Lösung der Aufgabe 4.5

Die gesuchte Greensfunktion kann aus den Lösungen der zweidimensionalen Laplacegleichung in ebenen Polarkoordinaten

konstruiert werden. Der Separationsansatz

führt auf die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die Lösung der Winkelgleichung, die der Randbedingung des Problems

für den Winkelanteil entspricht, lautet in komplexer

bzw. in reeller Notation

Die Größe wird zu

bestimmt. Die Radialgleichung kann nach bewährtem Muster diskutiert werden. Die allgemeine Lösung ist

wobei nur -Werte, die größer als Null sind, benutzt werden. Um die Differentialgleichung für die Greensfunktion

in ebenen Polarkoordinaten zu lösen, benutzt man somit den Ansatz

Nach Ausführung der Differentiation nach der Winkelvariablen kann der Winkelanteil mit

eliminiert werden. Die verbleibende Differentialgleichung für den Radialanteil

entspricht der Differentialgleichung für den Radialanteil der Laplacegleichung in ebenen Polarkoordinaten. Aus diesem Grund lautet ein Ansatz für den Radialanteil

Die vier auftretenden Funktionen von werden durch die Standardbedingungen
Randbedingung, Symmetriebedingung und Verhalten der Ableitung für
bestimmt. Die Randbedingungen

ergeben

Die Symmetriebedingung

erfordert

Diese Bedingung kann für beliebige Werte von nur erfüllt werden, falls

und

ist. Die Radialfunktionen lauten somit nach diesen zwei Schritten

Zur Bestimmung der Konstanten betrachtet man das Verhalten der ersten Ableitung der radialen Greensfunktion an den Stellen mit Die entsprechende Sprungbedingung

liefert (in dem Grenzfall )

oder

Zusammenfassung aller Teilergebnisse liefert die gesuchte Greensfunktion in der Form

Dabei ist die größere/kleinere der Variablen und und .

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