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3 Partielle Differentialgleichungen

In der Elektrodynamik spielen eine gute Anzahl von durchaus verwandten partiellen Differentialgleichungen eine Hauptrolle. Die Theorie wird in den Maxwellgleichungen, einem Satz von partiellen Differentialgleichungen zur Bestimmung der sechs Komponenten des elektromagnetischen Feldes, zusammengefasst. In dem stationären Grenzfall diskutiert man für den elektrischen Anteil die Laplace- bzw. Poissongleichung zur Berechnung des elektrischen Potentials

für den magnetischen Anteil die Ampèresche Differentialgleichung

die das magnetische Vektorpotential bestimmt.

Im dynamischen, dem voll zeitabhängigen Fall, werden die Maxwellgleichungen zu Wellengleichungen für die (verkoppelten) Feldkomponenten oder die elektromagnetischen Potentiale umgeformt. Neben der Wellengleichung im ladungs- und stromfreien Raum, wie

ist in leitender Materie die Telegrafengleichung

zu betrachten. Das Senderproblem erfordert die Diskussion von inhomogenen Wellengleichungen, z.B. für das Potential

Geht man in die homogene Wellengleichung mit einem Ansatz

ein, so erhält man eine Helmholtzgleichung

Alle vorliegenden Differentialgleichungen sind homogene bzw. inhomogene Differentialgleichungen von zweiter Ordnung mit bis zu vier Variablen. Neben allgemeineren Untersuchungen steht die Frage nach direkten, praktischen Lösungsmethoden für solche Differentialgleichungen im Raum. Im Endeffekt existiert, außer numerischen Methoden, für die homogenen, linearen Differentialgleichungen nur ein Zugang: Die Reduktion einer partiellen Differentialgleichung in Variablen auf einen Satz von gewöhnlichen Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen. Diese Methode wird in dem Abschnitt Math.Kap. 3.1 vorgestellt. Nach Klärung dieser mehr technischen Frage kommt die physikalische Fragestellung in der Form einer allgemeineren Diskussion des Randwertproblems (der Elektrostatik) zum Wort (Math.Kap. 3.2). Eine generelle Methode zur Behandlung der inhomogenen Differentialgleichungen ist die Methode der Greenschen Funktionen. Die Greensche Funktion für das stationäre Randwertproblem wird in Math.Kap. 3.3, die retardierte Greensche Funktion der Elektrodynamik in Math.Kap. 3.4 behandelt.

Unterabschnitte

- 1 Die Trennung der Variablen
  - 1 Laplacegleichung, zwei kartesische Koordinaten
  - 2 Helmholtz-/Laplacegleichung, kartesische Koordinaten
  - 3 Laplacegleichung, Kugelkoordinaten
  - 4 Laplacegleichung, Zylinderkoordinaten
- 2 Randwertaufgaben
- 3 Die Greensche Funktion für Randwertaufgaben
  - 1 Definition der Greenschen Funktion
  - 2 Die Greenschen Integralsätze
  - 3 Die allgemeine Lösungsformel des Randwertproblems
  - 4 Die Symmetrie der Greenschen Funktion
- 4 Die retardierte Greensche Funktion für Anfangswertprobleme
  - 1 Definition der retardierten Greensfunktion durch Konturintegration
  - 2 Auswertung des Konturintegrals
  - 3 Variante