Lösung der Aufgabe 3.6

Infolge der Symmetrie hängt das Potential nur von der Variablen ab, so dass die Laplacegleichung in der Form

zur Diskussion steht. Die allgemeine Lösung

geht bei Anwendung der Randbedingungen

- Auf der Oberfläche des Ellipsoids, das durch charakterisiert ist, ist das Potential konstant.
- Dies ist die einfache Randbedingung der Potentialtheorie.

in

über. Die Oberflächenladungsdichte kann gemäß

berechnet werden. Man findet

wobei die Relationen

benutzt wurden. Die Abhängigkeit der Oberflächendichte von der Variablen für die Darstellung in den Ellipsoidparametern und zeigt die Abb. 0.1.

Abbildung 0.1: Die Funktion in Einheiten von
für festes als Funktion von | für festes als Funktion von

Die Dichte ist maximal für Punkte mit der größten Krümmung () und minimal für Punkte mit der kleinsten Krümmung (). Die Gesamtladung auf der Oberfläche des Ellipsoids

ergibt für die Kapazität

Die Kapazität ist als Funktion von proportional zu . Betrachtet man , so findet man einen nahezu linearen Anstieg für (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Die Kapazität () als Funktion von

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