### 3 Cauchy Hauptwerte.

Die Situation, dass eine singuläre Stelle des Integranden im Innenbereich des Integrationsintervalles liegt (siehe Abb. 1.19), behandelt man in ähnlicher Weise.

Abbildung 1.19: Singuläre Stellen im Integrationsintervall

Man spart zunächst ein `kleines Intervall` um die singuläre Stelle aus und betrachtet die entsprechenden Grenzwerte

Es ergeben sich drei Möglichkeiten:

1.
  Die beiden Grenzwerte existieren, wenn man und unabhängig voneinander gegen Null gehen lässt. Das uneigentliches Integral ist dann konvergent.
2.
  Ein endlicher Grenzwert existiert nur, wenn man setzt und sich dann sozusagen gleichmäßig der singulären Stelle von beiden Seiten nähert

  Falls dieser Grenzwert existiert, bezeichnet man ihn als den Cauchy- Hauptwert des uneigentlichen Integrales.
3.
  Existiert auch der Cauchy-Hauptwert nicht, so ist das uneigentliche Integral divergent.

Ein Beispiel für ein Integral, das einen Cauchy-Hauptwert besitzt, ist

Abbildung 1.20: Zum Cauchy-Hauptwertintegral

Die zu bestimmende Fläche ist in Abb. 1.20 angedeutet. Die allgemeine Grenzwertbetrachtung erfordert

Die einzelnen Grenzwerte existieren nicht ( ). Betrachtet man jedoch den Fall , so findet man

Der Cauchy-Hauptwert dieses uneigentlichen Integrales existiert.