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3 Der Cauchysche Integralsatz und die Integralformeln

Das erste Beispiel des letzten Abschnitts zeigt, dass Integrale mit komplexen Funktionen von dem Weg abhängen können, der die Integrationsgrenzen verbindet. Eine derartige Abhängigkeit besteht nicht, wenn man analytische Funktionen betrachtet. Dies ist die Grundaussage des Integraltheorems von Cauchy, das besagt

Ist die Funktion analytisch in einem einfach zusammenhängenden Gebiet , so gilt für jede geschlossene, stückweise stetige, ganz in gelegene Kurve

Eine Variante dieses Theorems ist die Aussage, dass ein Integral zwischen zwei Punkten und unter den genannten Voraussetzungen unabhängig von dem Integrationsweg ist, solange er nur in dem Gebiet verläuft

Der Beweis dieses Theorems kann in verschiedener Weise geführt werden. Für eine einfache Argumentation mit einer Anleihe an die Vektoranalysis im Reellen schreibt man

und beruft sich für die zwei reellen Kurvenintegrale mit den Vektorfunktionen

auf den Satz von Stokes. Dieser besagt, dass die Kurvenintegrale

wegunabhängig sind, wenn die Rotation der Vektorfunktionen verschwindet (Band 1 Math.Kap. 5.3). Nun ist

und man erkennt, dass die Rotation der Vektorfunktionen infolge der Cauchy-Riemannschen Bedingungen verschwindet.

Von Interesse für die weitere Verwertung des Integralsatzes sind die folgenden Betrachtungen. Hat man zwei geschlossene, gleich orientierte Wege und , von denen der eine ganz im Innern des zweiten liegt (siehe Abb. 2.5a), so ist

falls in dem durch die Wege bestimmten Ringgebiet regulär ist.

Abbildung 2.5: Der Cauchysche Integralsatz

Diese Aussage gilt unabhängig von der Frage, ob in dem von dem Ringgebiet eingeschlossenen Gebiet regulär ist oder nicht. Zur Beweisführung benutzt man eine typische, in Abb. 2.5a angedeutete Argumentation. Man verbindet die zwei Wege durch zwei Hilfswege und , durch die das Ringgebiet in zwei einfach zusammenhängende Teile zerlegt wird. In den Teilgebieten und auf deren Ränder ist regulär, die Kurvenintegrale über die Ränder verschwinden somit. Addition, unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Hilfswege zweimal in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden, ergibt dann

bzw. die Behauptung. In dem Beispiel

kann somit der Kreis um die Stelle durch einen beliebigen, positiv orientierten Weg, in dessen Innengebiet liegt, ersetzt werden (Abb. 2.5b).

Eine entsprechende Beweisführung (siehe Abb. 2.6) zeigt, dass diese Aussage auf den Fall, dass mehrere gleichorientierte Wege innerhalb von liegen, erweitert werden kann

Es muss nicht vorausgesetzt werden, dass im Innern der Wege regulär ist.

Abbildung 2.6: Integralsatz: Erweiterung II

Aus dem Integraltheorem lassen sich, unter den gleichen Voraussetzungen, die oft benutzten Cauchyschen Integralformeln herleiten. Die erste dieser Formeln lautet:

Eine positiv orientierte, geschlossene Kurve liegt in dem Regularitätsgebiet einer Funktion . Ist ein beliebiger Punkt im Innern des von umschlossenen Gebietes, so gilt für die analytische Funktion an der Stelle die Formel

Der Beweis dieser Formel beruht auf der Zerlegung

In dem ersten Integral kann vor das Integral gezogen werden, so dass man für das Integral erhält. In dem zweiten Integral kann man den Radius des Kreises um so klein wählen, dass der Betrag des Zählers kleiner als eine vorgegebene Größe ist

Es gilt dann die Abschätzung

Der Beitrag des zweiten Integrals kann beliebig klein gemacht werden.

Neben der Hauptformel gelten unter den gleichen Voraussetzungen für die Ableitungen einer analytischen Funktion

Der Beweis dieser Formel ist etwas umständlicher. Man betrachtet explizit die Differentialkoeffizienten für gegebenes , wobei jeweils die Formel für die -te Ableitung einzusetzen ist, und schätzt die jeweiligen Integrale ab. Auf diese Weise kann man den Nachweis mittels vollständiger Induktion führen.

Die Definition von analytischen Funktionen basiert auf der Forderung der Differenzierbarkeit, d.h. der Existenz der ersten Ableitung. Die Cauchyformeln zeigen, dass für solche Funktionen aus der Existenz der ersten Ableitung die Existenz aller höheren Ableitungen folgt.