## 2 Funktionen von drei und mehreren unabhängigen Veränderlichen

Schon für eine Funktion von drei unabhängigen Veränderlichen

ist die Veranschaulichung schwierig. Der Definitionsbereich ist im Normalfall ein Gebiet (Volumen) des dreidimensionalen Raumes, z.B. das Innere einer Kugel um einen Punkt einschließlich Rand

Zur Darstellung der Funktion benötigt man eine vierte Dimension, die sich zeichnerisch nicht erfassen lässt. Die Funktion würde (in Analogie zu dem Fall von zwei Veränderlichen) eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit, die im vierdimensionalen Raum eingebettet ist, darstellen. Man spricht dann von einer Hyperfläche im . Es gibt in diesem Fall noch zwei Behelfsmethoden, mit denen man eine gewisse anschauliche Darstellung gewinnen kann.
Man denkt sich in jedem Punkt des Definitionsbereiches den Funktionswert angeheftet. Man könnte sich in dieser Weise vorstellen. dass man z.B. eine Temperaturverteilung im Raum wiedergibt

Dies ist ein Beispiel für ein Skalarfeld (siehe Math.Kap. 5.1).
Eine kotierte Projektion von 4 auf 3 Dimensionen ist möglich. Die Gleichung

stellt, in impliziter Form, eine Fläche im dreidimensionalen Raum dar. Anstelle der vorher diskutierten Höhenlinien hat man in diesem Fall Flächenscharen im Raum. Diese Darstellung findet im Allgemeinen jedoch keine Anwendung.
Für Funktionen mit mehr als drei unabhängigen Veränderlichen

ist keine Veranschaulichung mehr möglich. Der Definitionsbereich einer solchen Funktion ist ein Gebiet des -dimensionalen Raumes. Die Funktion selbst stellt eine -dimensionale Hyperfläche in einem dimensionalen Raum dar. Außer der Tatsache, dass man keine zeichnerische Darstellung zur Verfügung hat, ist der Unterschied zu den einfachen Fällen jedoch nicht so groß. Man kann auch in höherdimensionalen, euklidischen Räumen Punkte, Abstände von Punkten etc. betrachten (siehe Math.Kap 3.1.3).
Wie im Fall von Funktionen mit einer unabhängigen Variablen ist auch für Funktionen von mehreren Variablen das Thema `Grenzwerte und Differentiation` von besonderem Interesse.