Lösung der Aufgabe 5.1

Die magnetische Induktion eines Stromringes für Achsenpunkte wurde in Kap. 5.2 (5.20) berechnet. Betrachtet man zwei gleiche Stromringe im Abstand (Abb. 0.1),

Abbildung 0.1: Geometrie der Helmholtzanordnung

die parallel zueinander angeordnet sind und gleichsinnig vom gleichen Strom durchflossen werden, so gilt für das Achsenfeld

Die Bedingung, dass das Feld des Ringpaares um den Mittelpunkt herum homogen wird, erfordert, dass möglichst viele Ableitungen für verschwinden. Die erste und die dritte Ableitung verschwinden für aufgrund der Symmetrie des Problems. Die Forderung, dass die zweite Ableitung verschwindet, liefert die Helmholtz-Bedingung

Mit der vierten Ableitung an der Stelle findet man das Resultat

Das konstante Feld wird erst in der vierten Potenz von modifiziert. Die Abbildung (Abb. 0.2) zeigt, die Variation des Feldes entlang der Achse der Helmholtz-Anordnung. An der Position der Ringe weicht das Feld um ca. 7.5 % von dem homogenen Feld ab (blau: Feld berechnet mit Näherung bis zur 4. Ordnung, rot: exaktes Feld unter Ausnutzung der Helmholtzbedingung).

Abbildung 0.2: Variation des Feldes mit der Variablen ()

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