## 1 Einfache Integrale von

Eine Funktion ist über einem Bereich definiert (und stetig). Mit dieser Funktion berechnet man das (bestimmte) Integral

Die Variable wird während der Integration wie eine Konstante behandelt. Die Integrationsgrenzen liegen im Innern des Definitionsbereiches (Abb. 4.15a).

Abbildung 4.15: Das Integral

Die geometrische Deutung des Integrals ist einfach: Die Funktion beschreibt die Schnittkurve der Fläche mit der Ebene . Das Integral stellt dann den Inhalt einer ebenen Fläche dar, die von der Strecke in der - Ebene, der Schnittkurve und den entsprechenden Parallelen zu der -Achse begrenzt ist. Es liegt das bekannte Integral vor, nur ist es in eine dreidimensionale Welt eingebettet. Für verschiedene -Werte erhält man verschiedene Schnittkurven und somit verschiedene Flächen. Man berechnet also nicht nur eine Fläche, sondern eine ganze Schar von Flächen (Abb. 4.15b).
Ein konkretes Beispiel ist (Abb. 4.16)

Das Ergebnis kann man folgendermaßen veranschaulichen: Für ist die Schnittkurve die Parabel . Die Fläche unter der Parabel (zwischen den Punkten 0 und 1 ) hat den Wert (Abb. 4.16a). Für ist die Schnittkurve . Die Fläche unter dieser Kurve setzt sich zusammen aus dem Rechteck und der Fläche unter dem Parabelbogen (Abb. 4.16b).

Abbildung 4.16: Integration unter einem Paraboloid

Es besteht natürlich kein Grund, die -Koordinate auszuzeichnen. Für das Integral

lautet die entsprechende Interpretation: Es stellt die Fläche zwischen der Schnittkurve von mit der Ebene dar. Als ein weiteres Beispiel kann man für die Funktion zwei Integrale berechnen

(Setze in dem zweiten Integral).
Unabhängig von der geometrischen Anschauung, ist das Ergebnis solcher Integrationen eine Funktion von einer Veränderlichen, die über ein Integral definiert (oder dargestellt) ist. Es gibt in der Tat höhere Funktionen, die auf diese Weise definiert werden, wie z.B. die elliptischen Integrale

Diese Funktionen treten bei der Diskussion verschiedener physikalischer Probleme auf, so bei der Diskussion der Pendelbewegung für große Ausschläge (Buch.Kap. 4.2.1) oder in der Kreiseltheorie (Buch.Kap. 6.3.5). Diese Funktionen werden in dem nächsten Abschnitt gesondert diskutiert.
Zwei weitere, etwas einfachere Beispiele von Funktionen, die durch solche Integrale dargestellt werden, sollen hier noch vorgestellt werden. Die erste Funktion wird durch das Integral (Abb. 4.17)

definiert. Der Integrand ist für stetig

Die Fläche, die durch den Integranden dargestellt wird, ist einigermaßen kompliziert. Der Schnitt der Fläche mit einer Ebene const. ist in der Abb. 4.17 dargestellt.

Abbildung 4.17: Die Funktion für

Bei der Berechnung des Integrals muss man die Fälle unterscheiden:
Für ergibt die Substitution

Der Wert ist einer Tabelle bestimmter Integrale entnommen. Für die explizite Berechnung benötigt man den Cauchyschen Integralsatz aus der Analysis im Komplexen. Ist , so folgt wegen das Resultat . Im Fall von negativen -Werten () erhält man mit der Substitution

Die Funktion ist eine Sprungfunktion (Abb. 4.18). Die Funktion ist unstetig, obschon der Integrand stetig ist und das uneigentliche Integral konvergiert.

Abbildung 4.18: Das Integral mit definiert eine Stufenfunktion

Das nächste Beispiel ist die vielbenutzte -Funktion (Gammafunktion), die durch das uneigentliche Integral

definiert ist. Anhand der Definition gewinnt man z.B. die Aussagen:

- Das Integral für ist einfach.

- Partielle Integration von

  ergibt

  Der erste Term verschwindet für . Der zweite Term stellt die Funktion dar. Das Resultat ist also eine alternative Definition (für ) in der Form einer Funktionalgleichung

  Für ganzzahlige Werte von folgt

  Die Auswertung dieser Rekursion mit ergibt

  Die -Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffes `Fakultät`.

Hat man eine Funktion auf diese Weise durch ein bestimmtes Integral definiert, so ist es nützlich, die Frage zu stellen, ob und wie man diese Funktion differenzieren kann. Man beweist die folgende Differentiationsregel:

Man darf also (unter den genannten Voraussetzungen) Differentiation und Integration vertauschen. Eine entsprechende Regel gilt für

Zur Illustration dieser Regeln kann das Beispiel

betrachten. Gemäß der Differentiationsregel gilt

so dass man bei partieller Integration in der Tat

erhält.
Man kann die Diskussion der Integration über eine der Variablen erweitern, indem man Integrale der Form

betrachtet. Die Integrationsgrenzen sind keine Konstanten sondern Funktionen von (Abb. 4.19). Sowohl die Funktion als auch die Funktion stellen Kurven in der - Ebene dar. Bei der Integration über ist das Integrationsintervall (für jeden Wert von ) durch diese Kurven begrenzt.

Abbildung 4.19: Integration über mit variablen Grenzen

Als ein direktes Beispiel kann die folgende Vorgabe dienen. Die Funktion stellt ein umgestülptes Drehparaboloid dar. Die variablen Integrationsgrenzen sind zwei Halbkreisbogen

Die berechneten Flächen, eingebettet in die dreidimensionale Welt, sind in Abb. 4.20a-c für und dargestellt.

Abbildung 4.20: Integration unter einem Paraboloid bei Begrenzung des Integrationsbereiches durch Halbkreisbogen. Illustration des Integrals für verschiedene, feste Werte von .

Die Auswertung des Integrals ergibt

Für Integrale mit variablen Grenzen muss man die Differentiationsregeln erweitern. Man benötigt dazu die Aussagen

(i)
  Aus der Kettenregel folgt

(ii)
  Für die Ableitung nach den Integrationsgrenzen gilt

  Daraus ergibt sich die erweiterte Differentiationsregel

  Das Minuszeichen tritt infolge der Ableitung nach der unteren Grenze auf. (Man überprüfe die Gültigkeit dieser Regel für das obige Beispiel).

Integriert man über beide Variablen einer Funktion , so erhält man Doppelintegrale, die in dem nächsten Abschnitt näher betrachtet werden.