Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.11

1. Gewinne die Entwicklung für das elektrische Potential.
2. Biete einen Kommentar zu dem Ergebnis an.
3. Gib die entsprechende Entwicklung für das Vektorpotential an.
4. Betrachte die Wechselwirkungsenergie einer Punktladung , die sich an der Stelle befindet und die (geringe) Geschwindigkeit hat, im Feld einer Punktladung die sich gemäß der Vorgabe bewegt, in niedrigster Ordnung in .
5. Vereinfache die Potentiale durch eine geeignete Eichtransformation derart, dass das skalare Potential die Form eines Coulombpotentials hat.
6. Gib die Wechselwirkung mit der Ersetzung von durch an. Kommentiere.
7. Wie lautet die kinetische Energie des Zweiladungssystems in niedrigster Ordnung in ?

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8.11 Antwort zu H1

Das retardierte elektrische Potential hat die Form

wobei der Vektor von dem Aufpunkt zu dem Feldpunkt ist. Gesucht ist eine Entwicklung nach Potenzen von . Um diese zu gewinnen, entwickelt man zunächst die Ladungsdichte

Die Ableitung der Ladungsdichte berechnet man mit Substitution und der Kettenregel

Da

ist, erhält man dann

In die allgemeine Entwicklung des Potentials

setzt man die Ladungsdichte für eine Punktladung an der Stelle

ein. Nach Integration über die Raumkoordinaten erhält man

wobei

ist.

Biete einen Kommentar zu dem Ergebnis an.

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8.11 Antwort zu H2

Man erkennt, dass durch die Entwicklung das retardierte Potential formal momentan (d.h. Term für Term der Entwicklung) dargestellt wird. Die vollständige Summe reproduziert die volle Retardierung. Auf der anderen Seite kann man, wenn die Bewegung langsam genug () und gleichförmig genug (höhere Ableitungen von können vernachlässigt werden) ist, die Betrachtung auf die ersten Terme der Entwicklung beschränken.

Gib die entsprechende Entwicklung für das Vektorpotential an.

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8.11 Antwort zu H3

Für das Vektorpotential

erhält man mit der Stromdichte

durch eine analoge Entwicklung das Resultat

Betrachte die Wechselwirkungsenergie einer Punktladung , die sich an der Stelle befindet und die (geringe) Geschwindigkeit hat, im Feld einer Punktladung die sich gemäß der Vorgabe bewegt, in niedrigster Ordnung in .

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8.11 Antwort zu H4

Die gesuchte Wechselwirkung der zwei Punktladungen entspricht der potentiellen Energie

Die (quasi stationäre Punktladung) befindet sich im elektromagnetischen Potential der (bewegten) Punktladung . Der Feldpunkt ist , der Aufpunkt . Zur Abkürzung wird

gesetzt. Benutzt man die Entwicklungen von und bis zur niedrigsten Ordnung in , so findet man

und

Vereinfache die Potentiale durch eine geeignete Eichtransformation derart, dass das skalare Potential die Form eines Coulombpotentials hat.

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8.11 Antwort zu H5

Man kann die Form der Potentiale vereinfachen, wenn man die Tatsache benutzt, dass die Potentiale nur bis auf eine Eichtransformation bestimmt sind

Damit das skalare Potential die Form eines Coulombpotentials

hat, wählt man für die Eichfunktion

Um das Vektorpotential anzugeben, benötigt man die Divergenz der Eichfunktion. Zu diesem Zweck differenziert man die Abstandsfunktion

zuerst nach der Zeit

und bildet dann die Divergenz

Für das eichtransformierte Vektorpotential erhält man

Gib die Wechselwirkung mit der Ersetzung von durch an. Kommentiere.

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8.11 Antwort zu H6

Die Wechselwirkung

die man mit den Potentialen in niedrigster Ordnung erhält, ist die Coulomb- und die Breitwechselwirkung

Die Wechselwirkung wird durch den Abstand der beiden Punktladungen und deren Bewegungszustand bestimmt. Eine Interpretation des Ergebnisses könnte sein: Eine der Ladungen gibt Impuls und Energie zum Aufbau des Feldes ab. In der Zeit wird der Impuls und die Energie auf die andere Ladung übertragen. Diese Vorstellung wird in der Quantenfeldtheorie bestätigt (und korrekt behandelt). Zu beachten ist, dass trotz der unsymmetrischen Behandlung der zwei Ladungen zu guter Letzt eine symmetrische Wechselwirkung gewonnen wurde. Die Inkonsequenz der klassischen Herleitung besteht darin, dass der Ausgangspunkt keine symmetrische Wechselwirkung (in den Koordinaten der zwei Punktladungen) ist und somit die Eichtransformation der Wechselwirkung unsymmetrisch angesetzt wird. Diese zwei `Fehler` kompensieren sich derart, dass das Endresultat, wie für eine Wechselwirkung zwischen zwei Ladungen zu erwarten, symmetrisch wird.

Wie lautet die kinetische Energie des Zweiladungssystems in niedrigster Ordnung in ?

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8.11 Antwort zu H7

Zur Angabe der Lagrangefunktion fehlt noch die Entwicklung der kinetischen Energie nach Potenzen von

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