### 1 Zur Berechnung der Summenwerte.

Man kann versuchen, den Summenwert einer numerischen Reihe in direkter Weise oder mit Geschick zu berechnen. Tritt dabei ein eindeutiger, endlicher Summenwert auf, so bezeichnet man die Reihe als konvergent. Hat man keinen eindeutigen, endlichen Summenwert, so ist die Reihe divergent. Direkte Summation ist nicht unbedingt die beste Methode, die Konvergenz einer numerischen Reihe abzuschätzen. Zur Untersuchung der Konvergenz von Zahlenreihen definiert man die folgenden Größen

Diese Größen bezeichnet man als Partial- oder Teilsummen. Die Partialsummen bilden eine Folge

Man stellt fest, dass die Reihe einen eindeutigen, endlichen Summenwert hat, wenn die Folge der Partialsummen gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Durch diesen einfachen Kunstgriff wird die Betrachtung der Konvergenz von numerischen Reihen auf die Betrachtung der Konvergenz von Folgen (siehe Math.Kap. 1.2.3) zurückgeführt. Gelingt es, einen geschlossenen Ausdruck für die Partialsummen anzugeben, so ist die Konvergenzuntersuchung relativ einfach. Leider ist dies nur in wenigen Fällen möglich.
Zur Illustration der direkten Auswertung von Partialsummen folgen einige Rechenbeispiele.
Beispiel 1: Die Reihe für die Zahl .

Die Partialsummen dieser Reihe konvergieren recht schnell. Die Partialsumme gibt den exakten Summenwert bis auf 9 Stellen hinter dem Komma wieder.
Beispiel 2: Die alternierende harmonische Reihe .

Diese Reihe konvergiert sehr langsam. Der Summenwert ist bekannt: .
Beispiel 3: Die harmonische Reihe .

Es sieht so aus, als ob die Folge der Partialsummen konvergiert, wenn auch recht langsam. Diese Vermutung ist jedoch falsch. Der Summenwert der harmonischen Reihe ist . Die Reihe ist divergent. Zum Beweis dieser Aussage vergleicht man die Reihe

mit der harmonischen Reihe

Es gilt . Jeder Term der harmonischen Reihe ist größer oder gleich dem entsprechenden Term der Vergleichsreihe. Die Vergleichsreihe kann man jedoch in einfacher Weise zusammenfassen

Da ist, divergiert auch die harmonische Reihe.
Die Lehre, die man aus diesem Beispiel ziehen kann, lautet: Hat man keinen geschlossenen Ausdruck für die Partialsummen zur Verfügung, so ist die Abschätzung der Konvergenz auf der Basis der direkten Berechnung von Partialsummen mit Vorsicht zu betrachten. Es ist notwendig, allgemeinere Kriterien zur Überprüfung der Konvergenz aufzustellen.