## 3 Integrale mit

Die Diskussion der Integration von Funktionen mit drei Veränderlichen verläuft weitgehend analog zu dem Fall von Funktionen mit zwei Veränderlichen, wenn auch die Details infolge eines weiteren Integrationsschrittes etwas aufwendiger sein können. Die Darstellung wird sich auf einen gewissen Überblick beschränken.
Liegen feste Integrationsgrenzen vor, so kann man z.B. die folgende Hierarchie von Integralen betrachten

In keinem der Fälle ist eine anschauliche Darstellung möglich. Man kann sich jedoch eine Vorstellung von den Integrationsbereichen machen.

1.
  Der Integrationsbereich ist eine gerade Strecke. Die Gerade, auf der die Strecke abgetragen ist, verläuft durch den Punkt der - Ebene und ist parallel zu der -Achse (Abb. 4.37). Berechnet wird eine `Fläche` über dieser Strecke in der nicht darstellbaren vierten Dimension.

  Abbildung 4.37: Integration über eine Gerade im

2.
  Der Integrationsbereich ist ein Rechteck in der Ebene const., das von Geraden parallel zu der - und der -Achse begrenzt ist (Abb. 4.38a). Berechnet wird ein Volumen über dieser Fläche und zwar in dem dreidimensionalen Unterraum, der von den Koordinaten aufgespannt wird.
3.
  Der Integrationsbereich ist ein Quader (Abb. 4.38b) im , begrenzt von den sechs Ebenen , und . Das Resultat der Integration ist ein vierdimensionales Volumen.

  Abbildung 4.38: Integration über zwei- und dreidimensionale Bereiche

In allen drei Fällen ergeben sich aus rechentechnischer Sicht keine neuen Gesichtspunkte, so ist z.B. mit

In den Fällen 2 und 3 steht wieder die Frage nach der Vertauschung der Reihenfolge der Integration an. Auch hier lautet die Bedingung: Die Vertauschung ist möglich, falls die Funktion über dem jeweiligen Grundbereich beschränkt ist. Man benutzt dann auch die Kurzformen

bzw.

mit der Vorstellung, dass der Integrationsbereich in infinitesimale Rechtecke oder Quader aufgeteilt wird.
Für Integrale mit variablen Grenzen existiert eine entsprechende Hierarchie. Die Gestalt der Integrationsbereiche ist jedoch unter Umständen komplizierter. Benutzt man eine entsprechende Bezeichnung wie für die Integrale mit festen Grenzen, so sind die verschiedenen Integrale dieser Hierarchie

Der Integrationsbereich ist immer noch eine Strecke parallel zur -Achse. Die Strecken werden jedoch nicht durch die Ebenen begrenzt, sondern (Abb. 4.39) durch die Flächen bzw. .

Abbildung 4.39: Integration über eine gerade Strecke im mit variabler Begrenzung

Der Integrationsbereich ist eine Fläche in der Ebene const. Die Begrenzung der Fläche kann folgendermaßen beschrieben werden:

(a)
  In der -Richtung sind es die Schnittkurven der Flächen und mit der Ebene const. (Abb. 4.40a).
(b)
  In der -Richtung sind es Geraden parallel zur -Achse, die durch die Schnittpunkte der Kurven und mit der Ebene (oder Geraden) const. bestimmt werden (Abb. 4.40b).

Abbildung 4.40: Zur Integration über eine ebene Fläche mit krummliniger Begrenzung im

Die Gestalt des Integrationsbereiches ändert sich demnach mit jedem - Wert. Das Integral, das eigentlich interessiert, ist

Dieses Integral stellt wieder ein vierdimensionales Volumen dar, der Integrationsbereich ist dieses Mal ein `Standardbereich` im . Beliebig geformte dreidimensionale Integrationsbereiche lassen sich aus solchen Standardbereichen zusammensetzen. Ein Beispiel (Abb. 4.41) für einen Standardbereich soll etwas eingehender betrachtet werden, zur Abwechslung in einer Variante mit vertauschter Reihenfolge der Integrationen

Der durch die angegebene Begrenzung definierte Bereich kann folgendermaßen beschrieben werden: Die Grenzen der -Integration sind die Ebenen . Die Grenzen der -Integration sind die Ebenen . Projiziert man die Grundfläche, die auf diese Weise festgelegt ist, in den Raum und versieht sie mit einer Bodenfläche und einer Deckelfläche , so erhält man den Integrationsbereich .

Abbildung 4.41: Ein Standardbereich im

Ist der Integrand beschränkt, so kann man den vorgegebenen Bereich in beliebiger Weise in infinitesimale Volumenelemente zerlegen (infinitesimale Quader ist nur eine Möglichkeit) und über Bildung der infinitesimalen vierdimensionalen Volumina zu dem Grenzwert

gelangen.
In Erweiterung der Situation bei Integralen mit ergibt sich hier die Möglichkeit den Rauminhalt von beliebigen dreidimensionalen Volumina zu berechnen. Für erhält man

Es folgen einige explizite Beispiele für dreidimensionale Integrationsbereiche, wobei zunächst die folgende Unterteilung des des Integrationsbereiches benutzt wird

Für ein Kugelvolumen (Abb. 4.42) um den Koordinatenursprung (Radius ) erhält man bei dieser Reihenfolge die folgenden Integrationsgrenzen in den drei Koordinatenrichtungen:

Abbildung 4.42: Ein kugelförmiger Integrationsbereich

In der -Richtung (Boden und Deckel) sind es die Halbkugeln

In der -Richtung hat man zwei Kreisbogen

In der -Richtung sind die Grenzen konstant

Bei der symmetrischen Form des Bereiches ist eine Vertauschung der Reihenfolge der Integration bei entsprechender Variation der Grenzen ohne Weiteres möglich. Das Kugelvolumen könnte nun mit berechnet werden, doch offensichtlich ist ein Übergang zu Kugelkoordinaten vorteilhaft.
2. Ein elliptischer Zylinder über der - Ebene mit parabolischer Kappe (Abb. 4.43) wird durch die folgenden Grenzen charakterisiert:

Abbildung 4.43: Ein (elliptischer) Zylinder mit Parabolkappe

Der Boden ist die - Ebene , der Deckel das Paraboloid . In der -Richtung wird das Integrationsvolumen durch die Ellipsenbogen

begrenzt, in der -Richtung durch die Konstanten

3. In dem letzten Beispiel ist eine Unterteilung in Standardbereiche notwendig. Der Bereich ist eine Pyramide der Höhe über einem Quadrat mit der Seitenlänge in der Ecke des ersten Quadranten der - Ebene (Abb. 4.44).

Abbildung 4.44: Ein Bereich in der Form einer Viertelpyramide

Die Pyramide ist von oben durch vier Dreiecksflächen begrenzt, ist also kein Standardbereich. Es ist notwendig, den Gesamtbereich in vier Teilbereiche zu zerlegen. Die vier entsprechenden ebenen Bereiche in der - Ebene müssen zweckmäßigerweise mit wechselnder Reihenfolge der Integration charakterisiert oder nochmals zerlegt werden. Hier werden nur zwei der vier Teilbereiche beschrieben:

1.
  Der Teilbereich, der an -Achse grenzt, wird in der -Richtung durch die Ebene und durch eine Ebene,die durch die -Achse und durch die Spitze der Pyramide verläuft, begrenzt

  In der -Richtung sind es die Geraden und , in der -Richtung die festen Grenzen und .
b.
  Für den Teilbereich, der an die -Achse grenzt, benötigt man

  Die Angaben für die zwei restlichen Teilbereiche bleiben dem Leser überlassen.

Für ein Viertel des Pyramidenvolumens erhält man somit

Dieses Ergebnis kann man natürlich auch elementar gewinnen, das Ergebnis für die ersten zwei Beispiele jedoch bestimmt nicht.
Bei der Auswertung von Dreifachintegralen ist die Substitutionsregel äußerst nützlich. In diesem Fall lautet sie folgendermaßen: Das Integral

geht bei der Transformation

über in

Die Funktionaldeterminante der Transformation ist

Die Reihenfolge der Koordinaten ist wieder unwesentlich, deswegen tritt auch hier der Betrag der Funktionaldeterminante auf. ist das Bild des Bereiches in dem , , -System. So ist z.B. das Bild einer Kugel (in kartesischen Koordinaten) ein Quader in Kugelkoordinaten (Abb. 4.45).

Abbildung 4.45: Die Abbildung einer Kugel in kartesischen Koordinaten in einen Quader bei Benutzung von Kugelkoordinaten

Offensichtlich liegt eine direkte Erweiterung der entsprechenden Regeln für den Fall von Doppelintegralen vor. Man unterteilt den Bereich durch Flächen const., const., const. und stellt ein unregelmäßiges Volumenelement, das durch infinitesimal benachbarte Flächen gebildet wird, in linearer Näherung dar.
Zwei wichtige Spezialfälle werden immer wieder benötigt:

Ein Kugelvolumen würde man somit nicht in kartesischen Koordinaten sondern in Kugelkoordinaten berechnen

Das Volumen eines Kugelsegmentes mit dem Öffnungswinkel erhält man entsprechend als (Abb. 4.46)

Abbildung 4.46: Zur Berechnung des Volumens eines Kugelsegmentes

Als weitere Übung kann man das Volumen des elliptischen Zylinders mit Paraboloidkappe zu berechnen. Geeignete Koordinaten sind

Das Resultat ist

Dreifachintegrale treten in der theoretischen Physik in fast allen Bereichen auf. Ein mögliche Aufgabe aus der Mechanik lautet: Vorgegeben ist die Dichte eines Objektes als Funktion des Ortes.

Dies beschreibt einen Körper mit scharfer Begrenzung und beliebiger Zusammensetzung. Es sind folgende Größen zu berechnen:

Diese Formeln ergeben sich aus der Überlegung: Bei einer infinitesimalen Zerlegung des Körpers summiert man über entsprechende Beiträge, die im Grenzfall ein Dreifachintegral ergeben, so z.B. für die Masse

Entsprechendes gilt für die Schwerpunktskoordinaten.
Ein konkretes Beispiel ist die Berechnung dieser Größen für eine Halbkugel mit uniformer Massenverteilung . Die Masse ist

Für die Schwerpunktskoordinaten erhält man bei Auswertung in Kugelkoordinaten mit für eine Halbkugel:

Das Integral faktorisiert in drei gewöhnliche Integrale. Wegen

ist . Entsprechend findet man

und

Der Schwerpunkt liegt auf der -Achse (eine Symmetrieachse), in einem Abstand von () Einheiten über dem Koordinatenursprung.
Integrale mit mehr als drei Integrationsvariablen

findet man in allen Bereichen der Physik, von der klassischen Mechanik bis zu der Quantenfeldtheorie. Das Muster zu deren Diskussion und Auswertung ist jedoch durch die Betrachtung der einfacheren Situationen vorgegeben, rechentechnische Komplikationen nicht eingerechnet.