Lösung der Aufgabe 7.14

Die Differentialgleichung für die Feldkomponente (Kap. 7.2.3.2) einer TM-Welle lautet in Zylinderkoordinaten

mit

Die andere Feldkomponenten sind durch

zu berechnen. Die Zeitabhängigkeit aller Feldkomponenten ist

Zur Lösung der Differentialgleichung macht man den Separationsansatz

und erhält die Lösung

bzw. eine entsprechende reelle Funktion für den Winkelanteil. Die gewöhnliche Differentialgleichung für die Radialfunktion

ist die Differentialgleichung der Besselfunktionen mit ganzzahligen Index (Math.Kap. 4.4.2). Die im Innern des Zylinders reguläre Lösung ist

Die Randbedingung erfordert

Die zulässigen Werte für die Konstante werden durch die Nullstellen der Besselfunktionen (bei vorgegebenem Radius) bestimmt. Die erste Nullstelle der Funktion führt auf die Relation

für das Quadrat der `Wellenzahl`. Ist negativ, also imaginär, so entspricht die Welle mit einer exponentiell gedämpften Welle, die sich in dem Hohlleiter infolge der Dämpfung nur über eine kurze Strecke ausbreitet. Derartige Wellen werden als `cut-off`-Moden bezeichnet. Wellen, die sich in dem Hohlleiter `unbegrenzt` ausbreiten, müssen eine Frequenz haben, die größer als die Grenzfrequenz ist. Aus folgt für das obige Beispiel

Berücksichtigt man die Nullstellen der Besselfunktionen mit höherem Index

etc., so findet man entsprechende Grenzfrequenzen.

Abbildung 0.1: Dispersionsrelationen der TM-Moden

In der Darstellung (Abb. 0.1) ist mit aufgetragen. Man erkennt, dass für jeden Frequenzwert nur eine endliche Zahl von Moden existiert. Betrachtet man z.B. die reelle Form der Lösung

so findet man

Die entsprechenden Komponenten und des Magnetfeldes unterscheiden sich gemäß

nur um einen Faktor. Für die TE-Moden ist die grundliegende Differentialgleichung

zu diskutieren. Der Radialanteil in

ist der gleiche wie für die TM-Mode

Die Randbedingung lautet letztlich

Für die Mode mit ist z.B.

Die Grenzfrequenz folgt hier aus der ersten Nullstelle von

zu

Diese Grenzfrequenz liegt oberhalb der niedrigsten Grenzfrequenz der TM-Moden. Die Dispersionsrelation der Hohlleiterwelle (Vakuum) kann in der Form

geschrieben werden. Aus den Definitionen (für den Fall einer monochromatischen Welle)
für die Phasengeschwindigkeit
für die Gruppengeschwindigkeit
gewinnt man die Aussagen: Die Phasengeschwindigkeit ist

Sie ist größer als die Lichtgeschwindigkeit. Da sie keine Propagation eines Signals beschreibt, ist dies kein Widerspruch zur Relativitätstheorie. Für die Gruppengeschwindigkeit gilt

Das eigentliche Signal breitet sich mit einer Geschwindigkeit aus, die kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.

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