## 3 Ergänzungen I: -dimensionale Vektorräume

Die folgende Aufforderung stellt eine gewisse Anforderung an das Abstraktionsvermögen dar: Man stelle sich einen Raum vor, der durch (wobei größer als ist) paarweise aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren aufgespannt wird. Auch wenn das Vorstellungsvermögen Schwierigkeiten bereitet, ist die mathematische Fassung einer solchen Situation ohne Schwierigkeiten möglich.
Man bezeichnet einen Satz von Basisvektoren, die den anvisierten Raum aufspannen sollen, mit

und fordert (analog zu der Situation im dreidimensionalen Raum) die Gültigkeit der Orthogonalitätsrelationen

Die Aussage, dass die Vektoren die Länge haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, ist nur sinnvoll, wenn es gelingt, in dem von dieser Basis aufgespannten Raum die Grundkonzepte der Geometrie, also Längen, Abstände und Winkel, widerspruchsfrei zu definieren und zu handhaben.
Zu diesem Zweck beginnt man mit der Erweiterung der Komponentenzerlegung. Ein beliebiger Vektor in diesem Raum soll bezüglich der vorgegebenen Basis in der Form

dargestellt werden. In dem Sinn dieser Forderung kann man einen Vektor durch ein -Tupel von Zahlen charakterisieren14

Da man einen der Basisvektoren durch die Basisvektoren darstellen kann

werden die Basisvektoren durch die -Tupel

repräsentiert, wobei für den Vektor die an der -ten Stelle steht.
Mit diesen Forderungen kann man das Vektorkalkül des dreidimensionalen Raumes einschließlich aller Rechenregeln auf Raumdimensionen übertragen:

- Addition

- Multplikation mit Skalar

- Subtraktion

- Skalarprodukt

Die Grundkonzepte der Geometrie kann man damit folgendermaßen fassen: Die Länge eines Vektors ist durch das Skalarprodukt bestimmt

Ist die Differenz von zwei Vektoren , so bestimmt den Abstand von zwei Punkten (den Endpunkten der Vektoren) im -dimensionalen Raum. Zur Definition des Winkels zwischen zwei Vektoren benutzt man ebenfalls das Skalarprodukt

- Das Vektorprodukt wurde im dreidimensionalen Raum zur Festlegung der Orientierung des Koordinatendreibeins benutzt. Da die Benutzung eines links- oder rechtshändigen Systems eher eine Frage des Geschmacks denn der Notwendigkeit ist, verzichtet man im mehrdimensionalen Raum auf diese Festlegung. Eine Verallgemeinerung des Konzeptes des Vektorproduktes ist möglich, doch recht aufwendig.

Der hier angedeutete Euklidische Raum kann über dem Bereich der reellen oder der komplexen Zahlen definiert werden. Benutzt man reelle -Tupel, so bezeichnet man dem Raum mit oder , im Fall von komplexen n-Tupeln als oder . Zur mathematischen Fundierung der Quantenmechanik ist eine zusätzliche Erweiterung gefragt, der Grenzübergang . Der entsprechende Raum über dem Bereich der komplexen Zahlen wird als Hilbertraum bezeichnet.
In der (speziellen) Relativitätstheorie spielt ein vierdimensionaler Raum, der Minkowskiraum, die zentrale Rolle. Unterschiede gegenüber dem Euklidischen Raum werden im nächsten Abschnitt angedeutet.