Hinweise zur Lösung der Aufgabe 6.3

1. Welches der Magnetfelder berechnet man? Bereite die zuständigen Gleichungen für die vorliegende Situation auf.
2. Wie lautet die Stromdichte im Fall (a)? Berechne das Magnetfeld.
3. Wie lautet die Stromdichte im Fall (b)? Berechne das Magnetfeld in diesem Fall.
4. Wie kann man den Selbstinduktionskoeffizienten für die zwei Koaxialleiter berechnen?
5. Führe die Berechnung des Selbstinduktionskoeffizienten für beide Fälle durch.
6. Vergleiche die Ergebnisse für die Selbstinduktion pro Längeneinheit.

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6.3 Antwort zu H1

Zur Berechnung der Magnetfelder der Doppelkabelanordnungen benutzt man das Ampèresche Gesetz, zweckmäßigerweise in der Form

wobei die (orientierte) Randkurve der Fläche darstellt (unterdrücke die Zeitabhängigkeit im Folgenden). Infolge der Zylindersymmetrie kann man voraussetzen, das die magnetische Feldstärke die Form

hat, also auf Kreisen um die Zylinderachse konstant ist und tangential zu den Kreisen gerichtet ist (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Koordinaten

Man benutzt dann

Wie lautet die Stromdichte im Fall (a)? Berechne das Magnetfeld.

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6.3 Antwort zu H2

Im Fall (a) fließt in dem (dünnwandigen) inneren Hohlrohr der Strom , in dem äußeren (ebenfalls dünnwandigen) der Strom Diese Situation wird in Zylinderkoordinaten (bzw. ebenen Polarkoordinaten) durch die Stromdichte

dargestellt. Es gilt dann für Kreisflächen mit und

und folglich

In dem Zwischengebiet ist

Das zugehörige Kurvenintegral ist

so dass man

erhält. Das Magnetfeld in dem Zwischenraum entspricht dem Magnetfeld eines (geraden) Drahtes entlang der Zylinderachse. Die magnetische Induktion in dem Zwischenraum ist

Wie lautet die Stromdichte im Fall (b)? Berechne das Magnetfeld in diesem Fall.

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6.3 Antwort zu H3

Im Fall (b) fließt durch den inneren Vollzylinder ebenfalls der Strom durch den äußeren (dickwandigen) Hohlzylinder der Strom Die uniforme Stromdichte kann somit nach dem Muster Strom/Fläche in der Form dargestellt werden: Innerer Zylinder:

Äußerer Zylinder:

Damit erhält man für das Integral über die Stromdichte die folgenden Teilresultate

Der effektive in der jeweiligen Fläche eingeschlossene Strom ist in Abbildung 0.2 dargestellt.

Abbildung 0.2: Effektiver Strom als Funktion von (Fall b)

Die magnetische Feldstärke (Abb. 0.3 )

Abbildung 0.3: Die magnetische Feldstärke (Fall b)

ist demnach in den vier Gebieten

Die Relation zwischen der Feldstärke und der Induktion ist eine lokale Aussage. Es ist also auch hier Punkt für Punkt

falls eine Magnetisierung des Leitermaterials vernachlässigt wird.

Wie kann man den Selbstinduktionskoeffizienten für die zwei Koaxialleiter berechnen?

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6.3 Antwort zu H4

Die Selbstinduktionskoeffizienten können über den magnetischen Fluss

berechnet werden. Die Fläche ist ein Rechteck, dessen eine Seite von der Zylinderachse bis zu dem Zylindermantel verläuft, die andere Seite ist eine Strecke der Länge in der Achsenrichtung (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Details zur Berechnung des Selbstinduktionskoeffizienten

Führe die Berechnung des Selbstinduktionskoeffizienten für beide Fälle durch.

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6.3 Antwort zu H5

Die Fläche , über die integriert wird, ist ein Rechteck. Aus diesem Grund ist Man findet dann im Fall (a)

und somit für die Selbstinduktion pro Längeneinheit

Im Fall (b) berechnet man

Die Selbstinduktion pro Längeneinheit ist somit

Vergleiche die Ergebnisse für die Selbstinduktion pro Längeneinheit.

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6.3 Antwort zu H6

Lässt man in dem zweiten Beispiel den Radius gegen den Radius gehen (dünne Wand), so erhält man

Der logarithmische Term entspricht dem Beitrag des Zwischenraums, der konstante Term dem Beitrag des leitenden Kerns in der Anordnung (b) wie die in Antwort 5 durchgeführte Auswertung des Integrals für diesen Fall zeigt.

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