Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.4

1. Gib die Relationen zwischen dem Strom und den Spannungen an den drei Elementen des Stromkreises an.
2. Kombiniere die Aussagen über die Spannungen bzw. Potentiale, um eine Differentialgleichung für den Strom in dem Stromkreis zu gewinnen.
3. Gewinne mit Hilfe der Fourierdarstellung des Stromes und der (zunächst beliebigen) Eingangsspannung eine formale Lösung der Differentialgleichung für den Strom.
4. Werte die Relation zwischen den Spektralfunktionen für eine harmonische Eingangsspannung aus und bestimme den dadurch definierten Wechselstromwiderstand in dem Stromkreis. Diskutiere.
5. Berechne die Spannung an dem Widerstand

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7.4 Antwort zu H1

Abbildung 0.1: Ein RLC-Stromkreis

Die Spannung an dem Kondensator ist Gemäß der Relation gilt für den über den Kondensator fließenden Wechselstrom

Für die Spannung an dem Ohmschen Widerstand folgt aus dem Ohmschen Gesetz

Die Spannung an der Spule ( infolge der Erdung) wird durch die Selbstinduktion reduziert, so dass nach dem Ohmschen Gesetz hier

gilt.

Kombiniere die Aussagen über die Spannungen bzw. Potentiale, um eine Differentialgleichung für den Strom in dem Stromkreis zu gewinnen.

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7.4 Antwort zu H2

Kombination dieser drei Aussagen bei Elimination der Potentialwerte und ergibt eine Differentialgleichung für den in dem Kreis fließenden Wechselstrom . Man beginnt mit

und setzt

sowie

ein und sortiert. Das Ergebnis lautet

wobei der gesamte Ohmsche Widerstand in dem Stromkreis ist.

Gewinne mit Hilfe der Fourierdarstellung des Stromes und der (zunächst beliebigen) Eingangsspannung eine formale Lösung der Differentialgleichung für den Strom.

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7.4 Antwort zu H3

Um die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung formal zu lösen, benutzt man die Darstellung der Eingangsspannung

und des Stromes

durch Fourierintegrale. Damit findet man

bzw. nach Multiplikation mit und Integration über die Zeit wegen

die algebraische Gleichung

die einen Zusammenhang zwischen den zwei Spektralfunktionen und darstellt.

Werte die Relation zwischen den Spektralfunktionen für eine harmonische Eingangsspannung aus und bestimme den dadurch definierten Wechselstromwiderstand in dem Stromkreis. Diskutiere.

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7.4 Antwort zu H4

Ist so lautet die Spektralfunktion denn es gilt dann

Die Spektralfunktion für den Strom

ergibt nach Multiplikation mit und Integration eine Relation zwischen dem Strom und der Eingangsspannung

Hier kann man den komplexen Wechselstromwiderstand ablesen

Der komplexe Wechselstromwiderstand kann in Betrag und Phase zerlegt werden

wobei

und

sind. Für den Strom erhält man

Der Strom bleibt hinter der Spannung um den Winkel zurück. Es tritt keine Phasenverschiebung auf, wenn

ist. Der Wechselstromwiderstand entspricht für diese Frequenz dem (gesamten) Ohmschen Widerstand in dem Stromkreis.

Berechne die Spannung an dem Widerstand

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7.4 Antwort zu H5

Die Potentialwerte an den Punkten vor und nach dem Widerstand kann man durch

und

darstellen. Benutzt man die Relation zwischen und , so findet man einen Zusammenhang zwischen den zwei Potentialwerten und der Eingangsspannung

Die Spannung an dem Widerstand ist somit

Auch dieses Resultat kann man in der Form

angeben. Mit berechnet man

Die Amplitude der Spannung an dem Widerstand ist proportional zu der Eingangsspannung. Der Proportionalitätsfaktor ist durch das Verhältnis des Widerstandes zu dem Wechselstromwiderstand gegeben. Die Tatsache, dass die Phasenverschiebungen von und dem Strom übereinstimmen, entspricht der anfangs gemachten Aussage

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