Lösung der Aufgabe 8.7

Das Dipolmoment einer Ladung, die in der -Richtung

oszilliert, ist

Der entsprechende Poyntingvektor in der Fernzone

führt im Zeitmittel auf die Winkelverteilung

und die gesamte pro Zeiteinheit abgestrahlten Leistung

Der Winkel ist der Winkel zwischen der Beobachtungsrichtung und der Schwingungsrichtung des Dipols () Im Fall einer relativistischen Bewegung des Oszillators muss man zur Berechnung der abgestrahlten Leistung die Gleichung (7.104) aus Kap. 7.4.2

auswerten. Sie beschreibt die pro Raumwinkel zu der retardierten Zeit abgestrahlte Energie pro Zeit. In die Gleichung gehen die folgenden Größen ein: ist der Vektor von der Position der Punktladung (zur retardierten Zeit) zu dem Aufpunkt

Der entsprechende Einheitsvektor wird mit bezeichnet

Der Geschwindigkeitsvektor der Punktladung bezogen auf die Lichtgeschwindigkeit sowie der zugehörige Beschleunigungsvektor sind

Bezeichnet man den Winkel zwischen den Vektoren und mit , so findet man

mit den Einheitsvektoren

Insgesamt erhält man also (benutze zur Abkürzung )

In der Fernzone kann man die Variation des Winkels mit der Zeit vernachlässigen. Der Winkel entspricht dann essentiell dem Winkel zwischen dem Beobachtungspunkt und der Dipolachse Zur Berechnung des Zeitmittels über eine Schwingungsperiode ist dann das Integral

auszuwerten. Diese Rechnung ist etwas mühselig, doch elementar. Das Ergebnis lautet

so dass man für die zeitgemittelte Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung

erhält. Im Vergleich zu dem nichtrelativistischen Ergebnis ergibt sich ein relativistischer Korrekturfaktor

Ist der Parameter klein genug, so genügt es die Näherung

zu betrachten. Der Korrekturfaktor ist in (Abb. 0.1) für drei Werte von (obere Kurve: exaktes Resultat, darunterliegende durchbrochene Linie der gleichen Farbe: Näherung bis zur Ordnung ) dargestellt.

Abbildung 0.1: Der relativistische Korrekturfaktor für verschiedene Werte von

Das Polardiagramm (skaliert) der Winkelverteilung des relativistischen Oszillators für die gleichen -Werte zeigt die Abbildung 0.2. Die Schwingungsrichtung des Oszillators ist die Horizontale. Die rote Kurve entspricht dem nichtrelativistischen Resultat.

Abbildung 0.2: Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung für verschiedene Werte von

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