Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.17

1. Gib den Hertzschen Vektor und seine sphärischen Komponenten an.
2. Berechne die benötigten Ableitungen des Hertzschen Vektors.
3. Berechne die elektromagnetischen Felder in der Fernzone. Kommentiere.
4. Stelle die Komponenten der elektromagnetischen Felder in der Fernzone durch die Zeitableitungen der Funktion dar.
5. Identifiziere die dominaten Beiträge.
6. Bestimme den Poyntingvektor in der Fernzone. Kommentiere.

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7.17 Antwort zu H1

Für die bei lokalisierte Quelle

lautet der Hertzsche Vektor

Die Komponentenzerlegung in Kugelkoordinaten ist

wobei ist.

Berechne die benötigten Ableitungen des Hertzschen Vektors.

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7.17 Antwort zu H2

Definiere zur Abkürzung

Die zur Angabe der Felder benötigten Ableitungen des Hertzschen Vektor sind

Berechne die elektromagnetischen Felder in der Fernzone. Kommentiere.

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7.17 Antwort zu H3

Die Felder sind mit dem Hertzschen Vektor durch die Relationen (Aufg. 7.16)

verknüpft. Für die Komponenten der magnetischen Induktion findet man direkt
?

Abbildung 0.1: Zum -Feld

Das -Feld hat nur eine -Komponente, die mit dem Polarwinkel variiert. Sie ist maximal in der Ebene, die durch die Quelle verläuft und senkrecht auf ihr steht (Abb. 0.1). Für das elektrische Feld findet man
?

Stelle die Komponenten der elektromagnetischen Felder in der Fernzone durch die Zeitableitungen der Funktion dar.

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7.17 Antwort zu H4

Benutzt man

und

so erhält man für die Ableitungen des Hertzschen Vektors nach der Radialkoordinate

und kann die Feldkomponenten in der Form

schreiben.

Identifiziere die dominaten Beiträge.

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7.17 Antwort zu H5

Diese Ergebnisse gehen für in das Feld eines stationären elektrischen Dipols über, wobei als das statische Dipolmoment interpretiert werden kann. Das Fernfeld des zeitabhängigen Dipols verhält sich hingegen wie

Die dominanten Komponenten (Abb. 0.2) sind

Abbildung 0.2: Geometrie des Fernfeldes

Bestimme den Poyntingvektor in der Fernzone. Kommentiere.

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7.17 Antwort zu H6

Der dominante Beitrag zu dem Poyntingvektor

in der Fernzone ist die Radialkomponente

In den meisten Fällen ist die Berücksichtigung des dominanten Beitrags ausreichend

Abbildung 0.3: Abstrahlungsmuster: Strahlungszone

Die Strahlung in Radialrichtung variiert mit dem Polarwinkel wie sie ist also maximal in der Äquatorialebene, der Ebene senkrecht zu der Richtung des Dipols (Abb. 0.3). Die gesamte (pro Zeiteinheit) durch eine große Kugel abgestrahlte Energie ist

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