Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.3

1. Berechne die Spektralfunktion der Eingangsspannung. Nützliche Abkürzungen der Notation sind , und .
2. Gib den Ausdruck für die Berechnung der Spannung an dem Widerstand an. (Benutze zweckmäßigerweise eine Abkürzung wie .)
3. Was muss man zur Berechnung der Spannung in den verschiedenen Zeitintervallen beachten?
4. Berechne die Spannung an dem Widerstand in dem aktiven, dem zweiten Zeitintervall ().
5. Berechne die Spannung an dem Widerstand für das erste Zeitintervall ().
6. Bestimme die Spannung an dem Widerstand in dem letzten Zeitintervall .
7. Diskutiere das Gesamtresultat und die Spezialfälle

Werkzeuge

Zurück zur Aufgabenstellung

7.3 Antwort zu H1

Der vorgegebene Spannungsstoß kann mit der angegebenen Notation ( , und ) in dem Intervall in der Form

dargestellt werden. Zur Berechnung der Spektralfunktion des Anfangsimpulses ist das Integral

auszuwerten. Das Ergebnis der (elementaren) Rechnung ist

bzw. mit der angegebenen, zusätzlichen Umbenennung der Variablen

Gib den Ausdruck für die Berechnung der Spannung an dem Widerstand an. (Benutze zweckmäßigerweise eine Abkürzung wie .)

Zurück zu den Hinweisen

7.3 Antwort zu H2

Die Spannung an dem Widerstand ist gemäß Aufgabe 7.2 durch die Auswertung von

zu berechnen. Mit

und

findet man

Was muss man zur Berechnung der Spannung in den verschiedenen Zeitintervallen beachten?

Zurück zu den Hinweisen

7.3 Antwort zu H3

Es stehen zwei Integrale der Form

zur Auswertung an . Gesucht ist das Integral über die reelle Achse. Um dieses zu bestimmen, ist die Kontur so zu wählen, dass der große Halbkreis keinen Beitrag liefert. Diese Wahl wird durch die in enthaltene Exponentialfunktion bestimmt. Hat man die Kontur festgelegt, so ist der Beitrag des kleinen Halbkreises und das Integral über die Kontur zu berechnen.

Berechne die Spannung an dem Widerstand in dem aktiven, dem zweiten Zeitintervall ().

Zurück zu den Hinweisen

7.3 Antwort zu H4

Betrachte zunächst das Integral mit

Ist , so strebt gegen Null, falls mit ist und geht. Das Integral entlang der reellen Achse ist also durch einen großen Halbkreis in der oberen Halbebene zu schließen (siehe Abb. 0.1). Das Integral über den großen Halbkreis trägt nicht bei.

Abbildung 0.1: Kontur für die Integration von im Intervall

Das Integral über die in der Abbildung 0.1 angedeutete Kontur die den Pol bei umgeht, ergibt nach der Integralformel von Cauchy

Das Integral über den kleinen Halbkreis kann mit dem Ansatz explizit ausgerechnet werden. Es ist dann

und man erhält

Der Integrand ist eine stetige Funktion von , so dass man den Grenzübergang und die Integration vertauschen kann

Es bleibt die Aussage (RA=reelle Achse)

In dem zweiten Integral mit

strebt gegen Null, falls mit und ist. Spart man hier den Pol bei wie in der Abb. 0.2

Abbildung 0.2: Kontur für die Integration von im Intervall

gezeigt, aus, so folgt nach dem Cauchyschen Hauptsatz

da die zweite Polstelle in der oberen Halbebene liegt. Die explizite Berechnung des Beitrages des Halbkreises ergibt, da nun die Integrationsgrenzen und sind,

und somit den Gesamtbeitrag der Funktion

Insgesamt erhält man für in dem Intervall

Berechne die Spannung an dem Widerstand für das erste Zeitintervall ().

Zurück zu den Hinweisen

7.3 Antwort zu H5

Für muss man die Integration entlang der reellen Achse sowohl für als auch für durch einen Halbkreis in der unteren Halbebene ergänzen (Abb. 0.3). Das Integral über die Kontur

enthält keine Polstellen, ergibt also den Wert Null.

Abbildung 0.3: Kontur für die Integration von und im Intervall

Die Beiträge über den kleinen Halbkreis kompensieren sich, da im der Term und in der Term auftritt und für beide Funktionen der Ursprung in der gleichen Weise umgangen wird. Insgesamt erhält man also (wie eigentlich zu erwarten)

Bestimme die Spannung an dem Widerstand in dem letzten Zeitintervall .

Zurück zu den Hinweisen

7.3 Antwort zu H6

Für ergibt sich die folgende Situation: Für beide Anteile ist die Kontur zuständig (Abb. 0.4),

Abbildung 0.4: Kontur für die Integration von und im Intervall

so dass sich die Beiträge des Pols bei abermals kompensieren. Es bleibt die Aussage

wobei nur noch die Polstelle bei beiträgt

Damit erhält man in dem Zeitintervall für die Spannung an dem Widerstand

Diskutiere das Gesamtresultat und die Spezialfälle

Zurück zu den Hinweisen

7.3 Antwort zu H7

Die Funktion in den drei Intervallen ist in den Abbildungen 0.5 bis 0.8 dargestellt. Aufgetragen ist (in beliebigen Einheiten) als Funktion von Das Zeitintervall wurde zu gewählt. Das Verhalten der Funktion für und in den ersten zwei Abbildungen ähnelt dem Resultat der Aufg. 7.2, wobei jedoch die jeweiligen Sprünge durch die Größe der jeweiligen Potentialwerte bestimmt sind.

Abbildung 0.5: Der Fall ( ) |  | Abbildung 0.6: Der Fall ( )

Für erhält man noch einmal das Resultat der Aufg. 7.2. Ist , so unterbleibt der erste Sprung (Abb. 0.7), man findet einen stetigen Anstieg des Potentials mit dem Sägezahn bis zu dem Zeitpunkt . Es folgt dann der Sprung. Ist , so findet nach dem Sprung bei kein weiterer Sprung statt,

Abbildung 0.7: Der Fall und

es schließt sich die Abklingphase stetig an (Abb. 0.8). In jedem der Fälle bedingt ein positiver/ negativer Sprung der Eingangsspannung einen positiven/negativen Sprung der Spannung an dem Widerstand.

Abbildung 0.8: Der Fall und

Eine Kombination von drei Zeitintervallen mit den Potentialwerten

würde die Simulation eines stetigen Ein/Ausschaltvorgangs erlauben. Weitere Kombinationen sind natürlich möglich.

Zurück zu den Hinweisen Zurück zur Aufgabenstellung Zurück zum Inhaltsverzeichnis