Detail 4.6
Potential eines geraden Drahtes mit dielektrischem Zylinder

#### (a) Potential des geraden Drahtes parallel zu der -Achse durch den Punkt

Man berechnet zuerst das elektrische Feld eines langen, geraden Drahtes (Abb. 4.1) entlang der -Achse mit dem Gaußtheorem. Ist die lineare Ladungsdichte , so erhält man für einen Gaußzylinder mit der

Abbildung 4.1: Potential eines langen, geraden Drahtes: Gaußfläche

Höhe und dem Radius um die -Achse infolge der Symmetrie

bzw.

Das zugehörige elektrische Potential ist

Für einen Draht, der im Abstand parallel zur -Achse verläuft (und die -Achse schneidet), kann man den Abstand eines Feldpunktes in der Ebene von dem Schnittpunkt mit dem Kosinussatz

darstellen (Abb. 4.2).

Abbildung 4.2: Potential eines langen, geraden Drahtes: Geometrie des verschobenen Drahtes

Hier ist der Abstand des Feldpunktes von dem Koordinatenursprung und der Azimutalwinkel. Um

in der gewünschten Form einer Fourierreihe (siehe Math.Kap. 1.3.4) anzugeben, benötigt man die Reihentwicklung

| (1)

Die ersten Terme dieser Reihe kann man explizit anhand der Taylorformel gewinnen. Der allgemeine Nachweis der Gültigkeit dieser Entwicklung ist jedoch aufwendiger. Er kann in zwei Schritten vollzogen werden

- Man verifiziert zunächst die Korrektheit der Entwicklung

  | (2)

  indem man die Gleichung mit durchmultipliziert

  und den Term mit dem Produkt von Kosinusfunktionen mit

  in zwei Beiträge zerlegt. Auf der rechten Seite (RS) erhält man nach Sortierung

  Der letzte Term in der ersten Klammer entspricht dem Beitrag mit (nach Umbenennung). Der erste Term der zweiten Klammer ist die Umschreibung des letzten Terms in der Ausgangsgleichung. Man erkennt, dass sich die Terme in den Klammern jeweils herausheben, so dass die linke und die rechte Seite übereinstimmen. Man kann nachweisen, dass die Reihe (2) für gleichmäßig konvergiert, also gliedweise integriert werden kann.
- Man bringt nun in der Relation (2) die auf die linke Seite und dividiert die resultierende Gleichung durch . Die so gewonnene Gleichung

  kann direkt integriert werden, so dass man somit, bis auf die Sortierung der Faktoren, die gewünschte Reihenentwicklung

  erhält.

Zur Berechnung der Entwicklung des logarithmischen Potentials muss man die Abstandsfunktion in der Form

bzw.

aufbereiten und findet mit

und (1) für die Entwicklungen

|  |  | (3)

#### (b) Draht und dielektrischer Zylinder: Auswertung der Anschlussbedingungen

Die Ansätze für die Potentiale in den drei Raumgebieten sind

Die Anschlussbedingungen auf der Oberfläche des dielektrischen Zylinders mit Radius sind die Stetigkeit des Potentials

und die Stetigkeit der Normalenableitung der dielektrischen Verschiebung, in der Umsetzung für das Potential also

Diese Bedingungen führen, infolge der Orthogonalitätsrelationen für die auftretenden Kosinusfunktionen, zu dem Gleichungssystem ()

mit der Lösung

Die Konstanten und sind nicht festgelegt, können aber infolge der Eichfreiheit des Potentials gleich Null gesetzt werden. Bei dem Anschluss der Lösungen bei ist nur die Bedingung

möglich. Die Normalenkomponente der dielektrischen Verschiebung ist nicht stetig, da auf der Randkurve eine wahre Ladung vorhanden ist. Die Bedingung liefert direkt die Aussagen

#### (c) Die Abbildung

Die konforme Abbildung

mit der Umkehrung

wird hier im Detail analysiert. Zu diesem Zweck gibt man Kurven in der -Ebene vor und betrachtet deren Bilder in der -Ebene. Die Zusammensetzung dieser Einzelabbildungen sollte einen Eindruck von der gesamten Abbildung vermitteln. Setzt man

so ist

Anwendung des Additionstheorems ergibt

Zur Umrechnung der trigonometrischen Funktionen mit imaginärem Argument benutzt man

Man erhält somit in der -Ebene

In den folgenden Abbildungen sind die Kurven in der -Ebene und die entsprechenden Bildkurven in der -Ebene auf einem `Blatt` gezeichnet. Je eine der Kurven ist farblich hervorgehoben (blau: -Ebene, grün: -Ebene). Insbesondere werden die folgenden Kurven der -Ebene und ihrer Abbilder betrachtet:

- Die zwei Geraden in der oberen -Halbebene im Abstand parallel zur imaginären Achse ( ) werden auf zwei Teilbereiche der reellen Achse der -Ebene, die sich von den Punkten bis zu unendlich fernen Punkten erstrecken, abgebildet

  Abbildung 4.3: Spezialfall I

- Die imaginäre Achse der -Ebene wird auf die imaginäre Achse der -Ebene (mit einer Umskalierung) abgebildet

- Das Intervall der -Ebene wird auf das Intervall der -Ebene abgebildet

  Abbildung 4.4: Spezialfall II

- Parallelen zur imaginären Achse der -Ebene, deren Realteil in dem Intervall liegt, entsprechen `Strahlen`, die auf der reellen -Achse in dem Bereich beginnen

  Nach einer anfänglichen Krümmung gehen die Bildkurven in Geraden mit der Steigung

  über.

  Abbildung 4.5: Spezialfall III

- Geradenstücke in dem Intervall parallel zur reellen Achse der -Ebene gehen in ellipsenähnliche Kurven in der -Ebene über, wobei sich die Bilder von zwei Geradenstücken mit zu einer Ellipse ergänzen. Ist die Entfernung von der reellen Achse der -Ebene groß, so gehen die Ellipsen in Kreise über.

  Abbildung 4.6: Spezialfall IV

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