Lösung der Aufgabe 7.19

Die Lösung der Bewegungsgleichungen

die die Anfangsbedingungen erfüllt, ist

Ist das elektrische Feld stationär (), so geht die Lösung in

über. Dies ist die Parameterdarstellung eines Kreises mit konstanten Radius, dessen Mittelpunkt sich mit der Geschwindigkeit in der -Richtung bewegt (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Bahnkurve für den Fall 1 (stationäres elektrisches Feld)

Animation der Kurve

Die räumliche Bahnkurve ist somit eine Schraubenlinie entlang der Geraden

Wird das elektrische Feld vollständig abgeschaltet (), so sind die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises

konstant. Der Radius ist

Der Mittelpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit in die -Richtung. Es liegt eine `normale` Schraubenlinie vor. Schaltet man das Magnetfeld ab (), so ist die Lösung für die - und die -Koordinate

Dies stellt eine Kosinusschwingung um eine Gerade parallel zu dar (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Bahnkurve für den Fall 3 (abgeschaltetes Magnetfeld)

Animation der Kurve

Um ein Bild von der räumlichen Bahnkurve zu gewinnen, muss man die lineare Bewegung in die -Richtung einbeziehen. Ist zusätzlich das elektrische Feld stationär, so folgt für die -Koordinate

Die Projektion der Bahnkurve in die - Ebene ist eine Wurfparabel mit der Beschleunigung in der Richtung des elektrischen Feldes. Stellt man das Magnetfeld so ein, dass strebt, so erhält man durch eine Grenzwertbetrachtung

Für große Zeiten dominieren die Terme proportional zu

Diese Gleichungen beschreiben einen Kreis in der - Ebene mit linear anwachsendem Radius

der mit der Bahngeschwindigkeit

durchlaufen wird. Der Mittelpunkt des Kreises bewegt sich mit der Geschwindigkeit in der - Richtung (Abb. 0.3).

Abbildung 0.3: Bahnkurve für den Fall 4 (angepasstes Magnetfeld und zeitabhängiges elektrisches Feld)
Anfangsphase | vollständiger Zeitverlauf

Animation der Kurve

Zieht man die zusätzlichen Beiträge zu und in Betracht, so oszilliert der Mittelpunkt für kleinere Zeiten leicht um eine Parallele zur -Achse. Für und lauten die Lösungen der Bewegungsgleichung für die - und die -Richtungen

Es ist außerdem . Die Bewegung findet in der - Ebene statt. Die Bahnkurve mit der Parameterdarstellung

ist eine Zykloide (Abb. 0.5).

Normalform | Zykloide mit

Die Punktladung läuft ohne Ablenkung durch die stationären, homogenen Felder, falls ist. Es ist dann und Die Kombination von stationären - und -Feldern mit der Einschussrichtung senkrecht zu den beiden orthogonalen Feldern wird als Wienfilter bezeichnet. Schickt man einen Strahl von Teilchen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in ein solches Filter, so bewegen sich alle Teilchen, deren Geschwindigkeit die Filterbedingung nicht erfüllt, nicht auf einer geraden Bahn und können aussortiert werden. Das Filter selektiert nach Geschwindigkeit.

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