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4 Die Symmetrie der Greenschen Funktion

Eine wichtige Eigenschaft der Greenschen Funktion ist deren Symmetrie. Wegen der Symmetrie der Deltafunktion erwartet man, dass die Greensche Funktion, eine Funktion von sechs Variablen, symmetrisch gegen Vertauschung von und ist

so dass

gilt. Der Nachweis dieser Vermutung lässt sich für den Fall von Dirichlet-Randbedingungen direkt erbringen. Man benutzt dazu das Greensche Theorem (1)

und setzt die Funktionen

für die die Randbedingungen

gelten sollen, ein. Es folgt dann bei Benutzung der Differentialgleichung für die Greens Funktionen

Die rechte Seite verschwindet infolge der Randbedingung für und es bleibt auf der linken Seite