Detail 7.8
Die zentral gespeiste, dünne Antenne
Die exakte Auswertung der Relation (7.58)

in der Strahlungszone ist für das Modell der dünnen, zentral gespeisten Antenne möglich. Mit der Vorgabe

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reduziert sich das anstehende Raumintegral auf ein Integral in einer Raumdimension. Neben den Einzelschritten zur Berechnung des Vektorpotentials für dieses Modell einer Antenne wird eine einfache und direkte Entwicklung für die Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung sowie die Multipolentwicklung aus Kap. 7.3.4 betrachtet.

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(a) Das Vektorpotential

Der Ortsteil des Vektorpotentials in der Fernzone (vergleiche (7.57)) ist durch

gegeben. Bei der Auswertung des Integrals

ist es zweckmäßig, eine Aufspaltung des Integrationsbereiches in die Intervalle und vorzunehmen

Löst man die Sinusfunktionen in den Integranden mit dem Additionstheorem auf

so können die Integrale mit den Formeln (siehe Integraltafeln oder leite mittels partieller Integration her)

angegeben werden. Nach dem Einsetzen der Grenzen und Sortieren kann man das Zwischenergebnis in der Form

notieren, so dass man für das Vektorpotential

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und daraus, wie in Kap. 7.3.5 gezeigt, für die von der Antenne abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel und Zeiteinheit

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erhält.

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(b) Eine einfache Entwicklung für die Leistung

Bis auf einen numerischen Faktor ist der Poyntingvektor bzw. die Leistung durch die Funktion

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bestimmt. Entwickelt man, unter der Voraussetzung die Zählerfunktion nach Potenzen von , so findet man nach einer ersten Zusammenfassung

Aus den Termen kann jeweils ein Faktor ausgeklammert werden, so dass sich nach Quadrieren und Sortieren bis zu der Ordnung das Resultat

ergibt.

Die Resultate dieser Entwicklung werden in Abb. 7.1a bis zu der Ordnung für die Sequenz von -Werten mit dem Resultat (3) verglichen. Die Abb. 7.1b zeigt einen entsprechenden Vergleich bis zu der Ordnung für die Sequenz . Man erkennt, dass der Fehler durch Abbruch der Entwicklungen bis zu den Werten bzw. relativ annehmbar ist, ab diesen Werten sich jedoch mit wachsendem schnell vergrößert. Man stellt auch fest, dass die Entwicklung bis zu der Ordnung die exakten Werte in jedem Fall unterschätzt, die Entwicklung bis zu der Ordnung dagegen überschätzt.

Abbildung 7.1: Polardiagramm des Abstrahlungsmusters für die zentral gespeiste Antenne in der Fernzone: Vergleich der exakten Lösung (3) (durchgezogene Linie) mit der einfachen Näherungen (unterbrochene Linie)
bis zu der Ordnung
bis zu der Ordnung

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(c) Die Multipolentwicklung

Ausgangspunkt für die Diskussion des Abstrahlungsproblems ist die Multipolentwicklung (7.79) des Vektorpotentials in (Kap. 7.3.4 ) in der Strahlungszone

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mit den Koeffizienten (7.78)

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(Beachte den Unterschied von Besselfunktion und Stromdichtevektor). Benötigte Aussagen zu den Kugelflächen- und Besselfunktionen, sowie weitere technische Details sind in dem Abschnitt d. zusammengestellt.

Da das Problem nun in Kugelkoordinaten formuliert werden muss, muss man die Stromdichte (1) in diese Koordinaten umschreiben. In Abschnitt d.1 wird gezeigt, dass die Umschreibung

der ursprünglichen Form entspricht. Die -Funktionen beschränken die Stromdichte auf das Intervall der -Achse. Außerhalb des genannten Intervalls verschwindet die Stromdichte. Zu berechnen ist somit

Die Integration über den Polarwinkel führt man zweckmäßigerweise zuerst aus und erhält

Mit den in Abschnitt d.2 angegebenen Formeln für die Kugelflächenfunktionen und nach Integration über folgt

für gerade (obere Zeile) bzw. ungerade Werte von . Das verbleibende Integral über die Radialkoordinate wird mit der Substitution umgeschrieben. Man findet, dass es nur von dem Parameter abhängt

Da die sphärischen Besselfunktionen die Struktur

haben, wobei aufeinander abgestimmte Polynome in sind, kann man zeigen (siehe Beispiel in Abschnitt d.4), dass man die Radialintegrale durch den Integralsinus und den Integralkosinus

darstellen kann ( ist die Eulerkonstante ). Da die Werte dieser Funktionen letztlich einer geeigneten Tabellierung entnommen werden müssen, ist es angemessen die Integrale direkt numerisch auszuwerten. Die so gewonnenen Funktionen sind in Abb. 7.2 für illustriert.

Abbildung 7.2: Die Radialintegrale (blau) und (rot) als Funktion von

Das Endresultat für die Entwicklungskoeffizienten

liefert somit für die Multipolentwicklung des Vektorpotentials

Hier wurde benutzt, dass eine Kugelflächenfunktion mit dem Index einem Legendrepolynom entspricht. Vergleich mit der Lösung (2) zeigt, dass die Aussage

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gilt.

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(d) Technisches zur Multipolentwicklung

In diesem Abschnitt werden einige rechentechnische Details und die benötigten Aussagen zu den auftretenden speziellen Funktionen zusammengestellt.

1.
  Die Äquivalenz der Darstellungen der Stromdichte in kartesischen und in Kugelkoordinaten kann man durch Vergleich der Integrale

  und

  nachweisen.
2.
  Die Definition der Kugelflächenfunktionen lautet

  die der zugeordneten Legendrepolynome

  Daraus folgen die Aussagen

  Die einfachsten Legendrepolynome sind

3.
  Die Definitionen der einfachsten, hier benötigten sphärischen Besselfunktionen sind

4.
  Die analytische Auswertung des Integrals

  erfordert die Schritte: Die erste Sinusfunktion wird mit dem Additionstheorem aufgelöst

  die trigonometrischen Funktionen von werden zusammengefasst und die Integrationsvariable wird umbenannt ()

  Hier erkennt man die Definition des Integralsinus bzw. Integralkosinus und schreibt

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