Lösung der Aufgabe 4.13

Die Gleichung

beschreibt für (zulässige) reelle Werte der Parameter einen Kreis in der komplexen Ebene mit dem Radius

und den Mittelpunktskoordinaten

Die Schnittpunkte des Kreises mit der -Achse sind

Die Ausgangsgleichung bedingt, dass größer als Null sein muss. Die Bedingung führt auf die Beschränkung Je nachdem, ob oder ist, liegen die Mittelpunkte der Kreise auf der negativen oder positiven reellen Achse (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Die Kreisschar

Betrachtet man Kreise mit festem als Funktion von , so findet man, beginnend mit einem `Kreis` mit Radius Null an der Stelle mit wachsenden Werten des Parameters Kreise mit wachsendem Radius, deren Mittelpunkte gegen wandern. Für ergibt sich der Grenzwert

Dieser Grenzkreis ist die imaginäre ()-Achse. Die Umkehrung der Relationen und lauten

und

Aus der Vorgabe von und kann man die Scharparameter von zwei Kreisen bestimmen, so z.B. aus den Relationen

und

Um die Geometrie zu vereinfachen, transformiert man von der komplexen Ebene in die komplexe Ebene . In dieser lauten die Gleichungen der zwei Kreise

Diese Gleichungen beschreiben zwei (bezüglich des Nullpunktes) konzentrische Kreise (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Transformation

In der -Ebene kann man das bekannte Ergebnis für die Kapazität eines Zylinderkondensators (mit konzentrischen Zylindern) ansetzen

Die Rücktransformation in die -Ebene liefert das Resultat

Für und geht dieses Resultat in die Formel für den einfachen Zylinderkondensator über

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