Detail 4.5
Die Kapazität eines Kugel- und eines Zylinderkondensators
Die Kapazität einer Anordnung von Metallflächen ist durch das Verhältnis von Ladung zu Spannung gegeben. Für geometrisch einfache Anordnungen kann man das Potential in dem Raum zwischen den Flächen und somit die Spannung recht direkt berechnen.

#### (a) Der Kugelkondensator, einfache Potentialberechnung

Ein Kugelkondensator (vergleiche Kap. 1.4, S.31) besteht aus einer inneren Metallkugel mit Radius und einer konzentrischen, äußeren Metallschale mit dem Innenradius . Die innere Metallkugel trägt die Ladung die konzentrische, äußere Metallschale wird auf einem konstanten Potential gehalten (Abb. 4.1).

Abbildung 4.1: Schnitt durch einen Kugelkondensator

Die Berechnung des Potentials in dem Zwischenraum, ein einfaches Dirichletproblem, kann man durchführen, indem man auf die Ergebnisse für das elektrische Feld des Kugelkondensators aus Kap. 1.4 zurückgreift

und das Potential per Kurvenintegration bestimmt. Es ist bei Integration von nach in Radialrichtung

Mit der Festlegung des Potentials auf der zweiten Kugelfläche folgt

für das Potential in dem Zwischenraum. Ein alternativer Weg zu diesem Resultat durch Adaption der in Kap. 4.3 gewonnene Lösungsformel für ein kugelsymmetrisches Dirichletproblem (jedoch mit verschiedenen Randbedingungen) wird in dem Abschnitt (b) vorgestellt. Eine direkt verwertbare Dirichletformel für den Kugelkondensator würde auf der Vorgabe von Potentialwerten auf zwei Kugelflächen mit endlichem Radius beruhen.

#### (b) Der Kugelkondensator, alternative Potentialberechnung

Ausgangspunkt ist die in Kap. 4.3 erarbeitete Lösungsformel (4.33)

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die die Situation beschreibt, dass das Potential auf einer Kugelfläche mit dem Radius und die Ladungsdichte in dem Gebiet mit vorgegeben sind. Um diese Formel für die Berechnung des Potentials des Kugelkondensators mit den Radien anzuwenden, muss man den Radius mit dem äußeren Radius des Kugelkondensators identifizieren und das elektrische Feld für so einrichten, dass scheinbar die Ladung auf einer Kugelschale mit dem Radius verteilt ist. Man erreicht dies, indem man im Ursprung eine Punktladung mit anbringt und für die Wahl trifft. Auf diese Weise wird das Kondensatorfeld simuliert. Man gibt nun auf der Kugelfläche mit dem Radius den Potentialwert vor, muss aber beachten, dass die Richtung des Normalenvektors, der ursprünglich in Richtung des Mittelpunktes der konzentrischen Kugelflächen zeigte, umzukehren ist, da das Gebiet mit nun das Außengebiet des Problems darstellt (Abb. 4.2). Mit diesen Ersetzungen erhält man anstelle von (1) die Relation

Die Auswertung liefert das gleiche Resultat wie in Teil (a)

Abbildung 4.2: Die Modifikation des Dirichletproblems aus Kap. 4.3 zur Diskussion des Kugelkondensators ( )

Eine schnörkellose Lösung dieses Dirichletproblems findet man in Aufg. 4.4 nach der Aufbereitung der allgemeinen Lösungsformel für die Vorgabe von Potentialwerten auf zwei Kugelflächen mit endlichen Radien.

#### (c) Der Zylinderkondensator

Die Berechnung der Kapazität jeder Kondensatoranordnung erfordert die Berechnung der Spannung zwischen den zwei Metallflächen des Kondensators. Für die einfache Zylindergeometrie ist die Anwendung des Gaußtheorems plus einfache Kurvenintegration ausreichend. Der Zylinderkondensator besteht aus einem Metallzylinder mit dem Radius , der Länge und der Ladung , der von einem konzentrischen Hohlzylinder aus Metall mit dem Innenradius (Länge ) umgeben ist (Abb. 4.3).

Abbildung 4.3: Zylinderkondensator: Ansicht

Als Gaußfläche wird die Oberfläche eines Zylinders in dem Zwischenraum gewählt. Es gilt , mit der Flächennormalen . Bei Vernachlässigung der Randeffekte erhält man für das Feld zwischen den beiden Zylindern gemäß dem Gaußtheorem aufgrund der Symmetrie

Die entsprechende Spannung zwischen den Zylindern erhält man durch Integration entlang der Radialrichtung (Abb. 4.4)

Abbildung 4.4: Zylinderkondensator: Querschnitt

Die Kapazität dieser Anordnung ist somit gemäß der Definition

Bei festen Werten der Parameter und nimmt die Kapazität des Zylinderkondensators in Abhängigkeit von in der in Abb. 4.5 angedeuteten Weise ab.

Abbildung 4.5: Die Kapazität ( ) des Zylinderkondensators als Funktion des Außenradius bei festem Innenradius

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