3.1 Berechnung des elektrischen Potentials von kugelsymmetrischen Ladungsverteilungen mit der Poissongleichung
Die Poisson/Laplacegleichung ist die zentrale Differentialgleichung zur Berechnung von elektrischen Potentialen. Die einfachst mögliche Situation liegt vor, wenn die Ladungsverteilungen kugelsymmetrisch sind und einfache Randbedingungen

vorgegeben sind. Es ist dann nur eine gewöhnliche Differentialgleichung zu diskutieren. Die in Aufg. 2.1 vorgegebenen Ladungsverteilungen ermöglichen die Diskussion des Lösungsmusters für die zwei Grundtypen:

- Die Ladungsverteilung ist auf den Innenbereich einer Kugel mit dem Radius beschränkt.
- Die Ladungsverteilung ist in dem Bereich definiert und von Null verschieden (wobei jedoch die Gesamtladung endlich sein muss).

Aufgabenstellung
Berechne das elektrische Potential der kugelsymmetrischen Ladungsverteilungen aus Aufg. 2.1 mit den einfachen Randbedingungen für Diskutiere die Radialabhängigkeit der Potentiale und die Abhängigkeit von den auftretenden Parametern. Bestimme zum Vergleich die zugehörigen elektrischen Felder über die Potentiale und berechne die Feldenergiedichte und die gesamte Feldenergie auf zwei verschiedenen Wegen. Die vorgegebenen Ladungsverteilungen sind:

(i)
  Die auf ein Raumgebiet beschränkte Ladungsverteilung

  Welche Einschränkung gilt für den Parameter ?
(ii)
  Die im gesamten Raum verteilte Ladungsdichte

In beiden Fällen ist ein Vergleich mit den Resultaten und Schlußfolgerungen in Aufg. 2.1 angesagt.
Werkzeuge:
Unbestimmte Integrale:

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

Zurück zum Inhaltsverzeichnis