Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.6

1. Betrachte einen quaderförmigen Bereich des Raumes und führe die geforderte Reduktion durch.
2. Führe die Reduktion für Zylinderkoordinaten durch. Betrachte einen kreisförmigen und einen beliebigen Bereich in der - Ebene.
3. Formuliere das erste Greensche Theorem in der zweidimensionalen Welt.
4. Formuliere das zweite Greensche Theorem in der zweidimensionalen Welt.
5. Gewinne die Greensche Lösungsformel des Potentialproblems in der zweidimensionalen Welt.
6. Werte die Greensche Lösungsformel für die Kuchenstückgeometrie aus.

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4.6 Antwort zu H1

Ist die Vektorfunktion, die in das Divergenztheorem

eingeht, auf die - Ebene beschränkt

(bzw. auf eine andere ebene Fläche im Raum), so reduziert sich das Volumenintegral auf ein Flächenintegral und das Flächenintegral auf der rechten Seite auf ein Kurvenintegral. Um die explizite Form des reduzierten Theorems zu gewinnen, betrachtet man z.B. einen quaderförmigen Bereich ( , , ) und kartesische Koordinaten. Die linke Seite des Divergenztheorems hat im dreidimensionalen Raum die Form

Tritt die -Koordinate und die -Komponente nicht auf, so erhält man
?

in offensichtlicher Notation . Es wird über die zweidimensionale Divergenz einer Vektorfunktion in der - Ebene integriert. Die rechte Seite des Divergenztheorems lautet für die Vorgaben im dreidimensionalen Raum

Reduziert man die Vektorfunktion auf die - Ebene (, ), so verbleibt (wieder in offensichtlicher Notation)
?

ein Kurvenintegral über den Rand des Rechteckbereichs. In Zusammenfassung kann man das Ergebnis

notieren.

Führe die Reduktion für Zylinderkoordinaten durch. Betrachte einen kreisförmigen und einen beliebigen Bereich in der - Ebene.

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4.6 Antwort zu H2

Im Fall von Zylinderkoordinaten beginnt man mit

Das vollständige Divergenztheorem mit einem Bereich , , lautet

wobei die rechte Seite die Beiträge des Zylindermantels sowie der Boden- und Deckelfläche des Zylinders beinhaltet. Ist die Grundfläche nicht kreisförmig, so lautet die rechte Seite explizit

Die Reduktion

führt auf die Aussage

falls die Grundfläche kreisförmig ist, bzw.

für eine beliebige Grundfläche (wobei geeignete Grenzen einzusetzen sind). Dieses Resultat kann wiederum in der zweidimensionalen Form zusammengesetzt werden, explizit

Formuliere das erste Greensche Theorem in der zweidimensionalen Welt.

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4.6 Antwort zu H3

Das erste Greensche Theorem kann auf der Basis von

wie folgt formuliert werden. Ist

wobei die Funktionen über der - Ebene definiert sind, so folgt

Formuliere das zweite Greensche Theorem in der zweidimensionalen Welt.

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4.6 Antwort zu H4

Vertausche in

und und bilde die Differenz

Gewinne die Greensche Lösungsformel des Potentialproblems in der zweidimensionalen Welt.

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4.6 Antwort zu H5

Setzt man nun wie im dreidimensionalen Fall

mit den Differentialgleichungen

so erhält man zunächst

bzw. nach Sortierung und Umbenennung der Integrationsvariablen

Werte die Greensche Lösungsformel für die Kuchenstückgeometrie aus.

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4.6 Antwort zu H6

Ist die Fläche ein `Kuchenstück` mit der Vorgabe

und liegen Dirichletbedingungen vor

so lautet die `Masterformel` explizit

falls das Kuchenstück so orientiert ist, dass der Flächenvektor in die positive -Richtung zeigt. Beachte, dass die Komponente des Gradienten in Richtung des Randes benutzt wird und nicht die Komponente, die senkrecht auf dem Rand steht.

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