Detail 8.2
Die einfache Lorentztransformation
Die Herleitung der einfachsten Variante der Lorentztransformation mittels der Michelson-Morley Bedingung beinhaltet nur einfache algebraische Manipulationen. Der Vollständigkeit wegen werden hier auch die Voraussetzungen noch einmal aufgeführt.

Man betrachtet zwei Inertialsysteme die

- zur Zeit zusammenfallen (also achsenparallel sind) und die
- sich mit der konstanten Relativgeschwindigkeit in der gemeinsamen -Richtung bewegen (Abb. 8.1).

Abbildung 8.1: Zur Herleitung der einfachen Form der Lorentztransformation

Als Ansatz für die gesuchte Transformationsgleichung benutzt man

Der Ursprung des Systems hat bezüglich des Systems die Koordinate Es ist somit

Setzt man nun die Transformationsgleichungen in die Michelson-Morley Bedingung

ein, so ergibt sich nach einfacher Sortierung

Die Koordinate und die Zeit können beliebig gewählt werden. Koeffizientenvergleich liefert somit einen Satz von Gleichungen für die noch unbestimmten Koeffizienten , , :

|  |  | (1)
|  |  | (2)
|  |  | (3)

Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungssystems kann wie folgt bestimmt werden: Man löst z.B. die Gleichung (2) nach auf

und setzt in (1) ein

| (4)

Die Gleichung (3) stellt eine zweite Relation zwischen und dar, die nach Einsetzen in (4) eine quadratische Gleichung für liefert

bzw.

Ein Vorzeichen der Doppelwurzel

wird durch die Forderung ausgewählt, dass im Grenzfall die Galileitransformation erhalten werden soll. Der Koeffizient ist dann positiv, denn es gilt

Den Transformationskoeffizienten gewinnt man aus (3)

Wieder wird durch die Forderung, dass im Grenzfall die Galileitransformation erhalten werden soll, das positive Vorzeichen ausgewählt.

Den Koeffizienten kann man direkt (2) entnehmen

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