Lösung der Aufgabe 2.2

(i) Die zentrale Ladung befindet sich im Gleichgewicht, denn man berechnet, dass die Kraft auf diese Ladung verschwindet. Da die potentielle Energie für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage in der - Ebene die Form

hat, ist das Gleichgewicht instabil. Für Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage in die -Richtung findet man

Die beiden potentiellen Energien zeigt die Abb. 0.1.

Abbildung 0.1: Potentielle Energie der Zentralladung für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage

Die Diskussion der Bewegungsgleichung in diesem Potential

einer harmonischen Oszillatorgleichung, ergibt für die Periode der Schwingung

(ii) Das Potential des gestreckten Quadrupols ist (Superpositionsprinzip) in kartesischen Koordinaten

bzw. in Kugelkoordinaten

Äquipotentiallinien sind in Abb. 0.2 angedeutet.

Abbildung 0.2: Äquipotentiallinien des gestreckten Quadrupols

Im Grenzfall erhält man

Das exakte Potential und die Näherung werden in Abb. 0.3 für und verglichen.

Abbildung 0.3: Das Potential des gestreckten Quadrupols als Funktion von , exakt (blau), Näherung (rot)

Das elektrische Feld ist in diesem Grenzfall in der Zerlegung in Kugelkoordinaten

bzw. bei Zerlegung in kartesischen Koordinaten (Faktoren in Kugelkoordinaten)

Die Feldvektoren auf einem Kreis um den Ursprung in der - Ebene sind in Abb 0.4 angedeutet.

Abbildung 0.4: Vektoren des Fernfeldes des gestreckten Quadrupols

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