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2 Besselfunktionen zweiter Art: Neumann und Hankelfunktionen.

In Math.Kap. 4.2.2 wurde eine Methode diskutiert, mit Hilfe deren man die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung, die linear unabhängig von den Funktionen sind, bestimmen kann. So erhält man z.B. für den Fall die zu linear unabhängige Funktion

Es ist jedoch nützlich, alternative Wege zur Berechnung von Lösungen zu suchen, die linear unabhängige Partner von sind. Aus den Lösungen und kann man die Funktion

die Neumannfunktion, konstruieren. Falls keine ganze Zahl ist, ist diese Linearkombination von zwei linear unabhängigen Lösungen der Besselschen Differentialgleichung ebenfalls eine Lösung. Ist jedoch eine ganze Zahl, so verschwinden Zähler und Nenner, der Ausdruck für die Neumannfunktion ist unbestimmt. In diesem Fall definiert man die Neumannfunktion als den Grenzwert

Die einfachste Methode, um den Grenzwert zu bestimmen, ist die Anwendung der Regel von L'Hospital. Man findet

wobei ein Term proportional zu , der für verschwindet, weggelassen wurde.

Um zu zeigen, dass die Neumannfunktion eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung ist, differenziert man die Besselsche Differentialgleichung partiell nach und erhält (benutze weiterhin das gewöhnliche Ableitungssymbol für die Ableitung nach )

Bildet man die geforderte Linearkombination und führt den Grenzübergang durch, so findet man in der Tat

da der zusätzliche Term in dem Grenzfall mit der Symmetrierelation

ergibt. Die Neumannfunktion ist für eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.

Um die lineare Unabhängigkeit der Funktionen und nachzuweisen, muss man die Wronskideterminante berechnen. Die einigermaßen aufwendige Rechnung (Ableitungen der -Funktion sind gefragt) ergibt für kleine -Werte

und weist somit die lineare Unabhängigkeit der Neumannfunktionen nach.

Anstelle der Bessel- und der Neumannfunktionen benutzt man in vielen physikalischen Problemen die Hankelfunktionen, die durch

definiert sind. Diese Funktionen sind, als Linearkombination von zwei linear unabhängigen Lösungen der Besselschen Differentialgleichung, ebenfalls ein Satz von zwei linear unabhängigen Lösungen.

Alle benannten Funktionen erfüllen die gleichen Rekursionsformeln wie die Besselfunktionen . So zeigt man z.B., dass

ist. Von Interesse ist auch, das Verhalten der Funktionen in den Grenzfällen und . Mit der Reihenentwicklung (7) findet man für die Besselfunktionen für

Durch Berechnung der Ableitung nach und Bildung des Grenzwertes in der Definition der Neumannfunktion kann man aus dieser Vorgabe und der logarithmischen Ableitung der -Funktion (der Digammafunktion) das Verhalten der Neumannfunktionen mit ganzzahligem Index gewinnen. Es ist

Die asymptotische Form der Besselfunktionen wird in Math.Kap. 4.4.2 und 4.4.3 für die speziellen Indizes angegeben.