# 1 Der Funktionsbegriff

Die Definition einer Funktion einer Veränderlichen umfasst die Aussagen:
1. Gegeben ist ein Definitionsbereich (Abb. 1.1). Dies ist normalerweise ein Intervall der unabhängigen Variablen, die (in Anlehnung an die Betrachtungen in der theoretischen Mechanik) mit bezeichnet werden soll. Der Definitionsbereich kann jedoch auch aus einer Menge von isolierten Punkten bestehen.

Abbildung 1.1: Definitions- und Wertebereich

2. Als eine Funktion einer reellen Variablen bezeichnet man eine Vorschrift, die jeder Zahl aus dem Definitionsbereich in eindeutiger Weise eine reelle Zahl zuordnet:

3. Die Menge der -Werte, die man mit Hilfe der Vorschrift erhält, bezeichnet man als den Wertebereich der Funktion (Abb. 1.1). Die Struktur der Zuordnungsvorschrift ist dabei in keiner Weise festgelegt. Einige ausgewählte Beispiele sollen die Vielfalt der Möglichkeiten andeuten

(i)
  Der Definitionsbereich ist das Intervall , die Vorschrift lautet . In diesem Beispiel ist die Funktion durch eine explizite Formel vorgegeben. Die Funktion kann in einem Schaubild durch eine `glatte Kurve` dargestellt werden. Der Wertebereich ist . (Abb. 1.2a).
(ii)
  In dem Definitionsbereich wird die Funktion betrachtet. Auch in diesem Fall besteht eine Zuordnung durch eine Formel. Der Wertebereich ist . Diese Funktion kann jedoch nicht durch eine `glatte Kurve` dargestellt werden. Je näher man an den (ausgeschlossenen) Punkt kommt, desto stärker oszilliert der Funktionswert (Abb. 1.2b).

  Abbildung 1.2: Schaubilder der Beispiele für Funktionen

(iii)
  In dem Definitionsbereich lautet die Vorschrift

  Diese Sprungfunktion wird durch die Kurzfassung einer verbalen Erklärung definiert. Eine graphische Darstellung ist möglich. Man benötigt jedoch eine Verabredung, um die Aussagen definiert für kleiner und größer gleich zu verdeutlichen (Abb. 1.3). Ein ausgemalter `Punkt` gehört zu dem jeweiligen Bereich, ein offener `Punkt` nicht.

  Abbildung 1.3: Schaubild der Sprungfunktion

(iv)
  In dem Definitionsbereich ist eine Funktion durch die eindeutige, semiverbale Zuordnungsvorschrift

  gegeben. Eine graphische Darstellung in einem Diagramm ist nicht möglich.

Der Funktionsbegriff, der in der Mathematik eingeführt wird, deckt eine Vielfalt von Möglichkeiten ab, ist aber für den Bedarf der Physik etwas zu allgemein angelegt. In der Physik interessiert (bis auf Ausnahmefälle) eine deutlich eingeschränktere Klasse von Funktionen. Die Einschränkung orientiert sich an den Begriffen Stetigkeit und Differenzierbarkeit.