Lösung der Aufgabe 4.4

Für kugelsymmetrische Probleme lautet die Greensfunktion (siehe D.tail 4.3)

wobei der Radialanteil die Differentialgleichung

erfüllt. Die Radialanteile selbst werden in der Form

angesetzt. Die Randbedingungen für die radialen Greensfunktionen

führen auf das Zwischenergebnis

Die Symmetriebedingung

liefert im nächsten Schritt die Aussagen

Durch den Anschluss der beiden Lösungen mittels der Sprungbedingung für die erste Ableitung

gewinnt man die Konstante

und damit das Endresultat für die radialen Greensfunktionen

Die beiden Greensfunktionen unterscheiden sich durch Vertauschen von und in den -abhängigen Faktoren. In dem Grenzfall erhält man die im D.tail 4.3 gewonnene Greensfunktion, so z.B.

und entsprechend

Die Normalenableitungen stehen senkrecht auf den Flächen, die das vorgegebene Volumen begrenzen und zeigen nach außen. Somit ist

auf der Innenfläche und

auf der Außenfläche. Die benötigten Ableitungen der radialen Greensfunktionen sind

mit

zur Abkürzung, und

Damit erhält man mit und für die Oberflächenbeiträge in der Lösungsformel (4.24) des Dirichletproblems

bzw. nach Auswertung

Man findet damit, wie erwartet,

in Überprüfung der Resultate.

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