Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.14

1. Benutze die Spiegelladungsmethode zur Berechnung des Potentials des Systems Erde und Doppelleitung in einem Raumpunkt (über der Erde).
2. Gib die Potentiale auf den Oberflächen der dünnen Drähte an.
3. Löse die (linearen) Relationen zwischen den Potentialen und den Ladungen nach den Ladungen auf.
4. Führe in der Darstellung der Ladungen durch die Potentiale Potentialdifferenzen ein und extrahiere die Teilkapazitäten. Interpretiere die Situation durch ein Schaltbild.
5. Werte die Formeln für die Teilkapazitäten für die Spezialfälle (horizontale bzw. vertikale Anordnung) aus.
6. TECHNISCHE ASPEKTE:
   Diskutiere die drei Optionen für effektive Kapazitäten bei der Nutzung der Doppelleitung anhand von Schaltbildern.

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4.14 Antwort zu H1

Das Potential eines Drahtes mit der Ladungsdichte im Abstand von der Drahtmitte ist (siehe D.tail 4.5c)

Das Potential von zwei parallelen Drähten mit den Ladungsdichten

vor einer geerdeten Ebene (der Erde) kann mit Hilfe der Spiegelladungsmethode angegeben werden. Die Geometrie des Problems in einer Ebene, die senkrecht zu den Drähten verläuft, ist in den Abbildungen 0.1

Abbildung 0.1: Sortierung der Abstände

angedeutet. Haben die Ladungen (pro Längeneinheit) und die Abstände bzw. von der Ebene, so tragen die Spiegelladungen die Ladungen (pro Längeneinheit) und und befinden sich an den Stellen mit den Abständen und Weiterhin benötigt man die Abstände:

- Der Abstand der Ladungen und bzw. der Abstand der Spiegelbilder

- Der Abstand der Ladungen und bzw. der Abstand der Spiegelbilder

- Die Abstände eines Feldpunktes in der Ebene der vier Ladungen werden mit (Abstände von den Ladungen) bzw. (Abstände von den Spiegelladungen) bezeichnet.

Das Potential in dem Feldpunkt gewinnt man mittels Superposition in der Form

Gib die Potentiale auf den Oberflächen der dünnen Drähte an.

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4.14 Antwort zu H2

Zur Diskussion der Teilkapazitäten der zwei Drähte muss man das Potential auf der Oberfläche der Drähte betrachten, deren Radien mit und bezeichnet wurden. Sind diese Radien klein im Vergleich zu den anderen auftretenden Abständen, so gilt mit

und

für das Potential für Punkte auf den Oberflächen der zwei Drähte

Löse die (linearen) Relationen zwischen den Potentialen und den Ladungen nach den Ladungen auf.

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4.14 Antwort zu H3

Der Satz von Gleichungen

mit

kann als Gleichungssystem für die Ladungen und angesehen werden. Die Lösung (z.B. mit Kramer's Regel) lautet

Die Auswertung der auftretenden Determinanten (benutze zur Abkürzung beachte Handhabung der Vorzeichen) ergibt

mit

Führe in der Darstellung der Ladungen durch die Potentiale Potentialdifferenzen ein und extrahiere die Teilkapazitäten. Interpretiere die Situation durch ein Schaltbild.

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4.14 Antwort zu H4

Führt man anstelle der Potentiale Potentialdifferenzen ein, so kann man an der Auflösung in der Form

die Kapazitätskoeffizienten ablesen. Man benutzt dabei die Vorgabe, dass die Erde das Potential hat. Die Detailaussagen

mit

ergeben die Teilkapazitäten

Eine anschauliche Interpretation der Teilkapazitäten gibt Abb. 0.2.

Abbildung 0.2: Teilkapazitäten

Die Teilkapazitäten entsprechen den Kapazitäten zwischen den drei `Metallflächen` der Anordnung.

Werte die Formeln für die Teilkapazitäten für die Spezialfälle (horizontale bzw. vertikale Anordnung) aus.

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4.14 Antwort zu H5

Die Resultat vereinfachen sich in den folgenden Spezialfällen

(1)
  Die Drähte liegen in einer horizontalen Ebene und haben den gleichen Radius. Mit den Abstandswerten

  findet man für diese Anordnung

  Die Teilkapazitäten und als Funktion von sind in den Abbildungen 0.3 und 0.4 dargestellt. Die Teilkapazitäten zwischen einem der Drähte und der Erde, nimmt erwartungsgemäß mit ab, während die Teilkapazitäten zwischen den Drähten, infolge des immer mehr vernachlässigbaren Einflusses der Erde, gegen einen konstanten Wert geht.

  Abbildung 0.3: Die Teilkapazität (, , ) |  | Abbildung 0.4: Die Teilkapazität (, , )

(2)
  Die Drähte liegen übereinander in einer vertikalen Ebene (und haben den gleichen Radius). Liegt der Leiter (2) über dem Leiter (1), so muss man in den allgemeinen Resultaten

setzen.

TECHNISCHE ASPEKTE: Diskutiere die drei Optionen für effektive Kapazitäten bei der Nutzung der Doppelleitung anhand von Schaltbildern.

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4.14 Antwort zu H6

Die effektive Kapazität des Systems (auch Betriebskapazität genannt) hängt von der Art der Nutzung der Doppelleitung ab. Drei Optionen sind zu diskutieren: (i) Ein Draht (1) dient zur Hinleitung des Stromes zu einem Verbraucher, der andere (2) zur Rückleitung (Abb. 0.5).

Abbildung 0.5: Nutzung Fall (I)
Reale Situation | Ersatzschaltbild

Die zwei Teilkapazitäten und sind in dieser Option über die Erde in Serie geschaltet. Diese Serienanordnung ist parallel zu Die effektive Kapazität ist deswegen

Sind beide Leitungen auf der gleichen Höhe und haben sie den gleichen Radius, so ist

(ii) Der Draht (1) wird zur Hinleitung des Stromes, die Erde zur Rückleitung benutzt. Der zweite Draht (2) ist isoliert (Abb. 0.6).

Abbildung 0.6: Nutzung Fall (II)
Reale Situation | Ersatzschaltbild

Bei dieser Option werden die Teilkondensatoren und über die Leitung 2 in Serie geschaltet. Diese Serienanordnung ist parallel zu angeordnet.

(iii) Wie in (ii), doch ist der zweite Draht geerdet (Abb. 0.7).

Abbildung 0.7: Nutzung Fall (III): Ersatzschaltbild

Hier spielt der Teilkondensator keine Rolle, er wird durch die Erdung überbrückt. Die anderen zwei Teilkondensatoren sind parallel geschaltet. Es ist also

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