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7 Eine ganz kurze Klassifikation der komplexen Funktionen

Man unterscheidet zwei Hauptklassen von Funktionen gemäß dem Attribut eindeutig oder mehrdeutig.

Zu den eindeutigen Funktionen zählen die ganzen und die meromorphen Funktionen. Die ganzen Funktionen sind dadurch charakterisiert, dass sie in der komplexen Ebene (ausgenommen der Punkt ) keine Singularitäten haben. Sie können in der gesamten Ebene durch eine (beständig konvergente) Potenzreihe

dargestellt werden und umfassen somit die ganzen rationalen Funktionen (Polynome) und die elementaren transzendenten Funtionen wie etc. Meromorphe Funktionen besitzen in der komplexen Ebene (ausgenommen der Punkt ) keine anderen Singularitäten als Pole. Sie umfassen die gebrochen rationalen Funktionen sowie transzendente Funktionen wie , jedoch auch `höhere` Funktionen wie die -Funktion (Math.Kap. 4.1). Eine weitere Eigenschaft, unter dem eindeutige Funktionen diskutiert werden können, ist die Periodizität, die entweder einfach oder doppelt sein kann. Das bekannteste Beispiel für eine einfach periodische Funktion ist die Exponentialfunktion, alle ihre Eigenschaften können anhand der Betrachtung eines Periodenstreifens gewonnen werden. Erweiterungen zielen auf die Fourierentwicklung. Bezüglich der doppelt periodischen beweist man, dass sie keine ganzen Funktionen sein können sondern notwendigerweise meromorphe Funktionen sein müssen. Ein Beispiel ist die -Funktion von Weierstraß, die durch eine Differentialgleichung der Form

definiert ist. Die Konstanten in dieser Differentialgleichung sind durch die Perioden und bestimmt.

Die mehrdeutigen Funktionen, die zweckmäßiger Weise mit Hilfe der Riemannschen Flächen diskutiert werden, leiten sich im Wesentlichen von den Wurzeln, mit der einfachsten Form , und dem Logarithmus ab.