisiert man sie durch die Vorgabe eines Satzes von Funktionalen. Die zweite Charakterisierung ist im Fall von Funktionen völlig äquivalent zu der ersten. Sie hat jedoch den Vorteil, dass sie wesentlich umfassender ist. Zwei Beispiele sollen diese Aussage andeutungsweise belegen.

In dem ersten Beispiel werden als Testfunktionen

gewählt. Diese Funktionen erfüllen die Forderungen (1a) und (1b'). Betrachtet man zusätzlich den Satz von Funktionalen

so ist durch diese Vorgaben eine (verallgemeinerte) Funktion definiert. In diesem Beispiel könnte man nachrechnen, dass gilt

Die Vorgaben definieren (zugegebenermaßen auf ungewöhnliche Weise) die stetige Funktion Ist stetig, so spricht man von einer regulären verallgemeinerten (also einer normalen) Funktion.

In dem zweiten Beispiel fordert man

für jede zulässige Testfunktion Jeder Testfunktion wird ihr Wert an der Stelle zugeordnet. In dem vorangehenden Abschnitt wurde gezeigt, dass diese Forderung nicht durch eine normale Funktion erfüllt sein kann. Diese Forderung definiert die -Funktion und zwar vollständig und eindeutig.

Man ist also mit diesem Programm in der Lage, normale Funktionen als auch Distributionen oder notfalls noch allgemeinere Konstrukte auf ein und derselben Ebene zu diskutieren. Anstatt mit den Standardzuordnungen zu operieren, verlegt man sich auf die Betrachtung von Sätzen von Funktionalen. Alle weiteren Eigenschaften der verallgemeinerten Funktion kann man aus dem Satz von Funktionalen gewinnen, so z.B.

für die -Funktion, oder allgemeinere Rechenregeln. Für weitere Ausführungen zu dem Thema `verallgemeinerte Funktionen` wird jedoch auf die Literaturliste verwiesen.