Lösung der Aufgabe 7.15

Die Maxwellgleichungen nehmen mit dem Hohlleiteransatz in kartesischen Koordinaten die Form

an. Für TM-Wellen ist Es folgt dann

und

wobei die Konstante durch

definiert ist. Die Bestimmungsgleichung für die -Komponente des -Feldes lautet

Mit der Randbedingung

findet man die Lösung

für die -Komponente des elektrischen Feldes der TM-Wellen. Die Indizes und können nicht den Wert Null annehmen, da dann die Lösung identisch verschwindet. Die Dispersionsrelation

kann in der Form

aufgelöst werden. Sie zeigt, dass zu jeder vorgegebenen Frequenz nur bestimmte, den Zahlenpaaren zugeordnete Werte der Wellenzahl zulässig sind. Für jedes Paar mit existiert eine Grenzfrequenz

Die niedrigst mögliche Grenzfrequenz erhält man für Die Situation ist (für ) in Abbildung 0.1 angedeutet.

Abbildung 0.1: Dispersionsrelation der TM-Moden

Die elektrischen Feldkomponenten gewinnt man durch Differentiation von

Die magnetische Induktion der TM-Wellen kann man aus den Gleichungen

bestimmen. Die Gleichungen besagen, dass

ist. Die Felder stehen in jedem Punkt des Hohlleiters senkrecht aufeinander. Außerdem ist für sowie für . Das -Feld erfüllt die Randbedingung

die Normalenkomponente des -Feldes verschwindet auf der Randkurve des Hohlleiters. Zur Diskussion des Energietransportes ist der Poyntingvektor

zu berechnen. Für TM-Wellen findet man im Detail

bzw. in der reellen Darstellung mit der Ersetzung von

die Detailgleichungen

Es findet im Zeitmittel kein Energietransport in der Querrichtung des Hohlleiters statt. Für die -Komponente des Poyntingvektors findet man nach Integration über den Querschnitt

Die im Zeitmittel durch den Querschnitt strömende Energie ist konstant.

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