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5 Der Logarithmus

Da die komplexe Exponentialfunktion eine periodische Funktion ist, ist die Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus , eine (unendlich) vieldeutige Funktion. Betrachtet man einen bestimmten Wert von , so bezeichnet man den Wert des Logarithmus, dessen Imaginärteil in dem Intervall

liegt, als den Hauptwert des Logarithmus und schreibt . Alle übrigen Werte von für dieses unterscheiden sich von dem Hauptwert nur um ein Vielfaches von , der Periode der Exponentialfunktion. Es ist also

Schreibt man ( und reell), wobei der Hauptwert von ist, so folgt

Spezielle Hauptwerte kann man anhand dieser Aussage leicht angeben. Es sind z.B.

Die durch vermittelte Abbildung der Hauptwertfläche auf den Streifen mit der -Ebene ist in Abb. 2.3 illustriert. Strahlen der -Ebene werden auf Geraden der -Ebene parallel zur reellen Achse, Kreise der -Ebene auf Geradenstücke parallel zur imaginären Achse abgebildet.

Allgemeiner gilt: Alle Werte von haben den gleichen Realteil (den eindeutigen, reellen natürlichen Logarithmus), die Imaginärteile unterscheiden sich um ein Vielfaches von .

Abbildung 2.3: Die Abbildung

In Umkehrung der durch die Exponentialfunktion vermittelten Abbildung werden durch den Logarithmus Riemannsche Flächen der -Ebene, die entlang der negativen reellen Achse aufgeschnitten und zusammengeheftet sind, auf Streifen der -Ebene abgebildet. Die Punkte der Fläche, die die Hauptwerte trägt, werden auf das Innere des Streifens

der -Ebene abgebildet. Diese Abbildung ist eindeutig und konform. Die Punkte der benachbarten Riemannschen Flächen, werden auf die benachbarten Streifen abgebildet. Die Situation ist in Abb. 2.4, die von links gelesen die Abbildung durch die Exponentialfunktion und von rechts gelesen die Abbildung durch den Logarithmus darstellt, illustriert.

Abbildung 2.4: Abbildungen durch die Exponentialfunktion und den Logarithmus

Die Umkehrung von mit bedingt auch, dass man für den komplexen Logarithmus die bekannten Rechenregeln wiedergewinnen kann, so z.B. (alle )

Infolge der Vieldeutigkeit stellen die rechten und die linken Seiten dieser Gleichungen jeweils einen (unendlichen) Satz von Werten dar. Jeder Wert, der auf der linken Seite dieser Gleichungen auftritt, ist unter den Werten der rechten Seite zu finden.

Die im Reellen gewonnenen Reihen für den natürlichen Logarithmus können ins Komplexe fortgesetzt werden. Sie stellen dann die Hauptwerte dar. Die drei bekanntesten Reihen sind

Der Konvergenzradius der drei Reihen ist jeweils .

Mit Hilfe des Logarithmus kann man im Komplexen (wie im Reellen) beliebige Potenzen darstellen. Man schreibt für

mit beliebigem komplexen auf der rechten Seite

Den Hauptwert dieser vieldeutigen Funktion erhält man, wenn man für den Logarithmus den Hauptwert einsetzt. So ist z.B.

Der Hauptwert ist