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2 Auswertung des Konturintegrals

Zur Abkürzung bezeichnet man das anstehende Integral über mit

wobei noch einmal die Aussage festgehalten werden soll. Man definiert zusätzlich und benutzt die einfache Partialbruchzerlegung

Da die Exponentialfunktion in der komplexen Ebene keine Singularitäten besitzt, kann man die Cauchyformel direkt anwenden

Das Vorzeichen vor dem Gesamtresultat ist eine Folge der Definition des negativen Umlaufsinns bei der Cauchyintegration. In Zusammenfassung ergibt sich

Die abschließende -Integration

ist nicht trivial. Man benutzt Kugelkoordinaten im -Raum, wobei der Vektor in die -Achse gelegt werden kann, so dass der Winkel zwischen den Vektoren und dem Polarwinkel entspricht

Die Winkelintegration ergibt

und es folgt

Um das verbleibende Integral auszuwerten, benutzt man die Darstellung der Sinusfunktion im Komplexen

substituiert in dem zweiten und vierten Term , so dass die Integration auf das Intervall ausgedehnt werden kann

und erkennt, dass jeweils eine Darstellung der eindimensionalen Deltafunktion (vergleiche Math.Kap. 1) vorliegt

Da das Argument der zweiten Deltafunktion für immer positiv ist

trägt der zweite Term nicht bei und kann ignoriert werden. Zur Umschreibung verwendet man noch die Eigenschaften

der -Funktion und erhält

Explizit lautet also die retardierte Greensche Funktion

Die Deltafunktion gibt das kausale Verhalten korrekt wieder. Ein Ereignis (z.B. die Anwesenheit einer bewegten Punktladung), das zur Zeit an der Stelle stattfindet, wird zu der Zeit

an der Stelle registriert. ist genau die Zeit, die ein Signal benötigt, um die Strecke mit der Geschwindigkeit zurückzulegen.