Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.12

1. Notiere die zuständigen Maxwellgleichungen und die Voraussetzungen.
2. Führe geeignete Abkürzungen und Koordinaten ein und schreibe die Maxwellgleichungen explizit aus.
3. Sortiere die detaillierten Maxwellgleichungen in zwei Gruppen.
4. Gib die relevanten Bestimmungsgleichungen für die TM-Moden an.
5. Gib die relevanten Bestimmungsgleichungen für die TE-Moden an.
6. Was kann man bezüglich Randbedingungen bemerken?

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7.12 Antwort zu H1

Zu betrachten sind die Maxwellgleichungen

Die Voraussetzungen entsprechen den Ansätzen:

1. Alle Größen haben die Zeitabhängigkeit

   es liegt also eine monochromatische Situation vor.
2. Es gilt das Ohmsche Gesetz in dem Leiter

   sowie
3. die einfachen Materialgleichungen

Unter diesen Voraussetzungen gehen die Ausgangsgleichungen in

über.

Führe geeignete Abkürzungen und Koordinaten ein und schreibe die Maxwellgleichungen explizit aus.

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7.12 Antwort zu H2

Zur Abkürzung der Notation in

führt man die Größen

ein. Die Leitfähigkeit hat einen hohen Zahlenwert ( ), so dass im Innern des Leiters und außerhalb des Leiters ist. Infolge der vorgegebenen Geometrie benutzt man für die weitere Diskussion Zylinderkoordinaten. Die Symmetrie bedingt auch, dass die Feldgrößen Funktionen von und alleine sind, da die Anschlussbedingungen nicht auf ansprechen. Die Komponenten der Maxwellgleichungen nehmen deswegen die Form

an.

Sortiere die detaillierten Maxwellgleichungen in zwei Gruppen.

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7.12 Antwort zu H3

Die sechs Gleichungen separieren in zwei Gruppen. In der ersten Gruppe treten nur die Feldkomponenten

in der zweiten nur die Komponenten

auf. Die erste Gruppe entspricht der Klassifikation transversal magnetisch (TM) des Hohlleiterproblems, die zweite der Bezeichnung transversal elektrisch (TE).

Gib die relevanten Bestimmungsgleichungen für die TM-Moden an.

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7.12 Antwort zu H4

Für jedes der Systeme kann man die weiteren Komponenten durch die transversalen darstellen. Für das TM-System gilt z.B.

Setzt man diese Relation in die dritte Gleichung ein, so gewinnt man eine Bestimmungsgleichung für

Außerhalb des Leiters ist

Gib die relevanten Bestimmungsgleichungen für die TE-Moden an.

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7.12 Antwort zu H5

Für das TE-System findet man entsprechend

sowie die Bestimmungsgleichung

Was kann man bezüglich Randbedingungen bemerken?

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7.12 Antwort zu H6

Bei der Lösung dieser Differentialgleichungen sind die üblichen Randbedingungen im Außenbereich des Drahtes

und die Anschlussbedingungen auf der Drahtoberfläche für die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes und der magnetischen Feldstärke
Stetigkeit von und Stetigkeit von
zu berücksichtigen.

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