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2 Randwertaufgaben

Die analytische Lösung der Laplacegleichung erfordert aus technischer Sicht Separation der Variablen. Aus physikalischer Sicht ist das durch die Laplacegleichung gestellte Potentialproblem erst vollständig durch die Vorgabe von Randbedingungen definiert. Da die Laplacegleichung (ebenso die Poissongleichung) eine lineare Differentialgleichung des elliptischen Typus ist, können als Randbedingungen nur
Potentialwerte auf (geschlossenen) Flächen
oder
die Normalenableitung des Potentials auf (geschlossenen) Flächen
oder auch eine lineare Kombination dieser Vorgaben, gegeben sein. Im ersten Fall wird das Potentialproblem als ein Dirichletsches Randwertproblem bezeichnet. Die Bedingungen

wobei die Flächen geschlossen oder offen sein können, sind Dirichletsche Randbedingungen.

Abbildung 3.1: Vorgabe bei Randwertproblemen der Elektrostatik

Die Problemstellung in dem zweiten Randwertproblem lautet: Auf Flächen dient die Normalenableitung

zur Festlegung der gesuchten Lösung. Dieses Problem bezeichnet man als ein Neumannsches Randwertproblem.

Die Frage, die sich im Rahmen der Untersuchung der Struktur dieser Randwertaufgaben stellt, ist die Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung dieser Randwertprobleme. Zur Beantwortung dieser Frage kann man ein Gebiet betrachten, das von zwei Flächen

Abbildung 3.2: Illustration der Geometrie der Randwertprobleme

und umschlossen ist (Abb. 3.2). In diesem Gebiet betrachtet man die Lösung der Laplacegleichung mit den Randbedingungen

auf den jeweiligen Flächen .

Man kann dann folgendermaßen argumentieren: Nimmt man an, dass zwei Lösungen und existieren, die die Differentialgleichung und einen der Sätze von Randbedingungen erfüllen, so gilt für die Differenz der beiden Lösungen

die Laplacegleichung

sowie entweder

Für die Differenzfunktion berechnet man den folgenden Ausdruck

Der erste Term auf der rechten Seite dieser Gleichung verschwindet, da eine Lösung der Laplacegleichung ist. Für das Volumenintegral über das Gebiet gilt somit

Die rechte Seite kann mit dem Divergenztheorem (Band 1 Math.Kap. 5.3.3) umgeschrieben werden

Es ist noch eine kurze Erläuterung zu der Orientierung der Flächenelemente und nötig. Da das Gebiet nicht notwendigerweise einfach zusammenhängend ist, müssen die Begrenzungsflächen formal durch eine doppelt belegte Zwischenfläche verbunden werden. Damit ergeben sich die in (Abb. 3.3) angedeuteten Orientierungen von und jeweils in das Gebiet hinein. Die Trennfläche selbst liefert keinen Beitrag.

Abbildung 3.3: Umsetzung der Geometrie bei Randwertproblemen

Da die Vektoren in jedem Punkt senkrecht auf den Flächen stehen, erhält man

Sowohl im Fall der Randbedingung (a) als auch im Fall der Randbedingung (b) verschwinden die beiden Oberflächenintegrale. Es ist auf der Berandung entweder oder gleich Null. Da der Integrand des Volumenintegrals (ein Skalarprodukt) positiv definit ist, kann die Aussage

nur erfüllt sein, wenn bzw.

ist.

Die Folgerung ist also: Lösungen der Laplacegleichung, die entweder Dirichletsche oder Neumannsche Randbedingungen erfüllen, können sich höchstens um eine Konstante unterscheiden. Im Fall von Dirichletbedingungen gilt sogar wegen

die Aussage Die Konstante muss den Wert Null haben. Es gibt eine eindeutige Lösung . Im Fall der Neumannbedingungen ist

Die Konstante ist durch die Randbedingung nicht festgelegt.

Der folgende Punkt muss beachtet werden: Voraussetzung für die Anwendung des Divergenztheorems ist das Vorliegen von geschlossenen Flächen . Nur dann kann man die Eindeutigkeit der Lösung garantieren.

Ist neben den Randwerten noch eine Ladungsverteilung (Abb. 3.4) vorgegeben, so steht die Poissongleichung

eine inhomogene Differentialgleichung, zur Diskussion. Bezüglich der Frage der Eindeutigkeit der Lösung dieses Potentialproblems kann man die Argumentation zu der Laplacegleichung nahezu wörtlich wiederholen.

Abbildung 3.4: Zur Eindeutigkeit der Lösung der Poissongleichung

Nimmt man an, dass für die Differentialgleichung

zwei verschiedene Lösungen und existieren, die von der gleichen Ladungsverteilung hervorgebracht werden und die die gleichen Randbedingungen erfüllen, so gilt für die Differenzfunktion wiederum

mit

Die weitere Argumentation unterscheidet sich nicht von dem Fall der Laplacegleichung.