# 2 Grundrechenarten

Die Aussage bezüglich der vier Grundrechenarten lautet: Mit komplexen Zahlen kann man formal wie mit reellen Zahlen rechnen.
Bei der Addition und Subtraktion werden Real- und Imaginärteil getrennt addiert bzw. subtrahiert

Die graphische Darstellung der Addition ist in Abb. 7.2 angedeutet.

Abbildung 7.2: Addition zweier komplexer Zahlen

Die Multiplikation entspricht, unter der Benutzung von , der Anwendung des Distributivgesetzes

Die Division kann dann, wie üblich, als Umkehrung der Multiplikation definiert werden. Die Gleichung mit unbekanntem entspricht zunächst

Vergleich von Real und Imaginärteil ergibt

| (3)

sowie durch Auflösung nach

| (4)

Man gewinnt das gleiche Ergebnis, indem man den Bruch in geeigneter Weise erweitert

und Zähler und Nenner nach der Multiplikationsregel berechnet

Division durch die komplexe Zahl ist natürlich nicht sinnvoll.
Die angegebenen Regeln für die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen reduzieren sich auf die entsprechenden Regeln für reelle Zahlen falls der Imaginärteil von den Größen und verschwindet. Die üblichen Erweiterungen, wie z.B. das Potenzieren einer komplexen Zahl mit einer natürlichen Zahl , mit der Rechenregel

ergeben sich durch konsequente Anwendung der Grundrechenarten.
Neben der angedeuteten kartesischen Darstellung der komplexen Zahlen ist die trigonometrische Darstellung (Abb. 7.3) nützlich, insbesondere auch für die Visualisierung von Multiplikation und Division.

Abbildung 7.3: Trigonometrische Zerlegung der komplexen Zahl

den Imaginärteil von durch

In diesem Fall stellt man den Real- und dar. Diese Darstellung ist für jedes reelle Zahlenpaar möglich. Die Umkehrung dieser Relationen für den Übergang von der kartesischen in die trigonometrische Darstellung lautet

Die Größe bezeichnet man als den Betrag der komplexen Zahl . Neben dem Betrag benötigt man zur Charakterisierung der komplexen Zahlen den Winkel . Die trigonometrische Zerlegung entspricht (vergleiche Buch.Kap. 2.4) der Benutzung von ebenen Polarkoordinaten im .
Für diverse Grenzwertbetrachtungen im Komplexen benötigt man das Konzept des Abstandes zweier komplexer Zahlen. Eine natürliche Definition dieser Größe ist der Betrag der Differenz (Abb. 7.4)

Abbildung 7.4: Abstand zweier komplexer Zahlen

Mit der trigonometrischen Darstellung findet man für die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen

nach Ausmultiplizieren und Anwendung der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus

Es ist also

Abbildung 7.5: Das Produkt zweier komplexer Zahlen

In der trigonometrischen Darstellung ist das Produkt durch die Angaben charakterisiert: Der Betrag des Produktes ist das Produkt der Beträge, der Winkel ist die Summe der Winkel (Abb. 7.5).
Für die Division findet man

das heißt

In der komplexen Ebene ergibt sich somit für die Division die in Abb. 7.6 dargestellte Situation.

Abbildung 7.6: Division komplexer Zahlen

Ist insbesondere , so gilt

Die Inverse einer komplexen Zahl erhält man durch Spiegelung des Punktes am Einheitskreis und anschließende Spiegelung an der reellen Achse (die Reihenfolge ist vertauschbar).
Eine weitere Operation, die oft benutzt wird, ist die komplexe Konjugation

in trigonometrischer Form

Abbildung 7.7: Komplexe Konjugation

Dies entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse (Abb. 7.7). Offensichtlich ist das Produkt eine reelle Zahl.
Die mehrfache Anwendung der Multiplikationsregel ergibt die Moivre-Formel

Wendet man auf den binomischen Satz an und trennt Real- und Imaginärteil, so gewinnt man eine Darstellung von und durch Potenzen von und , so z.B. im einfachsten Fall

Man kann hier die oft benutzten Relationen für den doppelten Winkel ablesen. In gleicher Weise kann man entsprechende Formeln für die trigonometrischen Funktionen mit dem dreifachen, vierfachen, Winkel relativ leicht erzeugen.