Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.2

1. Lege ein Koordinatensystem fest und bestimme die Kräfte, die auf die Ladung wirken.
2. Diskutiere die Art der Gleichgewichtsposition der zentralen Ladung anhand der potentiellen Energie.
3. Berechne die Kraft auf die Ladung und die potentielle Energie der Ladung für den Fall einer Auslenkung senkrecht zu der Dreiecksebene.
4. Stelle die Bewegungsgleichung für eine Bewegung um den Koordinatenursprung unter dem Einfluss der berechneten Kraft auf und gib die Lösung an.
5. Berechne die Abstände eines Punktes mit den Koordinaten von den drei Ladungen im Teil (ii) der Aufgabe in kartesischen und Kugelkoordinaten und gib das Potential in diesem Punkt an.
6. Betrachte das Potential für den Grenzfall, dass der Abstand gegen Null geht bzw. sehr groß wird.
7. Berechne und diskutiere den Vektor des entsprechenden elektrischen Feldes in der Zerlegung in Kugelkoordinaten und in kartesischer Zerlegung.

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2.2 Antwort zu H1

Man legt das Koordinatensystem so, dass der Ursprung des Systems mit der Ladung im Zentrum des Dreiecks zusammenfällt und eine der Ladungen auf der -Achse liegt (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Wahl eines Koordinatensystems

Für die Position der drei Ladungen gilt dann

Für die Kräfte auf die zentrale Ladung gilt

da der Abstand jeder der drei Ladungen von dem Zentrum ist. Für die Vektorsumme der Kräfte folgt

Die Ladung -q befindet sich in einem Gleichgewichtspunkt.

Diskutiere die Art der Gleichgewichtsposition der zentralen Ladung anhand der potentiellen Energie.

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2.2 Antwort zu H2

Um die Frage zu beantworten, ob das Gleichgewicht stabil oder instabil ist, ist es zweckmäßig, das Potential bzw. die potentielle Energie zu betrachten. Für die Gleichgewichtssituation ist das Potential im Koordinatenursprung

bzw. die Lageenergie der zentralen Ladung

Verschiebt man die positive Ladung in die Stelle so sind die Abstände von den Ladungen in den Endpunkten (siehe Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Verschiebung der zentralen Ladung

mit und Entwickelt man die inversen Abstände bis zur zweiten Ordnung in den infinitesimalen Größen, so findet man

Damit erhält man für die Veränderung des Potentials

da sich die Terme in der ersten (und teilweise in der zweiten) Ordnung herausheben. Die zusätzliche potentielle Energie ist somit für alle kleinen Verschiebungen der Ladung aus der Gleichgewichtssituation negativ

Die potentielle Energie nimmt bei allen Verschiebungen in der - Ebene ab (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Die potentielle Energie der Zentralladung bezogen auf

Der Gleichgewichtspunkt ist labil.

Berechne die Kraft auf die Ladung und die potentielle Energie der Ladung für den Fall einer Auslenkung senkrecht zu der Dreiecksebene.

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2.2 Antwort zu H3

Wird die Ladung in der Richtung senkrecht zu der Dreiecksebene (der -Richtung) ausgelenkt, so gilt für die Abstände

Aus der potentiellen Energie (Abb. 0.4)

Abbildung 0.4: Die potentielle Energie der Zentralladung bezogen auf

berechnet man die -Komponente der Kraft auf die Ladung

bzw. für kleine Auslenkungen aus der Dreiecksebene

Es liegt eine rücktreibende Kraft vor.

Stelle die Bewegungsgleichung für eine Bewegung um den Koordinatenursprung unter dem Einfluss der berechneten Kraft auf und gib die Lösung an.

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2.2 Antwort zu H4

Die Bewegungsgleichung für eine Bewegung in der -Richtung lautet

Dies ist eine Oszillatorgleichung mit der (allgemeinen) Lösung

Die Kreisfrequenz ist

Daraus ergibt sich für die Periode der Schwingung

Berechne die Abstände eines Punktes mit den Koordinaten von den drei Ladungen im Teil (ii) der Aufgabe in kartesischen und Kugelkoordinaten und gib das Potential in diesem Punkt an.

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2.2 Antwort zu H5

Die Abstände eines Punktes mit den Koordinaten von den drei Ladungen sind

Die Abstände kann man durch die Größen (Abstand vom Ursprung) und (Polarwinkel) darstellen (Abb. 0.5).

Abbildung 0.5: Geometrie des gestreckten Quadrupols

Einfache Manipulation ergibt

Das Potential ist

Äquipotentiallinien sind in Abb. 0.6 angedeutet.

Abbildung 0.6: Äquipotentiallinien des gestreckten Quadrupols

Betrachte das Potential für den Grenzfall, dass der Abstand gegen Null geht bzw. sehr groß wird.

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2.2 Antwort zu H6

Falls der Abstand gegen Null geht oder sehr groß wird, kann man die inversen Abstände und mittels der binomischen Formel entwickeln (bis zu der Ordnung )

und erhält für das Potential

Das exakte Resultat für das Potential und die Näherung für werden in Abb. 0.8 für und verglichen. Offensichtlich ist die Näherung für nicht ausreichend, für hingegen schon.

Abbildung 0.7: Das Potential des gestreckten Quadrupols als Funktion von , exakt (blau), Näherung (rot)

Abbildung 0.8: Das Potential des gestreckten Quadrupols als Funktion von , exakt (blau), Näherung (rot)

Berechne und diskutiere den Vektor des entsprechenden elektrischen Feldes in der Zerlegung in Kugelkoordinaten und in kartesischer Zerlegung.

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2.2 Antwort zu H7

Das entsprechende elektrische Feld bei einer Zerlegung in Kugelkoordinaten ist

Es ist (infolge der Zylindersymmetrie) unabhängig von dem Azimutalwinkel . Mit

erhält man die kartesische Zerlegung (Faktoren in Kugelkoordinaten)

Die Kombination gibt die Zylindersymmetrie wieder. Eine Andeutung der Feldverteilung zeigt die Abb. 0.9 für Punkte auf einem Kreis um den Ursprung in der - Ebene.

Abbildung 0.9: Vektoren des Fernfeldes des gestreckten Quadrupols

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