## 1 Trennung der Variablen

Das Muster dieser Lösungsmethode liefert die Differentialgleichung erster Ordnung mit der Form

beziehungsweise

Es zeigt sich, dass die Differentialgleichungen zweiter Ordnung des Typs

durch zweifache Anwendung der Methode der Variablentrennung gelöst werden können.
Ein naiver, wenn auch nicht korrekter Zugang zur Lösung der vorgegebenen Differentialgleichung erster Ordnung ist der folgende: Man fasse `Zähler` und `Nenner` des Differentialquotienten als unabhängige, kleine (vornehmer infinitesimale) Größe auf und schreibe

Die beiden Variablen sind getrennt. Bildet man nun auf beiden Seiten dieser Gleichung korrespondierende Integrale, die die Anfangsbedingung beinhalten, so erhält man6

Wenn man die Stammfunktionen zu den beiden Integralen kennt (bzw. die entsprechenden unbestimmten Integrale berechnen kann), ist das Problem gelöst

Hier tritt die Anfangsbedingung explizit auf. Fasst man die beiden konstanten Terme zusammen und schreibt

so hat man eine allgemeine Form der Lösung, die gegebenenfalls nach (oder auch nach ) aufgelöst werden kann.
Die vorgestellte Argumentation ist, obschon in der Praxis durchaus üblich, aus mathematischer Sicht nicht vertretbar. Der Differentialquotient ist kein Bruch, sondern ein Grenzwert. Die korrekte Argumentation liefert jedoch (glücklicherweise) das gleiche Resultat. Das korrekte Argument besteht in dem Nachweis der folgenden Aussagen:

- Aus der Differentialgleichung folgt die Relation

- Aus dieser Relation folgt die Differentialgleichung.

Die Argumentation zu Punkt 1 lautet: Schreibe die Differentialgleichung (unter der Voraussetzung, dass eine Lösung existiert) in der Form

und bilde das unbestimmte Integral

Substituiere in dem zweiten Integral

mit der oberen Grenze und erhalte wie zuvor

Zum Nachweis von Punkt differenziert man diese Relation nach t

In dem ersten Term wird nach der oberen Grenze differenziert. Dies ergibt den Integranden an der Stelle . Der zweite Term wird mit der Kettenregel behandelt

so dass sich

oder ergibt.
Die Lösung der einfachen Differentialgleichungen und , die bei der Diskussion von einfachen Bewegungsproblemen auftreten, erfordert die zweifache Anwendung der Methode der Variablentrennung. Die einzelnen Fälle sind folgendermaßen zu behandeln.
Fall 1:
Im ersten Schritt löst man (nach der Substitution ) die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung mittels Variablentrennung und erhält . Im zweiten Schritt ist die Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung in der gleichen Weise zu behandeln. Das Ergebnis ist

Sofern die erforderlichen Integrale analytisch berechnet werden können, ist die gesuchte Lösung gefunden.
Zur Übung kann man (noch einmal) den freien Fall mit Reibung in einer Raumdimension betrachten (Buch.Kap. 2.1). Die Vorgabe mit den (speziellen) Anfangsbedingungen

führt auf die Lösung

Eine allgemeine Vorgabe

liefert

Fall 2:
Hier ist im ersten Schritt eine Substitution notwendig bevor man Variablentrennung anwenden kann. Man argumentiert: Die Umkehrung der Relation kann man in die Relation einsetzen und erhält . Die Kettenregel ergibt dann

Die Differentialgleichung, die somit zur Diskussion steht

| (2)

kann mittels Variablentrennung behandelt werden. Mit den Anfangsbedingungen und der Definition

erhält man in expliziter Form7

Zur Durchführung des zweiten Schrittes schreibt man dieses Ergebnis in der Form . Die entsprechende Differentialgleichung

kann ebenfalls mittels Variablentrennung gelöst werden

Nach Auswertung des Integrals und Umkehrung des Ergebnisses in der Form ist der Lösungsprozess beendet. Natürlich sollte die Lösung eindeutig sein. Das Vorzeichen ist noch mit Hilfe geeigneter (physikalischer) Argumente festzulegen.
Als Beispiel für die Gewinnung einer Lösung soll das harmonische Oszillatorproblem dienen, obschon für dieses Problem (siehe Math.Kap. 2.2.2) ein einfacherer Lösungsweg vorzuziehen ist. Die Differentialgleichung ist

Die Anfangsbedingungen seien

Zur Anfangszeit bewegt sich die Oszillatormasse in der positiven - Richtung und passiert den Koordinatenursprung. Variablentrennung ergibt im ersten Schritt

Nach Auflösung und Festlegung des Vorzeichens durch die Anfangsbedingung , liefert Variablentrennung im zweiten Schritt

Die Stammfunktion dieses Integrals ist der Arcussinus

das Ergebnis lautet also

oder in Umkehrung

Die Amplitude wird durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Der maximale Ausschlag ist proportional zu der Anfangsgeschwindigkeit. Das Ergebnis für die Geschwindigkeit kann man entweder durch direkte Differentiation von oder durch Einsetzen von in die Gleichung gewinnen.
Zur weiteren Übung kann man noch den Satz von Anfangsbedingungen

betrachten. Die Oszillatormasse ist anfänglich in der positiven - Richtung ausgelenkt. Da zur Anfangszeit die Geschwindigkeit Null ist, liegt ein Umkehrpunkt der Bewegung vor. Die Lösung lautet für diesen Satz von Anfangsbedingungen

Der einzige springende Punkt gegenüber dem ersten Satz von Anfangsbedingungen ist der Zeitpunkt der Festlegung des Vorzeichens. Da ist, findet die Festlegung erst in dem zweiten Lösungsschritt statt.
Wie schon erwähnt, kann man das Oszillatorproblem direkter lösen. Das hier vorgestellte Verfahren hat jedoch den Vorteil, dass es für allgemeinere Vorgaben von gangbar ist. Voraussetzungen für die Gewinnung einer analytischen Lösung sind: Man kann alle vorkommenden Integrale analytisch berechnen und das Endergebnis in der Form umkehren.
Fall 3:
In diesem Fall kann die Methode der Variablentrennung wieder direkt angewandt werden. Man schreibt die Differentialgleichung in der Form und erhält die Lösung

in der die Anfangsbedingungen eingearbeitet sind. Wertet man das Integral aus, so kann man die Aussage in der Form auflösen und in einem zweiten Schritt die Differentialgleichung direkt integrieren

Als Beispiel soll noch einmal das freie Fallproblem mit Reibung dienen, dieses Mal mit der Vorgabe und den Anfangsbedingungen

Im ersten Schritt berechnet man8

Um das Betragszeichen in der Umkehrung dieser Relation

aufzulösen, sind gegebenenfalls Fallunterscheidungen zu diskutieren. Das Ergebnis

ist dann noch einmal zu integrieren. Das Endergebnis wurde schon unter dem Fall 1 angegeben.