Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.9

1. Betrachte die Laplacegleichung in kartesischen Koordinaten und diskutiere den Separationsansatz.
2. Bestimme die Separationskonstanten für die Anfangsbedingungen (i).
3. Bestimme die Separationskonstanten für die Anfangsbedingungen (ii).
4. Bestimme die Separationskonstanten für die Anfangsbedingungen (iii). Wie setzt man die Vorgabe in eine Aussage über die Potentiale um?

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3.9 Antwort zu H1

Für die Lösung des vorgegebenen Dirichletproblems muss man die Laplacegleichung in kartesischen Koordinaten

betrachten. Der Separationsansatz

führt auf die drei gewöhnlichen Differentialgleichungen

wobei die Integrationskonstanten durch verknüpft sind. Ein Fundamentalsystem von Lösungen dieser linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind entweder trigonometrische oder Exponentialfunktionen, so z.B. für die -Koordinate

oder alternativ

Die Separationskonstanten können komplex sein. Neben der angegebenen Lösung für die -Koordinate kann man

benutzen.

Bestimme die Separationskonstanten für die Anfangsbedingungen (i).

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3.9 Antwort zu H2

Die allgemeinen Lösungen werden durch die Randbedingungen eingeschränkt: Die Bedingungung liefert für die Lösung mit den trigonometrischen Funktionen

Die gesuchte spezielle Lösung ist also

Die Bedingung führt auf

und somit auf die spezielle Lösung

Für die -Koordinate ist in der Teilaufgabe (i) und vorgegeben. Die erste Bedingung führt auf

und somit auf

Die Separationskonstante ist durch die Konstanten und zu

festgelegt. Eine allgemeine Lösung, die alle Randbedingungen bis auf die Randbedingung für erfüllt, lautet somit

Die Entwicklungskoeffizienten werden durch die noch offenstehende Randbedingung festgelegt. Es ist allgemein

Um diese Gleichung nach den Entwicklungskoeffizienten aufzulösen, benötigt man die Orthogonalitätsrelation

Eine entsprechende Aussage gilt für die Lösung in der Koordinate Für die spezielle Vorgabe erhält man somit

Die noch anstehenden Integrale sind elementar. So ist z.B.

Die Entwicklungskoeffizienten der Lösung, die alle Randbedingungen (i) erfüllen, lauten also

Bestimme die Separationskonstanten für die Anfangsbedingungen (ii).

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3.9 Antwort zu H3

In der zweiten Teilaufgabe lauten die Randbedingungen für die Flächen in der -Richtung

Auf der Fläche ist jeweils ein konstanter Potentialwert vorgegeben. In diesem Fall muss man eine Lösung, die die Randbedingungen auf den Seitenflächen erfüllt, jedoch allgemein in der -Koordinate ist, ansetzen, so z.B.

Die Randbedingung führt nach geeigneter Multiplikation der Entwicklung und Integration (wie zuvor) auf

Die noch ausstehenden Integrale sind in diesem Fall

Damit (und einem entsprechenden Resultat für das Integral über die -Koordinate) findet man

Die entsprechende Randbedingung auf der Fläche ergibt die Bedingung

Wertet man hier die linke Seite aus, setzt das Resultat für ein und sortiert, so findet man

Es tragen in beiden Fällen nur ungerade Werte von und bei, so dass das Potential für diese Teilaufgabe in der Form

notiert werden kann.

Bestimme die Separationskonstanten für die Anfangsbedingungen (iii). Wie setzt man die Vorgabe in eine Aussage über die Potentiale um?

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3.9 Antwort zu H4

Um die Vorgabe einer Flächenladungsdichte mit einer Vorgabe für das Potential zu verknüpfen, benutzt man die Relation

Für das vorliegende Problem, in dem den Quaderflächen entspricht, lauten die Randbedingungen also:

Alle Flächen des Quaders, bis auf die Deckelfläche sind ladungsfrei. Die Deckelfläche ist mit einer Flächenladung belegt, die von den Werten entlang den - und -Achsen linear bis zu dem Wert entlang den Geraden und anwächst oder abfällt (). Die Randbedingungen erfordern bei dieser Teilaufgabe z.B. wegen

Eine entsprechende Aussage gilt für die Funktion Für die -Richtung gilt

und somit

Der allgemeine Lösungsansatz, der die Randbedingungen einer verschwindenden Normalenableitung auf den 5 Quaderflächen erfüllt, ist somit

Zur Implementierung der letzten Randbedingung

muss man dieses Zwischenresultat nach auflösen. Für das Integral

erhält man wegen

wie für die entsprechende Sinusfunktion

Aus der letzten Randbedingung folgt somit

Die Integrale auf der rechten Seite liefern die Beiträge

so dass das Ergebnis für die Entwicklungskoeffizienten

lautet. Wieder tragen nur die ungeraden Werte von zu der Entwicklung des Potentials bei.

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