Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.5

1. Bestimme mit der Gleichung (6.15) aus Kap. 6.2 die Verschiebungsstromdichte in dem Kondensator ohne Füllung.
2. Berechne anhand der Verschiebungsstromdichte und des Ampèreschen Gesetzes die magnetische Induktion für den Kondensator ohne Füllung.
3. Wie berechnet man den Verschiebungsstrom für den Kondensator mit Füllung?
4. Wie kommt wegen der Füllung die magnetische Feldstärke ins Spiel?
5. Berechne das -Feld für den Kondensator mit Füllung. Kommentiere.

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6.5 Antwort zu H1

Die Verschiebungsstromdichte ist definiert durch (siehe Kap. 6.2 (6.15))

Wählt man die -Richtung wie in Abb. 0.1 angedeutet, so ist die dielektrische Verschiebung in einem Plattenkondensator ohne Füllung

= ?

Dies folgt durch Auswertung der Relation

Abbildung 0.1: Koordinatenwahl

In dem vorliegenden Problem wird die Spannung und damit die Ladung gemäß dem Sinusgesetz verändert. Benutzt man (siehe Kap. 4.4 (4.34))

so findet man für den Betrag des -Feldes
D = ?

bzw. für dessen Zeitableitung

und somit für den Betrag der Verschiebungsstromdichte

Berechne anhand der Verschiebungsstromdichte und des Ampèreschen Gesetzes die magnetische Induktion für den Kondensator ohne Füllung.

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6.5 Antwort zu H2

Das -Feld in dem Plattenkondensator berechnet man mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes in Integralform

Infolge der Zylindersymmetrie ergibt das Kurvenintegral für einen Kreis mit Radius um die Zylinderachse

Bei der Angabe des Integrals über die zugehörige Kreisfläche ist zu beachten, dass bei Vernachlässigung von Streueffekten die Verschiebungsstromdichte nur zwischen den Kondensatorplatten von Null verschieden ist. Aus diesem Grund findet man für

bzw. für

Damit lautet der Betrag des -Feldes

Die magnetische Induktion steigt von der Kondensatorachse aus in radialer Richtung zunächst linear an und fällt außerhalb des Kondensators mit ab. Die Richtung des Feldes ist tangential an Kreise um die Kondensatorachse. Die Orientierung des Feldes ändert sich mit der Phase der Plattenspannung.

Wie berechnet man den Verschiebungsstrom für den Kondensator mit Füllung?

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6.5 Antwort zu H3

Benutzt man die Relationen

und, im Fall eines Plattenkondensators,

so findet man, ausgehend von

die Aussage

sowie

also

Alternativ kann man argumentieren, dass in einem Kondensator mit Füllung

gilt. Da vorgegeben ist, folgt

und somit über

und die Definition von das gleiche Ergebnis.

Wie kommt wegen der Füllung die magnetische Feldstärke ins Spiel?

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6.5 Antwort zu H4

Das Ampèresche Gesetz lautet bei Abwesenheit von wahren Strömen

Die Materialgleichung

ist eine lokale Aussage. Sie gilt in dieser Form für Punkte in dem Kondensator. Außerhalb des Kondensators hat man immer noch

Berechne das -Feld für den Kondensator mit Füllung. Kommentiere.

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6.5 Antwort zu H5

Man kann nach dem Übergang zu der Integralform des Ampèreschen Gesetzes schreiben

falls die Kurve in dem Kondensator verläuft bzw.

falls die Kurve außerhalb des Kondensators verläuft (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2
Stokeskurve im Außenbereich | Stokeskurve im Innenbereich

In jedem der Fälle ist (bei Vernachlässigung von Streueffekten) nur innerhalb des Kondensators von Null verschieden und es ist

Man findet somit

Die Radialabhängigkeit der magnetischen Induktion ist die gleiche wie im Fall ohne Füllung. Die Füllung äußert sich durch elektrische und magnetische Faktoren im Innern des Kondensators, während im Außenbereich nur ein elektrischer Faktor auftritt.

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