Detail 2.1
Berechnung des elektrischen Potentials einer Kugel und eines Kreisrings (homogen geladen)
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel kann man auch gewinnen, indem man zunächst deren Potential berechnet und dessen Gradienten bestimmt. Bei der Berechnung des Potentials kann man eine Aufteilung der Kugel in infinitesimale Volumenelemente mittels Kugelkoordinaten vornehmen und die Symmetrie des Problems ausnutzen. Zusätzlich folgt eine kurze technische Bemerkung zu der Berechnung des Potentials eines Kreisringes.

#### (a) Das Potential der Kugel

Das Potential einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius ist durch das Integral

bestimmt. Die konstante Raumladungsdichte innerhalb der Kugel ist

Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt der Kugel, so genügt es infolge der Symmetrie z.B. einen Feldpunkt auf der -Achse zu betrachten. In Kugelkoordinaten erhält man mit

für den Abstand der beiden Ortsvektoren

Mit dem Volumenelement

ergibt sich das Dreifachintegral

Die -Integration kann sofort ausgeführt werden. Das Integral über den Polarwinkel kann mit der Substitution und

berechnet werden. Das Ergebnis nach diesem Schritt ist

Hier muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, um die Auflösung der Wurzeln korrekt zu behandeln

Für den Fall gilt stets . Somit ist die Integration direkt ausführbar

Für muss der Integrationsbereich in die Bereiche und aufgespalten werden

Das elektrische Feld selbst erhält man mit .

####
(b) Zu dem Potential des Kreisringes

Bei der Diskussion dieses Problems fällt das Integral

| (1)

an. Das Integral ähnelt einem vollständigen elliptischen Integral, doch tritt die obere Grenze anstelle von auf. Das folgende Argument zeigt jedoch, dass man das Integral auf die gewünschten Grenzen für ein vollständiges elliptisches Integral zurückführen kann. Der Integrand in der Gleichung (1) ist eine Funktion von Es gilt somit Aufspaltung des Integrals ergibt

Mit der Substitution in dem zweiten Term findet man

und somit

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