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1 Laplacegleichung, zwei kartesische Koordinaten

Die Laplacegleichung in einer zweidimensionalen kartesischen Welt lautet

Man kann deren Lösung mit einem Produktansatz (auch Ansatz nach Bernoulli genannt) versuchen

Geht man mit diesem Ansatz in die Differentialgleichung ein, so folgt

Man kann gewöhnliche Differentiationssymbole benutzen, da und Funktionen einer Veränderlichen sind. Multipliziert man diese Gleichung mit , so erhält man

also offensichtlich eine Gleichung der Form

Diese Gleichung kann für beliebige Wertepaare nur erfüllt sein, wenn die einzelnen Summanden konstante Größen sind. Man setzt also

Die Konstante bezeichnet man als die Separationskonstante. Mit dieser Argumention hat man aus einer partiellen Differentialgleichung zwei gewöhnliche Differentialgleichungen gewonnen

Setzt man voraus, dass diese gewöhnlichen Differentialgleichungen für vorgegebene Werte von gelöst werden können

so ergeben sich die folgenden Möglichkeiten:

(i)
  Die Differentialgleichungen sind für alle -Werte aus einem Intervall lösbar

  wobei und auch bzw. sein können.
(ii)
  Die Differentialgleichungen sind nur für diskrete Werte von lösbar

(iii)
  Möglich ist auch eine Kombinationen aus (i) und (ii).

Unabhängig von der Situation bezüglich der Integrationskonstanten muss man jedoch die folgenden Aussagen beachten: Jede Produktfunktion

ist per Konstruktion eine Lösung der partiellen Differentialgleichung. Sie kann jedoch keine allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung sein, da die Separationskonstante in der ursprünglichen, partiellen Differentialgleichung nicht auftritt. Infolge der Linearität der zur Diskussion stehenden Differentialgleichungen kann man die allgemeine Lösung durch Superposition der Einzellösungen ansetzen, in den einzelnen Fällen:

(i)

(ii)

Man kann verifizieren, dass diese Superpositionen eine Lösung der partiellen Differentialgleichung darstellen. So gilt z.B. im Fall (i)

Im Gegensatz zu dem Fall einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung enthält die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung beliebig viele Integrationskonstanten. Dies ist jedoch genau der Problemstellung angepasst. In einer Raumdimension kann man für ein Randwertproblem zwei Randwerte vorgeben. Im Fall von zwei Raumdimensionen würde eine Randkurve vorliegen, also beliebig viele Randpunkte. Anhand dieser Vorgabe kann man den gesamten Satz von Integrationskonstanten bzw. festlegen.

Da die Separation der Laplacegleichung in der dreidimensionalen Welt immer wieder gefragt ist, soll in den nächsten Abschnitten die Separation in den drei gebräuchlichsten Koordinaten (kartesische, Kugel- und Zylinderkoordinaten) angegeben werden. Die jeweilige Form des Laplaceoperators entnimmt man dem Math.Kap. 5.2, in dem auch Hinweise auf weitere Systeme von krummlinigen Koordinaten zu finden sind.

Auch in der dreidimensionalen Welt ist zu beachten, dass sich eine allgemeine Lösung der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung erst durch Superposition der Lösungen der drei gewöhnlichen Differentialgleichungen, die aus ihr hervorgehen, ergibt. Die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen und die damit verbundene Diskussion der Separationskonstanten wird entweder im Haupttext oder in den Math.Kap. 4.2 bis 4.6 diskutiert.

Die Laplacegleichung separiert, wie unten gezeigt, in Kugelkoordinaten. Die Tatsache, dass nicht jede partielle Differentialgleichung in allen möglichen Koordinaten (oder überhaupt) separieren muss, kann demonstriert werden, indem man anstelle der Laplacegleichung eine lineare, homogene Gleichung wie

betrachtet. Diese partielle Differentialgleichung ist in kartesischen, nicht aber in Kugelkoordinaten separierbar.