Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.5

1. Berechne die Gesamtladung sowie die Flächenladungsdichte auf der Kugelfläche.
2. Diskutiere die Lösungsstrategie.
3. Welche `Zutaten` benötigt man zur Auswertung der Multipolentwicklung für das Vektorpotential? Werte die Multipolentwicklung aus.
4. Fasse das Resultat der Multipolentwicklung des Vektorpotentials in geeigneter Form zusammen.
5. Berechne die magnetische Induktion und vergleiche mit dem Resultat von Aufg. 5.4.

Werkzeuge

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5.5 Antwort zu H1

Die Gesamtladung auf der Kugelfläche ist

Die Flächenladungsdichte ist somit

Diskutiere die Lösungsstrategie.

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5.5 Antwort zu H2

Das Lösungsschema ist das Gleiche wie in den Aufg. 5.3 und 5.4. Man benutzt die Stromdichte

und berechnet damit das Vektorpotential

und das magnetische Moment

Das -Feld folgt aus Da in diesem Beispiel die Richtung des Drehgeschwindigkeitsvektors ausgezeichnet ist, wählt man die Drehachse als -Achse. Das Vektorpotential ist durch

bestimmt.

Welche `Zutaten` benötigt man zur Auswertung der Multipolentwicklung für das Vektorpotential? Werte die Multipolentwicklung aus.

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5.5 Antwort zu H3

Zunächst werden die Winkelfunktionen im Zähler von

in Kugelflächenfunktionen umgeschrieben. Man benutzt dabei die Definitionen

Auflösung nach ergibt das Zwischenergebnis

aus dem man die Umschreibungen

und

gewinnen kann. Ausführung der Multipolentwicklung, der Winkelintegration (Orthogonalitätsrelation der Kugelflächenfunktionen) und der Radialintegration (trivial) liefert dann

wobei der kleinere und der größere der Radien und ist.

Fasse das Resultat der Multipolentwicklung des Vektorpotentials in geeigneter Form zusammen.

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5.5 Antwort zu H4

Die Kombinationen der verbleibenden Kugelflächenfunktionen können wieder zusammengefasst werden

Außerdem kann man das Kreuzprodukt

wieder einführen. Das Vektorpotential lautet dann

bzw. explizit für das Innengebiet

und das Außengebiet

Das Vektorpotential ist auf der Kugelfläche stetig.

Berechne die magnetische Induktion und vergleiche mit dem Resultat von Aufg. 5.4.

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5.5 Antwort zu H5

Das Vektorprodukt ergibt infolge der vorliegenden Geometrie

so dass die magnetische Induktion gemäß

berechnet werden kann. Das Ergebnis ist für

und für

Wie im vorherigen Beispiel findet man eine stetige Normalkomponente (wegen ) und einen Sprung in der Winkelkomponente (wegen der singulären Stromdichte). Infolge der nichtuniformen Ladungsverteilung findet man ein Feld mit höherer Multipolarität.

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