Detail 7.4
Beugung

Bei der Aufbereitung des Formelapparates zur Berechnung von Beugungsmustern sind einige kleinere mathematische Klippen zu überwinden. Diese Aufgabe wird in den Abschnitten a. und b. in Angriff genommen. In dem letzten Abschnitt wird das Beugungsmuster einer kreisförmigen Öffnung eingehender diskutiert und illustriert.

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(a) Berechnung der Kirchhoffschen Integraldarstellung

Ausgangspunkt dieser Betrachtung ist die Gleichung (7.46) aus Kap. 7.2.4

|  |  | (1)

in der die Wellenfunktion einer skalaren Welle (als Platzhalter einer elektromagnetischen Welle) durch ein Oberflächenintegral über die Fläche mit den beugenden Objekten dargestellt ist. Das zusätzliche Zeitintegral wird durch die retardierte Greens Funktion

`eingeschränkt`. Die Geometrie der Problemstellung wird noch einmal in Abb. 7.1 illustriert.

Abbildung 7.1: Geometrie zu der Kirchhoffschen Darstellung der Beugung ( )

Zur expliziten Auswertung des Zeitintegrals benötigt man einige vorbereitende Schritte. Zuerst ist die Normalenableitung der Greenschen Funktion zu berechnen. Diese Ableitung kann man (siehe Band1, Math.Kap. 5.2) mit dem Gradienten verknüpfen

wobei, in der vorliegenden Situation, den Normalenvektor in allen Punkten der Randfläche darstellt und für den Gradienten die Definition

gilt. Es folgt dann (in mehr expliziter Schreibweise)

Die folgenden Ableitungen sind zu berechnen:

- Der Gradient der Abstandsfunktion wird über

  und entsprechende Ausdrücke für die partiellen Ableitungen nach den anderen Koordinaten gewonnen

- Der Gradient der inversen Abstandsfunktion ist dann

- Mit der Abkürzung erhält man damit

  wobei der zweite Term durch Anwendung der Kettenregel entsteht ( bedeutet die Ableitung der -Funktion nach dem vollständigen Argument). Das Endresultat ist dann

Das Zeitintegral in (1) enthält zwei Terme, in denen die -Funktion auftritt. In diesen wird das Zeitargument des zugehörigen Faktors in dem Integranden auf die retardierte Zeit

festgesetzt. Der Term, in dem die Ableitung der -Funktion auftritt, kann mit den folgenden Schritten behandelt werden:

substituiere mit

Die noch ausstehende Ableitung formt man mit der Kettenregel um

bzw. da die partielle Ableitung von nach gleich 1 ist

Schreibt man noch die in (1) auftretende Normalenableitung der Wellenfunktion um und setzt alle Aussagen zusammen, so erhält man die gesuchte Kirchhoffsche Integraldarstellung

|  |  | (2)

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(b) Winkelintegrale für Airys Beugungsproblem

Die Auswertung des Winkelintegrals

bedarf einiger Kunstgriffe, die hier noch einmal ausführlicher vorgestellt bzw. ausgeführt werden. Der Winkelanteil des Exponenten wird ausgeschrieben und sortiert

Mit den Definitionen

sowie

kann man die in Kap. 7.2.3 angegebene Umformung

vornehmen. Der Vorfaktor, der im Weiteren mit bezeichnet wird, ist

Das aus diesen Argumenten resultierende Integral

kann infolge der Periodizität der Kosinusfunktion in dem Exponenten noch vereinfacht werden. Man substituiert in

und erhält

|  |  | (3)

In dem letzten Integral kann man nun substituieren und findet

Der erste und der letzte Beitrag in (3) heben sich gegenseitig auf und es bleibt

die Integraldarstellung (bis auf einen Faktor ) der Besselfunktion .

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(c) Das Beugungsmuster des Airyproblems

Das Beugungsmuster der kreisförmigen Öffnung (Radius ) wird (für einen angemessenen Satz von Parameterwerten, siehe unten) durch die Intensitätsverteilung (siehe Kap. 7.2.4, (7.51))

| (4)

beschrieben. Die geometrischen Angaben, die in diese Formel eingehen, einschließlich der Winkelkoordinaten des Beobachtungspunktes mit dem Radius von der Mitte der Öffnung, sind in Abb. 7.2 noch einmal dargestellt.

Abbildung 7.2: Geometrie bei der Beugung an einer kreisförmigen Öffnung

Beschränkt man sich auf die Betrachtung des senkrechten Einfalls des Lichtes (), so hängt die Größe nur von dem Polarwinkel ab

und (4) reduziert sich auf

| (5)

mit . Die Verteilung ist zylindersymmetrisch in Bezug auf die in Abb. 7.2 markierte -Achse. In die Verteilung (5) gehen, neben der Intensität des einfallenden Lichtes, drei wesentliche Parameter ein:

- die Wellenlänge des Lichtes ,
- der Radius der Öffnung und
- der Polarwinkel .

Die Stärke der Verteilung nimmt gemäß der Kugelsymmetrie mit dem Abstand wie ab.

Die Diskussion der Abhängigkeit der Verteilung von den drei Parametern wird durch die Besselfunktion bzw. die Funktion geprägt. Die Funktion kann durch die Potenzreihe (Information über die Besselfunktionen mit ganzzahligem Index findet man in Math.Kap. 4.4.2.)

definiert werden. Diese alternierende Reihe wird jedoch der Eigenschaft dieser Funktion, die hier besonders interessiert, nicht ganz gerecht. Die Abb. 7.3 zeigt, dass eine oszillierende Funktion vorliegt. Die Nulldurchgänge von sind nur numerisch

Abbildung 7.3: Die Funktion

berechenbar. Die auf vier Stellen hinter dem Komma gerundeten Werte der ersten fünf Nullstellen und deren Differenz sind in der Tabelle 7.1 angegeben. Man erkennt, dass die Funktion nicht streng periodisch ist. Dem asymptotischen Verhalten der Funktion

Tabelle: Nullstellen der Funktion
i |  | 1 |  | 2 |  | 3 |  | 4 |  | 5
|  | 3.8317 |  | 7.0156 |  | 10.1735 |  | 13.3237 |  | 16.4706
|  | 3.1839 |  | 3.1579 |  | 3.1502 |  | 3.1469 |  |

| (6)

entnimmt man die Aussage, dass sich die Differenz von benachbarten Nullstellen allmählich der Zahl nähert.

Die Extrema der Funktion werden über die Ableitung

bestimmt. Die Funktion kann, wie , durch eine Potenzreihe definiert werden

der Funktionsverlauf ist in Abb. 7.4 dargestellt. Die Nullstellen der

Abbildung 7.4: Die Funktion

Funktion bzw. von sind ebenfalls nur numerisch zugänglich. Die Position der ersten sechs Nullstellen ist in Tab. 7.2 zusammengestellt. Auch im Fall der Funktion nähert sich die Differenz der aufeinanderfolgenden Nullstellen im asymptotischen Bereich (siehe 6) der Zahl .

Tabelle: Nullstellen der Funktion
i |  | 1 |  | 2 |  | 3 |  | 4 |  | 5 |  | 6
|  | 0.0 |  | 5.1356 |  | 8.4172 |  | 11.6198 |  | 14.7960 |  | 17.9598
|  | 5.1356 |  | 3.2816 |  | 3.2026 |  | 3.1762 |  | 3.1638 |  |

Die Nullstellen der Funktion beschreiben Stellen mit vollständig destruktiver Interferenz, sie markieren die dunklen Ringe des Beugungsmusters in einer Ebene senkrecht zu der -Achse (oder einem entsprechenden Beobachtungsschirm). Die Extrema der Funktion, bzw. die Nullstellen der Funktion sind Stellen mit maximal konstruktiver Interferenz, die als helle Ringe sichtbar werden. Die in den Tabellen 7.1 und 7.2 angeführten Differenzwerte stellen somit den Abstand der hellen bzw. dunklen Ringe dar.

Benutzt man einen ebenen Schirm im Abstand von der Beugungsebene, so wird wegen und das in der Ebene registrierte Interferenzmuster durch die Funktion

beschrieben. Die Maxima bzw. die Nullstellen markieren die hellen bzw. dunklen Ringe (mit graduellem Übergang) des Interferenzmusters um die Symmetrieachse, die -Achse. Der Faktor

ist in den Abbildungen 7.5 und 7.6 dargestellt (die Winkelskala in den Abbildungen ist in rad angegeben).

Abbildung 7.5 Intensitätsverteilung bei der Beugung an einer kreisförmigen Öffnung für
Gesamtverteilung
Details für den Winkelbereich

Abbildung 7.6: Intensitätsverteilung für
Gesamtverteilung
Details für den Winkelbereich

Diese Abbildungen zeigen, dass das Verhältnis der relevante Parameter für die Bestimmung des Beugungsmusters des Systems ist. Ist die Öffnung groß im Vergleich zu der Wellenlänge ( , Abb. 7.5), so sieht man essentiell das Abbild des Kreises und ein sehr gedrängtes Muster von Beugungsstrukturen. Der erste dunkle Ring erscheint unter einem Polarwinkel von (jeweils ca.) , der erste helle Ring unter . Sind die beiden Parameter von der gleichen Größenordnung ( , Abb. 7.6), so ist der zentrale Fleck breiter und das Muster weiter auseinander gezogen. Die Position des ersten dunklen bzw. hellen Ringes erscheint unter Winkeln von bzw. . Ist die Öffnung kleiner als die Wellenlänge, so setzt sich dieser Trend fort ( , Abb. 7.7, die Winkel sind hier und ), doch kommt man bald in einen Parameterbereich, für den die Voraussetzungen zur Herleitung der Gleichung (4) nicht mehr zutreffen, die Resultate also nicht das beobachtete Muster wiedergeben.

Die genannten Winkel ergeben sich aus den Relationen

Der Abstand zu den nächsten und zwischen den weiteren benachbarten Ringen des gleichen Typs wird in guter Näherung durch

beschrieben.

Abbildung 7.7: Intensitätsverteilung für
Gesamtverteilung | Details für den Winkelbereich

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