Lösung der Aufgabe 1.2

Der Fluss der Ladung im Abstand von der vorgegebenen Kreisfläche mit Radius R durch diese Fläche ist nach dem Gaußtheorem genauso groß wie der Fluss durch eine entsprechende Kugelkalotte mit dem Öffnungswinkel mit (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Fluss durch die Kugelkalotte

Der elektrische Fluss durch die Kreisfläche ist (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Geometrie auf der Kalotte

Mit

findet man somit für den Fluss

Bei der Auswertung durch direkte Integration über die Kreisfläche ist das Integral

zu berechnen, wobei

der Kosinus des Winkels zwischen dem Feldvektor auf der Fläche und dem Vektor des infinitesimalen Flächenelementes ist (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Geometrie auf der Kreisfläche

Für das elementare Radialintegral findet man

und somit wie zuvor

Für die Ladung auf der Gegenseite gilt ein entsprechendes Argument (Abb. 0.4). Der Fluss

Abbildung 0.4: Kugelkalotte für die Ladung

ergibt sich mit dem Kalottenradius

und

zu

Der Nettofluss verschwindet, falls bzw. ist.

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