Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.21

1. Notiere die Bewegungsgleichungen eines Elektrons. Welche Koordinaten sind angemessen?
2. Sortiere die Feldsituation: Welche der sechs Komponenten des elektromagnetischen Feldes sollen den Wert Null haben? Was bewirken die verbleibenden?
3. Notiere die Bewegungsgleichungen, die die diskutierte Feldsituation berücksichtigen.
4. Diskutiere die Koordinatensituation: Welche Bedingungen muss man an die Koordinaten stellen, damit das Betatron optimal arbeitet.
5. Führe die Aussagen zu den Koordinaten in die Bewegungsgleichungen ein. Notiere die verbleibenden Bewegungsgleichungen.
6. Diskutiere den Zusammenhang zwischen dem Beschleunigungsfeld und der dafür zuständigen Magnetfeldkomponente.
7. Welche Bewegungsgleichungen stehen letztlich zur Formulierung der Stabilitätsbedingung in der Radialrichtung an?
8. Gewinne aus den verbleibenden Aussagen die Stabilitätsbedingung.
9. Welche Form muss annehmen, damit die Stabilitätsbedingung realisiert werden kann?

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7.21 Antwort zu H1

Die Bewegungsgleichungen eines Elektrons in einem elektromagnetischen Feld

lauten in Zylinderkoordinaten
Wie?

Sortiere die Feldsituation: Welche der sechs Komponenten des elektromagnetischen Feldes sollen den Wert Null haben? Was bewirken die verbleibenden?

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7.21 Antwort zu H2

Das Elektron soll auf einer Kreisbahn beschleunigt werden. Dafür ist die Komponente zuständig. Die Komponenten und sollten nicht auftreten, da sie das Elektron aus der Kreisbahn entfernen würden. Infolge der Zylindersymmetrie muss sein. Die restlichen Komponenten der magnetischen Induktion wird man so einrichten, dass die Stabilität der Bahnebene (z.B. ) bedingt und die erwünschte Beschleunigungsspannung erzeugt (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Betatron, schematisch
Feldsituation im Schnitt | Feldsituation in Aufsicht

Notiere die Bewegungsgleichungen, die die diskutierte Feldsituation berücksichtigen.

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7.21 Antwort zu H3

Die für das Betatron zuständigen Gleichungen sind somit

Diskutiere die Koordinatensituation: Welche Bedingungen muss man an die Koordinaten stellen, damit das Betatron optimal arbeitet.

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7.21 Antwort zu H4

Damit Elektronen, die in die Ebene mit eingeschossen werden, in dieser Ebene bleiben, muss gelten. Mit dieser Forderung entfällt die Bewegungsgleichung für die -Komponente. Das Bewegungsproblem wird auf ein zweidimensionales Problem reduziert. Falls die Elektronen auf einem Sollkreis mit Radius bleiben sollen, müssen und gleich Null sein.

Führe die Aussagen zu den Koordinaten in die Bewegungsgleichungen ein. Notiere die verbleibenden Bewegungsgleichungen.

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7.21 Antwort zu H5

Es bleiben die Gleichungen

Diskutiere den Zusammenhang zwischen dem Beschleunigungsfeld und der dafür zuständigen Magnetfeldkomponente.

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7.21 Antwort zu H6

Das elektrische Ringfeld hängt über das Induktionsgesetz mit der Komponente der magnetischen Induktion zusammen. Allgemein ist

Zur praktischen Verwertung des Induktionsgesetzes integriert man über eine Kreisfläche (im Querschnitt durch das Vakuumrohr) mit Radius und wendet den Satz von Stokes an

Falls das Feld entlang des Kreises mit Radius konstant ist, folgen weiterhin

Auf der rechten Seite des Induktionsgesetzes hat man

wobei der magnetische Fluss durch

gegeben ist. Infolge der Symmetrie hängt nicht von der Winkelvariablen ab, so dass

wird. Das elektrische Feld kann somit durch die Zeitableitung des durch erzeugten magnetischen Flusses dargestellt werden

Welche Bewegungsgleichungen stehen letztlich zur Formulierung der Stabilitätsbedingung in der Radialrichtung an?

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7.21 Antwort zu H7

Infolge der Aussagen über die Felder

verbleiben zur Formulierung der Stabilitätsbedingung in der Radialrichtung die Aussagen

Gewinne aus den verbleibenden Aussagen die Stabilitätsbedingung.

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7.21 Antwort zu H8

Aus der ersten Gleichung gewinnt man

bzw. nach Differentiation

Vergleich mit der zweiten Gleichung

zeigt, dass die -Komponente des -Feldes die Bedingung

oder explizit

erfüllen muss.

Welche Form muss annehmen, damit die Stabilitätsbedingung realisiert werden kann?

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7.21 Antwort zu H9

Für eine homogene Feldkomponente ist die Bedingung

nicht erfüllt, denn es ist

Die -Komponente des -Feldes muss mit dem Radius variieren, damit das Elektron auf dem Sollkreis gehalten werden kann

Ist nun

so folgt

Mit diesem Feld kann die Bedingung erfüllt werden. Falls den Maximalwert erreicht, ist die Geschwindigkeit des Elektrons
?

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