Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.7

1. Welche Konsequenzen ergeben sich aus der Zylindersymmetrie des Problems?
2. Diskutiere die Darstellung des Rotationsellipsoids durch die prolat-elliptischen Koordinaten im Detail.
3. Welche Konsequenzen ergeben sich infolge der Symmetrie für die Abhängigkeit des Potentials von den prolat-elliptischen Koordinaten?
4. Wie lautet die Differentialgleichung für das Potential des Ellipsoids?
5. Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, sowie die spezielle Lösung, die den Randbedingungen entspricht, an.
6. Berechne die Verteilung der Oberflächenladung auf dem Ellipsoid.
7. Diskutiere die Ladungsverteilung.
8. Berechne die Gesamtladung auf dem Ellipsoid.
9. Berechne die Kapazität der Anordnung.
10. Vergleiche die Resultate für die zwei Rotationsellipsoide.

Werkzeuge

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3.7 Antwort zu H1

Man kann sich auf die Betrachtung einer Koordinatenebene beschränken, z.B. der - Ebene (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Ein prolates Rotationsellipsoid

Es ist dann und

Skalare Größen sind unabhängig von dem Winkel , z.B. . Vektorgrößen können mit

aus den Resultaten einer zweidimensionalen Rechnung (hier mit markiert) zurückgewonnen werden.

Diskutiere die Darstellung des Rotationsellipsoids durch die prolat-elliptischen Koordinaten im Detail.

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3.7 Antwort zu H2

Die Oberfläche eines bestimmten Ellipsoids ist durch , sowie die Variablen und charakterisiert. Betrachtet man einen Schnitt durch das Ellipsoid, der die -Achse enthält, so charakterisieren der Parameter und die Variable den (halben) Umfang der entsprechenden Ellipse in der - Ebene (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Schnitt durch das prolates Ellipsoid

Die Gleichung

besagt, dass die Standardellipsenparameter durch die Parameter und ersetzt werden können. Die Relationen zwischen den Parametersätzen sind

bzw.

Welche Konsequenzen ergeben sich infolge der Symmetrie für die Abhängigkeit des Potentials von den prolat-elliptischen Koordinaten?

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3.7 Antwort zu H3

Die Äquipotentialflächen sind prolate Rotationsellipsoide, die alleine durch die Variable charakterisiert werden. Die Schnitte der Ellipsoide in der - Ebene sind Ellipsen mit der großen Halbachse entlang der -Richtung.

Wie lautet die Differentialgleichung für das Potential des Ellipsoids?

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3.7 Antwort zu H4

Da das Potential in den elliptischen Koordinaten nur von der Variablen abhängt, geht die Laplacegleichung für den Außenraum in eine gewöhnliche Differentialgleichung über

Gib die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, sowie die spezielle Lösung, die den Randbedingungen entspricht, an.

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3.7 Antwort zu H5

Aus der Differentialgleichung

folgt in einem ersten Schritt

im zweiten

denn es ist

Die Randbedingungen führen auf die Aussagen für die Integrationskonstanten

d.h.

und somit

Der Potentialverlauf ist in Abb. 0.3 (für den Parameter ) angedeutet.

Abbildung 0.3: Das Potential für das prolate Rotationsellipsoid

Berechne die Verteilung der Oberflächenladung auf dem Ellipsoid.

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3.7 Antwort zu H6

Für die Oberflächenladungsdichte auf einem Ellipsoid, charakterisiert durch den Parameter , gilt

Die Projektion des Gradienten auf die -Richtung ist (siehe Werkzeuge)

Die gesuchte Ladungsdichte (eine Funktion von t, doch unabhängig von ) ist somit

Diskutiere die Ladungsverteilung.

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3.7 Antwort zu H7

Der Parameter (siehe Antwort 2) kann in dem Bereich variieren. Dabei beschreibt ein extrem dünnes Ellipsoid und eine Kugel. Die Funktion beschreibt die Variation der Ladungsdichte entlang eines Ellipsenbogens, der durch den Parameter charakterisiert ist. Die Polarwinkel entsprechen . Die Ladungsdichte auf dem Ellipsoid ist unabhängig von dem Winkel . Die Funktion ist in Abb. 0.4 (für den Parameter ) illustriert.

Abbildung 0.4: Die Ladungsverteilung für das prolate Rotationsellipsoid ()

Die Variation von mit dem Parameter zeigt die Animation in Abb. 0.5.

Abbildung 0.5: Variation der Ladungsdichte mit

Sie hat ein Minimum für Punkte in der - Ebene mit , der Stelle mit der schwächsten Krümmung im Fall . Sie ist symmetrisch bezüglich und weist ein Maximum für Punkte auf der -Achse () auf. Der Spitzeneffekt wirkt in der -Richtung und ist stark ausgeprägt. Eine alternative Darstellung der Ladungsverteilung unter Benutzung der Darstellung durch die Parameter und zeigt die Abb 0.6.

Abbildung 0.6: Ladungsverteilung als Funktion der Parameter und , beliebige Einheiten
Parameter | Parameter

Berechne die Gesamtladung auf dem Ellipsoid.

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3.7 Antwort zu H8

Die Gesamtladung erhält man durch Integration über die Fläche des Ellipsoides

Das zuständige Oberflächenelement ist

Damit berechnet man

Berechne die Kapazität der Anordnung.

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3.7 Antwort zu H9

Die Kapazität ist definiert als

Die Kapazität (in Einheiten des Parameters ) variiert fast linear über einen weiten Bereich des Parameters . Ist das Ellipsoid jedoch dünn, so sinkt die relative Kapazität schneller ab (Abb 0.7).

Abbildung 0.7: Die Kapazität () als Funktion von

Vergleiche die Resultate für die zwei Rotationsellipsoide.

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3.7 Antwort zu H10

Die Resultate für Potential, Ladungsverteilung und Kapazität sind in der Tabelle unten gegenüber gestellt. Man sollte jedoch im Auge behalten, dass die Bereiche der Variablen im oblaten Fall , im prolaten Fall sind. Die Bereiche des Paramters sind die gleichen. Die untere Grenze entspricht jeweils der extremen Gestalt, die obere Grenze der Kugelform.

Die folgenden Abbildungen zeigen eine Gegenüberstellung der Resultate, die man für diese Größen erhält. Die Potentiale (Abb. 0.8)

Abbildung 0.8: Das Potential () für das oblate (blau) und prolate (rot) Ellipsoid, Parameter

zeigen ein ähnliches Verhalten, wobei jedoch der Abfall mit wachsendem für den oblaten Fall etwas schwächer ist. Die Ladungsverteilungen (Abb. 0.9)

Abbildung 0.9: Die Ladungsverteilung für in Einheiten von , oblates Ellipsoid (blau), prolates Ellipsoid (rot)

geben die Tatsache wieder, dass die maximale Krümmung einmal in der - Ebene, zum anderen auf der -Achse lokalisiert ist. Der Anstieg für im prolaten Fall ist etwas stärker als der Abfall für das oblate Ellipsoid. Die Kapazität (Abb. 0.10)

Abbildung 0.10: Die Kapazität () als Funktion von , oblates Ellipsoid (blau), prolates Ellipsoid (rot)

verhält sich über einen weiten Bereich des Parameters gleich. Nur in der Nähe der extremeren Formen zeigt sich ein Unterschied. Zu beachten ist jedoch, dass im oblaten Fall , im prolaten Fall ist.

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