Lösung der Aufgabe 8.11

Das retardierte elektrische Potential

wobei der Vektor von dem Aufpunkt zu dem Feldpunkt ist, führt auf die folgende Entwicklung nach Potenzen von

Setzt man die Ladungsdichte für eine Punktladung an der Stelle

ein, so folgt nach Integration über die Raumkoordinaten

wobei

ist. Für das Vektorpotential

erhält man mit der Stromdichte

durch eine analoge Entwicklung das Resultat

Die gesuchte Wechselwirkung der zwei Punktladungen an den Stellen und entspricht der potentiellen Energie

Die Punktladung befindet sich im Potential der Punktladung . Zur Abkürzung wird

gesetzt. Benutzt man die Entwicklungen von und bis zur niedrigsten Ordnung in , so findet man

und

Man kann die Form der Potentiale vereinfachen, wenn man die Tatsache benutzt, dass die Potentiale nur bis auf eine Eichtransformation bestimmt sind

Damit das skalare Potential die Form eines Coulombpotentials

hat, wählt man für die Eichfunktion

Für das eichtransformierte Vektorpotential ergibt sich damit

Die Wechselwirkung

die man mit den Potentialen und der Ersetzung erhält, ist die Coulomb- plus die Breitwechselwirkung

Die Wechselwirkung wird durch den Abstand der beiden Punktladungen und deren Bewegungszustand bestimmt. Eine Interpretation des Ergebnisses könnte sein: Eine der Ladungen gibt Impuls und Energie zum Aufbau des Feldes ab. In der Zeit wird der Impuls und die Energie auf die andere Ladung übertragen. Diese Vorstellung wird in der Quantenmechanik bzw. der Quantenfeldtheorie bestätigt. Zu beachten ist, dass trotz der unsymmetrischen Behandlung der zwei Ladungen zu guter Letzt eine symmetrische Wechselwirkung gewonnen wurde. Zur Angabe der Lagrangefunktion benötigt man die Entwicklung der kinetischen Energie nach Potenzen von

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