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4 Reihenentwicklungen analytischer Funktionen

Anhand der Cauchy Integralformeln kann man zeigen, dass analytische Funktionen durch Potenzreihen in der Form

dargestellte werden können. Diese Reihe konvergiert (gleichmäßig) innerhalb des größtmöglichen Kreises um , der noch in dem Regularitätsgebiet der Funktion liegt.

Schreibt man

so kann man bei geeigneter Wahl der Zwischenstelle , so dass

ist, die Entwicklung für die geometrische Reihe einsetzen

Da diese Reihe (gleichmäßig) konvergiert, kann man sie, nach Multiplikation mit gliedweise integrieren

wobei die Kontur die Stellen und umschließt, und erhält die angegebene Taylorentwicklung. Die Reihe konvergiert innerhalb eines Kreises um , in dem analytisch ist. Ist die am nächsten gelegene Stelle, für die das nicht zutrifft, dann ist der Konvergenzradius .

Einen breiten Raum könnte in der weiteren Diskussion das Prinzip der analytischen Fortsetzung einnehmen, das besagt: Ein Gebiet hat mit einem Gebiet ein Teilgebiet gemeinsam. In ist eine Funktion gegeben. Es kann dann in nur eine einzige Funktion geben, die in mit übereinstimmt. Die beiden Funktionen bezeichnet man als analytische Fortsetzungen voneinander. In Bezugnahme auf die Diskussion der elementaren Funktionen in Math.Kap. 2.2 kann man in diesem Sinn sagen: Wenn eine reelle Funktion ins Komplexe analytisch fortsetzbar ist, so ist dies nur auf eine einzige Art möglich.