Detail 4.4
Auswertung der allgemeinen Potentialformel mit Kugelsymmetrie
Zur Anwendung der allgemeinen Lösungsformel (4.32) aus Kap. 4.3 für ein Dirichletproblem mit Kugelsymmetrie muss man die Normalenableitung der Greenschen Funktion auf den Randflächen berechnen. Ist die äußere Kugel unendlich groß, so gilt

| (1)

und man kann sich auf die Betrachtung der inneren Kugel mit dem Radius beschränken. Der einfachste Weg zur Berechnung der Ableitung (beachte das Vorzeichen der Normalenableitung)

benutzt die nicht resummierte Form, z.B.

| (2)

Die Ableitung dieser Funktion (Vertauschung von Differentiation und Summation vorausgesetzt) ist

|  |  | (3)

Ausgehend von der Entwicklung der Abstandsfunktion (Kap. 3.2, (3.20))

findet man durch Differentiation nach die Relation

die dem ersten Term in (3) entspricht. Der zweite Term kann ebenfalls mit der Entwicklung der Abstandsfunktion behandelt werden.

Die Relation (3) lautet somit (vergleiche D.tail 4.1)

Es wurde das folgende Potentialproblem als Beispiel angeführt: Das Potential ist auf zwei konzentrischen Kugelflächen (Radius und ) mit

vorgegeben. In dem Gebiet zwischen diesen Flächen befinden sich keine Punkt- oder Raumladungen

Zur Berechnung des gesuchten Potentials muss man diese Vorgaben in die für die spezielle Geometrie erarbeitete Lösungsformel (4.33) aus Kap. 4.3 einsetzen

|  |  | (4)

und die anstehenden Integrationen ausführen. Es liegt Azimutalsymmetrie vor, d.h. es ist . Mit der Vorgabe der Ladungsdichte ist nur der Oberflächenterm auszuwerten. Man findet

Der letzte Schritt folgt aus der Überlegung: Berechnet man mit diesem Potential die Oberflächenladungsdichte auf der Kugel mit dem Radius

so findet man

Integration über die Kugelfläche oder einfacher ergibt die Gesamtladung auf der Kugeloberfläche

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