3.3 Mathematischer Zusatz: Legendresche Funktionen
Formeln mit Legendreschen Funktionen und Polynomen kann man in den meisten Fällen geeigneten Nachschlagewerken entnehmen. Zur Lösung der auf diese Aufgabe folgenden Aufgaben werden derartige Relationen zwischen diesen Funktionen benötigt. In dieser Aufgabe soll eine Auswahl solcher Relationen eigenhändig hergeleitet werden. Die Ausgangspunkte sind die Rodriguesformeln für die und die und die erzeugende Funktion für die Legendrepolynome.
Aufgabenstellung
Benutze die folgenden Aussagen

- Die erzeugende Funktion der Legendrepolynome:

- Die Rodriguesformel für die Legendrepolynome:

- Die erweiterte Rodriguesformel für die Legendre Funktionen (die zugeordneten Legendre Polynome):

  Die in der zweiten Zeile angegebene Definition ist für alle mit gültig.

Leite mit Hilfe der gegebenen Formeln die folgenden Relationen für die Legendre Funktionen ab:

(V1)

(V2)

(V3)

(V4)

Die Summe der Integrale (V3) und (V4) ergibt den Wert Null. Kann man dieses Ergebnis aus anderer Sicht verstehen?
Beweise die Rekursionsrelationen für die Legendre Polynome:

(V5)

(V6)

(V7)

(V8)

(V9)

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

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