Detail 5.2
Das Magnetfeld eines Ringstromes
Die Berechnung des Magnetfeldes eines von einem stationären Strom durchflossenen Kreisrings für beliebige Raumpunkte ist eine langwierigere Aufgabe. Hier sollen, in Ergänzung zu Buch.Kap. 5.3, die folgenden Detailaufgaben besprochen werden:

(a)
  Berechnung des Vektorpotentials durch Auswertung der Biot-Savart Formel.
(b)
  Berechnung des Magnetfeldes mittels
(c)
  Diskussion des Magnetfeldes für große Abstände von dem Kreisring.
(d)
  Berechnung des Magnetfeldes mit Hilfe einer Multipolentwicklung.

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(a) Das Vektorpotential

Mit den Vorgaben

- Radius des Kreisringes .
- Kugelkoordinaten bei einer Anordnung des Ringes in der - Ebene um den Koordinatenursprung.
- Beschränkung der Berechnung auf Punkte der - Ebene. Unter Ausnutzung der Zylindersymmetrie kann das Potential/Feld in beliebigen Raumpunkten durch Rotation um die -Achse gewonnen werden.

Abbildung 5.1: Magnetfeld eines Stromringes: Geometrie

Mit diesen Vorgaben ist letztlich nur ein Integral für Raumpunkte mit den Koordinaten auszuwerten (Abb. 5.1). Dieses Integral

kann mit Hilfe der Definitionen

in der Form

abgekürzt werden. Zur expliziten Auswertung ist die Substitution mit nützlich. Das Integral, das zur Diskussion ansteht, ist somit

Um dieses Integral zu sortieren, zieht man einen Faktor aus der Quadratwurzel heraus

definiert den Parameter

und erhält, mit Auffächerung, das Zwischenergebnis

| (1)

Man erkennt in dem ersten Integral, bis auf die nicht stimmige obere Grenze, ein elliptisches Integral. Diese Unstimmigkeit kann jedoch korrigiert werden. Die Integranden in der Gleichung (1) sind Funktionen von d.h. es gilt Die Substitution führt mit den Schritten

auf die gewünschten Grenzen für ein vollständiges elliptisches Integral. Das zweite Integral in (1) kann ebenfalls in ein vollständiges elliptisches Integral übergeführt werden. Man benutzt zu diesem Zweck die Umschreibung

und findet für den Integranden des zweiten Integrals

Zusammen mit der Umschreibung der oberen Grenzen erhält man somit für das Integral I eine (täuschend) kompakte Darstellung

|  |  | (2)

durch vollständige elliptische Integrale erster und zweiter Art. Die Definition bzw. die Notation dieser Integrale ist (siehe Band1, Math.Kap. 4.3.4, beachte unterschiedliche Notation: vorzugsweise in der Physikliteratur, in der Mathematikliteratur)

Die elliptischen Integrale entsprechen, wie angegeben, hypergeometrischen Funktionen (siehe Math.Kap. 4.5) mit der Reihenentwicklung

oder in einer alternativen Schreibweise unter Verwendung des sogenannten Pochhammer Symbols

Die Definition dieses Symbols ist

Das Endergebnis für das Vektorpotential lautet somit

|  |  | (3)
|  |  | (4)

Die auftretenden Konstanten sind

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(b) Das Magnetfeld

Zu der Berechnung der magnetischen Induktion kann man kartesische oder Kugelkoordinaten benutzen. Da das Vektorpotential in Kugelkoordinaten vorgegeben ist

| (5)

ist der Weg über diese Koordinaten der direktere. Es soll aber auch aufgezeigt werden, wie die Rechnung in kartesischen Koordinaten durchzuführen ist und dass man (natürlich) das gleiche Ergebnis erhält.
Da die Induktion orthogonal zu dem Vektorpotential ist, hat das Magnetfeld eine Radial- und eine Polarwinkelkomponente. Anwendung des Rotationsoperators in Kugelkoordinaten liefert mit der Vorgabe (5)

wobei mit (3) durch

gegeben ist. Die Berechnung der Komponenten des -Feldes über die Kettenregel ist etwas mühselig. Man benötigt dazu zunächst die Ableitung

und erhält damit

Die Ableitungen von nach den Koordinaten liefern jeweils die zusätzlichen Faktoren

Die Ableitungen des von und abhängigen Vorfaktors ergeben

Diese `Zutaten` sind in die expliziten Ausdrücke für die Komponenten des -Feldes

einzubauen, was jedoch nicht explizit ausgeführt werden soll.
Das Koordinatendreibein der Kugelkoordinaten ist lokal angepasst. Aus diesem Grund muss bei der Benutzung von Kugelkoordinaten `nur` differenziert werden. Arbeitet man mit kartesischen Koordinaten, so ist eine Vorüberlegung notwendig, da eine entsprechende Aussage für das kartesische Koordinatendreibein nicht zutrifft. Um das Magnetfeld in einem beliebigen Raumpunkt zu berechnen, muss man zuerst das Vektorpotential in einem beliebigen Raumpunkt bestimmen. Dies erfordert (siehe Abb. 5.2) eine Drehung des Koordinatensystems um einen Winkel um die -Achse,

Abbildung 5.2: Zur Berechnung des -Feldes in kartesischen Koordinaten:Drehung des Koordinatensystems

sowie (siehe Abb. 5.3) eine entsprechende Anpassung der Radialkoordinate

und des Polarwinkels

Abbildung 5.3: Zur Berechnung des -Feldes in kartesischen Koordinaten: Zerlegung des Vektors

Das Vektorpotential in dem gedrehten Koordinatensystem hat in einem beliebigen Raumpunkt (siehe Abb.5.3) sowohl eine - als auch eine -Komponente

wobei jede der Kugelkoordinaten durch die kartesischen Koordinaten auszudrücken ist. Daraus gewinnt man die kartesischen Komponenten des Magnetfeldes in der Form

Da die Komponenten von zusammengesetzte Funktionen der kartesischen Koordinaten sind

muss man die geforderten Ableitungen mit der Kettenregel berechnen, z.B.

Die anderen Komponenten sind

Auch diese Komponentenzerlegung des Magnetfeldes soll nicht explizit angegeben werden. Es soll aber noch angedeutet werden, wie man die Verbindung mit den Resultaten für das Magnetfeld in Kugelkoordinaten herstellt. Man setzt zu diesem Zweck die Relationen

sowie die angegebene Darstellung der kartesischen Komponenten des -Feldes in

ein und erhält in der Tat

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(c) Das Fernfeld

Das Magnetfeld des Stromringes wird, wie in dem letzten Abschnitt gesehen, durch einen relativ undurchsichtigen Satz von Formeln für die Feldkomponenten beschrieben. Die Resultate werden übersichtlicher, falls der Parameter klein genug ist, also

- für Punkte um die Ringachse mit
- für Punkte um den Koordinatenursprung, die durch charakterisiert sind und
- für Punkte in genügend großer Entfernung von dem Ring mit

In diesem Fall benötigt man nur die Entwicklungen der elliptischen Integrale in den niedrigsten Ordnungen, die man aus der Reihendarstellung der hypergeometrischen Funktion ablesen kann

Für die Kombination dieser Funktionen in (3) findet man bis zu der Ordnung

und somit für das Vektorpotential in dieser Ordnung

Die Komponenten der magnetischen Induktion, die man in dieser Näherung berechnet, sind

Diese Ergebnisse vereinfachen sich weiterhin im Fall des Fernfeldes, in dem man in niedrigster Ordnung in die Näherung

benutzen kann. Damit findet man für die -Komponente des Vektorpotentials

sowie für das -Feld

Der Vorfaktor kann noch durch Einführung des magnetischen Momentes des Kreisringes

vereinfacht werden.

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(d) Multipolentwicklung

Ausgangspunkt ist die Relation (5.25) aus Kap. 5.24

Zu dem Kurvenintegral trägt jedoch nur die -Komponente bei, die zwecks Auswertung mit der Multipolentwicklung in der Form

erweitert wird. Die Multipolentwicklung der Abstandsfunktion (siehe Kap. 3.3 (3.34))

wird für die Variablenwerte (der Ring liegt in der - Ebene) und (Berechnung des Vektorpotentials in der - Ebene) benötigt. Setzt man dies in die Ausgangsform für die -Komponente des Vektorpotentials

ein und führt die einfachen Integrationen über und aus, so erhält man

wobei bzw. die größere bzw. kleinere der Variablen und darstellt. Für die noch anstehende Integration über benutzt man die Definition der Kugelflächenfunktionen

| (6)

und bemerkt, dass

ist. Benutzt man für die Funktion ebenfalls die Definition (6) und sortiert die Faktoren, so verbleibt für die Komponente des Vektorpotentials

Hier werden die Werte der zugeordneten Legendreschen Polynome an der Stelle benötigt. Man entnimmt zunächst Math.Kap. 4.3.3, dass

gilt und stellt fest, so dass der zweite Term in der Klammer gleich dem ersten ist. Notiert man noch (Es ist , mit der Verabredung . Siehe auch M. Abramovitz, I. Stegun: `Handbook of Mathematical Functions` (Dover Publications, New York, 1974))

und fasst alle Faktoren zusammen, so erhält man die Multipolentwicklung des Vektorpotentials

die sowohl für als auch für eingesetzt werden kann. Die ersten Terme dieser Entwicklung sind

bzw. explizit für den Fall

Die Konvergenz der Multipolentwicklung wird in den Abbildungen 5.4-5.6 illustriert. Um die Azimutalsymmetrie anzudeuten, wird der Winkelbereich auf den Bereich bis ausgedehnt. In den drei folgenden Bildern sieht man die Variation des Vektorpotentials mit dem Winkel für verschiedene Werte von . Verglichen wird die Multipolentwicklung bis zu der Ordnung (blau) mit der Entwicklung bis zu der Ordnung (schwarz).

Abbildung 5.4: (a/r)=0.2
Abbildung 5.5: (a/r)=0.5

Abbildung 5.6: (a/r)=0.9

Während für kein wesentlicher Unterschied besteht, wenn man bis zu der Ordnung oder zu der Ordnung entwickelt, unterscheiden sich die zwei Entwicklungen für schon deutlicher an den Stellen . Für den extremeren Wert von ist die Entwicklung bis zu der Ordnung offensichtlich nicht ausreichend. Die Feldkomponente kann direkt berechnet werden, man muss jedoch die zwei Fälle unterscheiden

Für die Berechnung der Feldkomponente benötigt man noch eine Formel für der Ableitung des zugeordneten Legendrepolynoms

die aus der Definition der Funktion

und der Differentialgleichung der Funktionen

folgt. Damit berechnet man direkt

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