Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.2

1. Unterteile die Spule zur Berechnung der magnetischen Induktion in infinitesimale Segmente. Bestimme den effektiven Strom in einem Segment.
2. Gib einen Ausdruck zur Berechnung der gesamten magnetische Induktion auf der Achse an.
3. Führe die Rechnung für die magnetische Induktion aus.
4. Diskutiere die Funktion . Betrachte markante Punkte.

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5.2 Antwort zu H1

Man unterteilt die Spule der Länge in Segmente, in denen der effektive Strom fließt. Wählt man das Koordinatensystem so, dass die Spulenachse die -Achse darstellt (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Segmentierung der Spule

und ein Ring mit der Breite an der Stelle angebracht ist, so lautet der Beitrag dieses Ringstroms zu der magnetischen Induktion an der Stelle auf der Spulenachse

Der effektive Strom in dem Ring ist gleich dem gesamten Spulenstrom pro Längeneinheit multipliziert mit der `Ausdehnung` des Ringes

Gib einen Ausdruck zur Berechnung der gesamten magnetische Induktion auf der Achse an.

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5.2 Antwort zu H2

Um die Beiträge aller infinitesimaler Ringströme zu erhalten, integriert man von bis wenn man sich auf ein Koordinatensystem bezieht, in dem der Ursprung in die Mitte der Spule gelegt wird. Die gesamte magnetische Induktion ist dann

Führe die Rechnung für die magnetische Induktion aus.

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5.2 Antwort zu H3

Das anstehende Integral ist elementar. Man erhält mit der Substitution

Diskutiere die Funktion . Betrachte markante Punkte.

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5.2 Antwort zu H4

Um die Funktion zu diskutieren, betrachtet man die magnetische Induktion z.B. an den Stellen

Man findet

Es gilt

Die magnetische Induktion fällt von der Spulenmitte an nach außen ab. Eine Darstellung der Variation des Feldes mit dem Radius zeigt die Abbildung 0.2 für die Parameter bis in Einheiten von .

Abbildung 0.2: Das Spulenfeld

Von Interesse ist noch das Feld im Spuleninnern () für die Fälle einer langen Spule () und einer sehr kurzen Spule(). Man findet durch Entwicklung

(wobei in dem zweiten Term sicher zu stellen ist, dass man eine Wurzel aus einer positiven Zahl gezogen hat) und

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