### 1 Unendliche Integrationsintervalle.

Beispiel 1: Bei dem Integral

ist der Integrationsbereich ein unendliches Intervall. Durch Betrachtung einer graphischen Darstellung (Abb. 1.15) ist es nicht einfach, abzuschätzen, ob die Fläche unter der abklingenden Exponentialfunktion einen endlichen Wert hat oder nicht.

Abbildung 1.15: Andeutung des Integrals

Eine vorsichtige Definition dieses Typs von Integranden lautet

Berechnet man dieses Integral für , so findet man

Für gilt und man gewinnt den Grenzwert .
Beispiel 2: Der Integrand des Integrals

Abbildung 1.16: Ein uneigentliches Integral mit

liefert abwechselnd positive und negative Beiträge (Abb. 1.16). Man könnte also auch in diesem Fall erwarten, dass das Integral einen endlichen (Grenz)-Wert hat. Geht man gemäß der obigen Definition des uneigentlichen Integrals vor, so findet man

und stellt fest: Der geforderte Grenzwert ist nicht definiert. Dieses uneigentliche Integral existiert nicht.
Das Fazit dieser Betrachtung lautet: Uneigentliche Integrale mit einem unendlichen Integrationsintervall (Typ 1) lassen sich mit Hilfe von Grenzwertbetrachtungen mathematisch sauber definieren. Aufgrund der Grenzwertbetrachtungen benutzt man die folgende Bezeichnung