Detail 3.2
Das elektrische Potential eines Rotationsellipsoids

Sobald das elektrische Potential von Ladungsverteilungen mit einer komplizierteren Geometrie zu berechnen ist, ist ein direkter analytischer Zugang nicht mehr möglich. Optionen sind dann die Multipolentwicklung, die oft nur für den Bereich außerhalb der Verteilung benötigt wird, oder eine numerische Lösung der Poisson/Laplacegleichung (bei optimaler Ausnutzung der verbleibenden Symmetrie).

Die Multipolentwicklung einer azimutalsymmetrischen Ladungsverteilung im Außenbereich hat die Form (Kap. 3.2, (3.18))

| (1)

Die Entwicklungskoeffizienten sind durch

im vorliegenden Fall eines homogen geladenen Rotationsellipsoids durch (Kap. 3.4)

gegeben. Zur Auswertung stehen die Integrale über den Polarwinkel (setze )

| (2)

an. Der Parameter wird durch die Halbachsen des prolat gewählten Ellipsoides bestimmt

| (3)

Für die Durchführung dieser Rechnung sind einige Formeln bzw. Vorbereitungen nötig.

- Man benötigt die binomische Reihe

  | (4)

  wobei eine beliebige positive oder negative Zahl sein kann (vergleiche Band1, Math.Kap. 1.31).
- Das hier auftretende binomische Symbol ist zunächst nur für ganzzahlige Werte von definiert

  wobei die auftretenden Fakultäten durch die -Funktion dargestellt werden können. Diese Definition kann infolge der Eigenschaften der -Funktion (Math.Kap. 4.1) auf beliebige Werte erweitert werden

- Benötigt wird auch die Aussage

  | (5)

  die aus den Eigenschaften der -Funktionen (Math.Kap. 4.1) folgt.
- Der Sammlung der Eigenschaften der -Funktion entnimmt man

  | (6)

  und

  | (7)

- Eines der Grundintegrale mit Legendre Polynomen

  | (8)

  wird in Math.Kap. 4.3.2 hergeleitet. Man findet es auch in allen Formelsammlungen zu dem Thema `spezielle Funktionen` .

Bei der Berechnung des Integrals (2) muss man die Fälle gerade und ungerade Werte des Parameters getrennt diskutieren.

Ist ungerade (), so kann man anmerken, dass der Integrand in dem Integral (2)

aus dem Produkt einer geraden Funktion der Variablen

mit einer ungeraden () besteht. Das Integral über das Intervall mit diesem Integranden verschwindet

Ist gerade (), so ergibt die Entwicklung der Wurzel in dem Integranden von

mit (4) bei Vertauschung der Reihenfolge der Operationen (Summation und Integration)

| (9)

Als erstes kann man zeigen, dass die Teilintegrale in (9) nur von Null verschieden sind, wenn ist. Man benutzt dazu die Aussage, dass jede Potenz (jedes Polynom) durch eine Summe von Legendrepolynomen ausgedrückt werden kann

wobei die Koeffizienten bestimmt werden könnten (siehe Anh. C.1.1), doch hier nicht interessieren. Setzt man diese Relation in (9) ein, so ergibt sich wegen der Orthogonalität der Legendrepolynome eine Reduktion der Summe

Ist gerade und , so ist, wegen der Forderung , das Integral gleich Null. Es genügt somit für die vorliegende Rechnung nur Werte von mit zu betrachten.

Da und jeweils gerade Funktionen sind, kann das Integrationsintervall auf einschränken

Mit (8) ergibt sich für diese Integral

bzw. unter Verwendung von (7)

Einsetzen in (9) ergibt mit (5)

Die Substitution ermöglicht eine Resummation (mit (5) und (4))

Somit folgt das Ergebnis für gerade Werte von ()

Die Konvergenz der resultierenden Entwicklung des Potentials (1) im Außenbereich der Ladungsverteilung (ersetze durch die Ellipsenparameter (3)) und benutze die Ladung

mit den ersten Termen

wird in den folgenden Abbildungen (3.1) für verschiedene Werte der Exzentrizität

illustriert und kommentiert. Die Grenzwerte und entsprechen einer Kugel und einer auf die -Achse beschränkten () linearen Ladungsverteilung der Länge .

Abbildung 3.1: Vergleich des Potentials: Verschiedene Werte von a in x-y Ebene ( , , )
(blau: , grün: , )

Abbildung 3.2: Vergleich des Potentials: In z-Richtung (grün, ) und in x-y Ebene (blau, ) (, , )

Abbildung 3.3: Güte der Konvergenz für , , (Näherung blau)

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