Detail 5.1
Mathematisches zum Vektorpotential
Mathematische Operationen mit dem Vektorpotential sind das A und O der Magnetostatik (und der Elektrodynamik). Hier werden zwei der benötigten Aussagen bereitgestellt.

#### (a) Ein Operatorkreuzprodukt

Zu zeigen ist die Gültigkeit der Relation

| (1)

Die einfachste Methode ist die explizite Auswertung. Man notiert zunächst die Rotation des Vektorpotentials

und anschließend die Rotation des resultierenden Vektors

Ist man nur aufgefordert, die Korrektheit von (1) zu überprüfen, so genügt es die Komponenten der rechten Seite dieser Vektorgleichung explizit auszuschreiben. Die Anwendung des Laplaceoperators auf die Vektorfunktion ergibt

der Gradient der Divergenz der Vektorfunktion (mit Übergang zu einer Kurzschreibweise) ist

Man kann dann überprüfen, dass beide Seiten von (1) Komponente für Komponente übereinstimmen, so z.B. für die -Komponente

Ist man hingegen aufgefordert, die Darstellung der Komponenten von weiter zu bearbeiten, so könnte man die folgende Überlegung anstellen: Es liegt nahe, für jede Komponente die Ergänzung zu der zweifachen Ableitung nach der gleichen Koordinate zu addieren und zu subtrahieren, so z.B. für die -Komponente

Man erkennt . Die restlichen drei Terme enthalten alle eine partielle Ableitung nach , die ` ausgeklammert` werden kann

Da eine entsprechende Prozedur für alle Komponenten möglich ist, erkennt man die Gültigkeit der Behauptung. Es ist noch zu bemerken, dass z.B. nicht in einfacher Weise in Kugel- oder sonstige krummlinige Koordiaten umgeschrieben werden kann. Die kartesischen Einheitsvektoren in müssen durch Einheitsvektoren in den krummlinigen Koordinaten dargestellt werden (Band1, Kap. 2.4), an denen der Laplaceoperator (in den krummlinigen Koordinaten, Math.Kap. 5.2) angreift.

#### (b) Überprüfung von für einen Spezialfall

Die Lösung der Ampèreschen Differentialgleichung mit einfachen Randbedingungen ist

wobei für den Stromdichtevektor

gelten muss. Bildet man die Divergenz des Vektorpotentials, so kann man den Differentialoperator unter das Integralzeichen ziehen, da der Operator auf die ungestrichenen Koordinaten wirkt (vorausgesetzt das Integral ist nicht divergent). Um den skalaren Charakter der Gleichung zu erhalten, benötigt man das Skalarprodukt von Stromdichtevektor und dem Nablaoperator

Für die Abstandsfunktion gilt (wie man leicht nachrechnet)

Man kann also den Gradienten nach den ungestrichenen Koordinaten durch den Gradienten nach den gestrichenen Koordinaten ersetzen

Um den resultierenden Ausdruck umzuformen, benutzt man die Relation (siehe Anh. B.2)

die aus der Produktregel folgt, und erhält

Der erste Term kann mit dem Divergenztheorem umgeschrieben werden

und ergibt Null, da der Stromdichtevektor per Voraussetzung auf der Oberfläche einer unendlich großen Kugeloberfläche in einen Nullvektor übergeht. Der zweite Term verschwindet ebenfalls, da für eine stationäre Stromverteilung ist.

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