Hinweise zur Lösung der Aufgabe 8.2

1. Notiere die Bewegungsgleichung, führe die erste Integration durch und bereite die zweite vor.
2. Führe den zweiten Integrationsschritt durch.
3. Bestimme die Bahngleichung der Bewegung.
4. Gewinne den nichtrelativistischen Grenzfall.

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8.2 Antwort zu H1

Die Bewegungsgleichungen lauten

Erste Integration der Bewegungsgleichungen mit den Anfangsbedingungen

ergibt

Die Integration der ersten Gleichung verlangt einen Kommentar. Offensichtlich ist die Lösung der Bewegungsgleichung eine Konstante. Die anfängliche Geschwindigkeitskomponente in der -Richtung ist jedoch wegen

nicht konstant. Eine alternative Formulierung der Situation gewinnt man mit wobei

die Gesamtenergie der bewegten Punktladung ist. Benutzt man die Lösung der Bewegungsgleichung

so kann man für die Geschwindigkeitskomponenten in den drei Koordinatenrichtungen

und entsprechend

schreiben. Mit dieser Form kann man den zweiten Integrationsschritt angehen.

Führe den zweiten Integrationsschritt durch.

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8.2 Antwort zu H2

Die Integration von

ergibt für die vorgegebenen, generellen Anfangsbedingungen für die Koordinaten

bzw. nach Auswertung des Integrals

Für die -Koordinate ist das Resultat einfach

für die -Koordinate mit ist das Integral

auszuwerten. Auch dieses Integral ist elementar

Bestimme die Bahngleichung der Bewegung.

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8.2 Antwort zu H3

Um die Bahnkurve in der - Ebene zu bestimmen, löst man zunächst das Ergebnis für nach auf

und setzt dies in das Ergebnis für ein

Mit erhält man

Dies ist die Gleichung einer Kettenlinie.

Gewinne den nichtrelativistischen Grenzfall.

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8.2 Antwort zu H4

Ist , so kann man die Exponentialfunktionen in dem hyperbolischen Kosinus entwickeln

und erhält

Benutzt man zusätzlich

ist man also im nichtrelativistischen Regime, so folgt

Diese Aussage gewinnt man auch durch Lösung der nichtrelativistischen Bewegungsgleichungen

nach Elimination der Zeit

Anstelle der Kettenlinie im relativistischen Fall erhält man eine Parabel. Ein Vergleich des relativistischen Ergebnisses mit dem nichtrelativistischen zeigt die Abbildung 0.1.

Abbildung 0.1: Relativistische und nichtrelativistische Bahnkurven

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