Detail 8.6
Der relativistische Lagrange/Hamilton Formalismus
Die Bewegung eines geladenen Massenpunktes in einem elektromagnetischen Feld kann man entweder durch die Lorentzkraftgleichung oder durch eine entsprechende Lagrangefunktion charakterisieren. Der Zusammenhang (die Lagrangegleichung entspricht der Lorentzkraftgleichung) wird hier für den relativistischen und den nichtrelativistischen Fall hergestellt. Von besonderem Interesse in verschiedenen Bereichen der theoretischen Physik ist auch die Hamiltonfunktion einer relativistischen Punktladung in einem elektromagnetischen Feld. Diese Funktion wird in dem Abschnitt b. bereitgestellt.

#### (a) Die Lagrangegleichungen

Die nichtrelativistische Lagrangefunktion eines geladenen Massenpunktes () in einem elektromagnetischen Feld ist Kap. 8.5.4

Die generalisierten (kartesischen) Impulse sind

Als Zutaten für die Aufstellung der Lagrangegleichungen benötigt man

und

Die Auswertung von

ergibt z.B. für

mit den Definitionen (6.63) und (6.64) aus Kap. 6.5 somit

Entsprechendes gilt für die 2 und 3 Komponenten.

Die vektorielle Zusammenfassung lautet somit

wobei der klassische Impuls

ist.

Die relativistische Lagrangefunktion unterscheidet sich von der nichtrelativistischen nur in dem kinetischen Energieterm

Man erhält aus diesem Grund für den kinetischen Anteil des generalisierten Impulses

den relativistischen anstelle des klassischen Impulses.

#### (b) Die Hamiltonfunktion

Um die relativistische Hamiltonfunktion (Kap. 8.5.4) gemäß der Definition

zu bestimmen, muss man zunächst den Ausdruck für die Komponenten des generalisierten Dreierimpules (8.82)

|  |  | (1)

nach den Geschwindigkeitskomponenten auflösen. Man löst dazu zunächst die Relation

über

nach auf

und berechnet damit

Geht man damit in die Ausgangsgleichung (8.6.1) ein, so findet man für die Komponenten der Dreiergeschwindigkeit

Es sind dann noch die freie Lagrangefunktion und der magnetische Wechselwirkungsterm (8.79)

umzuschreiben, im Detail

Fasst man nun alle Terme in

zusammen, so findet man

das zu

und schließlich zu dem kompakten Resultat

zusammengefasst werden kann.

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