Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.18

1. Berechne die zu der Stromdichte gehörige Ladungsdichte.
2. Berechne das Dipolmoment.
3. Berechne die dominanten Komponenten der Felder in der Fernzone.
4. Berechne den Poyntingvektor in der Fernzone und die pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie.

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7.18 Antwort zu H1

Ist der (infinitesimale) Querschnitt der Antenne, so ist die Stromdichte . Anhand der Kontinuitätsgleichung

kann man die Zeitableitung der Ladungsdichte und somit diese Größe selbst berechnen. Man findet

Die Dichteverteilung ist für die Zeitpunkte in der Abb. 0.1 zu sehen.

Abbildung 0.1: Zeitliche Variation der Dichte entlang der Antenne

Berechne das Dipolmoment.

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7.18 Antwort zu H2

Das Dipolmoment ist gemäß der Definition

zu berechnen. Mit dem Integral

findet man

Berechne die dominanten Komponenten der Felder in der Fernzone.

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7.18 Antwort zu H3

Benutzt man den Ansatz

der für die Fernzone () angemessen ist, so findet man mit

für die in der Fernzone dominanten Komponenten der Felder (siehe Aufg. 7.17 oder MORE für eine explizite Herleitung dieser Formeln)

Berechne den Poyntingvektor in der Fernzone und die pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie.

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7.18 Antwort zu H4

Der Poyntingvektor ist radial nach außen gerichtet und hat den Betrag (Aufg. 7.17)

Zeitmittelung ergibt wegen ( )

für die pro Raumwinkel abgestrahlte Energie

Für die pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie erhält man das Resultat

Dieses Ergebnis stimmt mit dem Resultat für den Hertzschen Dipol überein. Es ist (Kap. 7.3.2 (7.66))

und in diesem Beispiel

Somit folgt wie berechnet

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