Lösung der Aufgabe 3.2

Das Koordinatensystem wird so gewählt, das die -Achse mit der Ringachse übereinstimmt (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Das Kreisringproblem

Durch Vergleich der Multipolentwicklung ()

mit den binomischen Entwicklungen des Potentials (Kap. 2.4) auf der -Achse

bestimmt man die Koeffizienten und . Für Punkte auf der Achse mit ist

Die Multipolentwicklungen des Ringpotentials für Punkte mit lautet demnach

Für Punkte auf der Achse mit gewinnt man die binomische Entwicklung

so dass die Multipolentwicklung des Ringpotentials für Punkte mit

lautet. Die Multipolentwicklung in den beiden Raumgebieten schließen für stetig aneinander an. Dabei ist jedoch zu beachten, (siehe Kap. 2.4) dass die Entwicklung für und (das heißt Punkte auf dem geladenen Ring) divergiert. Da in der Multipolentwicklung nur Legendrepolynome mit geradem auftreten, ist das Potential symmetrisch bezüglich der Ringebene (der - Ebene). Die Entwicklung stößt auf numerische Probleme für . Infolge der Konvergenzeigenschaften der binomischen Reihe kann man Punkte in der Umgebung von nur beschränkt wiedergeben. Die Konvergenz (bzw. die mangelnde Konvergenz) ist in Abb. 0.2 noch einmal dargestellt.

Abbildung 0.2: Das Potential auf der Ringachse: Konvergenzverhalten mit

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