Lösung der Aufgabe 4.9

Das Gesamtpotential setzt sich aus dem Punktladungspotential plus einem Potential, das von den Kugelflächen erzeugt wird

zusammen. Bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Geometrie des Problems

ist die Multipolentwicklung des Punktpotentials

mit und dem kleineren/größeren der beiden Abstände und vom Koordinatenursprung. Für das Potential der Kugelschalen setzt man eine allgemeine Multipolentwicklung mit unbestimmten Koeffizienten an

Die Anwendung der Randbedingungen

ergibt für die Entwicklungskoeffizienten

Sowohl im Grenzfall als auch für ist . Die Randbedingung kann in diesen Fällen nur erfüllt werden, wenn auf der inneren/äußeren Kugelschale an den Stellen bzw. eine Ladung angebracht wird. Das Potential ist dann im gesamten Zwischenraum gleich Null. Die Verteilung der induzierten Oberflächenladungen auf den zwei Kugelschalen ist durch die Normalenableitung des Potentials auf diesen Flächen gegeben. Man berechnet

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