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2 Kurvenintegrale in der komplexen Ebene

Ist eine in einem Gebiet definierte stetige (nicht notwendigerweise differenzierbare) Funktion, so kann man das folgende Integral definieren: Betrachte eine Kurve , die zwei Punkte und des Gebiets verbindet und die ganz in dem Gebiet verläuft. Zerlege die Kurve durch Teilpunkte in Teilstücke und bilde die Summe

wobei ein beliebiger Zwischenpunkt in dem Intervall ist. Der Grenzwert dieser Summe für eine beliebig feine Unterteilung definiert dann das komplexe Kurvenintegral

Die Voraussetzung der Stetigkeit von ist hinreichend, doch nicht notwendig für die Existenz des Grenzwertes. Wählt man als Kurve ein Teilstück der reellen Achse und ist , so erhält man als Spezialfall das reelle Integral.

Aufgrund der Analogie der Definition des Kurvenintegrals über der komplexen Ebene und über einer zweidimensionalen reellen Ebene lassen sich einfache Rechenregeln ohne Aufwand gewinnen. So gilt z.B. für zwei aufeinander folgende Wegstücke und

oder für einen Integranden, der als Summe von zwei Funktionen vorgegeben ist

Zur Auswertung der komplexen Kurvenintegrale benutzt man eine Parameterdarstellung der Wege in der Form

Besitzen die Funktionen und stetige Ableitungen, so beschreibt das totale Differential

die Unterteilung eines zusammenhängenden Wegstücks. Einige Beispiele, deren Ergebnisse immer wieder benutzt werden, sind

1. Für ist das Integral von bis zu dem Punkt zu berechnen, wobei der Weg einmal zuerst entlang der imaginären Achse und dann parallel zur reellen Achse, zum zweiten zuerst entlang der reellen und dann parallel zur imaginären Achse zu nehmen ist. Man findet

   Das Resultat hängt nicht nur von den Integrationsgrenzen sondern auch vom Weg ab.
2. Es ist , der Weg ein Kreis mit Radius um den Nullpunkt mit der Parameterdarstellung . Es folgt dann

3. Für einen Kreisbogen (Radius ) von bis soll das Integral mit berechnet werden. Man findet

   Geht der Kreisbogen in einen Kreis über, so ist mit

4. Wird in dem zweiten Beispiel der Kreis in dem Uhrzeigersinn durchlaufen, so benötigt man die Parameterdarstellung . Für das Integral findet man dann

   Der Wert des Integrals hängt von dem Umlaufsinn ab.

   Im Weiteren kennzeichnet einen geschlossenen Weg um den Ursprung, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Ein solcher Weg wird mit 'im mathematischen Sinn positiv' bezeichnet. Die Notation für einen entsprechenden Weg in dem Uhrzeigersinn ist .

5. Der Integrand ist mit beliebigem ganzzahligen . Der Weg ist ein Kreis mit Radius im positiven Sinn um den Punkt . Mit der Parameterdarstellung findet man

   Mit der Moivreformel folgt

   Man findet jedoch

   für alle negativen und positiven ganzzahligen Werte mit . Ist , so verschwindet das Integral mit dem Sinus, das Integral mit dem Kosinus liefert . Somit ist