Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.1

1. Welche Methode eignet sich bestens zur Berechnung der elektrischen Felder für kugelsymmetrische Ladungsverteilungen?
2. Wie setzt man diese Methode in einer solchen Situation ein?
3. Berechne die eingeschlossene Ladung für die Ladungsverteilung (i)
4. Gib das entsprechende elektrische Feld an und diskutiere die Abhängigkeit von der Koordinate und den Parametern und .
5. Was ist der Grund für die Singularität des Feldes im Fall ? Welches Problem tritt für auf?
6. Berechne und diskutiere für die Ladungsverteilung (ii).
7. Gib den Betrag des elektrischen Radialfeldes, das die Ladungsverteilung (ii) erzeugt, an und kommentiere.

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2.1 Antwort zu H1

Die Anwendung des Gaußtheorems

Wie setzt man diese Methode in einer solchen Situation ein?

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2.1 Antwort zu H2

Das Feld hat die Struktur so dass bei der Wahl einer Kugelfläche mit Radius (F Ku) das folgende Argument möglich ist:

Es ist nur notwendig, die in der Kugel mit Radius eingeschlossene Ladung zu berechnen.

Berechne die eingeschlossene Ladung für die Ladungsverteilung (i)

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2.1 Antwort zu H3

Für ist die eingeschlossene Ladung

für ist die obere Grenze des Radialintegrals , so dass man sofort

angeben kann. Die eingeschlossene Ladung als Funktion von r ist in Abb. 0.1 für die Parameterwerte (blau), (grün), (rot) (und in beliebigen Einheiten) dargestellt.

Abbildung 0.1: Radiale Ladungsverteilung nach dem Potenzgesetz : eingeschlossene Ladung als Funktion von

Gib das entsprechende elektrische Feld an und diskutiere die Abhängigkeit von der Koordinate und den Parametern und .

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2.1 Antwort zu H4

Der Betrag des elektrischen Feldes ist

Bei der Diskussion muss man die Fälle und unterscheiden (Abb. 0.2):

Abbildung 0.2: Radiale Ladungsverteilung nach dem Potenzgesetz (mit den Parametern und in beliebigen Einheiten): das elektrische Feld (in Einheiten von )

- (rote Kurve)
  Der Betrag des Feldes hat den Wert Null im Zentrum der Ladungsverteilung (die Kraftwirkung der das Zentrum umgebenden Ladungen kompensieren sich), er steigt/fällt für positives/negatives bis zu dem Radius mit einem Potenzgesetz an und fällt/steigt dann mit dem Punktladungsgesetz gegen Null.
- (grüne Kurve)
  Das Feld im Innern der Kugel ist konstant mit dem Wert , im Außenbereich schließt sich das Punktladungsfeld an.
- (blaue Kurve)
  Das Feld ist an der Stelle singulär, fällt/steigt für positive/negatives bis zu der Stelle und fällt/steigt danach mit dem Punktladungsgesetz.

In jedem der Fälle ist der Anschluss der beiden Funktionen, die das Feld beschreiben, an der Stelle stetig, die rechts-/linksseitigen Ableitungen von E(r) stimmen jedoch nicht überein.

Was ist der Grund für die Singularität des Feldes im Fall ? Welches Problem tritt für auf?

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2.1 Antwort zu H5

Die Ladungsdichte ist für -Werte, die kleiner als Null sind, im Zentrum der Kugel singulär. Trotzdem ist die eingeschlossene Ladung innerhalb einer infinitesimalen Kugel um den Ursprung noch endlich, solange ist. Für divergiert die eingeschlossene Ladung am Ursprung logarithmisch. Das Feld selbst, wegen eine lokal definierte Größe, spricht auf die Singularität der Ladungsdichte direkter an, als die pauschale Gesamtladung innerhalb eines Volumens um das Zentrum der Kugel.

Berechne und diskutiere für die Ladungsverteilung (ii).

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2.1 Antwort zu H6

Benutzt man die Aussage

so verbleibt die Berechnung von

Das anstehende Integral ist in den meisten Integraltafeln zu finden. Möchte man es explizit auswerten, so benutzt man die Methode der schrittweisen partiellen Integration um die Potenz in zu reduzieren.

Es ist

so dass man für die in eine Kugel vom Radius um den Ursprung eingeschlossene Ladung das Ergebnis

erhält.

Abbildung 0.3: Das `Wasserstoffatom` (): eingeschlossene Ladung als Funktion von

Die Funktion hat den in Abb. 0.3 gezeigten Verlauf (rot: , blau: ). Von dem Wert im Zentrum der Ladungsverteilung fällt die Funktion, je nach Größe des Parameters mehr () oder weniger () schnell essentiell exponentiell ab. Anhand der Vorgabe erkennt man, dass diese Ladungsverteilung eine positive Punktladung der Größe an der Stelle (den Wasserstoffkern) darstellt, die von einer negativen Ladungswolke, die die Punktladung abschirmt, umgeben ist. Die Gesamtladung der Ladungswolke ist . Diese Ausage wird durch

belegt. In einer unendlich großen Kugel ist die Gesamtladung Null eingeschlossen, oder in anderen Worten: die Ladungswolke schirmt die Punktladung vollständig ab.

Gib den Betrag des elektrischen Radialfeldes, das die Ladungsverteilung (ii) erzeugt, an und kommentiere.

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2.1 Antwort zu H7

Das elektrische Feld ist

In der Nähe des Koordinatenursprungs dominiert das singuläre Punktladungsfeld

die Abschirmung greift jedoch schnell und das Feld fällt deutlich schneller als das Coulombfeld () ab (schwarze Kurve in Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Das `Wasserstoffatom` (): elektrisches Feld (ab Einheiten)

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