## 5 Differentialgleichungen höheren Grades

Die Standardform ist ein `Polynom` in den Ableitungen erster Ordnung

Ein solches Polynom kann faktorisiert werden

wobei unter Umständen das Auftreten von komplexen Funktionen in Kauf zu nehmen ist. Es bietet sich an, die einzelnen Faktordifferentialgleichungen zu lösen und daraus die Gesamtlösung zusammenzusetzen. Die entsprechende Strategie soll an zwei Beispielen illustriert werden.
Für die Differentialgleichung

lautet die Faktorisierung . Die Einzellösungen sind

Das Produkt kann jedoch nicht die Gesamtlösung sein, da eine Differentialgleichung erster Ordnung, unabhängig von dem Grad, nur eine Integrationskonstante enthalten darf. Als Ausweg bietet es sich an, zu setzen. Man stellt dann fest, dass die Funtion oder (eine Schar von parallelverschobenen, nach oben bzw. nach unten offenen Parabeln) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist. Das zweite Beispiel ist, der Einfachheit halber, ebenfalls eine Differentialgleichung zweiten Grades

Faktorisierung ergibt , mit den Einzellösungen

Die allgemeine Lösung ist nach der angedeuteten Vorschrift

wobei eines der Vorzeichen genügt, da der Parameter die Werte annehmen kann. Die Lösungsmannigfaltigkeit ist eine Parabelschar, deren Minima auf der -Achse liegen.