Lösung der Aufgabe 6.1

Für dünne Leiter, die von Strömen der Stärke durchflossen werden, kann man das Vektorpotential über die Biot-Savart Form berechnen. Bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems und aufgrund der Translationssymmetrie gilt für die zwei parallelen Leiter

Die Geometrie ist in Abb. 0.1 und 0.2 dargestellt.

Abbildung 0.1: Leitergeometrie: - Ebene | Abbildung 0.2: Feldgeometrie: - Ebene

Auswertung der Integrale ergibt im Grenzfall unendlich langer Leiter

Die magnetische Induktion besitzt nur - und -Komponenten. Diese erhält man durch Berechnung der Rotation zu

Eine Illustration der magnetischen Induktion zeigt Abb. 0.3.

Abbildung 0.3: Das Feldlinienbild der magnetischen Induktion

Die Berechnung der Wechselinduktion verlangt die Auswertung des Integrals (Kap. 6 (6.6))

Betrachtet man Leiterstücke der Länge (von bis ), so ist das Integral

so findet man

Dieses Resultat kann man mit der Relation

in einer alternativen Form darstellen

In dem Grenzfall die Länge der Drähte ist größer als deren Abstand, ist

In dem nichtlogarithmischen Anteil dominiert der Beitrag in

so dass man

erhält. Sowohl das exakte Resultat als auch die Näherung zeigen, dass man nicht in der Lage ist, eine Wechselinduktion pro Längeneinheit zu definieren. Dies ist nur möglich, wenn proportional zu ist. Für die vorliegende Situation ist der Grenzwert von immer noch unendlich. Die Ausgangsgleichung (Kap. 6 (6.6)) wurde unter der Voraussetzung hergeleitet, dass ein Beitrag von einer unendlich fernen Oberfläche vernachlässigt werden kann. Dies trifft nicht zu, wenn sich die Leiter bis ins Unendliche erstrecken.

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