## 2 Quantitative Fassung der Vektorrechnung

Eine quantitative Fassung der Konzepte des vorherigen Abschnittes gewinnt man, wenn man die Vektoren auf ein gegebenes kartesisches Koordinatensystem bezieht (Abb. 3.8).

Abbildung 3.8: Koordinatensystem und Koordinatendreibein

Man kann ein solches Koordinatensystem durch ein Dreibein von Einheitsvektoren 11 aufspannen. Diese Vektoren (oder alternativ ) werden durch die folgenden Relationen charakterisiert

In der letzten Zeile ergeben sich mit dem Kommutativgesetz zusätzliche Relationen. Zur Abkürzung dieser Vorgaben benutzt man das Kroneckersymbol

Die neun Skalarprodukte der Einheitsvektoren kann man mit Hilfe dieses Symbols in der Form

schreiben. Dieser Satz von Relationen besagt, dass die drei Einheitsvektoren paarweise senkrecht aufeinanderstehen (orthogonal sind) und jeweils die Länge (den Betrag) haben (auf normiert sind). Die Festlegung der wechselseitigen Orientierung zu einem rechtshändigen Koordinatensystem wird durch die Vektorprodukte

ausgedrückt. Die Reihenfolge der Indizes entspricht zyklischen Vertauschungen (Permutationen) der Zahlen . Es gilt natürlich auch

Die neun Vektorprodukte werden ebenfalls in einer kompakten Form zusammengefasst

Der Faktor in der Vektorsumme ist das Levi-Civita Symbol. Es hat die Eigenschaften

Von den Kombinationen der Indizes ergeben die , drei die und drei die . Die Verwendung des Symbols erscheint also eher umständlich als nützlich. Es stellt sich jedoch durchaus als brauchbar heraus.
Mit den obigen Angaben ist der (dreidimensionale) Euklidische Raum (mit der Standardbezeichnung oder ) definiert12. Zur quantitativen Fassung der Vektorrechnung projiziert man zunächst einen Vektor mit Hilfe des Skalarproduktes auf die Koordinatenachsen

Die Bezeichnung ist bei Nutzung der Summenschreibweise angebracht, sie entspricht natürlich der Standardform . Man kann, umgekehrt, den Vektor wieder aus den Projektionen zusammensetzen

Man bezeichnet einen solchen Ausdruck als die Zerlegung eines Vektors in seine kartesischen Komponenten. Die Komponenten eines Vektors (Abb. 3.9) (dessen Anfangspunkt im Koordinatenursprung liegt) sind identisch mit den Koordinaten des Endpunktes des Vektors. Man schreibt deswegen auch

Vektoren im werden durch die Angabe von Zahlentripeln charakterisiert, wobei im Rahmen der Matrixformulierung (siehe Math.Kap. 3.2) der Äquivalenzpfeil als Gleichheitszeichen gewertet werden kann. Der Vektor kann in einem vorgegebenen Koordinatendreibein im Sinne der Komponentenzerlegung aus der Angabe des Zahlentripels rekonstruiert werden.

Abbildung 3.9: Zur Komponentenzerlegung

Die Komponentenzerlegung ist der Schlüssel zu der quantitativen Fassung der Vektorrechnung. Mit (benutze anstelle von etc. )

findet man für die einzelnen Rechenoperationen (Abb. 3.10)

- Addition Unter Benutzung der aufgeführten Rechenregeln erhält man für den Summenvektor

  Der Summenvektor ergibt sich durch Addition der einzelnen Komponenten.
- Multiplikation mit Skalar Hier ist

- Subtraktion Die Differenz zweier Vektoren ist

Abbildung 3.10: Illustration zur quantitativen Vektorrechnung

Die Handhabung der beiden Produkte mit Vektoren ist nur wenig aufwendiger.

- Für das Skalarprodukt erhält man mit einigen einfachen Rechenschritten

  Kennt man die Komponentenzerlegung der beiden Vektoren, so erhält man das Skalarprodukt als Summe über die Produkte der jeweiligen Komponenten. Dies ist eine Zahl.
- Das Vektorprodukt kann mittels der Komponentenzerlegung ebenfalls geschlossen angegeben werden

  In den Rechenschritten wurden die angegebenen Rechenregeln und die Darstellung der Vektorprodukte der Einheitsvektoren benutzt. Als Ergebnis extrahiert man noch die Aussage: die -te Komponente des Produktvektors ist

  Hinter der Doppelsumme verbirgt sich jedoch, infolge der Eigenschaften des Levi-Civita Symbols, ein etwas einfacheres Ergebnis. Schreibt man die neun Beiträge für jede der Komponenten explizit aus, so stellt man fest, dass jeweils nur zwei von Null verschieden sind. Als Ergebnis dieser Fingerübung kann man notieren

  Die Merkregel für die Sequenz der Indizes lautet: In dem ersten Term jeder Komponente steht die zyklische Ergänzung zu den Komponentenindizes unter Beibehaltung der Reihenfolge der Faktoren. In dem zweiten Term steht die entsprechende antizyklische Ergänzung. Eine weitere Merkregel nimmt Bezug auf das Konzept der Determinante. Die Regel wird an der zuständigen Stelle (siehe Math.Kap. 3.2.4) aufgeführt.

Um aufzuzeigen, in welcher Weise sich die beiden Produkte mit Vektoren zur Diskussion von geometrischen oder trigonometrischen Problemen eignen, sollen einige explizite Aufgaben angedeutet werden.

- Aufgabe 1: Berechne den Abstand der Endpunkte der Vektoren und und bestimme den Winkel zwischen den Vektoren (Abb. 3.11a). Die Längenangaben sind in cm, m, .
  Zur Beantwortung der ersten Frage berechnet man den Betrag des Differenzvektors (Abb. 3.11a). Bei der zweiten Frage benötigt man den Betrag der beiden Vektoren ( ), das Skalarprodukt der beiden Vektoren ( ) und erhält damit und somit rad.

  Abbildung 3.11: Anwendungen der Vektorrechnung

- Aufgabe 2: Bestimme die Gleichung einer Geraden durch die Endpunkte der Vektoren und (Abb. 3.11b). Jeder Punkt der Geraden wird durch beschrieben, wobei der Parameter die Werte annimmt (Abb. 3.11b). Die Komponenten dieser vektoriellen Geradengleichung entsprechen der Parameterdarstellung einer Geraden im Raum

- Aufgabe 3: Bestimme die Gleichung einer Ebene im Raum, die den Endpunkt des Vektors enthält und senkrecht auf einer gegebenen Richtung steht (Abb. 3.12).
  Der Differenzvektor , wobei der Endpunkt von einen beliebigen Punkt der Ebene markiert, liegt in der Ebene. Die Orthogonalität der Vektoren und wird durch das Skalarprodukt ausgedrückt. Alle Punkte der Ebene erfüllen (als Endpunkte des Vektors ) diese Gleichung, die die Hessesche Normalform genannt wird. Eine explizite Ebenengleichung erhält man durch Übergang zu der Komponentenschreibweise (benutze (x, y, z))

  Dies entspricht der Standardform der Gleichung einer Ebene im Raum , die in der analytischen Geometrie benutzt wird (siehe auch Math.Kap. 4.1).

  Abbildung 3.12: Anwendung: Ebenengleichung

- Aufgabe 4: Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum, das von den Endpunkten der Vektoren aufgespannt wird (Abb. 3.13a). Man bildet z.B. die Differenzvektoren und (andere Kombinationen sind möglich) und berechnet den Betrag des Vektorproduktes von und . Die Dreiecksfläche ist dann . Daraus erhält man beim Übergang zu der Komponentendarstellung den Ausdruck

  der mit elementaren Mitteln nicht so leicht zu gewinnen ist.
- Aufgabe 5: Bestimme den kürzesten Abstand des Endpunktes des Vektors von der Geraden (Abb. 3.13b).
  Man betrachtet einen beliebigen Punkt der Geraden, charakterisiert durch den Parameter , und bildet den Differenzvektor

  der von dem Punkt der Geraden zu dem Endpunkt von zeigt. Der gesuchte, kürzeste Abstand ist durch gegeben, wobei der Winkel zwischen der Geraden und dem Vektor ist. Diesen Winkel kann man über berechnen. Da man das Vektorprodukt durch die vorgegebenen Vektoren ausdrücken kann

  erhält man letztlich

Abbildung 3.13: Anwendungen

Mit der Definition der Produkte aus zwei Vektoren ist die Möglichkeit gegeben, kompliziertere Produkte wie Dreier-, Vierer-, produkte zu betrachten. Ein öfter benutztes Produkt aus drei Vektoren ist das Spatprodukt, das durch

definiert ist. Das Spatprodukt, eine skalare Größe, stellt den Rauminhalt des Parallelflachs dar, das von den drei Vektoren aufgespannt wird (Abb. 3.14). Der Vektor steht senkrecht auf der Fläche, die von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird und ist ein Maß für den Inhalt dieser Fläche. Die Projektion des Vektors auf den Vektor entpricht der Höhe des Parallelflachs, so dass die Behauptung aus der Formel Volumen= Grundfläche mal Höhe folgt. Das Volumen ist also13

bzw. in der Komponentenzerlegung

oder in der Kompaktform

Abbildung 3.14: Spatprodukt

Anhand der Komponentenzerlegung (oder anhand einer mehr geometrischen Betrachtung) kann man nachprüfen, dass sich bei zyklischer Vertauschung der Reihenfolge der Vektoren der Wert des Spatproduktes nicht ändert. Bei antizyklischer Vertauschung tritt ein Vorzeichenwechsel auf

Das Spatprodukt beschreibt einen `orientierten` Rauminhalt des Parallelflachs.
Das Dreifachvektorprodukt

ergibt eine Linearkombination der Vektoren und , wobei die Koeffizienten der Linearkombination durch das Skalarprodukt der jeweils anderen Vektoren gegeben sind

Diese Zerlegung nennt man den Grassmannschen Entwicklungssatz. Zur Illustration des Beweises dieses Satzes soll die - Komponente des Vectors betrachtet werden. Es ist

(Auswertung des äußeren Vektorproduktes)

(Auswertung des inneren Vektorproduktes)

(nach Sortierung und Ergänzung)

Ein entsprechendes Resultat findet man für die anderen Komponenten des Vektors .
Weitere Produkte, wie z.B. die Viererprodukte

treten in der Mechanik (Physik) gelegentlich auf, sollen hier jedoch nicht diskutiert werden.
Die folgenden Ergänzungen in dem Abschnitt `Vektoren` stellen erste Bemerkungen zu Themenkreisen dar, die im Rahmen der Überschrift `Lineare Algebra ` angeschnitten werden können aber erst zu einem späteren Zeitpunkt ausgebaut werden. Sie betreffen zum einen die Erweiterung der Betrachtungen auf -dimensionale (Euklidische) Vektorräume, zum anderen die Frage nach schiefwinkligen Koordinatensystemen und deren Verallgemeinerung.