### 1 Zur Konvergenz von Fourierreihen.

Vor der Detaildiskussion, z.B. der Berechnung der Entwicklungskoeffizienten einer vorgegebenen periodischen Funktion , ist zunächst wieder die Frage der Konvergenz der Reihen zu betrachten. Man kann im ersten Schritt versuchen, die periodische Funktion durch Partialsummen mit

zu approximieren. Das folgende Argument zeigt, dass eine Näherung mit

wobei die vorgegebene periodische Funktion darstellt, diese periodische Funktion im Mittel am besten approximiert. Approximation im Mittel bedeutet Minimierung des mittleren Fehlerquadrates

Hier ist die Fourierdarstellung von einzusetzen. Zur Berechnung dieses Integrales benötigt man die ` Orthogonalitätsrelationen` der trigonometrischen Funktionen. Diese lauten

sowie

Man erhält diese Relationen durch

- die Substitution mit und den Grenzen und , sowie
- Umformung der Integranden mit Hilfe der Additionstheoreme wie z.B.

- und den Grundintegralen ( ganzzahlig)

Die Auswertung des mittleren Fehlerquadrates ergibt

also einen Ausdruck, der offensichtlich minimal ist, wenn die letzten drei positiven Terme verschwinden, also wenn und für ist. Eine Partialsumme mit den Koeffizienten und , zu berechnen gemäß den oben angegebenen Integralen, approximiert für jeden Wert von die vorgegebene periodische Funktion im Mittel am besten. Da das mittlere Fehlerquadrat per Definition positiv definit ist, folgt aus der obigen Argumentation die Ungleichung

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die als die Besselsche Ungleichung bekannt ist. Falls ist, ist diese Ungleichung auch für gültig.
Der Übergang von den Partialsummen zu der Fourierreihe

mittels , wobei die Koeffizienten durch

gegeben sind, erfordert eine aufwendigere Diskussion. Es muss gezeigt werden, dass die Funktion in dem Grundintervall3 absolut und gleichmäßig konvergiert. Nur dann kann man die Koeffizienten der Reihe durch die angedeutete gliedweise Integration berechnen. Gleichmäßige Konvergenz beinhaltet, in der Sprache der Epsilontik, dass es zu jedem eine Partialsumme gibt, so dass für alle ist. Unter dieser Voraussetzung stellt die Fourierreihe in allen (endlich vielen) Stetigkeitsbereichen die Funktion dar. Liegen Sprungstellen vor, so ergibt die Reihe die Zahl