Detail 7.9
Die Berechnung der Liénard-Wiechert Felder

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung für eine bewegte Punktladung findet mannigfache Anwendung, z.B. bei der Diskussion der Brems- und der Synchrotonstrahlung sowie bei Streuproblemen. Um die Diskussion in Kap. 7.4.1 nicht mit zu vielen rechnerischen Details zu überfrachten, wird die Herleitung der Grundformeln für die Felder, die den Liénard-Wiechert Potentialen zugeordnet sind, an dieser Stelle abgehandelt.

Die vorliegende Situation kann man folgendermaßen charakterisieren: Eine Punktladung bewegt sich auf einer Bahn Die von der Punktladung erzeugten elektromagnetischen Felder werden an der Stelle registriert (Abb. 7.1).

Abbildung 7.1: Vektoren für die Berechnung der elektromagnetischen Felder einer bewegten Punktladung

Infolge der endlichen Laufzeit der elektromagnetischen Strahlung von dem Punkt zu dem Punkt wird die zu dem Zeitpunkt ausgesandte Strahlung erst zu einem späteren Zeitpunkt registriert.

Zur Berechnung der elektromagnetischen Felder und hat man die Möglichkeiten

(a)
  Benutze die Integraldarstellungen (7.85), (7.86) der elektromagnetischen Potentiale

  |  |  | (1)

  mit dem Differenzvektor (siehe Abb. 7.1)

  und bestimme die Felder über die Relationen

  |  |  | (2)

(b)
  Gehe von den Liénard-Wiechert Potentialen (7.89), (7.90)

  |  |  | (3)

  aus und berechne die Felder über die Relationen (2) wie in (a). Die Zeiten und sind durch die Relation

  | (4)

  verknüpft, deren Auflösung ergibt.

Selbstverständlich müssen die Resultate übereinstimmen, da jedoch die jeweiligen Rechnungen durchaus Eigenheiten aufweisen, werden hier beide Optionen vorgestellt. In beiden Fällen ist es zweckmäßig, die Abkürzungen

|  |  | (5)

zu verwenden, wobei zur Abkürzung der Notation in den Funktionen und zunächst nur das Zeitargument anstelle von benutzt wird. Zu einem späteren Zeitpunkt werden, der Übersichtlichkeit wegen, alle Argumente unterdrückt.

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1 Das elektrische Feld über Methode (a)

Die Anwendung der Relation (2) zur Berechnung des elektrischen Feldes verlangt im ersten Schritt die Bildung des Gradienten und der Zeitableitung der Potentiale. Vorausgesetzt wird dabei die Vertauschung von Differentiation und Integration. Der Gradientenoperator wirkt auf den Nenner in dem Integranden der Darstellung des skalaren Potentials und auf die -Funktion. Man findet

wobei die Ableitung der -Funktion nach dem gesamten Argument darstellt

und der Gradient der Abstandsfunktion wegen

dem Vektor entspricht

| (6)

Die benötigte Zeitableitung des Vektorpotentials ist

Aus den zwei Ableitungen kann man den Ausdruck für das elektrische Feld

zusammensetzen. Um die anstehenden Integrale auszuwerten, ist die Substitution

| (7)

angebracht. Der Ableitung dieser Funktion von (die Koordinaten in der Funktion sind als Parameter zu werten)

entnimmt man die Ableitung der Umkehrfunktion bzw.

Der resultierende Ausdruck für das elektrische Feld

kann direkt integriert werden

Um die Zeit (im Endeffekt) durch die Zeit t darzustellen, muss man die Gleichung nach auflösen.

Zur Berechnung der Ableitung nach der `Variablen` benutzt man die Kettenregel

und erhält

Dieses recht kompakte Ergebnis muss jedoch weiter bearbeitet werden. Da dadurch die Einzelergebnisse einigermaßen länglich werden, wird nun auch die Variable unterdrückt. Man benötigt die Ableitungen

- des Einheitvektors

  |  |  | (8)

  Die angegebene Zusammenfassung folgt aus der Zerlegung des doppelten Vektorproduktes

- des Produktes

  |  |  | (9)

In dem Ausdruck für , in dem die Ableitungen aufgefächert sind

setzt man zunächst die Ableitung von ein und erhält

|  |  | (10)

Der erste Term und ein Teil des dritte Terms in der Klammer können zusammengefasst werden

In dem nächsten Schritt wird die Ableitung (9) von eingesetzt

und sortiert

Wieder können einige der Terme zusammengefasst werden, so in dem ersten und dem zweiten Term je zwei Ausdrücke

Man erhält dann

|  |  | (11)

Der Faktor in dem zweiten Term kann noch als ein doppeltes Vektorprodukt geschrieben werden

In dem Endresultat (11) sind nach der Ersetzung von durch alle auftretenden Größen ( ) Funktionen von und .

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2 Das elektrische Feld über Methode (b)

Ausgangspunkt sind in diesem Fall die Relationen (3), die in der Form

abgekürzt werden. Zur Berechnung der elektromagnetischen Felder kann man (2) direkt anwenden. Bei der Berechnung des Gradienten des Skalarpotentials ist zu beachten, dass die retardierte Zeit eine Funktion von und von ist

Diese Abhängigkeit kommmt bei der Berechnung des elektrischen Feldes ausgehend von der Kirchhoffschen Darstellung nicht zum Zug, da eine Variable ist, nach der in diesem Fall differenziert wird, bevor die Ersetzung vorgenommen wird. Infolge der Abhängigkeit der retardierten Zeit von der Position gilt in dem vorliegenden Fall

Die hier benötigten und direkt berechenbaren Ableitungen sind:

- Der Gradient von (vergleiche (2))

  |  |  | (12)

- Die Zeitableitung (nach ) von

  |  |  | (13)

- Um den Gradienten von

  zu berechnen, muss man ein wenig weiter ausholen. Das totale Differential der impliziten Funktion

  ist

  | (14)

  Da jedoch die partiellen Ableitungen von nach den Koordinaten anzugeben sind, setzt man und erhält z.B. für die Ableitung nach der -Koordinate ( ist die -Komponente von )

  Da entsprechende Resultate für die Ableitungen nach den anderen Koordinaten gelten, folgt

  | (15)

Die Zusammensetzung dieser Einzelaussagen ergibt den Gradienten des skalaren Potentials

bzw. nach Erweiterung des ersten Termes mit und Sortierung

|  |  | (16)

Zur Berechnung der Zeitableitung (nach t) des Vektorpotentials mittels der Kettenregel

benötigt man die partielle Ableitung von nach . Das totale Differential (14) ergibt in diesem Fall (setze )

Der zweite Faktor, die partielle Ableitung des Vektorpotentials nach kann mit Hilfe von (13) und der Relation bestimmt werden

|  |  | (17)

Der angegebene Vorfaktor setzt sich aus den einzelnen Faktoren gemäß

zusammen. Aus den Zwischenresultaten (16) und (17) folgt für das elektrische Feld

das in der Form sortiert wird

|  |  | (18)

sortiert werden kann. Das Resultat (18) stimmt mit dem vorherigen (11) überein.

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3 Berechnung des Magnetfeldes

Die Berechnung des Magnetfeldes wird nur über die Betrachtung der Integraldarstellung ausgeführt. Ausgangspunkt ist die Relation (2)

Der Nablaoperator wirkt nur auf die Funktion . Mit den partiellen Ableitungen ( ist die -Komponente von , vergleiche (6))

erhält man im ersten Schritt

ein Resultat, das wieder mit der Subsitution (7) behandelt wird

Die anstehende Integration wird ausgeführt

und die noch ausstehende Differentiation wird vorbereitet

Man führt zuerst unter Benutzung von (8) die Differentiation von in dem letzten Term aus, benutzt die Auflösung des dreifachen Vektorproduktes

sortiert das Zwischenergebnis

durch Erweiterung des ersten Termes

in der Form

|  |  | (19)

Ein Vergeich mit dem Zwischenergebnis (10) für das elektrische Feld zeigt, dass das elektrische und das magnetische Liénard-Wiechert Feld durch die Relation

| (20)

verknüpft sind.

Um die magnetische Induktion explizit anzugeben, wertet man die verbleibende Ableitung unter Benutzung der schon berechneten Ableitung (12) von aus und erhält

oder, nach weiterer Umschreibung mit ,

|  |  | (21)

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4 Eigenschaften der elektromagnetischen Felder

Einige Eigenschaften der berechneten Felder sind hier aufgeführt

- Das elektrische Feld steht nicht senkrecht auf dem Vektor . Durch explizite Auswertung des Skalarproduktes findet man unter Benutzung des Resultates (11)

- Die magnetische Induktion steht senkrecht auf dem Vektor . Dies folgt aus den zyklischen Eigenschaften des Spatproduktes

Abbildung 7.2: Die Liénard-Wiechert Felder

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