Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.19

1. Stelle die Bewegungsgleichungen der Punktladung für die allgemeine Vorgabe auf.
2. Löse die Bewegungsgleichungen für die gegebenen Anfangsbedingungen.
3. Gewinne die Bahnkurve für ein stationäres elektrisches Feld ().
4. Beschreibe die Bahnkurve, wenn das elektrische Feld vollständig abgeschaltet ist.
5. Wie sieht die Bewegung ohne Magnetfeld aus?
6. Wie bewegt sich die Punktladung, wenn nur ein stationäres elektrisches Feld vorhanden ist ( )?
7. Welche Bewegungsform tritt auf, wenn das Magnetfeld so eingestellt wird, dass ist?
8. Beschreibe die Bewegung falls nur eine Anfangsgeschwindigkeit in der -Richtung vorliegt und das elektrische Feld stationär ist.
9. Wie muss man es einrichten, dass die Punktladung ohne Ablenkung durch die Kombination von gekreuzten, stationären Feldern läuft?
10. Wozu kann man diese Feld-/Geschwindigkeitskombination benutzen?

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7.19 Antwort zu H1

Die Bewegungsgleichung für eine Punktladung in einem kombinierten elektrischen und magnetischen Feld ist

In dem vorliegenden Beispiel mit

folgen als Bewegungsgleichungen für die kartesischen Koordinaten

Löse die Bewegungsgleichungen für die gegebenen Anfangsbedingungen.

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7.19 Antwort zu H2

Die Lösung der Bewegungsgleichung ist trivial für die -Koordinate

Die Bewegungsgleichungen für die - und die -Koordinaten sind verkoppelt. Benutze zur Abkürzung

und schreibe

Die letzte Gleichung kann direkt integriert werden

Einsetzen in die Bewegungsgleichung für ergibt

Die Lösung der homogenen Differentialgleichung ist

die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung gewinnt man über den Ansatz

zu

Die Anfangsbedingungen und erfordern

Die Lösung, die die Anfangsbedingungen erfüllt, lautet somit

Die Relation ergibt mit dieser Lösung die Differentialgleichung

die direkt (mit der Anfangsbedingung ) integriert werden kann.

Gewinne die Bahnkurve für ein stationäres elektrisches Feld ().

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7.19 Antwort zu H3

Vollständige Lösung zur Orientierung:

Ist das elektrische Feld stationär (), so geht die Lösung mit in

über. Um die Bahnkurve der Projektion der Bahngleichung in die - Ebene zu gewinnen, muss man die Winkelfunktionen in der Zeit eliminieren. Dazu schreibt man mit den Abkürzungen

die Lösung in der Form

quadriert und addiert die quadrierten Gleichungen

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit konstantem Radius, dessen Mittelpunkt sich wegen

mit der Geschwindigkeit in der -Richtung bewegt (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Bahnkurve für den Fall 1 (Magnetfeld und stationäres elektrisches Feld)

Animation der Kurve

Während der Massenpunkt auf dem Kreis umläuft, bewegt sich der Mittelpunkt des Kreises mit konstanter Geschwindigkeit in der -Richtung. Die Bahnkurve ist wegen

eine Schraubenlinie entlang der Geraden

Beschreibe die Bahnkurve, wenn das elektrische Feld vollständig abgeschaltet ist.

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7.19 Antwort zu H4

Die Lösung mit zur Orientierung:

Wird das elektrische Feld abgeschaltet (), so sind die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises

konstant. Der Radius ist

Der Mittelpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit in die -Richtung. Es liegt eine `normale` Schraubenlinie über dem Punkt vor.

Wie sieht die Bewegung ohne Magnetfeld aus?

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7.19 Antwort zu H5

Vollständige Lösung zur Orientierung:

Schaltet man das Magnetfeld ab (), so ist die Lösung für die - und die -Koordinate

Die Bahngleichung der Projektion der Bahnkurve in die - Ebene ist

Dies stellt eine Kosinusschwingung um eine Gerade parallel zu dar (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Bahnkurve für den Fall 3 (Magnetfeld abgeschaltet)

Animation der Kurve

Um ein Bild von der räumlichen Bahnkurve zu gewinnen, muss man die lineare Bewegung in die -Richtung einbeziehen.

Wie bewegt sich die Punktladung, wenn nur ein stationäres elektrisches Feld vorhanden ist ( )?

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7.19 Antwort zu H6

Ist zusätzlich das elektrische Feld stationär, so folgt für die -Koordinate

Die Projektion der Bahnkurve in die - Ebene ist
ein/e ?
eine Wurfparabel mit der Beschleunigung in der Richtung des elektrischen Feldes.

Welche Bewegungsform tritt auf, wenn das Magnetfeld so eingestellt wird, dass ist?

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7.19 Antwort zu H7

Vollständige Lösung zur Orientierung:

Stellt man das Magnetfeld so ein, dass strebt, so erhält man durch eine Grenzwertbetrachtung

Für große Zeiten dominieren die Terme proportional zu

Diese Gleichungen beschreiben einen Kreis in der - Ebene mit linear anwachsendem Radius

der mit der Bahngeschwindigkeit

durchlaufen wird. Der Mittelpunkt des Kreises bewegt sich mit der Geschwindigkeit in der -Richtung (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Bahnkurve für den Fall 4 (angepasstes Magnetfeld und zeitabhängiges elektrisches Feld)
Anfangsphase | vollständiger Zeitverlauf

Animation der Kurve

Zieht man die zusätzlichen Beiträge zu und in Betracht, so oszilliert der Mittelpunkt für kleinere Zeiten leicht um eine Parallele zur -Achse.

Beschreibe die Bewegung falls nur eine Anfangsgeschwindigkeit in der -Richtung vorliegt und das elektrische Feld stationär ist.

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7.19 Antwort zu H8

Vollständige Lösung zur Orientierung:

Die Lösungen der Bewegungsgleichung für die - und die -Richtungen sind in diesem Fall

Es ist außerdem . Die Bewegung findet in der - Ebene statt. Die Bahnkurve mit der Parameterdarstellung

ist eine Zykloide. Es liegt eine gewöhnliche Zykloide vor, falls ist. Sie wird verlängert (entwickelt Schleifen), wenn wird. (Abb. 0.5)

Gewöhnliche Zykloide | Zykloide mit

Wie muss man es einrichten, dass die Punktladung ohne Ablenkung durch die Kombination von gekreuzten, stationären Feldern läuft?

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7.19 Antwort zu H9

Lösung für stationäre Felder mit :

Die Punktladung läuft ohne Ablenkung durch die stationären, homogenen Felder, falls ist. Es ist dann und

Wozu kann man diese Feld-/Geschwindigkeitskombination benutzen?

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7.19 Antwort zu H10

Die Kombination von stationären - und -Feldern mit der Einschussrichtung senkrecht zu den beiden orthogonalen Feldern wird als Wienfilter bezeichnet. Schickt man einen Strahl von Teilchen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in ein solches Filter, so bewegen sich alle Teilchen, deren Geschwindigkeit die Filterbedingung nicht erfüllt, nicht auf einer geraden Bahn und können aussortiert werden. Das Filter selektiert nach Geschwindigkeit.

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