Lösung der Aufgabe 8.1

Die sechs Komponenten der elektromagnetischen Felder einer ebenen Welle

in relativistischer Notation

transformieren sich unter einer Lorentztransformation wie

Die Lorentztransformation greift nur an den Amplituden an. Dies bedeutet, dass in allen Inertialsystemen die gleiche Phase vorliegen muss. Definiert man den Vierervektor für die Wellenzahl als

so kann man die Invarianz der Phase in der Form

zum Ausdruck bringen. Aus der Transformation der Koordinaten folgt, dass sich der Viererwellenzahlvektor wie

transformieren muss. Für das Skalarprodukt gilt

Der Viererwellenzahlvektor ist ein Nullvektor des Minkowskiraumes. Ein Wellenzahlvektor (Abb. 0.1) mit

Abbildung 0.1: Andeutung einer ebenen Welle aus der Sicht von

aus der Sicht von transformiert sich mit einer Lorentztransformation, die eine Relativbewegung in der -Richtung beschreibt, in

aus der Sicht von . Die ebene Welle breitet sich aus der Sicht des Systems mit einer Dreierwellenzahl parallel zu der - Ebene aus. Die Wellenzahl selbst, die Frequenz und der Winkel in Bezug auf die (gemeisame) -Richtung sind jedoch verschieden. Der Vorgabe

entnimmt man die Aussagen

Mit den berechneten Komponenten des Vektors findet man

Auflösung dieser Relation nach der Funktion liefert die Aussage

Die Nullkomponente des Vektors

geht damit in

über. Die Dopplerverschiebung kann somit in der Form

dargestellt werden. In der ersten Gleichung ist die Dopplerverschiebung durch die Frequenz und die Ausbreitungrichtung in dem System dargestellt, in der zweiten durch die entsprechenden Größen in dem System . Die Relation zwischen den Winkeln für die Ausbreitungsrichtungen der ebenen Wellen aus der Sicht der beiden Systeme

beschreibt die Aberration des Lichtes (Abb. 0.2).

Abbildung 0.2: Wellenausbreitung aus der Sicht der zwei Inertialsysteme

Eine alternative Form gewinnt man durch Elimination von aus den Transformationsgleichungen für die Komponenten der Wellenzahl

Das in D.tail 8.1 angegebene Resultat lautet

Der Winkel ist der Winkel, um den die Position eines Sterns verschoben erscheint, wenn sich der Beobachter mit der Geschwindigkeit bewegt. Um diese Ergebnis mit dem vorliegenden zu vergleichen, muss man die folgenden Punkte beachten:

- Aus der Sicht des `ruhenden Beobachters` ist die Einfallsrichtung des Lichtes . In diesem Fall reduziert sich die relativistische Formel auf

- Der Winkel ist das Komplement des Winkels (Abb. 0.3).

  Abbildung 0.3: Der Aberrationswinkel

  Somit folgt

Für kleine Werte der Relativgeschwindigkeit ist der Unterschied vernachlässigbar klein.

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