Detail 4.2
Das Potential von zwei Punktladungen vor einer geerdeten Metallkugel
Auch dieses Problem kann durch Superposition gelöst werden: Man betrachtet zwei Punktladungen an den Stellen und deren Potentiale und zu einem Gesamtpotential addiert werden. Zu beachten ist, dass die Randbedingung auf der Kugeloberfläche von dem Gesamtpotential erfüllt werden soll. Dies bedingt die folgende Betrachtung. Die Aufbereitung der Einzelpotentiale () erfolgt analog zu den Betrachtung in Kapitel 4.2 mit dem Unterschied, dass die Punktladungen nun nicht mehr auf der -Achse liegen. Man könnte das Koordinatensystem so wählen, dass die Vektoren und in der - Ebene liegen (Abb. 4.1), doch ist die allgemeinere Diskussion nicht aufwendiger.

Abbildung 4.1: Anordnung der Ladungen und Spiegelladungen

Mit den Vorgaben

muss man die allgemeine Form (3.34) der Multipolentwicklung ansetzen. Es ist in der Standardnotation

so dass man für den Spiegelladungsansatz

die folgenden Details notieren kann:

- Mit der Erwartung (die zu überprüfen ist), dass die Positionen der Spiegelladungen innerhalb der Kugel zu finden sind, kann man für die Spiegelladungsanteile (in einfacher Erweiterung von (4.6), Kap. 4.2)

  schreiben.
- Für die Punktladungspotentiale auf der Kugelfläche gilt

Die Koeffizienten werden über die Randwertvorgabe

bestimmt. Diese Bedingung lautet

Wegen der linearen Unabhängigkeit der Kugelflächenfuktionen muss der Ausdruck in der geschweiften Klammer gleich Null sein. Da diese Aussage jedoch für jede Ladung und zugehörige Position gelten soll, ist dies nur möglich falls die Ausdrücke in den eckigen Klammern einzeln verschwinden. Daraus folgt

Das Ergebnis für die Spiegelladungsbeiträge

kann mit der Definition der Spiegelladungen

und deren Position (mit !)

resummiert werden

Die Einzelpotentiale, aus denen sich das Gesamtpotential additiv zusammensetzt, sind somit:

- Für die Punktladung an der Stelle mit einer Spiegelladung an der Stelle

  | (1)

- Die zweite Punktladung an der Stelle erzeugt das Potential

  | (2)

Das gesamte Potential, das durch Addition von zwei realen und zwei fiktiven Punktladungsbeiträgen erzeugt wird, erfüllt die Randbedingung

Da die Einzelpotentiale die Bedingung erfüllen, hätte man die Koeffizienten auch über diesen Satz von Bedingungen bestimmen können. Der springende Punkt ist jedoch, dass die Bedingungen

ebenfalls auf führen, gegebenenfalls von Null verschiedene Einzelpotentiale liefern, deren Summe jedoch wegen der Eindeutigkeit der Lösung des Dirichletproblems wieder das gleiche Ergebnis wie zuvor liefert.

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