Detail 7.2
Brechung: Weitere Fresnelformeln und Energiefluss durch eine ebene Trennfläche

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(a) Fresnelformeln

Bei der Diskussion der Reflexion und Brechung kann man kinematische Aspekte, die sich aufgrund geometrischer Betrachtungen ergeben, sowie dynamische Aspekte, die die Eigenschaften der elektromagnetischen Wellen ansprechen, unterscheiden. Zu den ersteren gehören das Reflexions- und das Brechungsgesetz. Zu den dynamischen Aspekten zählt man die Fresnelschen Formeln, die das Verhältnis der Feldamplituden der gebrochenen und der reflektierten Wellen im Vergleich zu der Feldamplitude der einfallenden Welle angeben, und die damit verknüpfte Diskussion des Energieflusses durch die Grenzschichten mittels der Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.

Bei der Herleitung der Fresnelschen Formeln für linear polarisierte, elektromagnetische Strahlung unterscheidet man zwei Fälle

- Die Vektoren der elektrischen Felder stehen senkrecht auf der Ebene der Wellenzahlvektoren.
- Die Vektoren der elektrischen Felder liegen in der Ebene der Wellenzahlvektoren.

Die Diskussion für eine einfallende Welle mit beliebiger Polarisation lässt sich auf diese zwei Fälle zurückführen.

In Kap. 7.2.1 wurde die Feldsituation für den ersten (und einfacheren) Fall in mehr anschaulichere Weise diskutiert. Hier sollen die beiden Möglichkeiten etwas formaler behandelt werden. Der erste Schritt ist die Vorgabe eines vollständigen Koordinatendreibeins mit den Einheitsvektoren (siehe Abb. 7.1

- Der Vektor steht senkrecht auf der ebenen Trennfläche. Er zeigt in das Medium 2.
- Der Vektor liegt in der Trennfäche und steht senkrecht auf der Wellenvektorebene.
- Der Vektor liegt in der Trennfäche und markiert die Wellenvektorebene.

Abbildung 7.1: Reflexion und Brechung: Koordinatendreibein

Abbildung 7.2: Reflexion und Brechung: Zerlegung der Wellenzahlvektoren

In Bezug auf dieses Koordinatensystem lautet, entsprechend Abb. 7.2, die Komponentenzerlegung der Wellenzahlvektoren (einfallende Welle), (reflektierte Welle) und (gebrochene Welle):

Für den Fall, dass die elektrischen Feldvektoren senkrecht auf der Wellenzahlvektorebene stehen, sollen die Magnetfelder noch einmal ohne Rückgriff auf eine Abbildung bestimmt werden. Aus den Vorgaben

erhält man mit Hilfe der Relation (siehe (6.43), Kap. 6.3.3)

| (1)

für die drei -Vektoren

Die Auswertung der Anschlussbedingungen soll nicht wiederholt werden.

Abbildung 7.3: Komponentenzerlegung der elektrischen Feldvektoren:

Abbildung 7.4: Komponentenzerlegung der elektrischen Feldvektoren:

Abbildung 7.5: Komponentenzerlegung der elektrischen Feldvektoren:

Liegen die -Vektoren in der Wellenzahlvektorebene, so lautet die Zerlegung dieser Vektoren (siehe Abb. 7.3 bis 7.5)

Für die magnetische Induktion ergibt das Vektorprodukt in diesem Fall (1)

Alle drei -Vektoren zeigen in die (negative) -Richtung.

Die relevante Anschlussbedingung für die Tangentialkomponenenten (der -Richtung) der Magnetfelder

liefert somit die folgende Relation zwischen den Amplituden der elektrischen Felder

Dieses Ergebnis kann man mit der Aussage in

| (2)

umschreiben.

Die Anschlussbedingungen für die Normalkomponenten der elektrischen Felder ergeben die folgenden Aussagen. Mit der Relation

erhält man

bzw. bei Benutzung des Brechungsgesetzes

noch einmal das Ergebnis (2). Die Anschlussbedingung für die Tangentialkomponenten (in der -Richtung) liefert direkt

| (3)

Wiederum sind zwei lineare Gleichungen für die Amplitudenverhältnisse zu lösen. Die Auflösung des Gleichungssystems

ergibt

|  |  | (4)
|  |  | (5)

Diese Resultate werden meist mit Hilfe des Brechungsgesetzes umgeschrieben. Benutzt man

so erhält man nach einigen Rechenschritten die Standardresultate

| (6)

sowie

|  |  | (7)

In der Praxis ist der Unterschied in den Permeabilitäten meist vernachlässigbar (). Die Fresnelschen Formeln (6) und (7) vereinfachen sich dann zu

|  |  | (8)
|  |  | (9)

Zur Gewinnung dieser Resultate wurden die Dielektrizitätskonstanten wieder mit Hilfe des Brechungsgesetzes eliminiert und die Relationen

zwischen den trigonometrischen Funktionen benutzt.

Für senkrechten Einfall der Strahlung auf die ebene Trennfläche ( ) findet man für und für

ausgehend von den direkten Lösungen (4) und (5) die Relationen

|  |  | (10)
|  |  | (11)

Man stellt fest, dass in diesem Grenzfall der Unterschied zwischen den zwei möglichen Orientierungen der elektrischen Feldern entfällt.

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(b) Energiefluss

Die Aussage über den Energiefluss (siehe Kap. 7.2.1)

| (12)

kann anhand der beiden Sätze von Fresnelformeln für lineare Polarisation der ebenen elektromagnetischen Wellen direkt verifiziert werden.

- Steht der elektrische Vektor senkrecht auf der Wellenzahlebene, so findet man durch Einsetzen von

  in der Tat

- Liegt der elektrische Vektor in der Wellenzahlebene, so wird die Energieerhaltungsaussage (12) von den Lösungen (4) und (5) ebenfalls erfüllt

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