Lösung der Aufgabe 7.5

Bezeichnet man den Drehwinkel der Spule bezüglich der -Achse mit (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Der Drehwinkel

so lautet die Bewegungsgleichung

Das Feld greift an dem magnetischen Moment der Spule

das von dem Strom erzeugt wird, an. Dabei stellt die einfache Spulenfläche und die Normalenrichtung dar. Das entsprechende Drehmoment ist (Abb. 0.1)

Durch die Drehung in dem Magnetfeld wird ein zusätzlicher Strom induziert. Das Drehmoment, das der induzierte Strom erzeugt, ist entsprechend

wobei das magnetische Moment des Induktionsstromes

die gleiche Form hat wie das Moment des primären Stroms. Der induzierte Strom kann über das Faradaygesetz zu

bestimmt werden, wobei der gesamte Widerstand in dem Spulenstromkreis ist. Für das Drehmoment durch den induzierten Strom findet man also

Die Bewegungsgleichung

zeigt, das der anfängliche Strom die Auslenkung, der Torsionsfaden eine (harmonische) Rückstellung und die Induktion eine Dämpfung bewirkt. Für kleine Auslenkungen kann man durch nähern und erhält

eine inhomogene harmonische Schwingungsgleichung mit den Parametern

der die elektromagnetische Dämpfung beschreibt,

der Eigenfrequenz des Systems und dem `treibenden Term` mit dem Proportionalitätsfaktor (des stationären Stromes)

Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung hat die Form

wobei als Lösung der inhomogenen Differentialgleichung die konstante Lösung

dienen kann. Die Lösung der homogenen Differentialgleichung stellt eine gedämpfte Schwingung (siehe Band 1, Kap. 4.2.2) dar. Da diese mit der Zeit ausklingt, gilt

Es wird sich eine Torsion der Spule einstellen, die proportional zu dem Strom in der Spule ist. Damit sich diese Lösung möglichst schnell einstellt, sollte der aperiodische Grenzfall der Lösung der Schwingungsgleichung vorliegen. Der Ansatz

führt auf die Aussage

In dem aperiodischen Grenzfall ist Löst man diese Bedingung nach dem Widerstand auf, so erhält man

Diese Bedingung kann durch Anpassung des Widerstandes erfüllt werden. Zur Messung des Ausschlages bringt man auf der Spule einen Spiegel an (der das Trägheitsmoment mit bestimmt) und misst den Ausschlag eines an dem Spiegel reflektierten Lichtstrahls auf einem Schirm, der sich in der Entfernung von dem Spiegel befindet (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Spiegelanordnung

Es ist dann

bzw.

Bei vorgegebenen Galvanometergrößen und ist der Ausschlag proportional zu der Stromstärke. Das Galvanometer kann anhand der Proportionalität geeicht werden.

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