Detail 7.10
Zur Bremsstrahlung

Die Larmorformel, die die Winkelverteilung der Bremsstrahlung im nichtrelativistischen Bereich beschreibt, ist zu modifizieren, falls relativistische Punktladungen abgebremst werden. Ausgangspunkt ist in diesem Fall die Gleichung (7.104) in Kap. 7.4.2

| (1)

die für die Beispiele eines linearen und eines Kreisbeschleunigers ausgewertet werden soll. Die auftretenden Größen sind

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(a) Linearbeschleuniger

In diesem Fall sind der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor parallel, bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems z.B.

Charakterisiert man die Komponenten des Einheitsvektors durch Kugelkoordinaten

| (2)

so findet man für das Vektorprodukt im Zähler der Gleichung (1), da für den Linearbeschleuniger ist,

und für das Quadrat dieses Vektors

Zusammen mit dem offensichtlichen Resultat für den Nenner ergibt dieses Resultat die Gleichung (7.105)

für die Winkelverteilung in Bezug auf die Strahlrichtung.

Zur Berechnung der gesamten pro Zeiteinheit abgestrahlten Leistung ist das Integral in

|  |  | (3)

auszuwerten (die Integration über ergibt den Faktor ). Die explizite Auswertung folgt:

Um den Nenner zu vereinfachen, ist die Substitution

angebracht. Es ist dann

und das Integral lautet

Durch partielle Integration oder in einer Integraltabelle findet man

Für das auszuwertende Integral ist

und der maximale -Wert so dass man die folgenden Einzelintegrale betrachten muss

Setzt man in die Funktion die Werte an den Grenzen ein, so findet man . Die Rekursion der Integrale kann somit in einfacher Weise aufgelöst werden

Das Integral über ist elementar und liefert

Setzt man dieses Resultat in die Gleichung (3) ein, so findet man das in Kap. 7.4.2 zitierte Ergebnis

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(b) Kreisbeschleuniger: Winkelverteilung

Der Geschwindigkeitsvektor (tangential an den Kreis) und der Beschleunigungsvektor stehen hier senkrecht aufeinander, so dass man bei geeigneter Wahl eines momentanen Koordinatensystems

ansetzen kann (siehe Abb. 7.1).

Abbildung 7.1: Momentane Geschwindigkeit und Beschleunigung

Der Vektor wird, wie zuvor, durch die Gleichung (2) beschrieben. Zur Berechnung des Zählers in (1) bestimmt man wieder das mehrfache Vektorprodukt

und quadriert

Für die einzelnen Beiträge findet man

Der Gesamtterm ist demnach

so dass man mit

für die momentane Winkelverteilung (vergleiche Kap. 7.4.2, (7.106))

erhält. Das Abstrahlungsmuster eines Ringbeschleunigers wird in der folgenden Animation für verschiedene Werte der Geschwindigkeit (rot) und drei Werte der Lichtgeschwindigkeit in einem Medium (0.8c schwarz, 0.6c blau, 0.4c grün) illustriert.

Abbildung 7.2: Abstrahlungsmuster eines Ringbeschleunigers

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(c) Kreisbeschleuniger: Gesamte Leistung

Die Berechnung der pro Zeiteinheit abgestrahlten Leistung vollzieht sich in zwei Schritten. Nach Integration über den momentanen Azimutalwinkel verbleibt mit

das Integral

das in die drei Einzelintegrale

mit

zerlegt werden kann. Die Integrale und können direkt gewonnen werden

Das letzte Integral berechnet man mit partieller Integration oder mit Hilfe einer Integraltafel zu

Die Summanden in den beiden großen Klammern unterscheiden sich jeweils nur durch ein Vorzeichen. Fasst man die einzelnen Terme mit

zusammen, so erhält man für das Integral

Das Gesamtintegral ist dann

so dass man für die gesamte in dem Zeitpunkt abgestrahlte Leistung pro Zeiteinheit

erhält.

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