Lösung der Aufgabe 3.5

Die uniforme Flächenladungsverteilung auf der Restfläche kann in der Form

dargestellt werden. Die Gesamtladung auf der Kugelfläche ohne Kappe ist

Die Gesamtladung als Funktion von ist in Abb. 0.1

Abbildung 0.1: Gesamtladung

gezeigt. Die Auswertung der Multipolentwicklung im Innenbereich der Kugel () ergibt

wobei die Verabredung getroffen wurde. Für Punkte außerhalb des Kugelvolumens erhält man

Zur Berechnung des elektrischen Feldes wertet man

aus und findet für Punkte im Zentrum der Kugel

bzw. in kartesischer Zerlegung

Der Feldvektor in der Kugelkalotte zeigt in die -Richtung und hängt in einfacher Weise von dem Öffnungswinkel der Kappe ab. Die Abbildung 0.2

Abbildung 0.2: Feldbeiträge im Kugelmittelpunkt:

deutet an, dass sich die Beiträge von vier diametralen Punkten mit Ladung kompensieren, während die Beiträge von dem Gegenstück der Kappe den Feldbetrag liefern. Den maximale Beitrag erhält man deswegen für Ist der Öffnungswinkel größer als so entsprechen die Beiträge der geladenen restlichen Kugelschale den nicht kompensierten Beiträgen für Es liegt eine Symmetrie in um vor. In den Grenzfällen (volle Kugelfläche) und (keine Ladung vorhanden) gelten die Aussagen: : Man erhält (wie zu erwarten) das Potential einer uniform belegten Kugelfläche, das im Außenraum dem Potential einer Punktladung entspricht, jedoch stetig in einen konstanten Wert im Inneren übergeht

Das elektrische Feld verschwindet im Innenbereich

im Einklang mit dem Faradayeffekt. : Das Potential (und das Feld) verschwinden im gesamten Raum (wie man erwartet, wenn keine Ladung vorhanden ist). Für kleinere Öffnungswinkel der Kugelkappe benutzt man die Entwicklung der Darstellung der Legendrepolynome

Damit ergibt sich für das Innenpotential

das man in der Form ( )

zusammenfassen kann. Für das Außenpotential gilt entsprechend

Für große Öffnungswinkel benutzt man die Variable mit

und die Symmetrierelation

Die Potentiale sind dann

mit und

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