Lösung der Aufgabe 3.3

Die Relationen (V1) und (V2) gewinnt man durch Manipulation der Rodriguesformeln. Zum Nachweis der Rekursionen schreibt man eine Seite der Gleichung explizit mit den Rodriguesformeln aus und bringt die Ableitung bzw. die Ableitungen in die von der anderen Seite geforderte Form. Zur Auswertung der Integrale (V3) und V(4) benötigt man eine Relation zwischen der Ableitung der rechten Seite und dem Integranden. Man bildet die Ableitung von

und findet nach Sortierung der Terme, dass diese Ableitung bis auf ein Vorzeichen gleich ist. Damit können die Integrale (V3) und (V4) angegeben werden. Da ist, entspricht deren Summe einer Orthogonalitätsrelation der Legendrepolynome. Die Grundformeln für die Rekursionen mit Legendrepolynomen sind die Formeln (V5) und (V6). Man gewinnt sie durch Differentiation der erzeugenden Funktion nach (keine Ableitungen der ) und nach (Ableitungen der ), sowie anschließendem Koeffizientenvergleich der Entwicklungen in . Die Formeln (V7) - (V9) (sowie weitere) entstehen durch Manipulation dieser Grundformeln (in den meisten Fällen durch Ableitung von (V5) nach und geeigneten Ersetzungen mit Hilfe von (V6)).

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