Detail 4.3
Zur Greens Funktion des stationären Potentialproblems
Obschon diese Problemstellung in Kap. 4.3 diskutiert wird, scheint es angemessen, einige Ergänzungen und eine detailliertere Diskussion des Dirichletproblems mit Kugelsymmetrie zu betrachten.

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1 Potentialprobleme und Greensche Funktionen

Das Potentialproblem der Elektrostatik kann in der Poissongleichung, einer linearen, inhomogenen partiellen Differentialgleichung,

zusammengefasst werden. Die Lösung dieser Differentialgleichung kann man in der Form

darstellen. Die Funktion ist die allgemeine Lösung der Laplacegleichung

Die Greensche Funktion wird durch die Differentialgleichung

| (1)

sowie, je nach Vorgabe, die folgenden Randbedingungen bestimmt:

- Im Fall von einfachen Randbedingungen, für die sich das Potential wie

  verhält, muss sich die Greens Funktion wie

  verhalten.
- Bei Dirichlet-Randbedingungen ist das Potential auf den Randflächen eines beliebigen Gebietes vorgegeben

  In diesem Fall muss man die Randbedingung (Kap. 4.3, (4.27))

  fordern.
- Ist hingegen die Normalenableitung des Potentials auf den Randflächen eines Gebietes vorgegeben, so liegen Neumann-Randbedingungen vor. Hier ist die einfachst mögliche Wahl der Randbedingung

  wobei die Konstante durch die Randfläche des Gebietes

  bestimmt ist.

Die Greens Funktion ist über einem sechsdimensionalen Bereich definiert. Zur Veranschaulichung der Situation benutzt man zweckmäßigerweise das zweidimensionale Äquivalent mit der Differentialgleichung

Abbildung 4.1: Grundbereich der Greens Funktion

Die Singularität, die durch die -Funktion verursacht wird, trennt den Definitionsbereich der Funktion von zwei Variablen in zwei Bereiche (Abb. 4.1). Sowohl in dem Bereich (Bereich 1) als auch in dem Bereich (Bereich 2) erfüllt die Greensche Funktion die `Laplacegleichung`. In jedem dieser Bereiche kann man aus den (unendlich vielen) Partikulärlösungen dieser homogenen Differentialgleichung konstruieren. Die Lösungen und in den zwei Gebieten müssen dann entlang der Geraden auf eine bestimmte Weise (Details folgen) aneinander angeschlossen werden.
Später wird noch die Aussage benötigt, dass die Greens Funktion eine symmetrische Funktion

ist (Math.Kap. 3.3).

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2 Ein kugelsymmetrisches Dirichletproblem

Das folgende Dirichletproblem wurde gestellt:
Zur Lösung dieses Potentialproblems geht man von einem Lösungsansatz in der Form einer Multipolentwicklung

| (2)

aus. Zu bestimmen sind die `Entwicklungskoeffizienten` .

Abbildung 4.2: Vorgaben bei dem Dirichletproblem

Setzt man diesen Ansatz in die Differentialgleichung (1) für die Greens Funktion ein, so erhält man im Endeffekt eine Differentialgleichung für die Radialanteile. Einsetzen führt auf die Aussage

|  |  | (3)

wobei der Winkelanteil des Laplaceoperators

schon auf die Kugelflächenfunktion angewandt wurde

Um die Summen aufzubrechen, multipliziert man die Gleichung (3) mit und integriert über beide Sätze von Winkelkoordinaten. Auf der linken Seite ergibt sich mit der Orthogonalitätsrelation der Kugelflächenfunktionen ein Faktor , auf der rechten Seite erhält man für die Winkelanteile

Die Differentialgleichung für die Radialanteile ist demnach

|  |  | (4)

Das Randwertproblem, das mit dieser gewöhnlichen Differentialgleichung angesprochen wird, bezeichnet man als ein Sturmsches Randwertproblem. Dessen Lösung vollzieht sich nach einem Standardmuster, das die folgenden Schritte beinhaltet: Es ist zunächst die Lösung der Differentialgleichung in den Bereichen (1) mit und (2) mit zu bestimmen, in denen eine homogene Differentialgleichung vorliegt. Diese Differentialgleichung entspricht der Radialgleichung des Laplaceproblems, mit dem Unterschied, dass eine zusätzliche Variable auftritt. Die Abhängigkeit der Lösung von dieser Variablen ist durch die Differentialgleichung nicht bestimmt. Fasst man als einen Parameter auf, so kann die Lösung der Radialgleichung sofort angegeben werden (Kap. 3.2, (3.14))

Da jedoch kein Parameter ist, muss man die `Integrationskonstanten` als Funktionen von ansehen. Man schreibt demnach unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Lösung in den Bereichen (1) und (2) verschieden sein wird

Zur Festlegung der Koeffizientenfunktionen benutzt man die noch verfügbaren Bedingungen

- die Randbedingungen
- die Symmetrie
- den Anschluss der Lösungen an den Stellen mit

Die Randbedingungen sind

Auf der inneren Kugelschale gilt . Die erste Randbedingung ist also auf die Funktion anzuwenden. Die Bedingung auf der äußeren Kugelschale betrifft die Funktion , da ist. In dem ersten Fall erhält man eine Relation zwischen den Koeffizientenfunktionen und Aus folgt

Die zweite Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn der Faktor von , die Funktion , verschwindet. Das Zwischenergebnis nach der Anwendung der Randbedingungen ist somit (benutze ab hier )

Der Ansatz (2) für die Greensche Funktion ist symmetrisch in den Winkelvariablen, denn es gilt ( ist der von den Raumrichtungen, die durch und markiert werden, eingeschlossene Winkel, Abb. 4.3)

Abbildung 4.3: Raumwinkelgeometrie

Somit folgt aus der allgemeinen Symmetriebedingung für den Radialanteil

Die Symmetrieforderung an den Radialanteil verknüpft die Funktionen in den beiden Gebieten und liefert deswegen über

bis auf einen konstanten Faktor die Abhängigkeit der verbleibenden Koeffizientenfunktionen von der Variablen

Die resultierenden Funktionen

gehen auf der Trennlinie stetig ineinander über, es ist

Die Differentialgleichung für die Radialanteile ist von zweiter Ordnung und an den Stellen mit singulär. Zum vollständigen Anschluss der Lösungen benötigt man noch eine Aussage über die ersten Ableitungen der Funktionen an diesen Stellen. Diese Aussage gewinnt man aus der Differentialgleichung (5) für die Funktionen Mit der Umschreibung

lautet diese

Integriert man über die kritische Stelle zwischen den Grenzen und so erhält man

In dem ersten Term (mit ) ist einzusetzen, in dem zweiten Term (mit ) ist es Betrachtet man den Grenzwert für so trägt das verbliebene Integral wegen der Stetigkeit des Integranden nicht bei. Das Ergebnis dieser Betrachtung lautet somit

In Worten: Die erste Ableitung der Radialanteile der Greenschen Funktion multipliziert mit r macht an den kritischen Stellen einen Sprung. Setzt man die bisher gewonnenen Resultate für die Radialanteile in diese Bedingung ein, so erhält man

oder nach Sortierung

Das Endergebnis kann infolge der Symmetrie entweder durch oder durch ausgedrückt werden. Für hat man

|  |  | (5)

für gilt entsprechend

| (6)

Der erste Term in diesen Entwicklungen entspricht der inversen Abstandsfunktion, so z.B. für

Der zweite Term kann mit der gleichen Entwicklung diskutiert werden

Die Greens Funktion entspricht dem Resultat, das durch direkte Anwendung der Spiegelladungsmethode gewonnen wurde.

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