Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.9

1. Notiere das Induktionsgesetz für die Vorgaben.
2. Notiere zwei weitere Grundgleichungen, die man zur Beschreibung der Situation in dem Metallblock benötigt.
3. Unter welchen Bedingungen kann man die Verschiebungsstromdichte vernachlässigen?
4. Kombiniere die drei Grundgleichungen, um eine Differentialgleichung für die Wirbelstromdichte aufzustellen. Bestimme .
5. Wie bestimmt man die durch die Wirbelströme modifizierten Felder?

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7.9 Antwort zu H1

Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld charakterisiert durch die magnetische Feldstärke erzeugt nach dem Induktionsgesetz ein elektrisches Wirbelstromfeld. Dies wird durch das Faradaygesetz

beschrieben. Setzt man die Materialgleichung

voraus, so ist

Notiere zwei weitere Grundgleichungen, die man zur Beschreibung der Situation in dem Metallblock benötigt.

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7.9 Antwort zu H2

In dem Metall erzeugt das elektrische Feld eine (wahre) Stromdichte gemäß der Verknüpfung der beiden Größen über die Leitfähigkeit

Das Ampèresche Gesetz

besagt dann, dass das bestehende Feld durch die induzierte Stromdichte modifiziert wird.

Unter welchen Bedingungen kann man die Verschiebungsstromdichte vernachlässigen?

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7.9 Antwort zu H3

Die weitere Betrachtung kann vereinfacht werden, wenn die Verschiebestromdichte vernachlässigt werden kann. Die entsprechende Bedingung lautet gemäß dem Ampèrschen Gesetz

Benutzt man

und so lautet die Bedingung

oder ( )

Da ein typischer Wert für

ist, entspricht diese Forderung der Aussage, dass die Frequenz der Felder niedriger als die Frequenz von Röntgenstrahlung (sicherheitshalber UV-Licht) sein muss. Liegt eine derartige Situation vor, so lautet das Ampèresche Gesetz

Kombiniere die drei Grundgleichungen, um eine Differentialgleichung für die Wirbelstromdichte aufzustellen. Bestimme .

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7.9 Antwort zu H4

Die drei Grundgleichungen können folgendermaßen kombiniert werden: Betrachte

Benutze auf der rechten Seite das Induktionsgesetz

um die magnetische Feldstärke einzuführen

Bilde die Rotation dieser Gleichung und benutze das vereinfachte Ampèregesetz für

mit der komplexen Konstanten

Wie bestimmt man die durch die Wirbelströme modifizierten Felder?

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7.9 Antwort zu H5

Zur Lösung der partiellen Differentialgleichung für die Wirbelstromdichte muss man die spezielle Geometrie festlegen. Ist das geschehen, und hat man eine allgemeine Lösung gefunden, so kann man die durch die Wirbelströme modifizierte magnetische Feldstärke über

und das entsprechende elektrische Feld über

bestimmen. Die noch nicht festgelegten Integrationskonstanten werden durch die Rand- und Anschlussbedingungen für die Felder fixiert.

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