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3 Die Legendreschen Funktionen

Bei der Separation der Laplacegleichung (und weiterer Differentialgleichungen der theoretischen Physik) in Kugelkoordinaten stößt man auf die Legendresche Differentialgleichung (setze zur Vereinfachung der Schreibweise )

Die Variable ist in dem Bereich definiert, wobei die Randpunkte reguläre singuläre Punkte sind. Die Lösungen dieser Differentialgleichung werden in zwei Stufen diskutiert. Die Grundlage der Diskussion sind die Lösungen für den Fall , die Legendreschen Polynome. Ausgehend von diesen Funktionen gewinnt man in einem zweiten Anlauf die von und abhängigen zugeordneten Legendreschen Funktionen (die jedoch meist auch als Polynome bezeichnet werden).

Unterabschnitte

- 1 Die Legendreschen Polynome
- 2 Die Eigenschaften der Legendrepolynome
  - 1 Erzeugende Funktion.
  - 2 Rekursionsformeln.
  - 3 Die Formel von Rodriguez.
  - 4 Integrale mit Legendrepolynomen.
  - 5 Die Funktionen
- 3 Die zugeordneten Legendreschen Funktionen
  - 1 Rekursionsformeln.
  - 2 Die Formel von Rodriguez.
  - 3 Integrale mit den .
- 4 Die Kugelflächenfunktionen
  - 1 Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen.