Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.11

1. Berechne die Ladungsdichte auf den Platten nach teilweisem Einschub des Dielektikums (Tiefe=) für den Fall konstanter Plattenladung (Fall (A)).
2. Bestimme für den Fall (A) Spannung und Kapazität des Kondensators als Funktion von der Einschubtiefe .
3. Bestimme für den Fall (A) den Energieinhalt des Kondensators.
4. Diskutiere die Abhängigkeit der gespeicherten Energie von der Einschubtiefe und mache eine Aussage zu der Kraftwirkung auf den dielektrischen Block.
5. Bestimme für den Fall konstanter Spannung die Flächenladungsdichte und die Gesamtladung auf den Platten (Fall (B)).
6. Berechne und diskutiere die Kapazität und den Energieinhalt des Kondensators für den Fall (B).
7. Leite durch eine Energiebetrachtung eine Formel zur Bestimmung der elektrischen Suszeptibilität in dem Steighöhenexperiment her.

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4.11 Antwort zu H1

Durch das Einschieben des Dielektrikums (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Kondensatorgeometrie

ändert sich die Verteilung der Flächenladungen auf den Platten, im Idealfall (s. Kap. 4.5)

| (1)

Für die - und die -Felder in den beiden Teilbereichen () des Kondensators gilt infolge von

(s. Kap. 4.5 (4.38) )

Da zwischen den Platten, unabhängig von dem Teilbereich, eine Spannung aufrecht erhalten wird, folgt

sowie

Der Zusammenhang mit der ursprünglichen Ladungsdichte (1) ist dann

Bestimme für den Fall (A) Spannung und Kapazität des Kondensators als Funktion von der Einschubtiefe .

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4.11 Antwort zu H2

Mit den Ergebnissen für die Ladungsdichten kann man die Spannung zwischen den Kondensatorplatten und die Kapazität des Kondensators als Funktion der Einschubstrecke angeben

Die Kapazität ist

Während die Spannung von dem Wert auf den Wert abnimmt, steigt die Kapazität linear mit der Einschiebestrecke (Abb. 0.2 und 0.3).

Abbildung 0.2: Variation der Kondensatorspannung mit (Fall (A)) |  | Abbildung 0.3: Variation der Kapazität mit (Fall (A))

Bestimme für den Fall (A) den Energieinhalt des Kondensators.

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4.11 Antwort zu H3

Den Energieinhalt gewinnt man aus der Relation (Kap. 4.5 (4.52))

Die Volumina sind und die Produkte der zwei elektrischen Felder

Damit erhält man zunächst

bzw. im Endeffekt nach Einsetzen des Resultates für

Diskutiere die Abhängigkeit der gespeicherten Energie von der Einschubtiefe und mache eine Aussage zu der Kraftwirkung auf den dielektrischen Block.

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4.11 Antwort zu H4

Die in dem Kondensator für gespeicherte Energie ist

Man kann also für den Energieinhalt

schreiben. Der Energieinhalt nimmt von auf den Wert ab. Die Energie nimmt einen Minimalwert an, wenn das Dielektrikum vollständig in den Kondensator eingeschoben ist. Das bedeutet (gemäß der Aussage, dass in der Natur minimale Energiezustände eingenommen werden), dass das Dielektrikum durch die Wirkung des elektrischen Feldes in den Kondensator gezogen wird.
Warum?
Wird nämlich das Dielektrikum um die infinitesimale Strecke in den Kondensator hinein verschoben, so dass die Einschubstrecke vergrößert wird, so ist die Energiebilanz

Das System ist abgeschlossen, so dass die gegen die (unbekannte) Kraft geleistete mechanische Arbeit durch eine Änderung der elektrischen Energie aufgebracht werden muss. Um die Änderung der elektrischen Energie für den Fall von konstanter Plattenladung zu berechnen, schreibt man die Energie mit

in der Form

und findet für die Kraft

Die Kraft ist für positiv, zeigt also in Richtung der Verschiebung.

Bestimme für den Fall konstanter Spannung die Flächenladungsdichte und die Gesamtladung auf den Platten (Fall (B)).

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4.11 Antwort zu H5

In diesem Fall ist

vorgegeben, die Flächenladungsdichten in den zwei Teilgebieten sind immer noch durch

verknüpft, es ist jedoch

Aus der Relation

kann nun die Gesamtladung (oder die mittlere Ladungsdichte ), die sich auf den Platten einstellt, bestimmt werden. Es ist

bzw.

Die Gesamtladungsdichte nimmt von dem Wert linear auf den Wert zu.

Berechne und diskutiere die Kapazität und den Energieinhalt des Kondensators für den Fall (B).

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4.11 Antwort zu H6

Die Kapazität ändert sich gemäß der Relation

d.h. wie zuvor linear mit der Größe Die in dem Kondensator gespeicherte Energie ist

Die gespeicherte Energie nimmt von dem Wert

auf den Wert

zu. Die dabei auftrtende Energiedifferenz wird der Batterie entnommen. Die Energiebilanz bei Verschiebung des Dielektrikums um die infinitesimale Strecke ist bei fester Plattenspannung

Das System ist nicht abgeschlossen, sondern es wird durch Ladungsfluss aus der Spannungsquelle Energie zugeführt. Die zugeführte Energie ist

oder (mit )

Schreibt man die elektrische Energie hier in der Form

(entsprechend ), so kann man an der Energiebilanz ablesen, dass die Hälfte der von der Spannungsquelle gelieferten Energie in das Feld, die andere Hälfte in die Arbeit zur Verschiebung des Dielektrikums investiert wird. Mit

folgt für die Kraft auf das Dielektrikum

Auch im Fall konstanter Plattenladung wird das Dielektrikum in den Kondensator gezogen.

Leite durch eine Energiebetrachtung eine Formel zur Bestimmung der elektrischen Suszeptibilität in dem Steighöhenexperiment her.

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4.11 Antwort zu H7

In dem Steighöhenexperiment (Abb. 0.4)

Abbildung 0.4: Zur Steighöhenmethode

wird, die für die Anhebung der Flüssigkeitssäule notwendige Energie

durch die Änderung der elektrischen Feldenergie bei konstanter Spannung an den Platten

aufgebracht. Aus der Bilanzgleichung

folgt für die elektrische Suszeptibilität

Aus der Steighöhe kann man somit bei vorgegebener Dichte der Flüssigkeit und den Kondensatorparametern (, ) die Suszeptibilität bestimmen. Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man (bei konstanter Spannung) den Flüssigkeitsdruck gegen den elektrischen Druck (auch ponderomotorischer Druck genannt) ausspielt. Es ist

Daraus folgt ebenfalls

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