Lösung der Aufgabe 3.8

Man orientiert die Ladungsverteilung entlang der -Achse (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Koordinaten und Größen

und bezeichnet die benötigten Größen:

- den kürzesten Abstand des Feldpunktes von der -Achse.
- der Vektor von einem infinitesimalen Ladungselement zu dem Feldpunkt.
- der Vektor von dem Koordinatenursprung zu dem Feldpunkt.
- die Position der infinitesimalen Ladung auf der -Achse.
- die Strecke von dem Ursprung bis zu der Projektion des Feldpunktes auf die -Achse.

Das Potential berechnet man mit

zu

Dieses Resultat kann dann mit

Abbildung 0.2: Definition der Variablen und

in

umgeschrieben werden. Eine alternative Form gewinnt man mit den Variablen und definiert durch

Direktes Einsetzen liefert

Die Äquipotentialflächen mit stellen im dreidimensionalen Raum Rotationsellipsoide mit den Brennpunkten dar. Für große Entfernungen von dem Stab ist

und das Potential geht in ein Punktladungspotential

über. Eine Betrachtung der Schnittpunkte der Ellipse

mit der - bzw. der -Achse führt auf die Aussagen und Die Äquipotentialflächen sind somit prolate Rotationsellipsoide.

Abbildung 0.3: Zur Diskussion der Ellipsenparameter

Dem Potentialwert

entnimmt man für die Gesamtladung auf dem Ellipsoid

und somit für die Kapazität der in der Aufgabenstellung angegebenen Anordnung (vergleiche Aufg. 3.7)

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