Hinweise zur Lösung der Aufgabe 5.1

1. Verwende das Ergebnis aus Kap. 5.2 für die magnetische Induktion eines stromdurchflossenen Kreisrings und gib das Achsenfeld für die Helmholtz-Anordnung an.
2. Welche Bedingung muss das Magnetfeld erfüllen, damit es in der Umgebung des Mittelpunkts möglichst homogen wird?
3. Berechne die benötigten Ableitungen und gib das Feld in der Umgebung von an.

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5.1 Antwort zu H1

Die magnetische Induktion eines Stromringes für Achsenpunkte wurde in Kap. 5.2 (5.20) berechnet. Für einen Kreisring mit Radius gilt für einen Achsenpunkt mit der Entfernung von dem Zentrum des Ringes

Betrachtet man zwei gleiche Stromringe im Abstand (Abb. 0.1),

Abbildung 0.1: Geometrie der Helmholtzanordnung

die parallel zueinander angeordnet sind und gleichsinnig von einem Strom der gleichen Stärke durchflossen werden, so gilt für das Achsenfeld

Die Felder auf der Achse zeigen in die gleiche Richtung. Das Koordinatensystem wurde so gewählt, dass der Ursprung die Achse zwischen den Ringen im gleichen Abstand unterteilt.

Welche Bedingung muss das Magnetfeld erfüllen, damit es in der Umgebung des Mittelpunkts möglichst homogen wird?

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5.1 Antwort zu H2

Die Bedingung, dass das Feld des Ringpaares um den Mittelpunkt herum möglichst homogen wird, erfordert, dass möglichst viele Ableitungen des Feldes für verschwinden. Alternativ kann man sagen, dass möglichst viele der ersten Terme in der Entwicklung von in verschwinden sollen.

Berechne die benötigten Ableitungen und gib das Feld in der Umgebung von an.

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5.1 Antwort zu H3

Die Ableitungen sind (bis auf einen konstanten Faktor )

Diese Ableitung verschwindet für aufgrund der Symmetrie des Problems.

Für erhält man

Die Forderung, dass diese Ableitung verschwindet, liefert die Helmholtz-Bedingung

Der gesamte Abstand muss dem Radius der Kreisringe entsprechen. Für die dritte Ableitung findet man

Auch diese Ableitung verschwindet aufgrund der Symmetrie für

Für die vierte Ableitung findet man

Für ergibt dies

Man findet somit für das Feld in der Umgebung der Stelle

das Resultat

Das konstante Feld wird erst in der vierten Potenz von modifiziert. Die Abbildung (Abb. 0.2) zeigt die Variation des Feldes entlang der Achse der Helmholtz-Anordnung. An der Position der Ringe weicht das Feld um ca. 7.5 % von dem homogenen Feld ab (blau: Feld berechnet mit Näherung bis zur 4. Ordnung, rot: exaktes Feld unter Ausnutzung der Helmholtzbedingung).

Abbildung 0.2: Variation des Feldes mit der Variablen ()

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