## 4 Ergänzung: Elliptische Integrale

In dem Math.Kap 4.3.1 wurden als Beispiel für Funktionen, die durch ein Integral definiert werden, die elliptischen Integrale erwähnt. Diese Funktionen sollen in der folgenden `Ergänzung` kurz angesprochen werden. Das Ziel ist nicht so sehr die Vorstellung aller möglichen Aspekte und Eigenschaften sondern nur eine Darstellung der üblichen Klassifikation und der verschiedenen Varianten, die in der Praxis auftreten.
Integrale der Form

oder

wobei eine rationale Funktion von und den Quadratwurzeln ist, lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen. Die `Variable ` ist ein Parameter, der als Modul bezeichnet wird.
Die eigentliche Struktur der Funktion wird durch das folgende Argument verdeutlicht. Eine rationale Funktion kann durch einen Quotienten aus zwei Polynomen dargestellt werden (der Modul ist bei der folgenden Diskussion nicht von Interesse)

Die Wurzeln mit dem Polynom dritter oder vierter Ordnung wurde dabei mit bezeichnet. Erweitert man den Quotienten zu

so kann man feststellen: Das Produkt der beiden Polynome im Nenner ist eine ganzrationale Funktion von , da es sich bei der Transformation nicht verändert. Es ist dann aber eine ganzrationale Funktion von , die Quadratwurzel tritt hier nicht mehr auf. Das Produkt im Zähler denkt man sich ausmultipliziert. Jeder Term der Form , wobei eine ganze Zahl ist, entspricht wiederum einer ganzrationalen Funktion von . Terme der Form faktorisieren in eine ganzrationale Funktion multipliziert mit . Der Ausdruck für die Funktion lautet also im Endeffekt

Ein Integral über die ganzrationale Funktion ist nicht weiter von Interesse, es kann durch elementare Funktionen dargestellt werden. Zu diskutieren sind also einzig die Integrale der Form

wobei eine ganzrationale Funktion ist und und nicht beide gleichzeitig gleich Null sein sollen.
Alle Integrale dieser Art lassen sich auf drei Grundtypen zurückzuführen. Diese Grundtypen werden als elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art bezeichnet. Die Definitionen der einfachsten Varianten dieser Grundtypen (in mehr oder weniger physikalisch motivierter Form) sind

Der Parameter ist auf das Intervall beschränkt. Er wird meist in der Form geschrieben. Für Parameter, die größer als sind, ist eine Umschreibung der Integrale mittels einer geeigneten Substitution notwendig. Für das elliptische Integral erster Art liefert z.B. die Substitution

das Integral (mit )

und somit die Möglichkeit -Werte, die größer als sind, zu benutzen.
Eine in der Mathematik oft benutzte Form der elliptischen Integrale ergibt sich mit der Substitution

Es ist dann

Man erkennt hier die ursprünglich anvisierten Polynome unter der Quadratwurzel. Das elliptische Integral zweiter Art wird oft umgeschrieben

so dass man die reduzierte Form

erhält.
Eine Verallgemeinerung der zitierten, einfachsten Varianten stellen die Integrale

mit konstanten Parametern dar. Auch diese Verallgemeinerungen werden als elliptische Integrale erster bis dritter Art bezeichnet. Man kann zeigen, dass jedes kubische oder quadratische Polynom (mit kleinen Einschränkungen) mittels geeigneter Substitution in den angedeuteten Radikanden übergeführt werden kann

Elliptische Integrale mit (je nach Variante) den oberen Grenzen oder bezeichnet man als vollständige elliptische Integrale der jeweiligen Art. So ist z.B.

ein vollständiges elliptisches Integral der ersten Art.
Für elliptische Integrale (unvollständig oder vollständig) existieren Zusammenstellungen von Eigenschaften (Verknüpfung mit anderen höheren Funktionen, spezielle Werte, numerische Näherungen, etc.) sowie Wertetabellen21.