## 2 Matrizen

Die einfache Grunddefinition lautet:

So z.B.

Die Indizes in dem rechten Schema geben die Spalten bzw. die Zeilenpositionen an. So steht das Element in der -ten Zeile und der -ten Spalte. Dabei ist jedoch zu beachten, dass diese Zuordnung nicht genormt ist. Man muss sich bei jedem Text vergewissern, welcher Index Zeilen- bzw. Spaltenindex ist. Eine allgemeine Matrix sieht demnach folgendermaßen aus:

Die übliche Notation für Matrizen ist (Varianten unbenommen)

=
  um anzudeuten, daß es sich um eine Matrix handelt.
=
  um die Matrix durch ihre Elemente und die Dimension des Schemas zu charakterisieren.
=
  um die Matrix und ihre Dimension abgekürzt anzudeuten.

Als Beispiele für Matrizen kann man insbesondere betrachten

1)
  Die Matrix der Koeffizienten der Transformationsgleichungen für Drehungen in einer zweidimensionalen Welt

  Dies ist ein Beipsiel für eine Matrix. Im Allgemeinen nennt man eine Matrix mit quadratisch.
2)
  Die Komponentendarstellung von Vektoren im und (wobei das Gleichheitszeichen endgültig übernommen wird)

Dies sind Beispiele für einzeilige oder einspaltige Matrizen. Die Spalten- oder Zeilenform zur Darstellung von Vektoren wird wahlweise benutzt.
Aus diesem Beispiel ergibt sich die Sprechweise: Für eine allgemeine Matrix bezeichnet man

Bezüglich der Rechenoperationen mit Matrizen lautet die Behauptung: Mit Matrizen kann man (fast) wie mit Zahlen rechnen. Vor der Erläuterung der möglichen Operationen ist jedoch noch die Vervollständigung der Liste von nützlichen Begriffen notwendig.

(i)
  Die Kette von Elementen einer Marix bezeichnet man als die Hauptdiagonale.

(ii)
  Spiegelt man eine Matrix an der Hauptdiagonalen, so erhält man die transponierte Matrix (Varianten in der Notation sind angedeutet)

  Ein konkretes Beispiel ist

  Aufgrund der Definition folgt auch

  Die Transponierte der transponierten Matrix ist die ursprüngliche Matrix.
(iii)
  Zwei Matrizen und heißen gleichartig, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten besitzen

  (Zeilen) |  | (Spalten)

(iv)
  Zwei Matrizen und heißen gleich, wenn sie gleichartig sind und wenn an gleicher Stelle stehende Elemente übereinstimmen

  Man schreibt dann .

Rechenoperationen mit Matrizen sind Addition, Multiplikation mit einer Zahl, Subtraktion, Matrixmultiplikation und Matrixinversion.

- Die Definition der Addition von Matrizen orientiert sich an der Addition von Vektoren, die ,wie oben angedeutet, als eine spezielle Matrix aufgefasst werden können.

  Ein direktes Beispiel sagt an dieser Stelle mehr als jede weitere Erklärung:

  die Vektoraddition (hier in Spaltenform) ist ein Spezialfall

  Zu betonen ist noch einmal: Die Matrizenaddition ist nur für gleichartige Matrizen definiert.
- Entsprechend knapp kann man die zweite Operation, die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl, als Erweiterung der entsprechenden Operation mit Vektoren angeben.

  Im Detail sieht dies folgendermaßen aus

  Für diese Operationen mit Matrizen gelten eine Reihe von Rechenregeln, die hier ohne Kommentar zusammengestellt sind:

  Kommutativgesetz der Addition | : |
  Assoziativgesetz der Addition | : |
  Distributivgesetze | : |
  | : |
  Rechenregeln für Transposition | : |
  | : |

  Ist , so erhält man die sogenannte Nullmatrix

- Die Differenz zweier Matrizen ergibt sich aus den obigen Definitionen zu

  Auch die Differenz ist nur für gleichartige Matrizen definiert.
- Die Definition der Multiplikation zweier Matrizen orientiert sich, wie oben angedeutet, an dem Hintereinanderausführen von Koordinatentransformationen. Eine gute Anzahl von mathematischen Aufgaben und physikalischen Fragestellungen kann auf diese Weise kurz und prägnant formuliert werden. Die Definition dieser Operation ist etwas aufwendiger.

  Diese Definition erfordert eine gewisse Erläuterung. Die Matrix hat Zeilen und Spalten. Die -te Zeile wird herausgegriffen. Die Matrix hat Zeilen und Spalten. Betrachtet wird insbesondere die -te Spalte.

  Das Element der Produktmatrix hat die Form

  Dies bedeutet: Erstes Element der -ten Zeile von mal erstes Element der -ten Spalte von plus das Gleiche für das jeweilige zweite Element, etc. Die Merkregel ist also: Jede Zeile der Matrix wird mit jeder Spalte der Matrix kombiniert. Da die Matrix Zeilen und die Matrix Spalten hat, besteht die Produktmatrix aus Zeilen und Spalten. Die Operation ist nur definiert, wenn die Gestalt der beiden Faktoren aufeinander abgestimmt ist. Die Spaltenzahl von muss mit der Zeilenzahl von übereinstimmen.

Einige Beispiele sollen diese Operation illustrieren. Das erste Beispiel ist ein direktes Beipsiel für die formale Durchführung der Matrixmultiplikation.

Das Produkt einer Matrix mit einer Matrix ergibt eine Matrix. Die äußeren Indizes in jedem der Summanden entsprechen der Zeilen- und Spaltenposition der Produktmatrix.
Das zweite Beispiel ist ein numerisches Beispiel zum Nachrechnen

In dem dritten Beispiel wird das Transformationsgesetz für Vektorkomponenten zweier gegeneinander gedrehten Koordinatensysteme im formuliert. Man schreibt

für die Komponenten des Vektors bezüglich
des ungestrichenen Systems
entsprechend bezüglich des gestrichenen
Systems
für die Drehmatrix, die den Übergang zwischen den
beiden Systemen vermittelt.

Es ist dann

Die Darstellung der Vektoren als Spalten ist nicht zwingend, doch ist diese Form (schon aus typographischen Gründen) die übliche.
Das vierte Beispiel illustriert das Hintereinanderausführen von Transformationen

Diese Gleichung ist folgendermaßen zu lesen: Eine Drehung um im gefolgt von einer Drehung um entspricht einer Drehung um .
Das fünfte Beispiel lautet: Ein lineares Gleichungssystem von Gleichungen in Unbekannten lässt sich ebenfalls in Matrixform schreiben

Setzt man

so lautet die entsprechende Matrixgleichung

Die Beispiele und deuten an, dass zwischen der Diskussion von Gleichungssystemen und der Transformation von Vektoren (in höherdimensionalen Räumen) ein enger Zusammenhang besteht.
Man kann auch das Skalarprodukt von Vektoren in Matrixform fassen. Mit der Verabredung über die Matrixdarstellung von Vektoren in der Form von Spalten und den Aussagen über die Transposition von Matrizen gilt z.B. im

Das Ergebnis der Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor ist eine Matrix, ein Skalar.
Für Matrixprodukte gibt es eine Reihe von Rechenregeln. Der Nachweis einiger dieser Rechenregeln in voller Allgemeinheit ist nicht trivial. Trotzdem wird auf die Beweisführung verzichtet, da diese sich (wenn auch etwas langatmig) aus der Definiton und den entsprechenden Rechenregeln für Zahlen ergeben. Die Regeln werden jedoch mit einem entsprechenden Kommentar aufgeführt.

  Regel 1: Es gilt das Assoziativgesetz

  Als Einschränkung ist zu betonen: Die Gestalt der drei Matrizen muss aufeinander abgestimmt sein.

  Regel 2: Distributivgesetze sind

  Regel 3: Für die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gilt

  Regel 4: Schon erwähnt wurde, wenn auch indirekt: Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Man darf die Reihenfolge der Faktoren im Allgemeinen nicht vertauschen

  Dies ist offensichtlich für den Fall von Produkten mit nichtquadratischen Matrizen, so z.B.

  In dem ersten Fall erhält man eine in dem zweiten eine Matrix. Jedoch auch bei Produkten mit quadratischen Matrizen ist die Vertauschbarkeit nicht unbedingt gegeben, wie das folgende Beispiel zeigt

  Auf der anderen Seite gibt es im Fall von quadratischen Matrizen auch Situationen, in denen Vertauschbarkeit vorliegt. Man kann explizit nachrechnen, dass für zwei Drehungen in der Ebene gilt

  Aus anschaulicher Sicht bedeutet diese Aussage: Es spielt keine Rolle in welcher Reihenfolge man Drehungen in einer Ebene durchführt. Die Situation ist in Bezug auf Drehungen in der dreidimensionalen Welt nicht so einfach (siehe z.B. Buch.Kap. 6.2).
  Regel 5: Eine nützliche Regel ist die Aussage über die Transposition von Produkten

  Die Transponierte eines Produktes ist gleich dem Produkt der Transponierten mit vertauschter Reihenfolge. Der Beweis dieser Aussage beinhaltet die Bemerkungen
  (a) Nur mit der angegebenen Reihenfolge ist die Anpassungsregel erfüllt

  (b) Danach genügt das Ausschreiben des mit indizierten Elementes auf beiden Seiten.
  Regel 6: Im Rahmen der Diskussion der Multiplikation ist die Frage nach einem Einheitselement von Bedeutung. Die Einheitsmatrix ist definiert als

  Das Einheitselement ist eine quadratische Matrix mit der Zahl in den Elementen der Hauptdiagonalen und in den außerdiagonalen Elementen. Diese Matrix hat die Eigenschaft

  oder kurz

  Als letzte Rechenoperation mit Matrizen ist die `Matrixdivision` oder korrekter die Frage nach der Matrixinversen zu betrachten. Eine Matrix , für die gilt

  nennt man die Inverse der Matrix und schreibt

  Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen einer Linksinversen und einer Rechtsinversen unterscheiden

  Rechtsinverse |  |
  Linksinverse |  | .

  Für Matrizen mit beliebiger Gestalt ist die Situation bezüglich der Inversen kompliziert,wie das folgende direkte Beispiel zeigt. Für die Matrix

  existiert eine Linksinverse, denn es gilt

  Für die Rechtsinverse müsste gelten

  Die erste Spalte der Produktmatrix auf der linken Seite der Gleichung erfordert

  Die Gleichungen widersprechen sich. Eine Rechtsinverse existiert nicht. Für quadratische Matrizen gelten jedoch die folgenden Aussagen
  ()
    Existiert eine der Inversen, so folgt daraus die Existenz der anderen. Der Beweis dieser Aussage ist langwierig und erfordert Mittel, die noch nicht aufbereitet sind.
  ()
    Aus der Existenz beider Inversen folgt dann

    Die beiden Inversen sind gleich. Der Beweis ist

  Quadratische Matrizen, die eine Inverse besitzen, bezeichnet man als umkehrbar oder regulär, quadratische Matrizen, die keine Inverse besitzen als singulär. Ein direktes Kriterium, mit dessen Hilfe man die Frage nach der Existenz der Inverse von quadratischen Matrizen beantworten kann, wird sich bei der Diskussion von Determinanten ergeben (Math.Kap. 3.2.4).
  Für reguläre Matrizen existieren eine Reihe von nützlichen Rechenregeln:

  1. |  |  |  | (die Inverse eines Produktes)
  2. |  |  |  | (die Inverse der Inversen)
  3. |  |  |  |
  4. |  |  |  | (Vertauschung der Operationen )

  Die zugehörigen Beweise (ohne Kommentar) sind untenstehend zusammengestellt:

  1. .
  Beweis:

  2. .
  Beweis:

  Mit 1. :
  3. .
  Beweis:

  4. .
  Beweis:

  .

  Mit dem Matrixkalkül als Formulierungshilfe kann nun die Diskussion der linearen Koordinatentransformationen fortgesetzt werden.