Lösung der Aufgabe 8.4

Die Bezugssysteme werden folgendermaßen gewählt: Das Zentrum der homogen geladenen Kugel markiert den Ursprung des Systems Dieses bewegt sich mit der Geschwindigkeit in der gemeinsamen -Richtung gegenüber dem System dem System des `stationären Beobachters` . Die Minkowskikoordinaten aus der Sicht von

und der Sicht von

werden durch die Lorentztransformation

verknüpft

Das elektromagnetische Feld aus der Sicht von wird durch die Transformation des Feldtensors berechnet

In dem resultierenden Feldtensor liest man die Feldkomponenten aus der Sicht von ab. Dabei ist eine Umschreibung der Koordinaten mit

vorzunehmen. Das elektrische Feld ist

mit

Für die magnetische Induktion folgt

Sie hat keine Komponente in der Bewegungsrichtung. Zur Überprüfung der Maxwellgleichungen im Vakuum benötigt man die Viererstromdichte aus der Sicht von In dem System gilt

Für den transformierten Vierervektor findet man mit

die Viererstromdichte aus der Sicht des stationären Beobachters

Hier liest man ab, dass die Dichte in dem System durch und die Stromdichte (jeweils innerhalb der Kugel) durch

charakterisiert wird. Der Faktor beschreibt die Längenkontraktion der bewegten Kugel in der -Richtung . Bei der weiteren Betrachtung muss man die Punkte im Innern der Kugel und Punkte außerhalb der Kugel unterscheiden. Im Innern

gilt für das elektrische Feld

mit

Der Faktor beschreibt in der Form die Längenkontraktion der bewegten Kugel. Die magnetische Induktion ist

Die Maxwellgleichungen

sind sozusagen trivialerweise erfüllt. Für die Quellgleichung des elektrischen Feldes findet man

Die Gesamtladung ist aus der Sicht der zwei Bezugssysteme gleich groß. Das erweiterte Ampèresche Gesetz

entspricht

Auch diese Maxwellgleichung ist erfüllt. Im Außenbereich sind die Komponenten der elektromagnetischen Felder

Damit findet man, dass alle Maxwellgleichungen erfüllt sind Um die Frage zu beantworten, inwieweit die Aussagen sich verändern, wenn man die Galilei anstelle der Lorentztransformation benutzt, ist die Grenzwertbetrachtung mit

nicht der korrekte Weg. Man würde nur feststellen, dass alle vier Maxwellgleichungen (natürlich!) auch in diesem Grenzfall gültig sind. Benutzt man die Galileitransformation, so wird die Transformationsmatrix unsymmetrisch. Behält man die Minkowskischreibweise bei, so lautet die Matrix der Galileitransformation

Benutzt man diese Transformationsmatrix in

so erhält man kein magnetisches Feld in dem stationären System Diese Aussage ist offensichtlich nicht korrekt.

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