Lösung der Aufgabe 8.8

Wie im nichtrelativistischen Fall, findet die Bewegung in einer Ebene, z.B. der - Ebene statt. Mit der Standardnotation

lauten die Bewegungsgleichungen im relativistischen Fall in ebenen Polarkoordinaten (siehe Aufg. 8.5)

Es ist nützlich, zunächst die Erhaltungssätze des relativistischen Coulombproblems zu betrachten. Es gilt der Energiesatz

und der Drehimpulssatz

Der Energiesatz lautet in Worten: Die Summe aus der Energie des Elektrons (Ruheenergie plus kinetische Energie) und dessen potentieller Energie in dem Coulombfeld ist eine Erhaltungsgröße.)
Die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate kann, wie im nichtrelativistischen Fall, nicht in einfacher Weise integriert werden. Man kann jedoch eine Differentialgleichung für die Bahn des Elektrons gewinnen. Man beginnt mit der allgemeinen kinematischen Aussage

bringt die Erhaltungssätze Stück um Stück ein und erhält

Diese Differentialgleichung, in der nur und auftreten, ist die gesuchte Bestimmungsgleichung für die Bahn des Elektrons in dem relativistischen Coulombproblem. Eine Vereinfachung ergibt sich mit der Substitution

zu

Diese Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung vom harmonischen Oszillatortyp mit einem konstanten inhomogenen Term

mit

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung für lautet

Wählt man als Achse, auf die der Winkel bezogen wird, den Punkt an dem Geschwindigkeits- und Positionsvektor senkrecht aufeinander stehen, so findet man, dass gesetzt werden kann. Die so ausgewählte Lösung ist

Ist bzw. , so lautet die Differentialgleichung für die Bahn

Die allgemeine Lösung lautet in diesem Fall

Die Bedingung für die Achsenwahl liefert und somit

Der nichtrelativistische Limit der Bahngleichung

entspricht genau der Kegelschnittgleichung des Keplerproblems, wenn man

setzt ( ist die Gravitationskonstante und die Masse des Zentralkörpers). Die vollständige Lösung des relativistischen Falls kann am besten in der Form

diskutiert werden. Dabei sind die Parameter

Die verbleibende Integrationskonstante (bzw. ) kann z.B. durch Vorgabe des Anfangspunktes der Bahn

zu

festgelegt werden.
Falls der minimal mögliche Drehimpuls den Wert hat, gilt für den Parameter

mit

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