## 1 Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen

Eine explizite Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen wird in der Form geschrieben. Zur Veranschaulichung einer solchen Funktion fasst man , , als kartesische Koordinaten in einem dreidimensionalen Raum auf. Der Definitionsbereich der Funktion ist im Allgemeinen ein Gebiet der - Ebene. Die Punkte bilden dann eine räumliche Fläche über dem Definitionsbereich. Die Menge der -Werte, die sich anhand der Zuordnung ergeben, bezeichnet man wieder als Wertebereich (Abb. 4.1).

Abbildung 4.1: Schaubild einer expliziten Funktion von zwei Veränderlichen

Einige Beispiele sollen die Möglichkeiten verdeutlichen.

- Der Definitionsbereich der Funktion ist das Innere des Einheitskreises der - Ebene, einschließlich Rand . Der Wertebereich der Funktion ist . Die Funktion stellt eine Halbkugel dar (Abb. 4.2a).
- Für die Funktion ist der Definitionsbereich die gesamte - Ebene, der Wertebereich ist . Die Funktion beschreibt ein nach oben offenes Drehparaboloid (Abb. 4.2b).
- Die lineare Gleichung ist die Gleichung einer Ebene im Raum, die durch den Nullpunkt verläuft. Der Definitionsbereich ist die gesamte - Ebene, der Wertebereich ist (Abb. 4.2c).

Abbildung 4.2: Beispiele für Funktionen von zwei Veränderlichen

Eine Möglichkeit solche Flächen in präziser Weise graphisch darzustellen, ist die in der Geographie benuzte Darstellung durch Höhenlinien. Die offizielle Bezeichnung dieser Darstellung ist kotierte Projektion. Man betrachtet die Schnittkurven der Fläche mit den Ebenen const. und zeichnet die Projektion der Schnittlinien in die - Ebene. In der Praxis sieht dies folgendermaßen aus: Bei der Kugelschale sind die Höhenlinien konzentrische Kreis um den Nullpunkt. Sie haben den Radius . Am zweckmäßigsten wählt man äquidistante -Werte (wie man es von den Landkarten gewohnt ist (Abb. 4.3)).

Abbildung 4.3: Kotierte Projektion

Die Höhenlinien in dem zweiten Beispiel sind konzentrische Kreise um den Nullpunkt mit dem Radius . In dem dritten Beispiel sind es die Geraden .
Ein etwas kompliziertes Beispiel wird durch die Funktion

vorgegeben. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte - Ebene, außer dem Koordinatenursprung. Für ist diese gebrochen rationale Funktion nicht definiert. Um eine Vorstellung von der entsprechenden Fläche zu gewinnen, benutzt man zweckmäßigerweise anstelle von kartesischen Koordinaten in der - Ebene Polarkoordinaten. Es ist dann

Abbildung 4.4: Die Funktion

Dieser Form entnimmt man die Aussagen

1.
  Der Wertebereich der Funktion ist .
2.
  Die Höhenlinien der Funktion sind die Geraden const.

Aus dem Höhenlinienbild (Abb. 4.4b) liest man die folgende Eigenschaft ab. In beliebiger Nähe des Nullpunktes kann die Funktion alle Werte zwischen und annehmen. Die Fläche selbst (Abb. 4.4a) ist nicht so einfach zu zeichnen. Sie windet sich pro Quadrant von +1 nach -1 (und umgekehrt) unter Aussparung des Ursprungs.
Bei der expliziten Angabe der Funktion wird jedem Punkt eines Gebietes der - Ebene ein -Wert zugeordnet. Eine Verallgemeinerung erreicht man mit der impliziten Funktion (von zwei Veränderlichen)

Beispiele für eine derartige Vorgabe sind:

- Kugelhalbschalen unter und über der - Ebene werden durch die expliziten Funktionen

  beschrieben. Die Vollkugel (Abb. 4.5a) würde man in der folgenden Weise darstellen

  Diese Gleichung beschreibt Punkte, die sowohl auf der oberen als auch auf der unteren Schale liegen. Ausmultipliziert erhält man die implizite Form

  Mit einer impliziten Funktion kann man mehrdeutige Gebilde (z.B. geschlossene Flächen) in kompakter Weise darstellen.
- Die implizite Vorgabe

  sieht recht kompliziert aus. Nach einer (kurzen) Betrachtung könnte man jedoch herausfinden, dass der Ausdruck faktorisiert werden kann

  Die `Fläche` besteht aus zwei konzentrischen Vollkugeln mit den Radien und (Abb. 4.5b). Sie ist vier- bzw. zweideutig.
- Die allgemeine Gleichung einer Ebene im Raum lautet

  Ist z.B. , so kann man leicht zu einer expliziteren Form zurückfinden

  Ist auf der anderen Seite z.B. , so reduziert sich die Vorgabe auf

  Auch dieser Ausdruck ist als Darstellung einer Ebene zu interpretieren, und zwar einer Ebene parallel zur - Ebene durch den Punkt auf der -Achse.

Bei einer impliziten Form ist die Rolle der unabhängigen Variablen und der abhängigen Variablen beliebig vertauschbar. Die Gleichung

würde man nicht unbedingt nach auflösen,

sondern in der Form

und feststellen, dass es sich um die Beschreibung eines Drehparaboloides um die -Achse handelt (Abb. 4.5c).

Abbildung 4.5: Implizite Funktionen