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1 Distributionen

Mit dem Konzept der Distributionen wird der übliche Funktionsbegriff der Mathematik erweitert. Die Motivation, dieses Thema im Rahmen der Elektrodynamik anzusprechen, ist der Wunsch, eine Punktladung durch eine Ladungsverteilung darzustellen, unabhängig von der Frage, ob eine solche Ladung in der Natur realisiert ist. Betrachtet man z.B. eine Punktladung an der Stelle , so ergibt sich mit dem Gaußtheorem für jede geschlossene Fläche F um die Punktladung die Aussage

Das Divergenztheorem und eine Darstellung der Punktladung durch eine Ladungsdichte führt dann auf die Form

die für ein jeder Fläche F zugeordnetes Volumen gelten sollte. Um eine Punktladung darzustellen, muss die Ladungsverteilung die Bedingung erfüllen

Andererseits muss die Aussage

gelten, damit die zwei Varianten des Gaußtheorems übereinstimmen. Offensichtlich überfordern diese Bedingungen den Funktionsbegriff. Das mathematische Objekt, das hier angesprochen wird, ist eine spezielle Distribution, die -Distribution in drei Raumdimensionen, die in vielen Bereichen der theoretischen Physik gefragt ist. Diese Distribution, die durchweg als -Funktion bezeichnet wird, wurde um 1930 von P.A.M. Dirac in der Frühphase der Quantenmechanik eingeführt, die streng mathematische Fundierung der Theorie der Distributionen durch L. Schwartz folgte erst in den Jahren 1950/51.

Man kann versuchen, die -Funktion auf eine anschaulich pragmatisch Weise, z.B. durch eine Grenzbetrachtung mit gewöhnlichen Funktionen zu fassen (Math.Kap. 1.1). Es zeigt sich jedoch, dass dieser pragmatische Zugang mit Vorsicht zu genießen ist: Man gerät schnell in dubioses mathematisches Fahrwasser, obschon einige der Eigenschaften der -Funktion gewonnen werden können (Math.Kap. 1.2). Aus diesem Grund ist es notwendig, das Programm von Schwartz, in dem Distributionen als eine Verallgemeinerung des üblichen Funktionsbegriffes definiert werden, zumindest in den Grundzügen, zu betrachten (Math.Kap. 1.3). Das Kapitel wird durch eine Zusammenstellung der Eigenschaften der -Funktion abgerundet (Math.Kap. 1.4).

Unterabschnitte

- 1 Heuristischer Zugang
- 2 Eigenschaften der Deltafunktion
- 3 Verallgemeinerte Funktionen
- 4 Rechenregeln für die Deltafunktion