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3 Laplacegleichung, Kugelkoordinaten

Der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten führt auf die Differentialgleichung

Nach Einsetzen des Separationsansatzes

kann man durch Multiplikation der Gleichung mit

und Sortieren zunächst den Anteil in dem Winkel abspalten

Beide Seiten dieser Gleichung müssen gleich einer Konstanten gesetzt werden. In dem zweiten Separationsschritt multipliziert man die restliche Gleichung mit und sortiert, so dass man auf jeder Seite der Gleichung einen Ausdruck in einer anderen Variablen erhält

Mit einer weiteren Separationskonstanten lautet der endgültige Satz von getrennten Differentialgleichungen

Die Differentialgleichung in der Variablen wird durch die Funktionen

bzw. durch eine Sinus- und Kosinusfunktion mit dem entsprechenden Argument, gelöst. Die Eindeutigkeit der periodischen Funktionen erfordert

eine Forderung, die durch

erfüllt ist. Die Differentialgleichung kann somit in der Form

mit der Lösung

notiert werden. Die Differentialgleichung in der Variablen definiert die Legendreschen Funktionen. Diese werden in Math.Kap. 4.3 vorgestellt. Die Lösung der Radialgleichung, die aus Potenzen von besteht, findet man in Kap. 3.1.