4.6 Die Greenschen Sätze in zwei Raumdimensionen
Das Divergenztheorem ist im dreidimensionalen Raum definiert. Man kann, z.B. im Zusammenhang mit dem in Aufg. 4.5 diskutierten Problem einer Greens Funktion über einem zweidimensionalen Bereich, die Frage stellen, wie das Divergenztheorem und die Greenschen Sätze in einer zweidimensionalen Welt aussehen. Diese Reduktion soll hier explizit erarbeitet und eine kurze Anwendung skizziert werden.
Aufgabenstellung
Zeige durch explizite Betrachtung der Situation in kartesischen und Zylinderkoordinaten (oder Kugelkoordinaten), dass sich das Divergenztheorem in der dreidimensionalen Welt

auf die Form

reduziert, wenn die dreidimensionale Vektorfunktion auf eine zweidimensionale in der - Ebene reduziert wird

Gib das erste und das zweite Greensche Theorem an und schreibe die resultierende Lösungsformel des zweidimensionalen Potentialproblems mit der Greensfunktion für die in Aufg. 4.5 angegebene Geometrie

im Fall von Dirichletrandbedingungen aus.

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

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