Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.1

1. Wie berechnet man das Vektorpotential und die magnetische Induktion in dieser Aufgabe?
2. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und bereite die Berechnung des Vektorpotentials vor.
3. Werte die Formel für das Vektorpotential aus.
4. Berechne die magnetische Induktion.
5. Berechne die Wechselinduktion für Drähte mit einer endlichen Länge.
6. Betrachte den Grenzfall unendlich langer Drähte.

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6.1 Antwort zu H1

Für dünne Leiter, die von einem Strom der Stärke durchflossen werden, kann man das Vektorpotential über die Biot-Savart Form

berechnen. Das Vektorpotential von zwei Leitern ergibt sich dann durch Superposition

das zugehörige -Feld aus der Formel

Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und bereite die Berechnung des Vektorpotentials vor.

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6.1 Antwort zu H2

Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die vorgegebenen geraden Leiter in der - Ebene im Abstand von der -Achse verlaufen (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Leitergeometrie: - Ebene

Das -Feld hat dann nur Komponenten in der - Ebene (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Feldgeometrie: - Ebene

Die infinitesimalen Leiterelemente haben jeweils die Form

Die Position dieser Elemente kann mit

angegeben werden. Wegen der Translationssymmetrie des Problems ist das Vektorpotential unabhängig von der Koordinate . Man kann somit den Feldpunkt in die - Ebene legen

Für die Abstandsfunktionen gilt unter dieser Voraussetzung (Abb. 0.3)

und

Abbildung 0.3: Zur Berechnung des Vektorpotentials

Das gesamte Vektorpotential der beiden geraden Leiter ist somit

wobei die Abkürzungen

benutzt werden.

Werte die Formel für das Vektorpotential aus.

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6.1 Antwort zu H3

Da die anstehenden Integrale von bis zu nehmen sind, ist es zweckmäßig, uneigentliche Integrale für jeden der Leiter in dem Intervall bis anzusetzen und dann den Grenzübergang zu vollziehen. Man benutzt das Integral

Damit erhält man für den Betrag des Vektorpotentials

Der erste Term trägt in dem Grenzfall (wegen ) nicht bei, der zweite ist von dem Grenzübergang nicht betroffen und ergibt (benutze )

Berechne die magnetische Induktion.

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6.1 Antwort zu H4

Die magnetische Induktion kann mittels

berechnet werden. Die Ableitungen der -Komponente des Vektorpotentials sind

Eine Illustration der magnetischen Induktion zeigt Abb. 0.4.

Abbildung 0.4: Das Feldlinienbild der magnetischen Induktion

Berechne die Wechselinduktion für Drähte mit einer endlichen Länge.

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6.1 Antwort zu H5

Die Berechnung der Wechselinduktion verlangt die Auswertung des Integrals (siehe Kap. 6 (6.6))

Die infinitesimalen Leiterelemente sind

der Abstand der Leiterelemente ist (Abb. 0.5)

Abbildung 0.5: Leitergeometrie

Betrachtet man Leiterstücke der Länge (von bis ), so ist das Integral

zu berechnen. Zur Auswertung der Integrale sind die Optionen

(a)
  direkte Auswertung

(b)
  Substitution

möglich. Das Resultat der Integration

kann man mit der Relation

in einer alternativen Form darstellen. Für die Wechselinduktion findet man dann

Betrachte den Grenzfall unendlich langer Drähte.

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6.1 Antwort zu H6

In dem Grenzfall die Länge der Drähte ist größer als deren Abstand, ist

In dem nichtlogarithmischen Anteil dominiert der Beitrag in

so dass man

erhält. Sowohl das exakte Resultat als auch die Näherung zeigen, dass man nicht in der Lage ist, eine Wechselinduktion pro Längeneinheit zu definieren. Dies ist nur möglich, wenn proportional zu ist. Für die vorliegende Situation ist der Grenzwert von immer noch unendlich. Die Ausgangsgleichung (Kap. 6 (6.6)) wurde unter der Voraussetzung hergeleitet, dass ein Beitrag von einer unendlich fernen Oberfläche vernachlässigt werden kann. Dies trifft nicht zu, wenn sich die Leiter bis ins Unendliche erstrecken. An diesem Sachverhalt ändert sich nichts, wenn man versucht, das Problem zu umgehen, indem man die symmetrische Form

ansetzt. (Bitte überprüfen!)

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