## 3 Der integrierende Faktor

Zur Einführung der Thematik ist ein einfaches Beispiel angebracht. Die Differentialgleichung

ist nicht exakt, denn es ist und , als . Die Lösung ist trotzdem einfach. Man schreibt

und erhält oder (nach Umbenennung der Integrationskonstanten) . Betrachtet man das totale Differential der Lösung in impliziter Form

so kann man feststellen, dass man die Differentialgleichung auch hätte lösen können, indem man sie zunächst mit multipliziert. Die resultierende Differentialgleichung

ist exakt ( und könnte durch Kurvenintegration gelöst werden. Die Funktion bezeichnet man als einen integrierenden Faktor der vorgelegten Differentialgleichung. Es existiert jedoch nicht nur ein integrierender Faktor, sondern beliebig viele. Schreibt man die Lösung in der Form , so findet man wegen

dass ein integrierender Faktor ist. Eine dritte Möglichkeit gewinnt man z.B. mit der modifizierten, impliziten Lösung

Die Funktion ist gleichfalls ein integrierender Faktor. Beliebig viele weitere Varianten sind möglich.
Im allgemeinen Fall argumentiert man in der folgenden Weise. Man betrachtet die Differentialgleichung

und versucht den integrierenden Faktor so zu wählen, dass

ist. Diese Forderung entspricht einer partiellen Differentialgleichung für die Funktion

An dieser Stelle wird die Aussage `im Prinzip` deutlich: Man kann zeigen, dass (bei geeigneten Vorausetzungen an die Funktionen und ) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung existiert. Man kann die partielle Differentialgleichung auch für eine Reihe von Grundtypen lösen, doch führt die Verlagerung des Problems nicht unbedingt zum Ziel.
Es ist noch ein Spezialfall von Differentialgleichungen erster Ordnung und ersten Grades zu diskutieren, die lineare Differentialgleichung.