Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.23

1. Notiere die (zweidimensionalen) Bewegungsgleichungen für das Elektron in kartesischer Zerlegung.
2. Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 1: Bestimme die Eigenfrequenzen des Elektrons. Kommentiere.
3. Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 2: Bestimme die Eigenmoden des Elektrons.
4. Diskutiere die Lösung(en).

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7.23 Antwort zu H1

Die Bewegungsgleichungen für das Elektron

lauten in kartesischer Zerlegung

Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 1: Bestimme die Eigenfrequenzen des Elektrons. Kommentiere.

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7.23 Antwort zu H2

Zur Diskussion der gekoppelten Bewegungsgleichungen der - und -Komponenten macht man den Ansatz

und findet ein algebraisches Gleichungssystem für und

Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann eine Lösung, falls die Determinante der Koeffizienten verschwindet

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung in ist

Ist das Feld schwach genug, ist also so kann man näherungsweise schreiben

bzw. in der Ordnung

Für die Bewegung in der - Ebene gibt es zwei Schwingungsmoden, deren Frequenzen um verschoben sind.

Finde die Lösung der Bewegungsgleichungen im Fall eines schwachen Magnetfeldes. Schritt 2: Bestimme die Eigenmoden des Elektrons.

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7.23 Antwort zu H3

Für die Mode mit ergibt sich für die (komplexen) Amplituden

bzw. in der Ordnung

Entsprechend findet man für die Mode mit

Die reellen Lösungen sind dann

- für die Frequenz

- für die Frequenz

Diskutiere die Lösung(en).

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7.23 Antwort zu H4

Bildet man für die Lösungen

die Kombination , so findet man

Das Elektron bewegt sich auf Kreisen. Da keine Anfangsbedingungen vorgegeben sind, kann man für die weitere Diskussion eine einfache Situation annehmen, z.B.

Der Anfangspunkt der Bewegung ist bzw. . Andere Annahmen führen auf ähnliche Schlussfolgerungen. Mit dieser Annahme stellt die -Lösung eine Bewegung auf dem Kreis gegen den Uhrzeigersinn dar, die -Lösung eine Bewegung im Uhrzeigersinn. Bezüglich der Abstrahlung des Elektrons kann man auf der Basis dieser Ergebnisse die Bemerkung machen: Ist das Magnetfeld abgeschaltet, so würde aus klassischer Sicht das zirkulierende Elektron elektromagnetische Strahlung einer Frequenz abstrahlen. Wird das (schwache) Magnetfeld zugeschaltet, so findet je nach Mode eine Abstrahlung mit verringerter Frequenz (`rotverschoben`) bzw. mit erhöhter Frequenz (`blauverschoben`) statt. Infolge der unterschiedlichen Bewegungsrichtung der beiden Moden würde man (vergleiche Aufg. 7.22) bei Beobachtung der Strahlung in der Richtung des Magnetfeldes links zirkular bzw. rechts zirkular polarisierte Strahlung beobachten. Diese Aussage kann mit der Lösung von Aufg. 7.22 explizit überprüft werden.

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