Hinweise zur Lösung der Aufgabe 1.1

1. Fertige eine Skizze mit einem geeigneten Koordinatensystem und den angreifenden Kräften an.
2. Welche Gleichung beschreibt die Gleichgewichtssituation?
3. Eliminiere den Winkel mit Hilfe der Geometrie und löse die Gleichung nach der Auslenkung auf.
4. Berechne die Auslenkung bzw. den Abstand als Funktion der Größen, die die Kräfte bestimmen.
5. Welche Näherung bietet sich für kleine Auslenkungen an?
6. Wie würden sich die Ladungen verhalten, wenn man die Gravitation ausschalten könnte? Wie kann man die offensichtliche Antwort 'herleiten'?
7. Berechne die Ladung aus den Vorgaben

   im SI und im CGS System.

Werkzeuge

Zurück zur Aufgabenstellung

1.1 Antwort zu H1

Man legt den Koordinatenursprung am besten in den Aufhängepunkt der Ladungen (s. Abb. 0.1) und wählt die Horizontale und die Vertikale als Koordinatenachsen. Die angreifenden Kräfte sind die Coulombkraft und die Gravitationskraft .

Abbildung 0.1: Kraftsituation

Welche Gleichung beschreibt die Gleichgewichtssituation?

Zurück zu den Hinweisen

1.1 Antwort zu H2

In der Gleichgewichtssituation, charakterisiert durch einen Auslenkwinkel , entspricht die Summe der angreifenden Kräfte der Fadenspannung. Die Kraftkomponenten senkrecht zu dem Faden ()heben sich gegenseitig auf (s. Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Einstellen der Gleichgewichtssituation

Die gesuchte Beziehung gewinnt man durch Einsetzen der Kraftgesetze (siehe Kap. 1.2 für die Coulombkraft) und Auflösung nach dem Winkel

Der Abstand der Ladungen wurde durch die Summe der Auslenkungen ersetzt.

Eliminiere den Winkel mit Hilfe der Geometrie und löse die Gleichung nach der Auslenkung auf.

Zurück zu den Hinweisen

1.1 Antwort zu H3

Den Tangens des Winkel kann man auch durch (Abb. 0.3)

Abbildung 0.3: Geometrie des Auslenkwinkels

ausdrücken, so dass die Gleichung

| (1)

bzw.

zu lösen ist.

Berechne die Auslenkung bzw. den Abstand als Funktion der Größen, die die Kräfte bestimmen.

Zurück zu den Hinweisen

1.1 Antwort zu H4

Mit den Substitutionen

erhält man die kubische Gleichung

die mit der Formel von Cardano ohne die Reduktion, die im Allgemeinen notwendig ist, gelöst werden kann. Der Parameter ist offensichtlich größer als Null. Somit lautet die einzige reelle Lösung

Der gesuchten Abstand ist

Welche Näherung bietet sich für kleine Auslenkungen an?

Zurück zu den Hinweisen

1.1 Antwort zu H5

Für kleine Auslenkungen, d.h. kleine Winkel , gilt . Dies ist gleichbedeutend mit

Der vereinfachte Ansatz für das Kräftegleichgewicht lautet dann

bzw.

Dies entspricht der Entwicklung der exakten Lösung mit

Ein Vergleich mit der exakten Lösung

in Abb. 0.4 zeigt die Güte der Näherung (für die in (iv) angegebenen Parameter im CGS System).

Abbildung 0.4: Die Auslenkung als Funktion der Fadenlänge : exaktes Resultat (braun) versus Näherung (blau)
Darstellung des Bereiches cm
Darstellung des Bereiches cm

In Abb. 0.4a ist ein Bereich gezeigt, der die angegebene Fadenlänge von enthält, in Abb. 0.4b ist der Bereich für kleinere Werte der Fadenlänge noch einmal herausgegriffen.

Wie würden sich die Ladungen verhalten, wenn man die Gravitation ausschalten könnte? Wie kann man die offensichtliche Antwort 'herleiten'?

Zurück zu den Hinweisen

1.1 Antwort zu H6

Ohne die Gravitation entfernen sich die Ladungen so lange voneinander, bis die Coulombkraft die Fäden in der Horizontalen spannt. Reißen die Fäden nicht, so beträgt der Abstand (s. Abb. 0.6). Zur Herleitung benutzt man (1) in der Form

und findet für die Aussage .

Abbildung 0.6: Einstellung des `Gleichgewichts` beim schrittweisen Abschalten der Gravitation

Berechne die Ladung aus den Vorgaben

im SI und im CGS System.

Zurück zu den Hinweisen

1.1 Antwort zu H7

Vorgegeben sind

und die Konstanten

sowie

Die Ladung kann mit der exakten Formel (1)

bzw. in Näherung durch

berechnet werden. Das Ergebnis lautet

Das Ergebnis der Näherung weicht nur um 0.043 % von dem exakten Ergebnis ab.

Zurück zu den Hinweisen Zurück zur Aufgabenstellung Zurück zum Inhaltsverzeichnis