3.5 Das elektrische Potential einer Hohlkugel minus einer Kugelkappe
Dieses Potentialproblem (samt den Fragen nach dem zugehörigen Feld) mit einer komplizierteren Geometrie stellt eine Anwendung der Multipolentwicklung dar. Das Potential ist anhand der Vorgabe einer Flächenladungsverteilung zu berechnen. Während normalerweise nur das Potential im Außenraum einer Ladungsverteilung zu betrachten ist, ist hier auch der Innenraum von Interesse. Dies bedingt die Aufstellung einer kleinen Variante der üblichen Multipolentwicklung. Bei der Beantwortung der Zusatzfragen bezüglich der Interpretation der Ergebnisse kann man den Umgang mit Legendre Funktionen üben.
Aufgabenstellung
Aus einer Hohlkugel (Radius ) ist eine Kugelkappe mit dem Öffnungswinkel herausgeschnitten. Auf der verbleibenden Fläche ist eine Flächenladung mit der Flächenladungsdichte uniform verteilt (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Problemstellung

(1)
  Stelle die Flächenladungsdichte auf der Restkugelfläche explizit dar und berechne die Gesamtladung auf der Resthohlkugel.
(2)
  Berechne das Potential innerhalb der Kugelfläche und zeige, dass das Ergebnis in der Form

  geschrieben werden kann, wenn man für setzt. In welchem Term der Summe tritt das Ergebnis von (1) auf?
(3)
  Berechne das Potential im Außenraum in entsprechender Form.
(4)
  Berechne Betrag und Richtung des elektrischen Feldes im Kugelmittelpunkt. Diskutiere das Ergebnis.
(5)
  Diskutiere das Potential und das elektrische Feld im Kugelmittelpunkt für die Grenzfälle und
(6)
  Diskutiere das Potential für die Fälle einer kleinen ( ) und einer großen ( ) Kugelkappe. Benutze hierzu die Darstellung der Legendrepolynome durch eine hypergeometrische Funktion

Rechne im CGS System.
Werkzeuge:

(W1)

(W2)

(W3)

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

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