Detail 8.5
Der Energie-Impuls Tensor

Schreibt man die Bewegungsgleichungen einer Punktladung in einem elektromagetischen Feld in kovarianter Form so findet man letztlich einen Zusammenhang mit dem Energie-Impuls Tensor, der eine viedimensionale Erweiterung des Maxwellschen Spannungstensors darstellt. Drei einzelne Punkte sind hier aufzuarbeiten:

a.
  Die Umschreibung der Bewegungsgleichungen in eine kovariante Form.
b.
  Der Übergang zu einer Formulierung der Minkowskikraft des betrachteten Bewegungsproblems durch den Energie-Impuls Tensor.
c.
  Die Diskussion der Erhaltungssätze der Elektrodynamik aus der Sicht der kovarianten Formulierung.

#### (a) Die kovariante Formulierung

Es ist zu zeigen dass die Kraft auf eine Punktladung in einem kombinierten elektrischen und magnetischen Feld (in der Form Kraft pro Volumenelement)

| (1)

in kovarianten Größen der Gleichung

| (2)

entspricht. Man schreibt zu diesem Zweck die Kraftgleichung (1) komponentenweise aus

und vergleicht die einzelnen Komponenten mit den korrespondierenden Aussagen in der kovarianten Notation von (2). Die Viererstromdichte ist

die elektrischen und die magnetischen Feldkomponenten werden in dem Feldtensor zusammengefasst (Kap. 8.5.2)

Man findet dann im Einzelnen die folgenden drei Aussagen, wobei jeder Satz von Gleichungen von der ersten zur letzten Gleichung oder von der letzten zur ersten gelesen werden kann

Berechnet man nach dem gleichen Muster die Komponente , so ergibt sich bis auf einen Faktor der Joulesche Wärmeterm

|  |  | (3)

#### (b) Der Energie-Impuls Tensor

Ersetzt man in der Relation (2)

(mit ) die Komponenten der Viererstromdichte durch die zugehörigen Terme der inhomogenen Maxwellgleichungen (Kap. 8.5.2, (8.68))

| (4)

so stellt man mit den folgenden Rechenschritten die Beziehung zu dem Energie-Impuls Tensor her. Man beginnt mit der Ableitung eines Produktes von Elementen des Feldtensors

| (5)

Der zweite Term auf der rechten Seite kann infolge der Antisymmetrie der Tensorelemente mittels Vertauschung der Indizes umgeformt werden. Anschließend werden die Variablen, über die im Endeffekt summiert wird, umbenannt

Der zweite Term wird mit diesem Resultat in zwei Beiträge aufgefächert

und die Summe in der Klammer wird mit der homogenen Maxwellgleichung Kap. 8.52, (8.67) durch die zyklische Ergänzung ersetzt

Dieses Resultat kann als die Ableitung eines Produktes aus zwei gleichen Termen geschrieben werden

Schließlich werden die Indizes in zwei Stufen umbenannt

Ersetzt man nun den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung (5) durch

bzw.

so erhält man mit der Definition des Energie-Impuls Tensors (8.72) bei Umbenennung

| (6)

das Resultat

| (7)

Die explizite Darstellung der Tensorelemente durch die elektrischen und die magnetischen Feldkomponenten kann man anhand von (6) direkt berechnen. Man betrachtet zuerst den Term

und findet durch Quadrieren aller Elemente des Tensors

wobei die Relation benutzt wurde. Das Element ist

Die Elemente werden nur durch die einfache Summe bestimmt

Setzt man hier die benötigten Tensorelemente ein, so findet man z.B. für

und ein entsprechendes Ergebnis für die anderen Elemente dieser Art. Die Elemente mit den `räumlichen` Indizes gewinnt man durch

Ein Beispiel für ein diagonales Element ist dann

ein Beispiel für ein außerdiagonales Element

Diese Einzelresultate kann man in der Form

zusammenfassen. Dies ist der in Kap. 6.4.2, (6.61) zitierte Maxwellsche Spannungstensor (mit ).

#### (c) Die Erhaltungssätze

Aus den Bewegungsgleichungen

folgen der Energie bzw. der Impulssatz der Elektrodynamik. Die Komponente für ergibt

und entspricht somit () dem Energiesatz Kap. 6.4.1, (6.54) im Vakuum

Für die Raumkomponenten notiert man

bzw. explizit

Benutzt man hier (vergleiche Kap. 6 (6.59)) die Definition des Impulses des elektromagnetischen Feldes mit den Komponenten

so erkennt man hier den Impulssatz der Elektrodynamik (im Vakuum)

der in Kap. 6.4.2, (6.60) in kompakterer Form angegeben wurde.

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