# 1 Definitionen

Die Lösungen von quadratischen Gleichungen sind nicht notwendigerweise reelle Zahlen. Löst man z.B. die Gleichung

mit der Standardmethode, so findet man

Man ist somit gefordert, das System von reellen Zahlen und die Grundrechenoperationen in geeigneter und konsistenter Weise zu erweitern. Zu diesem Zweck führt man zunächst eine imaginäre Einheit ein

und schreibt das Lösungsbeispiel als

d.h. als eine komplexe Zahl mit einem Realteil und einem Imaginärteil. Während das System von reellen Zahlen auf Punkte einer Geraden abbildbar ist, benötigt man zur Abbildung von komplexen Zahlen eine Ebene, die komplexe Zahlenebene. Für die komplexe Zahl

Abbildung 7.1: Die komplexe Zahl

benutzt man eine Darstellung in einer Ebene, die durch eine reelle Achse und eine dazu senkrechte imaginäre Achse aufgespannt ist. Ein gewisser Bezug zu Vektoren in einem zweidimensionalen Raum (oder zu Zahlenpaaren) ist offensichtlich (vergleiche Math.Kap. 3.1.2).