Lösung der Aufgabe 7.1

Für die an dem Kondensator anliegende Spannung und Ladung gilt die Relation

wobei und den Potentialwerten auf den Kondensatorplatten entsprechen (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Der RC-Stromkreis

Der (als Verschiebungsstrom) durch den Kondensator fließende Strom ist somit

An dem Widerstand liegt die Spannung an. Es fließt also nach dem Ohmschen Gesetz der Strom

Kombination der beiden Aussagen, liefert die Differentialgleichung

Die Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung ist

Sie beschreibt in dem abklingenden Term den Einschaltvorgang sowie in dem zweiten Term die Respons des Stromkreises auf die anregende Spannung. Die Langzeitrespons ist gegenüber der anregenden Spannung phasenverschoben. Definiert man

so findet man

Die Amplitude von ist gegenüber der anregenden Spannung um den Faktor

reduziert (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung des RC-Stromkreises

Die Integrationskonstante wird durch die Anfangsbedingung festgelegt, z.B. wie in der Aufgabenstellung gefordert durch Daraus würde folgen

Die Stromstärke für große Zeiten

erlaubt die Definition des effektiven Widerstandes

Der Kondensator bedingt einen zusätzlichen Widerstand (einen Wechselstromwiderstand), der in dem Grenzfall unendlich groß wird: Durch den Kondensator kann kein Gleichstrom fließen.
Setzt man die anfängliche Wechselspannung in der Form

an, wobei der Realteil dieser Funktion den eigentlichen Zeitablauf beschreibt, so geht die Differentialgleichung

mit dem naheliegenden Ansatz

in eine algebraische Gleichung über

Sortierung ergibt

| (1)

Die spezielle Lösung kann auch in der Form

notiert werden. Definiert man durch

einen Wechselstromwiderstand so ist wegen dieser Widerstand

Es ist somit

Zur Veranschaulichung benutzt man eine Darstellung in der komplexen Zahlenebene, in der die komplexe Spannung durch den Ohmschen Widerstand und die komplexe Spannung durch den kapazitiven Widerstand aufgetragen wird. Die beiden Spannungen stehen infolge des Faktors senkrecht aufeinander (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Der zeitliche Verlauf der komplexen Spannungswerte
|  |  |  |  |

Die Ausgangsspannung ist gegenüber um den Winkel phasenverschoben. Sie entspricht der Summe der beiden komplexen Spannungswerte. Die Zeitentwicklung der Lösung entspricht einer Drehung des Diagramms mit der Winkelgeschwindigkeit um den Nullp

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