Lösung der Aufgabe 7.10

In einem Solenoid, in dem ein Wechselstrom fließt, ist das Magnetfeld gleich (Kap. 5.2 (5.22))

Der Strom, der das Magnetfeld erzeugt, fließt in der -Richtung. Die Wirbelstromdichte, die das Magnetfeld umschließt, hat ebenfalls nur eine -Komponente

die infolge der Symmetrie nur von der radialen Zylinderkoordinate abhängt. Die Differentialgleichung zur Bestimmung des Ortsanteils der Stromdichte

mit

ist eine Differentialgleichung für die Besselfunktion mit dem Index 1. Die für reguläre Lösung ist

wobei der Faktor der infolge der Homogenität der Differentialgleichung auftritt, noch zu bestimmen ist. Das zugehörige Magnetfeld ist

Zur Bestimmung der Konstanten benutzt man die Aussage, dass für sein muss. Diese Bedingung liefert

Zur weiteren Diskussion der Lösungen benötigt man eine explizite Aussage über die komplexe Größe Man findet

mit . Man kann aus diesem Grund die asymptotische Form der Besselfunktionen benutzen

die mit

und

umgeschrieben werden kann. Für große Werte von dominiert der erste Term, so dass man

erhält. Entsprechend findet man für

Mit diesen Ausdrücken lauten die Ortsanteile der Wirbelstromdichte und des Feldes (in der oben angegebenen Näherung)

Betrachtet man die Funktion

so stellt man fest, dass die Wirbelströme vorwiegend an der Oberfläche des Metallkerns fließen und dass das Magnetfeld, das in einem nichtgefüllten Solenoid homogen ist, durch den Induktionseffekt aus dem Inneren des Metallkerns verdrängt wird (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Pauschale Variation von und mit ( , )

Die Zeitabhängigkeit der beiden Größen hat wegen

die Form von phasenverschobenen Wellen, die mit der Geschwindigkeit

in das Innere des Zylinders eindringen.

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