Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.9

1. Welche vorbereitenden Schritte sind notwendig, um die verschiedenen Bahnen zu diskutieren?
2. Bestimme die Funktion für `großen Drehimpuls` (). Da zu diesem Zweck einige, durchaus trickreiche Rechenschritte durchzuführen sind, wird der Rechengang durch Kurzhinweise begleitet.
3. Diskutiere die Energieverhältnisse im relativistischen Coulombproblem im Anklang an das klassische Keplerproblem.
4. Diskutiere die Elektronenbahn für großen Drehimpuls und .
5. Diskutiere die Elektronenbahn für großen Drehimpuls und sowie .
6. Diskutiere die Funktion für kleine Drehimpulswerte ().
7. Diskutiere die Bahnkurven für kleinen Drehimpuls und
8. Diskutiere die Bahnkurven für kleinen Drehimpuls und
9. Betrachte noch den Spezialfall

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8.9 Antwort zu H1

Die Bahngleichung

zeigt, dass die Bahnform im Wesentlichen durch die Parameter und bestimmt wird. Diese wiederum hängen von der Energie und dem Drehimpuls ab. Der Parameter bestimmt hingegen die `Skalierung` der Bahn. In die Definition von geht eine Integrationskonstante ein. Legt man diese durch die Betrachtung eines Minimalabstandes fest, so kann man (essentiell durch Elimination des Drehimpulses) als Funktion von und Energiegrößen darstellen. Je nachdem ob der Drehimpuls größer, kleiner oder gleich ist, nimmt Werte aus einem bestimmten Bereich an. Die erste Aufgabe ist somit die Bestimmung der Funktion

Da im Gegensatz zu dem Keplerproblem nicht sondern in der Bahngleichung auftritt, sind kompliziertere Bahnformen als Ellipsen oder Hyperbeln zu erwarten.

Bestimme die Funktion für `großen Drehimpuls` (). Da zu diesem Zweck einige, durchaus trickreiche Rechenschritte durchzuführen sind, wird der Rechengang durch Kurzhinweise begleitet.

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8.9 Antwort zu H2

Ist der Drehimpuls groß, das heißt ist

so nimmt der Parameter

Werte zwischen und an.
Betrachte den Minimalabstand des Elektrons von der stationären Ladung.
Setzt man für die Diskussion voraus, dass ist (für gelten entsprechende Aussagen, siehe klassisches Keplerproblem der Mechanik Band 1, Kap. 4.1.2.3), so findet man einen minimalen Abstand

für den Maximalwert des Kosinus bei In diesem Punkt ist

und somit auch

Der Geschwindigkeitsvektor steht in dem Punkt des Minimalabstandes senkrecht auf dem Radiusvektor.
Löse den Ausdruck für den Drehimpuls in diesem Punkt nach der Geschwindigkeit auf.
Für den Drehimpuls gilt in diesem Punkt

Löst man nach auf und nimmt die positive (!) Wurzel, so findet man

Benutze das Ergebnis, um eine Relation zwischen und zu gewinnen.

Benutze dieses Ergebnis in dem Energiesatz und ersetze durch die Parameter und .
Der Energiesatz

geht in

über. Ersetzt man durch , so findet man

Löse diesen Ausdruck nach auf, eliminiere den Parameter .
Quadriere und sortiere nach Potenzen von

Der Faktor von kann mit

in die Form

gebracht werden. Die quadratische Gleichung in bzw. lautet damit

bzw.

Führe in das letzte Resultat ein.
Benutzt man in

den Parameter

bzw.

so findet man (endlich) das gewünschte Resultat

Diskutiere die Energieverhältnisse im relativistischen Coulombproblem im Anklang an das klassische Keplerproblem.

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8.9 Antwort zu H3

Um die Situation in geeigneter Weise darzustellen, schreibt man die Gesamtenergie

in der folgenden Form um

wobei das klassische Zentralpotential ist

Der Grund für diese Darstellung ist die Tatsache, dass man die relativistische Energie

nicht in einfacher Weise in einen Radial- und Winkelanteil trennen kann. In der Abbildung 0.1 sieht man, dass im Wesentlichen die Energiesituation des Keplerproblems, verschoben um die Ruheenergie, vorliegt.

Abbildung 0.1: Die Energiesituation im relativistischen Coulombproblem

In der Abbildung ist die Gesamtenergie (grün), größer oder kleiner als die Ruheenergie (braun), markiert. Für zwei Abstandswerte sind jeweils die effektive potentielle Energie ( , grau) und die effektive kinetische Energie ( , rot) angedeutet.

Diskutiere die Elektronenbahn für großen Drehimpuls und .

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8.9 Antwort zu H4

Falls ist, ist die potentielle Energie dem Betrag nach größer als die kinetische Energie. Unter diesen Umständen ist die Bewegung gebunden, das Elektron nimmt einen Maximalabstand von der Zentralladung ein. Die Relation bedingt für einen Epsilonwert mit Der Maximalabstand

wird für Punkte angenommen, für die ist. Da das Argument der Kosinusfunktion und nicht selbst ist, ist die Bahn nur in dem Grenzfall eine Ellipse. Im Allgemeinen hat die Bahn die Gestalt einer nichtgeschlossenen Rosette zwischen zwei Kreisen mit den Radien und Die ellipsenähnlichen Bahnen der Rosette drehen sich langsam. Der Präzessionswinkel pro Umlauf kann aus der Bedingung

zu

berechnet werden. Ist eine rationale Zahl , so schließt sich die Rosette nach Umläufen

Die Abbildungen 0.2 und 0.3 zeigen Beispiele für Rosettenbahnen.

Abbildung 0.2: Bahnkurve für und : Rosettenbahn mit und | Abbildung 0.3: Bahnkurve für und : Rosettenbahn mit und

Animation der Kurven

Diskutiere die Elektronenbahn für großen Drehimpuls und sowie .

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8.9 Antwort zu H5

In diesem Fall ist die kinetische Energie größer als der Betrag der potentiellen. Für folgt aus der Relation die Aussage Die Bewegung ist ungebunden mit einer Bahn, die den Keplerhyperbeln ähnelt. Das Elektron kommt aus großer Entfernung auf die stationäre Punktladung zu, erreicht den Minimalabstand und entfernt sich wieder. Die Bahnkurven besitzen zwei Asymptoten, die durch

bestimmt sind (Abb. 0.4). Die dritte Möglichkeit ergibt und eine parabelähnliche Bahn (Abb. 0.5).

Abbildung 0.4: Bahnkurve für und : relativistische `Coulombhyperbel` mit | Abbildung 0.5: Bahnkurve für und : relativistische `Coulombparabel` ( )

Diskutiere die Funktion für kleine Drehimpulswerte ().

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8.9 Antwort zu H6

Liegt eine Situation mit vor, so ist

Man benutzt in diesem Fall zweckmäßigerweise die Umschreibung mit reellem und

Eine Rechnung zur Bestimmung der Funktion , analog zu dem Fall ist nicht notwendig, da man das Ergebnis direkt umschreiben kann. Ersetzt man durch , so erhält man

Definiert man noch

so kann man die Lösung des Bewegungsproblems in der Form

schreiben. Damit der Nenner nicht immer negativ ist, muss man für das negative Vorzeichen wählen. Man definiert noch

und schreibt

Diskutiere die Bahnkurven für kleinen Drehimpuls und

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8.9 Antwort zu H7

Ist , so ist Für erhält man den Abstandswert

Da der hyperbolische Kosinus mit wachsendem eine monoton wachsende Funktion ist, ist dies der maximal mögliche Abstand von der Zentralladung. Der Abstand verkleinert sich von Umlauf zu Umlauf. Die Bahnkurve ist eine Spirale, die für bei einem Maximalabstand beginnt und je nach Größe des Parameters die Punktladung in engeren oder weiteren Bögen umkreist (Abb. 0.6).

Abbildung 0.6: Bahnkurve für und : Spirale mit endlichem Maximalabstand für und

Diskutiere die Bahnkurven für kleinen Drehimpuls und

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8.9 Antwort zu H8

Ist auf der anderen Seite so ist Die Bahn besitzt wiederum zwei Asymptoten, die durch die Winkel

bestimmt sind (Abb. 0.7). Das Elektron nähert sich z.B. dem Kern auf einer der Asymptoten und umkreist den Kern in engen und schnell enger werdenden Spiralen, wobei der Umlaufsinn durch die Asymptoten bestimmt wird:

|  | Drehung gegen den Uhrzeigersinn
|  | Drehung mit dem Uhrzeigersinn.

Abbildung 0.7: Bahnkurve für und : Spirale mit Asymptote für und

Betrachte noch den Spezialfall

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8.9 Antwort zu H9

In dem Fall lautet die Lösung

Es liegt ebenfalls eine Spiralbahn vor, die jedoch den Ursprung mit wachsendem langsamer umkreist als im Fall (Abb. 0.8).

Abbildung 0.8: Bahnkurve für und : Spirale mit endlichem Anfangswert (

Animation der Kurve

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