Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.6

1. Welche Konsequenzen ergeben sich aus der Zylindersymmetrie des Problems?
2. Diskutiere die Darstellung des Rotationsellipsoids durch die oblat-elliptischen Koordinaten im Detail.
3. Welche Konsequenzen ergeben sich infolge der Symmetrie für die Abhängigkeit des Potentials von den oblat-elliptischen Koordinaten?
4. Wie lautet die Differentialgleichung, aus der man das Potential berechnen kann?
5. Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung sowie die spezielle Lösung, die den Randbedingungen entspricht, an. Diskutiere die spezielle Lösung.
6. Berechne die Verteilung der Oberflächenladung auf dem Ellipsoid.
7. Drücke die Ladungsverteilung durch die ursprünglichen Ellipsoidparameter aus und diskutiere sowohl als auch .
8. Berechne die Gesamtladung auf dem Ellipsoid.
9. Berechne und diskutiere die Kapazität der Anordnung.

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3.6 Antwort zu H1

Man kann sich auf die Betrachtung einer Koordinatenebene beschränken, z.B. der - Ebene (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Ein oblates Rotationsellipsoid

Es ist dann und

Skalare Größen sind unabhängig von dem Winkel , z.B. . Vektorgrößen können mit

aus den Resultaten der zweidimensionalen Rechnung (hier mit markiert) zurückgewonnen werden.

Diskutiere die Darstellung des Rotationsellipsoids durch die oblat-elliptischen Koordinaten im Detail.

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3.6 Antwort zu H2

Abbildung 0.2: Schnitt durch das oblate Ellipsoid

Die Oberfläche eines bestimmten Ellipsoids (bzw. der Umfang der entsprechenden Ellipse in der - Ebene, Abb. 0.2) ist durch und charakterisiert. Wegen der Gleichung

kann man die Aussage extrahieren: Die Ellipsengleichung ist erfüllt, wenn

gesetzt wird. Anstelle der Parameter kann man eine Ellipse (ein Rotationsellipsoid) auch durch die Parameter und charakterisieren. Die Relationen

besagen, dass die extreme Pfannkuchenform mit und den Grenzfall der Kugel beschreiben.

Welche Konsequenzen ergeben sich infolge der Symmetrie für die Abhängigkeit des Potentials von den oblat-elliptischen Koordinaten?

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3.6 Antwort zu H3

Analog zu dem Fall einer kugelförmigen Ladungsverteilung, für die die Äquipotentialflächen Kugelschalen sind, also ist, gilt im Fall des Ellipsoids . Die Äquipotentialflächen sind hier Rotationsellipsoide (in der - Ebene Ellipsen), die alleine durch die Variable charakterisiert werden.

Wie lautet die Differentialgleichung, aus der man das Potential berechnen kann?

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3.6 Antwort zu H4

Da das Potential in den elliptischen Koordinaten nur von der Variablen abhängt, geht die Laplacegleichung für den Außenraum in eine gewöhnliche Differentialgleichung über

Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung sowie die spezielle Lösung, die den Randbedingungen entspricht, an. Diskutiere die spezielle Lösung.

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3.6 Antwort zu H5

Aus der Differentialgleichung

folgt in einem ersten Schritt

im zweiten

denn es ist

Die Randbedingungen führen auf lineare Gleichungen für die Integrationskonstanten

Auflösung dieser Gleichungen ergibt

und somit

Die Variation des Potentials mit der Variablen zeigt Abb. 0.3.

Abbildung 0.3: Potential des oblaten Ellipsoids (in Einheiten von , Parameter )

Die Kurve beginnt auf der Oberfläche des Ellipsoids () und fällt mit dem Arcustangens ab.

Berechne die Verteilung der Oberflächenladung auf dem Ellipsoid.

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3.6 Antwort zu H6

Für die Oberflächenladungsdichte auf einem Ellipsoid, charakterisiert durch den Parameter , gilt

wobei die Komponente des elektrischen Feldes senkrecht zu der Oberfläche des Ellipsoides (des Randes der Ellipse) ist. Für die Ableitung des Potentials findet man

und somit für die Ladungsverteilung

Drücke die Ladungsverteilung durch die ursprünglichen Ellipsoidparameter aus und diskutiere sowohl als auch .

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3.6 Antwort zu H7

Da für den Parameter (siehe Antwort 2 )

gilt, erhält man aus

die Darstellung

Die Verteilung hängt von der Variablen ab, dem orthogonalen Komplement zu . Sie beschreibt die Variation der Ladungsdichte auf der Oberfläche des Ellipsoids. Da die Ladungsdichte auf dem Ellipsoid unabhängig von dem Winkel ist, genügt es, die Variation entlang eines Ellipsenbogens in der - Ebene zwischen den Polarwinkeln entsprechend den Variablen , zu betrachten. Die Diskussion der Ladungsverteilung ist einfacher in den Parametern . Die Ladungsdichte ist direkt proportional zu , die Abhängigkeit von variiert zwischen einer scharfen Spitze um für kleine -Werte, die einer extremen Pfannkuchenform entsprechen, einer gemäßigteren Glocke mit einem Maximum bei bis zu einer uniformen Verteilung für große -Werte, für die fast eine Kugelform vorliegt. Das Maximum um die Stelle , der Stelle mit der stärksten Krümmung im Fall , zeigt den Spitzeneffekt. Details sind in Abb. 0.4 für die Parameter und dargestellt.

Abbildung 0.4: Die Ladungsverteilung in Einheiten von

Die Variation von mit dem Parameter zeigt die Animation in Abb. 0.5.

Abbildung 0.5: Variation der Ladungsdichte mit

Die Funktion ist zusätzlich in Abb. 0.6, als Funktion von bei festem und als Funktion von für festes , illustriert.

Abbildung 0.6: Die Funktion in Einheiten von
für festes als Funktion von | für festes als Funktion von

Man bemerkt auch den Spitzeneffekt durch das Maximum bei , sowie die Symmetrie bezüglich mit einem Minimum für Punkte auf der -Achse ().

Berechne die Gesamtladung auf dem Ellipsoid.

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3.6 Antwort zu H8

Die Gesamtladung erhält man durch Integration über die Fläche des Ellipsoides

Das zuständige Oberflächenelement ist

Damit berechnet man

Berechne und diskutiere die Kapazität der Anordnung.

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3.6 Antwort zu H9

Die Kapazität ist definiert als

Für (eine Kugel ist konzentrisch zu einer geerdeten, unendlich großen Kugel) findet man mit

den Grenzwert

Die Kapazität entspricht der Kapazität eines Kugelkondensators, dessen innere Kugelschale den Radius und die äußere Kugelschale den Radius hat. Ist , hat man also ein sehr flaches Ellipsoid (Pfannkuchen), so ist

Die Kapazität, als Funktion von , ist proportional zu . Betrachtet man , so findet man über einen weiten Bereich einen nahezu linearen Anstieg (Abb. 0.7) mit der Variablen . Nur in dem Bereich nahe ist eine Abweichung von diesem Verhalten bemerkbar.

Abbildung 0.7: Die Kapazität () als Funktion von

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