Lösung der Aufgabe 6.4

Teilaufgabe (1): Das Magnetfeld des Drahtes im Vakuum

hat in der Ebene der Leiterschleife, z.B. der - Ebene (Abb. 0.1),

Abbildung 0.1: Details zur Geometrie

die Form

Der Fluss durch die Schleife

ändert sich wie der induzierende Strom mit der Sinusfunktion, doch entsprechend der Lenzschen Regel mit einem umgekehrten Vorzeichen (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Rechteckschleife mit : Zeitablauf

Die Singularität des Flusses (und der Spannung) für ist dadurch bedingt, dass in diesem Fall ein unendlich starkes Feld durch die Rechteckschleife greift. Die induzierte Spannung wird über das Faradaysche Gesetz berechnet

Teilaugabe (2): Ist die Leiterschleife kreisförmig, wobei der Mittelpunkt des Kreises den Abstand von dem Draht hat (Abb. 0.3),

Abbildung 0.3: Geometrie für die kreisförmige Schleife

so ist die induzierte Spannung

Die in den Fällen (1) und (2) induzierten Spannungen sind gleich groß, falls

ist. Teilaufgabe (3a): Rotiert das Rechteck von Teilaufgabe (1) bei stationärem Strom um die -Achse, so ist, wie in Abb. 0.4 angedeutet,

Abbildung 0.4: Rotation I: Einfaches Argument

die magnetische Induktion auf der Fläche zu jedem Zeitpunkt antiparallel zu den infinitesimalen Flächenelementen. Das bedeutet, dass der Fluss durch die Schleife sich nicht mit der Zeit ändert und somit keine Spannung induziert wird. Mit der kartesischen Zerlegung des Flächenelementes

folgt für Punkte auf der rotierenden Ebene

Für den Vektor der magnetischen Induktion, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt, lautet die Zerlegung

Das Flussintegral, das somit zur Auswertung ansteht, ist

Da jedoch

gilt, ist der Fluss zeitlich konstant und es wird keine Spannung induziert. Teilaufgabe (3b): Rotiert das Rechteck um die -Achse (Abb. 0.5),

Abbildung 0.5: Rotation II: Aufbereitung der Rechnung ()

so lautet die Komponentenzerlegung des infinitesimalen Flächenvektors (Abb. 0.6)

Abbildung 0.6: Rotation II: Aufbereitung der Rechnung ()

bzw. für Punkte auf der rotierenden Ebene

wobei der Abstand von der -Achse ist. Die magnetische Induktion, die durch die Fläche greift, kann in der Form

zerlegt werden. Der Winkel ist der Winkel der Tangenten an die kreisförmigen Feldlinien projiziert in die - Ebene, mit

Mit diesen Vorgaben erhält man für das Flussintegral

Die Auswertung ergibt

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