Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.1

1. Was folgt aus der Lorentztransformation für die Phase der ebene Welle?
2. Setze die Erkenntnis zur Diskussion des Vierervektors um.
3. Gib die Transformation des Wellenzahlvierervektors für die einfache Lorentztransformation an.
4. Diskutiere die Dopplerverschiebung als Funktion der (verschiedenen) Ausbreitungsrichtungen in den beiden Inertialsystemen.
5. Diskutiere die Aberration, vergleiche das Resultat mit dem nichtrelativistischen Resultat.

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8.1 Antwort zu H1

Für die elektromagnetischen Felder einer ebenen Welle

gelten die Aussagen

Unter einer Lorentztransformation transformieren sich die sechs Feldkomponenten (siehe Kap. 8.5.2)

wie (benutze imaginäre Zeitkoordinate)

Die Lorentztransformation greift nur an den Amplituden an. Dies bedeutet, dass in allen Inertialsystemen die gleiche Phase vorliegen muss.

Setze die Erkenntnis zur Diskussion des Vierervektors um.

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8.1 Antwort zu H2

Betrachtet man neben dem Vierervektor für die Koordinaten

den Vierervektor für die Wellenzahl

so kann man die Invarianz der Phase in der Form

zum Ausdruck bringen. Da sich die Koordinaten wie

transformieren, gilt für die Phase

Der Wellenzahlvierervektor muss sich wie

transformieren. Für das Skalarprodukt gilt

beziehungsweise, da ist

Der Wellenzahlvierervektor ist ein Nullvektor des Minkowskiraumes.

Gib die Transformation des Wellenzahlvierervektors für die einfache Lorentztransformation an.

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8.1 Antwort zu H3

Ein Wellenzahlvektor (Abb. 0.1) mit

Abbildung 0.1: Andeutung einer ebenen Welle aus der Sicht von

aus der Sicht von transformiert sich mit einer Lorentztransformation, die eine Relativbewegung in der -Richtung beschreibt, in

aus der Sicht von . Die ebene Welle breitet sich aus der Sicht des Systems mit einer Dreierwellenzahl parallel zu der - Ebene aus. Die Wellenzahl selbst, die Frequenz und der Winkel in Bezug auf die (gemeisame) -Richtung sind jedoch verschieden. Aus der Vorgabe

entnimmt man die Aussagen

Diskutiere die Dopplerverschiebung als Funktion der (verschiedenen) Ausbreitungsrichtungen in den beiden Inertialsystemen.

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8.1 Antwort zu H4

Die Differenz (bzw. für die eigentlichen Frequenzen) ist die Frequenzänderung, die man aufgrund der Relativbewegung wahrnimmt. Um diese Dopplerverschiebung durch den Winkel im System auszudrücken, benutzt man die Relationen

Mit den berechneten Komponenten von findet man

Auflösung dieser Relation nach der Funktion liefert die Aussage

Die Nullkomponente des Vektors

geht damit in

über. Die Dopplerverschiebung kann somit in der Form

dargestellt werden. In der ersten Gleichung ist die Dopplerverschiebung durch die Frequenz und die Ausbreitungrichtung in dem System dargestellt, in der zweiten durch die entsprechenden Größen in dem System . Die relative Dopplerverschiebung ist in Abb. 0.2 als Funktion des Winkels dargestellt (für ). Man erkennt, dass für diesen Wert der Relativgeschwindigkeit für eine Ausbreitungsrichtung mit eine Rotverschiebung auftritt. Die Welle läuft gleichsam hinter dem bewegten System her. Für Winkel beobachtet man eine Blauverschiebung (die Welle und das System bewegen sich in `Gegenrichtung`). Abbildung 0.3 zeigt (für ) die Transformation zwischen den Winkeln, die die Ausbreitungsrichtung aus der jeweiligen Sicht beschreiben. Winkel mit in dem System ergeben aus der Sicht von eine Welle in der Rückwärtsrichtung

Abbildung 0.2: mit | Abbildung 0.3: mit

Animation der Kurven

(siehe auch Animation).

Diskutiere die Aberration, vergleiche das Resultat mit dem nichtrelativistischen Resultat.

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8.1 Antwort zu H5

Die Relation zwischen den Winkeln für die Ausbreitungsrichtungen der ebenen Wellen aus der Sicht der beiden Systeme

beschreibt die Aberration des Lichtes (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Wellenausbreitung aus der Sicht der zwei Inertialsysteme

Eine alternative Form gewinnt man durch Elimination von aus den Transformationsgleichungen für die Komponenten der Wellenzahl

Das in D.tail 8.1 angegebene Resultat lautet

Der Winkel ist der Winkel, um den die Position eines Sterns verschoben erscheint, wenn sich der Beobachter mit der Geschwindigkeit bewegt. Um dieses Ergebnis mit dem vorliegenden zu vergleichen, muss man die folgenden Punkte beachten:

- Aus der Sicht des `ruhenden Beobachters` ist die Einfallsrichtung des Lichtes . In diesem Fall reduziert sich die relativistische Formel auf

- Der Winkel ist das Komplement des Winkels (Abb. 0.2).

  Abbildung 0.5: Der Aberrationswinkel

  Somit folgt

Für kleine Werte der Relativgeschwindigkeit ist der Unterschied vernachlässigbar klein.

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