# 1 Vektorfelder

Mit dem Begriff des Vektorfeldes ist eine Fülle von Möglichkeiten angesprochen. Einige Beispiele aus der Physik und Mathematik sind:

1.
  Der Ortsvektor eines Massenpunktes

  entspricht drei Funktionen von einer Veränderlichen, die die Parameterdarstellung einer Kurve im Raum ergeben.
2.
  Kraftfelder wie z.B. die Gravitationswirkung auf eine Probemasse

  werden durch drei Funktionen von drei Veränderlichen dargestellt. Zur Veranschaulichung dient hier die Zuordnung von Vektorpfeilen zu jedem Punkt eines Gebietes im .
3.
  Ein Satz von drei Funktionen von zwei Veränderlichen

  Man kann ein solches Vektorfeld als die Parameterdarstellung einer Fläche im Raum interpretieren. Explizite Beispiele sind z.B. Kugelflächen und Tori:
  Bei der Parameterdarstellung

  fährt der Endpunkt des Vektors die Oberfläche einer Kugel ab, wenn und in den angegebenen Grenzen variieren. Ein Torus wird durch die Angaben

  beschrieben. Betrachtet man zuerst die Situation in der (rechten) - Ebene, so findet man wegen

  die Parameterdarstellung eines Kreises um den Punkt (Abb. 5.1a). Dieser Kreis wird dann um die -Achse gedreht und ergibt die Ringfläche (Abb. 5.1b).

  Abbildung 5.1: Ein Torus

In der physikalischen Anwendung spielen die Fälle aus offensichtlichen Gründen eine besondere Rolle. Die weitere Diskussion wird sich deswegen in der Hauptsache auf diese Fälle konzentrieren. Die Aufgabe, der man sich in der Vektoranalysis stellen muss, ist die Übertragung der verschiedenen Grenzwertbetrachtungen (Differentiation und Integration) von dem Fall von Skalarfeldern auf den Fall von Vektorfeldern.