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5 Laurentreihen und singuläre Stellen

Eine Funktion, die in einem Bereich regulär ist, kann durch eine Taylorreihe dargestellt werden. Falls in dem Bereich jedoch singuläre Stellen vorhanden sind, muss man die Betrachtungen erweitern. Die einfachste Situation liegt vor, wenn eine Funktion in einem konzentrischen Kreisring um eine Stelle regulär ist, über das Verhalten um die Stelle jedoch nichts bekannt ist. Der Kreisring wird (Abb. 2.7) von zwei positiv orientierten Kurven und mit den Radien gebildet. In dem Ring gilt dann die Laurententwicklung

Abbildung 2.7: Argumentation zur Aufstellung der Laurentreihe

Verbindet man die zwei Kreise über ein Zwischenstück zu einer Kontur , so ist im Innern der Kontur regulär. Man kann somit für eine Stelle im Innern von

schreiben, da das Zwischenstück, das zweimal aber in entgegengesetzter Richtung durchlaufen wird, nicht beiträgt. In dem ersten Integral entwickelt man

da für Punkte auf dem Kreis ist. In dem zweiten Integral, mit Punkten auf dem Kreis entwickelt man entsprechend

Multiplikation mit und Integration ergibt dann die Laurentreihe.

Das folgende Beispiel für die Funktion zeigt in einfacher Auswertung die Anwendungsmöglichkeiten. Ist man an einer Entwicklung in dem Kreisring um mit interessiert, so schreibt man mit Hilfe der geometrischen Reihe

Um eine Reihe zu gewinnen, die für konvergiert, sortiert man

und findet, ebenfalls mit Hilfe der geometrischen Reihe

Man gewinnt zwei verschiedene Entwicklungen in Potenzen von für dieselbe Funktion in verschiedenen Ringgebieten. Entwickelt man hingegen die Funktion nach Potenzen von , so findet man die Laurentreihe

die für konvergent ist.

Singuläre Stellen können anhand der Laurentreihe, die aus einer aufsteigenden und einer absteigenden Potenzreihe besteht, klassifiziert werden. Ist die Funktion an der Stelle singulär, in der Umgebung dieser Stelle jedoch regulär, so liegt eine isolierte singuläre Stelle vor. Man bezeichnet eine isolierte singuläre Stelle als einen Pol k-ter Ordnung, falls der Grenzwert

existiert und nicht gleich Null ist. Die Reihe beginnt dann mit dem Term

Die Funktion besitzt an der Stelle einen Pol zweiter Ordnung, an der Stelle einen Pol erster Ordnung, der auch als einfacher Pol bezeichnet wird. Die in Math.Kap. 2.2.3 gewonnene Entwicklung von um die Stelle

zeigt, dass diese Stelle ein Pol erster Ordnung ist. Läuft die Summe in der Laurentreihe von bis , so liegt an der Stelle eine wesentliche Singularität vor. Ein Beispiel ist die Entwicklung von um die Stelle

Ein anderer Typ von Singularität, der im Zusammenhang mit mehrdeutigen Funktionen auftritt, ist der Verzweigungsschnitt, der anhand von diskutiert werden soll. Man betrachtet die Stellen und , die (für ) kurz ober- und unterhalb (siehe Abb. 2.8) der negativen reellen Achse liegen. Im Grenzfall fallen die Punkte zusammen

für die Funktionswerte gilt jedoch

Wenn man sich der negativen reellen Achse von oben bzw. von unten nähert, erhält man verschiedene Funktionswerte. Es sieht so aus, als ob die Funktion auf dieser Achse nicht stetig ist. Sie wäre dann auch nicht differenzierbar bzw. nicht analytisch. Dies ist jedoch nicht der Fall. Die Funktion ist für alle Werte von , außer für , analytisch.

Abbildung 2.8: Definitionsbereich der Funktion aus der Sicht der negativen reellen Achse (rot)

Zur Erläuterung der Situation muss man den Definitionsbereich von genauer betrachten. Der Definitionsbereich kann als eine unendlichblättrige Riemannsche Fläche angesehen werden. Benachbarte, übereinanderliegende Blätter sind entlang der negativen reellen Achse zusammengeheftet (Abb. 2.8). Man bezeichnet die negative reelle Achse ( ) als Verzweigungsschnitt der Funktion , die Stelle ist, wie schon benannt, ein Verzweigungspunkt. Definiert man als das Hauptblatt, das Blatt auf dem die Argumente der Hauptwerte angesiedelt sind, also -Werte mit , so erkennt man, dass der oben gewählte Punkt auf dem Hauptblatt liegt und im Grenzfall auf diesem bleibt. Der Punkt , der zunächst auch auf dem Hauptblatt lag, verlässt dieses in dem Grenzfall und wechselt auf ein anderes Blatt, nämlich das Blatt, auf dem die -Werte mit zu finden sind. Die oben gefundene ` Singularität` ist also keine wirkliche, sie entsteht nur durch eine inkorrekte Zuordnung der Grenzwerte der Argumente zu den Blättern des Definitionsbereiches der Funktion . Die einzige singuläre Stelle von ist der Verzweigungspunkt bei . Trotzdem ist in Anwendungen - entsprechende Verzweigungsschnitte treten bei allen mehrdeutigen Funktionen auf - Vorsicht beim Umgang mit Verzweigungsschnitten geboten.