Lösung der Aufgabe 3.1

Die Poissongleichung für ein kugelsymmetrisches Potential ergibt im Fall der Aufgabe (i) die Teillösungen

Die in einer Kugel mit Radius eingeschlossene Ladung ist (siehe Aufg. 2.1)

Zur Bestimmung der Lösung im Außenraum benutzt man die Bedingungen

in Innenraum wird die Lösung mittels

angeschlossen. Vorsicht ist bei dem Parameter geboten, für den die Lösung im Innenraum

lautet. Das Gesamtpotential ist in Abb. 0.1 für einen repräsentativen Satz von Parametern gezeigt. Die daraus berechneten radialen elektrischen Felder stimmen mit den Ergebnissen von Aufg. 2.1 überein.

Abbildung 0.1: Das elektrische Potential der Ladungsverteilung

Die zwei möglichen Vorgaben für die radiale Energiedichte

sind offensichtlich verschieden, da die Ladungsdichte für verschwindet, das elektrische Feld jedoch nicht. Sie führen aber auf die gleiche Gesamtenergie, die in dem Feld enthalten ist

Die Lösung der Poissongleichung für die Ladungsverteilung

die neben der Punktladung im Ursprung in der Teilaufgabe (ii) vorgegeben ist, liefert mit den Bedingungen

das Resultat

Die zur Gewinnung dieses Resultats benötigte (in einer Kugel vom Radius ) eingeschlossene Ladung berechnet sich zu

Die durch den Parameter geprägte Abschirmung des Gesamtpotentials

im Vergleich zu dem Coulombpotential (das entspricht) zeigt Abb. 0.2.

Abbildung 0.2: Das elektrische Potential des `Wasserstoffproblems`

Berechnet man den Gradienten des Potentials, so findet man das schon in Aufg. 2.1 gewonnene Ergebnis

Die radialen Energiedichten sind auch für die jetzt vorliegende kontinuierliche Ladungsverteilung verschieden (Abb. 0.3)

Abbildung 0.3: Energiedichten für das `Wasserstoffproblems`

doch ergeben auch sie die gleiche Gesamtenergie

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