Detail 5.5
Zum Magnetfeld einer homogen magnetisierten Kugel
Ein Beispiel für die Berechnung des Magnetfeldes (der magnetischen Induktion) eines makroskopischen, magnetisierten Objektes ist die Berechnung des Magnetfeldes einer homogen magnetisierten Kugel. Die Lösung dieses Problems beginnt mit der Aufstellung der Formel für das Vektorpotential über

das infolge der einfachen Form der Magnetisierung (und bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems), wie in Kap. 5.4.5 gezeigt, nur zwei Komponenten hat, die durch die Integrale

gegeben sind. Zur Auswertung dieser Integrale sind die folgenden Schritte notwendig:

(a)
  Integriere über die Radialkoordinate.
(b)
  Entwickle die Abstandsfunktion für und nach Kugelflächenfunktionen.
(c)
  Stelle die Winkelanteile und durch Kugelflächenfunktionen dar.
(d)
  Führe die Winkelintegrationen unter Ausnutzung der Orthogonalitätsrelationen der Kugelflächenfunktionen durch.

(a) Die Integration über die Radialkoordinate kann direkt ausgeführt werden

(b) Die Entwicklung der Abstandsfunktion nach Kugelflächenfunktionen lautet (siehe Kap. 3.3 (3.34))

und

(c) Die Funktionen und können durch Kugelflächenfunktionen dargestellt werden. Der Tabelle in Math.Kap. 4.3.4 (oder einer alternativen Auflistung) entnimmt man

und findet

bzw.

Ebenso erhält man

(d) Setze den Ausdruck für in das Integral für ein und benutze die Orthogonalitätsrelationen der Kugelflächenfunktionen bei der Winkelintegration. Für erhält man dann

Für erhält man

Das Integral wird analog berechnet. Das Ergebnis für das gesamte Vektorpotential ist

mit

Die Berechnung der daraus resultierenden magnetischen Induktion wird in Kap. 5.4.5 durchgeführt.

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