Detail 4.1
Von einer Punktladung induzierte Oberflächenladung einer geerdeten Metallkugel
Die Lösung der Aufgabe: 'Berechne das Potential einer Punktladung im Abstand vom Zentrum einer geerdeten Metallkugel mit Radius ' lautet

|  |  | (1)

Wählt man als Position der Ladung (Abb. 4.1) ,

Abbildung 4.1: Metallkugel und Punktladung: Wahl des Koordinatensystems

so sind die Spiegelladung und deren Position (Abb. 4.2)

Abbildung 4.2: Metallkugel und Punktladung: Position der Spiegelladung

Zu berechnen sind hier die auf der Kugel induzierte Ladungsverteilung mittels der Normalenableitung

| (2)

und die gesamte auf der Kugel induzierte Ladung

| (3)

####
(a) Ladungsverteilung

Mit der oben angedeuteten Wahl des Koordinatensystems und

gilt für die Abstandsfunktion (setze wie im Haupttext )

Das Potential im Außenraum hat dann die Form

Die Berechnung der Normalenableitung beinhaltet die Schritte

Da ist, hat die induzierte Oberflächenladung

ein der Ladung entgegengesetztes Vorzeichen.

#### (b) Integration

Das Oberflächenintegral (3)

ist explizit

Die -Integration kann direkt ausgeführt werden

Das verbleibende Integral lässt sich einfach berechnen ()

Die gesamte auf der Metallkugel induzierte Oberflächenladung entspricht der Spiegelladung.

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