Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.10

1. Berechne zuerst die gesuchten Größen ( ) für den Kondensator ohne Füllung.
2. Berechne das -Feld für die drei Bereiche in dem Fall (A) (konstante Plattenladung) durch Anwendung des Gaußtheorems.
3. Berechne die Spannung zwischen den Platten (Fall (A)) und vergleiche das Ergebnis mit der Spannung des Kondensators ohne Füllung.
4. Berechne die Kapazität und den Energieinhalt (Fall (A)).
5. Bestimme im Fall (A) die Kapazität für die Spezialfälle und
6. Berechne die dielektrische Verschiebung, die Ladung und die Kapazität für den Fall (B) (konstante Spannung).
7. Bestimme den Energieinhalt des Kondensators im Fall (B) und vergleiche die zwei Fälle mit dem Kondensator ohne Dielektrikum.
8. Berechne die Polarisationsladung an den Grenzschichten zwischen den Dielektrika mit Hilfe des Satzes von Gauß.
9. Stelle alle Ergebnisse in einer Tabelle zusammen. Kommentiere

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4.10 Antwort zu H1

Zum Vergleich benötigt man die Charakterisierung des Kondensators ohne Füllung. Es ist

Auf der Basis der Anwendung des Gaußschen Satzes und der Auswertung des Kurvenintegrals (Kap. 4.4) folgt

Daraus ergeben sich

und

Der Energieinhalt ist

Berechne das -Feld für die drei Bereiche in dem Fall (A) (konstante Plattenladung) durch Anwendung des Gaußtheorems.

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4.10 Antwort zu H2

Abbildung 0.1: Bestimmung von

Legt man eine Gaußfläche um eine der Platten (Abb. 0.1), so erhält man z.B. (Kap. 4.5)

Die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung ist an den Grenzflächen stetig, somit folgt

Berechne die Spannung zwischen den Platten (Fall (A)) und vergleiche das Ergebnis mit der Spannung des Kondensators ohne Füllung.

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4.10 Antwort zu H3

Die Ladungsdichte auf der positiv geladenen Platte ist

In jeder der Schichten gilt

Damit erhält man für die Spannung zwischen den Kondensatorplatten

Im Vergleich zu dem Kondensator ohne Füllung wird die Spannung erniedrigt, denn es ist für

Berechne die Kapazität und den Energieinhalt (Fall (A)).

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4.10 Antwort zu H4

Die Kapazität ist

Dies entspricht einer Reihenschaltung von drei Kapazitäten

Wegen der Verringerung der Spannung ist

Der Energieinhalt des Kondensators ist

Der Energieinhalt ist gegenüber dem Kondensator ohne Füllung erniedrigt,

Bestimme im Fall (A) die Kapazität für die Spezialfälle und

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4.10 Antwort zu H5

Für den Spezialfall (Luftspalt auf beiden Seiten eines Dielektrikums) kann man schreiben

für den Spezialfall erhält man das bekannte Ergebnis

Berechne die dielektrische Verschiebung, die Ladung und die Kapazität für den Fall (B) (konstante Spannung).

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4.10 Antwort zu H6

Wird die Spannung an den Platten konstant gehalten, so muss sich durch das Einbringen des Dielektrikums die Ladung auf den Platten ändern. Anwendung des Gaußtheorems auf die positive geladene Platte ergibt hier

Die Stetigkeit der Normalkomponenten der dielektrischen Verschiebung führt auch in diesem Fall auf

Die Aussage für die Spannung

führt im Vergleich mit dem Fall (A)

zu den Aussagen

Da wie berechnet ist, gilt

Im Fall (B) wird die Ladung auf dem Plattenkondensator erhöht. Für die Kapazität erhält man

(natürlich) den gleichen Wert wie zuvor.

Bestimme den Energieinhalt des Kondensators im Fall (B) und vergleiche die zwei Fälle mit dem Kondensator ohne Dielektrikum.

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4.10 Antwort zu H7

Der Energieinhalt des Kondensators ist

Da gegenüber erhöht ist, ist der Energieinhalt gegenüber dem Kondensator ohne Füllung erhöht. Es gilt also

Berechne die Polarisationsladung an den Grenzschichten zwischen den Dielektrika mit Hilfe des Satzes von Gauß.

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4.10 Antwort zu H8

Zur Bestimmung der Polarisationsladung an den Grenzschichten legt man eine Gaußdose um die Grenzschicht zwischen zwei benachbarten Dielektrika. Man erhält auf diese Weise ()

In dem Fall A ist und Man findet in diesem Fall

Die Differenz der Dielektrizitätskonstanten zeigt auf, dass eine Doppelschicht von Ladungen vorliegt. In dem Fall (B) ist und Somit gilt

Da ist, findet man für die beiden Fälle

Stelle alle Ergebnisse in einer Tabelle zusammen. Kommentiere

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4.10 Antwort zu H9

Die Tabelle der Ergebnisse ist:

Wird die Ladung auf den Kondensatorplatten konstant gehalten (Fall (A)), so erniedrigt sich beim Einschieben der Füllung die Spannung (). Entsprechend wird das elektrische Feld in den drei Teilbereichen (falls ist) erniedrigt. Als Konsequenz wird die Kapazität des Kondensators erhöht () und der Energieinhalt erniedrigt (). Im Fall (B) wird die Ladung auf den Kondensatorplatten erhöht (). Damit ergibt sich eine Erhöhung der dielektrischen Verschiebung () und eine Veränderung des elektrischen Feldes in den drei Teilbereichen. Die Veränderung ist aber so geartet, dass ist. Die Kapazität ist, wie im Fall (A) erhöht ( ), ebenso die in dem Kondensator gespeicherte Energie ().

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