Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.3

1. Berechne die Stromdichte der rotierenden, homogenen Ladungsverteilung.
2. Schlage eine Lösungsstrategie vor.
3. Bereite die Berechnung des Vektorpotentials mit Hilfe einer Multipolentwicklung vor.
4. Werte die Winkelintegration in der Multipolentwicklung des Vektorpotentials aus.
5. Jetzt ist die Radialintegration durchzuführen.
6. Berechne die magnetische Induktion.
7. Berechne das magnetische Moment der Ladungsverteilung.
8. Zerlege den Vektor in Kugelkoordinaten, diskutiere die Felder und
9. Führe (andeutungsweise) die Kontrollrechnung mit Hilfe einer direkten Integration durch.

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5.3 Antwort zu H1

Aus der Vorgabe kann man die zugehörige Stromdichte berechnen. Ein Volumenelement der Kugel an der Stelle hat die Geschwindigkeit (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Zur Multipolentwicklung

Aus der Umschreibung

ergibt sich

Schlage eine Lösungsstrategie vor.

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5.3 Antwort zu H2

Zur Berechnung des Vektorpotential der rotierenden Ladungen kann man auf Kap. 5.3 (5.25)

zurückgreifen. Zur Auswertung der drei (!) anstehenden Integrale ist es unter Umständen möglich, eine elementare Integration durchzuführen, falls man das Koordinatensystem geschickt wählen kann. Alternativ kann (oder muss) man eine Auswertung über die Multipolentwicklung der inversen Abstandsfunktion benutzen. Ist bestimmt, so gewinnt man das -Feld durch Differentiation

Zur Berechnung des magnetischen Moments der rotierenden Ladungsverteilung muss man den Ausdruck (Kap. 5.3 (5.35))

auswerten.

Bereite die Berechnung des Vektorpotentials mit Hilfe einer Multipolentwicklung vor.

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5.3 Antwort zu H3

Bei der Anwendung der Multipolentwicklung (siehe Kap. 3.3 (3.34))

in

ist es nützlich, die Zählerfunktion durch Kugelflächenfunktionen darzustellen, um die Orthogonalitätsrelation dieser Funktionen

auszunutzen und somit die Anzahl der Terme in der Summe über zu beschränken. Zur Auswertung der drei Integrale, die hier anstehen,

benötigt man eine Darstellung der Koordinaten durch Kugelflächenfunktionen. Ausgehend von den Definitionen

findet man die Umkehrungen

Werte die Winkelintegration in der Multipolentwicklung des Vektorpotentials aus.

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5.3 Antwort zu H4

Mit der Darstellung der drei kartesischen Koordinaten durch Kugelkoordinaten kann man die Winkelintegrale für die drei anstehenden Integrale ausführen. Für die verbleibende Radialintegration sind (wie so oft) Fallunterscheidungen zu treffen. Im Einzelnen berechnet man

wobei das verbleibende Radialintegral

darstellt. Mit der Orthogonalitätsrelation erhält man

bzw. nach Wiedereinsetzen der Kugelflächenfunktionen

Entsprechend findet man für die anderen Integrale

Jetzt ist die Radialintegration durchzuführen.

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5.3 Antwort zu H5

Zur Berechnung der Radialintegrale sind die Fallunterscheidungen (Feldpunkt außerhalb der Kugel) und (Feldpunkt innerhalb der rotierenden Kugel) notwendig. Für lautet das Radialintegral

Für muss man das Radialintegral in zwei Bereiche aufspalten

Führt man zur Zusammenfassung der drei Integrale wieder den Vektor ein, so kann man das Ergebnis für das Vektorpotential in der folgenden Form schreiben: Für erhält man

bzw. bei Benutzung der Gesamtladung

Für lautet das Ergebnis

Das Vektorpotential ist für Punkte mit stetig.

Berechne die magnetische Induktion.

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5.3 Antwort zu H6

Zur Berechnung der magnetischen Induktion muss man die Rotation des Vektorpotentials bilden. Schreibt man so folgt aus der Produktregel für Ableitungen

Die Rotation des Kreuzproduktes ist (für eine konstante Winkelgeschwindigkeit)

Für den Gradienten des Vorfaktors erhält man

Setzt man diese Einzelergebnisse zusammen, so findet man für

Löst man das doppelte Vektorprodukt noch mit

auf, so lautet das Endergebnis

Das Außenfeld hat Dipolstruktur. Für ergibt eine entsprechende Rechnung

Berechne das magnetische Moment der Ladungsverteilung.

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5.3 Antwort zu H7

Zur Auswertung der Formel

benutzt man die Zerlegung

und wählt das Koordinatensystem so, dass

ist. Die Formel für das magnetische Moment lautet dann

Mit

und

verbleibt für das Radialintegral

Führt man wieder den Vektor ein, so findet man (in Übereinstimmung mit D.tail 5.4)

Das Außenfeld ist in der Tat

Zerlege den Vektor in Kugelkoordinaten, diskutiere die Felder und

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5.3 Antwort zu H8

Die weitere Betrachtung wird etwas übersichtlicher, wenn man das Koordinatensystem so wählt, dass die Drehachse und die -Achse zusammenfallen. Mit

kann man die Ergebnisse für die magnetische Induktion in der Form

mit

sowie

schreiben. Hier erkennt man, dass sowohl die Normalkomponente von als auch die Tangentialkomponente an Stellen mit stetig sind. Die Stetigkeit der Normalkomponente entspricht der Relation . Die Stetigkeit der -Komponente kann man folgendermaßen erläutern: Es sind nur wahre Ströme vorhanden. Infolge der Abwesenheit von magnetisierter Materie gilt

Diese Aussage wird durch die Berechnung von bestätigt. So findet man in dem Außenraum

und in dem Innenraum

Dieses Resultat entspricht (bei der Wahl der Drehachse als -Achse) der Bestimmungsgleichung für die magnetische Feldstärke

Es besagt auch, dass man bei der Wahl einer Stokesschleife parallel zu einem Längengrad keinen Sprung in der -Komponente des Feldes erhält, diese Komponente also stetig ist.

Führe (andeutungsweise) die Kontrollrechnung mit Hilfe einer direkten Integration durch.

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5.3 Antwort zu H9

Bei der Berechnung des Vektorpotentials mit elementaren Methoden ist es immer nützlich, den Winkel zwischen den Vektoren und in möglichst einfacher Weise darzustellen. Im Fall von Kugelsymmetrie wählt man als Richtung des Vektors z.B. die -Richtung (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Alternative Koordinatenwahl

Für das Skalarprodukt der Vektoren und gilt dann

so dass durch die Integrale

berechnet werden kann. Integration über den Azimutalwinkel bedingt, dass die Integrale

für , die - und die -Komponenten, verschwinden. Es bleibt

mit

Das Integral über die Variable ist elementar

Setzt man die Grenzen ein, so findet man

Bei der Auflösung der Wurzel mit dem Minuszeichen muss man die Fallunterscheidungen und beachten. Man schreibt

Das verbleibende Radialintegral für ist z.B.

Da der Vektor bei der Wahl des Koordinatensystems nur eine -Komponente besitzt, kann man für das Vektorpotential

schreiben.

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