Lösung der Aufgabe 4.1

Geeignete Ansätze für das Potential in den beiden Teilräumen (benutze Zylinderkoordinaten) haben die Form

und müssen durch die Bedingungen

- stetige Tangentialkomponente des -Feldes

- stetige Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung

aneinandergeschlossen werden. Ein korrekter Ansatz in dem Dielektrikum 1, der das ursprüngliche Punktladungspotential plus ein Spiegelladungspotential aufgrund einer zu bestimmenden Spiegelladung an der Stelle darstellt, ist

Das Potential in dem Gebiet wird durch eine modifizierte Ladung an der Stelle beschrieben

Die zwei Anschlussbedingungen ergeben für die unbekannten Ladungen

Die folgenden Spezialfälle kann man herausstellen:

(a)
  Für mit

  erhält man das Potential einer Punktladung vor einer dielektrischen Halbebene.
(b)
  Für ist nur ein Dielektrikum vorhanden. Es ist dann

  und das Potential im gesamten Raum ist

(c)
  Der Grenzfall beschreibt eine Grenzfläche aus Metall. Man erhält dann das `Standardergebnis`

  der Spiegelladungsmethode.

Die auf der Trennschicht vorhandenen Polarisationsladungen werden durch

charakterisiert (Abb. 0.1 und 0.2).

Abbildung 0.1: Die Polarisationladung in Abhängigkeit von mit den Parametern , (obere Kurven) bzw. (untere Kurven) für die beiden Abstände (blau) und (grün)

Eine alternative Darstellung der Dichteverteilung für die Polarisationsladung wird in Abb. 0.2 gezeigt.

Abbildung 0.2: Alternative Darstellung der Dichteverteilung der Polarasiationsladung mit den Parametern , , und (oberer Streifen) sowie (unterer Streifen)

Die Polarisationsladungsdichte ist ( vorausgesetzt) positiv, falls bzw. negativ falls ist. Die gesamte auf der Trennschicht vorhandene Ladung berechnet sich zu

Das elektrische Feld in den Teilräumen ist

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