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1 Potenzen und Wurzeln

Die Funktion , wobei eine natürliche Zahl größer als ist, ist in der ganzen -Ebene analytisch. Die Ableitung ist, außer im Nullpunkt, von Null verschieden. Die Funktion vermittelt also in der ganzen Ebene, außer dem Nullpunkt, eine konforme Abbildung.

Durch die Funktion wird jeweils eine Halbebene auf die ganze -Ebene abgebildet. Zur Darstellung der Abbildung benutzt man eine Riemannsche Fläche, in der zwei Blätter übereinander liegen und entlang der reellen Achse über Kreuz aneinandergefügt sind. Jeder von Null verschiedene Punkt ist somit zweimal (auf dem oberen und dem unteren Blatt) vorhanden. Der Nullpunkt, der nur einmal vorhanden ist, wird als Verzweigungspunkt oder Windungspunkt bezeichnet.

Die Abbildung durch die Funktion mit kann man, wie den Fall , in der Darstellung durch Polarkoordinaten im Detail diskutieren. Es werden nun Winkelsegmente mit der Öffnung und dem Scheitelpunkt auf die ganze -Ebene abgebildet. Zur Darstellung benutzt man in diesem Fall eine Riemannsche Fläche aus Blättern, wobei aufeinander folgende Blätter und das letzte und das erste Blatt miteinander zu verbinden sind (siehe Abb. (2.2) für ). Der Nullpunkt ist auch hier ein Verzweigungspunkt.

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Abbildung 2.2: Die Funktion

Da die Abbildung der einfachen -Ebene auf die fach überdeckte -Ebene bis auf den Nullpunkt umkehrbar eindeutig ist, kann man feststellen, dass es für die Funktion zu jedem genau verschiedene Werte gibt, für die ist. Diese -Werte, die auf einem Kreis um den Nullpunkt liegen, bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen -Ecks (siehe Abb. (2.2) für ). Man bezeichnet sie als die -te Wurzel aus

Explizit kann man diese Aussage nachempfinden, wenn man die Darstellungen und benutzt. Es ist dann

Da die Beträge der komplexen Zahlen positiv sind, lautet die Lösung der ersten Gleichung . Die zweite Gleichung wird wegen der Kongruenz durch die Werte

erfüllt. Die verschiedenen Wurzeln von sind also

Zusätzlich ist (eindeutig)

Als Hauptwert der -ten Wurzel aus bezeichnet man den Wert mit .