Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.5

1. Notiere die relativistische Lagrangefunktion in Zylinderkoordinaten.
2. Berechne die zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen erforderlichen Ableitungen der Lagrangefunktion.
3. Notiere die Relation zwischen den Komponenten des elektromagnetischen Feldes und den Potentialen in Zylinderkoordinaten.
4. Stelle die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate zusammen. Benutze die Feldkomponenten.
5. Stelle die Bewegungsgleichung für die Winkelkoordinate zusammen. Benutze die Feldkomponenten.
6. Stelle die Bewegungsgleichung für die -Koordinate zusammen. Benutze die Feldkomponenten.
7. Führe noch die Impulse ein.

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8.5 Antwort zu H1

Ausgangspunkt ist die relativistische Lagrangefunktion (Kap. 8.5.4 (8.81))

In Zylinderkoordinaten ist

und somit

Die Darstellung des Vektorpotential lautet

so dass man für das Skalarprodukt

erhält.

Berechne die zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen erforderlichen Ableitungen der Lagrangefunktion.

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8.5 Antwort zu H2

Zur Aufstellung der Lagrangebewegungsgleichungen

benötigt man die folgenden Ableitungen

Die Zeitableitungen dieser Ableitungen (benutze die Notation und zur Abkürzung , etc. )

wobei für die totale Ableitung des Vektorpotentials die Kettenregel greift.

Die Ableitungen der Lagrangefunktion nach den generalisierten Koordinaten sind

Notiere die Relation zwischen den Komponenten des elektromagnetischen Feldes und den Potentialen in Zylinderkoordinaten.

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8.5 Antwort zu H3

Zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen benötigt man auch die Darstellung des elektrischen Feldes und der magnetischen Induktion durch die Potentiale

Stelle die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate zusammen. Benutze die Feldkomponenten.

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8.5 Antwort zu H4

Die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate lautet

Dies kann in der Form

geschrieben werden.

Stelle die Bewegungsgleichung für die Winkelkoordinate zusammen. Benutze die Feldkomponenten.

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8.5 Antwort zu H5

Entsprechend erhält man für die Bewegungsgleichung der Winkelkoordinate

Hier findet man

Stelle die Bewegungsgleichung für die -Koordinate zusammen. Benutze die Feldkomponenten.

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8.5 Antwort zu H6

Noch einmal die gleiche Rechnung für die -Koordinate:

bzw.

Führe noch die Impulse ein.

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8.5 Antwort zu H7

Schreibt man noch mit

für die Impulse in der relativistischen Situation, so unterscheidet sich die Form der relativistischen Bewegungsgleichungen nicht von den nichtrelativistischen. Der Unterschied ist das Auftreten der relativistischen Masse anstelle der Ruhemasse.

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