Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.2

1. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und setze die Multipolentwicklung für das Potential an.
2. Entwickle das Ringpotential auf der Achse nach Potenzen von für und nach Potenzen von für .
3. Vergleiche die Entwicklungen des Achsenpotentials für und mit der Multipolentwicklung für und bestimme die Multipolkoeffizienten.
4. Kann man dem Ergebnis weitere Symmetrieaussagen entnehmen?
5. Eine numerische Auswertung der Entwicklungen für Punkte auf der -Achse ergibt das in Abb. 0.1 gezeigte Resultat.

   Abbildung 0.1: Das Multipolpotential des Kreisrings entlang der -Achse in willkürlichen Einheiten. Zum Vergleich ist auch das exakte Potential (rot) gezeigt.

   Sowohl das Potential als auch der Abstand sind in willkürlichen Einheiten aufgetragen. Der Radius des Kreisrings entspricht Längeneinheiten. Der maximale -Wert ist . Diskutiere dieses Ergebnis.
6. Die Abb. 0.2

   Abbildung 0.2: Multipolentwicklung des Ringpotentials für als Funktion von . Rote Vergleichskurve: ,

   zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang einer Geraden, die einen Winkel von ca. mit der -Achse einschließt. Diskutiere dieses Ergebnis.
7. Die Abb. 0.3

   Abbildung 0.3: Ringpotential wie zuvor als Funktion von für zwei Werte von

   zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang Geraden, die einen Winkel von ca bzw. mit der -Achse einschließen. Diskutiere auch diese Ergebnisse.

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3.2 Antwort zu H1

Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die -Achse mit der Ringachse übereinstimmt (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Potential eines Kreisrings: Ansicht

Für beliebige Raumpunkte kann man infolge der Zylindersymmetrie des Problems die Multipolentwicklung () in der Form

ansetzen.

Entwickle das Ringpotential auf der Achse nach Potenzen von für und nach Potenzen von für .

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3.2 Antwort zu H2

In Kap. 2.4 wurde das Potential des Ringes auf der Achse berechnet (man könnte es auch hier noch einmal in einfacher Weise berechnen). Das Ergebnis lautet

Für Punkte auf der Achse mit (Abb. 0.5) lautet die binomische Entwicklung der inversen Wurzelfunktion

Es treten nur gerade Potenzen von auf.

Abbildung 0.5: Potential eines Kreisrings: Querschnitt

Für Punkte auf der Achse mit gilt

Hier treten nur ungerade Potenzen von auf.

Vergleiche die Entwicklungen des Achsenpotentials für und mit der Multipolentwicklung für und bestimme die Multipolkoeffizienten.

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3.2 Antwort zu H3

Für Punkte auf der Ringachse gilt wegen und , sowie die Multipolentwicklung

Zur Bestimmung der Koeffizienten und vergleicht man die Entwicklung des Achsenpotentials mit der Multipolentwicklung. Für Punkte mit liefert der Vergleich mit

die Aussage: Alle Koeffizienten verschwinden ebenso wie die Koeffizienten mit ungeraden Werten von

Die von Null verschiedenen Koeffizienten sind

Die Multipolentwicklung des Ringpotentials für Punkte mit lautet demnach

Für Punkte auf der Achse mit ist

Der Vergleich mit der Multipolentwicklung ergibt in diesem Fall: Alle Koeffizienten und alle Koeffizienten mit ungeradem Index verschwinden

Die von Null verschiedenen Koeffizienten sind

Die Multipolentwicklung des Ringpotentials für Punkte mit lautet

Die Multipolentwicklungen in den beiden Raumgebieten schließen für stetig aneinander an. Dabei ist jedoch zu beachten (siehe Kap. 2.4), dass die Entwicklung für und (das heißt Punkte auf dem geladenen Ring) divergiert.

Kann man dem Ergebnis weitere Symmetrieaussagen entnehmen?

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3.2 Antwort zu H4

Für die Legendreschen Polynome gilt

Die Tatsache, dass in der Multipolentwicklung nur Legendrepolynome mit geradem auftreten, zeigt an, dass das Potential symmetrisch bezüglich der Ringebene (hier der - Ebene) ist.

Eine numerische Auswertung der Entwicklungen für Punkte auf der -Achse ergibt das in Abb. 0.6 gezeigte Resultat.

Abbildung 0.6: Das Multipolpotential des Kreisrings entlang der -Achse in willkürlichen Einheiten. Zum Vergleich ist auch das exakte Potential (rot) gezeigt.

Sowohl das Potential als auch der Abstand sind in willkürlichen Einheiten aufgetragen. Der Radius des Kreisrings entspricht Längeneinheiten. Der maximale -Wert ist . Diskutiere dieses Ergebnis.

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3.2 Antwort zu H5

Man beobachtet eine Abweichung von dem exakten Resultat um . Die Abb. 0.7 zeigt, dass diese Abweichung auch mit nicht korrigiert wird.

Abbildung 0.7: Das Achsenpotential wie in 0.6 jedoch mit

Das Problem liegt darin, dass man versucht die binomischen Entwicklung von

für auszuwerten. Der Konvergenzradius der binomischen Reihe ist jedoch Das Konvergenzverhalten der Entwicklungen mit ist in Abb 0.8 angedeutet.

Abbildung 0.8: Konvergenz der Entwicklungen entlang der -Achse für wachsende Werte von ANI an32-1.gif

Die Abb. 0.9

Abbildung 0.9: Multipolentwicklung des Ringpotentials für als Funktion von . Rote Vergleichskurve: ,

zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang einer Geraden, die einen Winkel von ca. mit der -Achse einschließt. Diskutiere dieses Ergebnis.

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3.2 Antwort zu H6

In diesem Fall werden die Terme der binomischen Reihen für und mit Faktoren , die kleiner als sind, multipliziert. Das Konvergenzproblem für entfällt aus diesem Grund.

Die Abb. 0.10

Abbildung 0.10: Ringpotential wie zuvor als Funktion von für zwei Werte von

zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang Geraden, die einen Winkel von ca bzw. mit der -Achse einschließen. Diskutiere auch diese Ergebnisse.

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3.2 Antwort zu H7

Das Maximum für im Fall von geht in eine echte Singularität des Potentials für Punkte in der - Ebene () über. Das Potential ist singulär, da an Stellen der - Ebene mit Ladungselemente vorhanden sind.

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