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3 Integrale mit den .

Analog zu der Situation bei den einfachen Legendrepolynomen kann man mit Hilfe der Rodriguezformel einen Katalog von Integralen mit den zugeordneten Funktionen berechnen. So ist z.B. für

Integriert man mal partiell (wobei der erste Term jeweils an den Grenzen verschwindet), so findet man

Das verbleibende Integral wurde schon bei der Diskussion der Integrale mit Legendrepolynomen ausgewertet. Benutzt man die Orthogonalitätsrelation der Legendrepolynome, so lautet das Endergebnis

Das Resultat ist auch für gültig (benutze die Symmetrierelation zwischen und und entsprechend für ), für entspricht es der Orthogonalitätsrelation der Legendrepolynome.

Zu beachten ist die Tatsache, dass in dieser Gleichung die gleichen -Werte auftreten. Sind die -Werte verschieden, so erhält man ein wesentlich komplizierteres Resultat. Das vielleicht erwartete Resultat gilt, wie man der Genese des Integrals entnehmen könnte, nicht. Vielmehr findet man

Für die zugeordneten Legendrefunktionen gilt nur eine eingeschränkte Orthogonalitätsrelation.