3.4 Handwerkliche Übung: Krummlinige Koordinaten
In den Aufgaben (3.6) bis (3.8) wird von elliptischen Koordinaten (mit der genauen Bezeichnung prolat und oblat spheroidale Koordinaten oder elliptische Koordinaten für ein gestrecktes bzw. abgeplattetes Rotationsellipsoid) Gebrauch gemacht. Die generelle Diskussion von Differentialoperatoren in orthogonalen, krummlinigen Koordinaten wird in Math.Kap. 5.2 vorgestellt. Hier sind speziell die oblat elliptischen Koordinaten zu betrachten. Die Aufgabe verlangt eher mathematische Zähigkeit als mathematische Erfindungsgabe, stellt aber eine Übung dar, die jeder Physiker und jede Physikerin einmal nachvollzogen haben sollte.
Aufgabenstellung
Für die oblaten elliptischen Kordinaten

sind

- die Flächen im Raum, die enstehen wenn je eine dieser Koordinaten konstant gehalten wird (Koordinatenflächen) zu beschreiben und
- (unter Benutzung von Math.Kap 5.2) die Darstellung der Differentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation und Laplaceoperator in den oblat elliptischen Koordinaten mit den Wertebereichen

  zu berechnen.
- Man kann die Darstellung der Differentialoperatoren auch in den alternativ möglichen Koordinaten und die durch

  definiert sind, angeben. Bereite diese Aufgabe durch Berechnung der metrischen Koeffizienten vor.

Werkzeuge:
Sind krummlinige Koordinaten durch die Transformation vorgegeben, so berechnen sich die `metrischen Koeffizienten` durch

Die weiterhin benötigten Formeln sind:

mit den Einheitsvektoren

Beachte Varianten in der Schreibweise (Math.Kap. 5.2)!

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

Zurück zum Inhaltsverzeichnis