Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.3

1. Benutze die Bewegungsgleichungen zur Herleitung von Erhaltungssätzen.
2. Führe die erste Integration der Bewegungsgleichung durch.
3. Es folgt die zweite Integration.
4. Diskutiere die Bahngleichung und den nichtrelativistischen Grenzfall.

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8.3 Antwort zu H1

Die Bewegungsgleichung hat auch im relativistischen Fall die Form

Zu notieren sind die Relationen zwischen den Dreiervektoren von Impuls und Geschwindigkeit

sowie zwischen der Gesamtenergie (kinetische plus Ruheenergie, eine potentielle Energie tritt nicht auf) und Impuls

Anhand der Bewegungsgleichung findet man

Dies besagt, dass ist. Damit ist neben dem Betrag des Dreierimpulses auch die Energie eine Erhaltungsgröße

Aus der Erhaltung des Impulsbetrages folgt weiterhin

das heißt das Betragsquadrat der Dreiergeschwindigkeit ist ebenfalls eine Erhaltungsgröße. Diese Aussage ist für die Integration der Bewegungsgleichungen nützlich.

Führe die erste Integration der Bewegungsgleichung durch.

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8.3 Antwort zu H2

Mit lauten die Bewegungsgleichungen

Die rechte Seite der ersten zwei Gleichungen kann mit erweitert werden

Da mit auch konstant ist, gilt Differentiation der Bewegungsgleichungen und wechselseitige Elimination führt somit auf zwei Differentialgleichungen vom Oszillatortyp

mit den allgemeinen Lösungen

Die vier auftretenden Integrationskonstanten können jedoch nicht frei gewählt werden. Anhand der ursprünglichen Bewegungsgleichungen für die -Koordinate folgt

und somit

Damit ist die Bewegungsgleichung ebenfalls erfüllt. Die Differentialgleichung für die -Komponente hat die Lösung

Mit den so gewonnenen Lösungen kann man die Aussage noch einmal explizit überprüfen

Es folgt die zweite Integration.

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8.3 Antwort zu H3

Die Position als Funktion der Zeit kann durch eine weitere Integration berechnet werden

Man findet

Diskutiere die Bahngleichung und den nichtrelativistischen Grenzfall.

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8.3 Antwort zu H4

Die Projektion der Bahnkurve in die - Ebene ist wegen

ein Kreis mit dem Radius

und dem Mittelpunkt

Infolge der linearen Änderung der -Koordinate mit der Zeit, ist die Bahnkurve selbst (wie im nichtrelativistischen Fall mit ) eine Schraubenlinie. Da ist, ist im relativistischen Bereich bei Vorgabe von

der Radius gegenüber dem nichtrelativistischen Fall um den Faktor vergrößert. Der Mittelpunkt befindet sich an der Stelle

Das entsprechende nichtrelativistische Ergebnis erhält man mit

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