Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.11

1. Lege das Koordinatensystem fest und diskutiere die Koordinatenabhängigkeit der gesuchten Größen.
2. Gib die in diesem Beispiel gültigen Bestimmungsgleichungen für die gesuchten Größen an.
3. Gewinne die vollständige Lösung der Bestimmungsgleichungen.
4. Sortiere die komplexe Lösung, um ein reelles Resultat zu gewinnen.
5. Finde eine der Größe der Leitfähigkeit angemessene Näherung und notiere das Endresultat.
6. Diskutiere die Zeitabhängigkeit der Lösungen.

Werkzeuge

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7.11 Antwort zu H1

Das ursprünglich homogene Wechselfeld

wirkt in einem Quader mit den Dimensionen (Abb. 0.1)

-Richtung | : |
-Richtung | : |
-Richtung | : |

Abbildung 0.1: Wahl des Koordinatensystems

Fließt in der Deckelfläche ein Strom in der -Richtung und in der Bodenfläche ein Strom in der entgegengesetzten Richtung, so hat die magnetische Feldstärke die Form

(mit ). Der Vektor der Wirbelstromdichte zeigt in die - Richtung und hängt von dem Abstand von den stromführenden Boden- /Deckelflächen ab

Gib die in diesem Beispiel gültigen Bestimmungsgleichungen für die gesuchten Größen an.

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7.11 Antwort zu H2

In den Grundgleichungen für die Ortsanteile (siehe Werkzeuge)

zur Bestimmung der induzierten Wirbelstromdichte und des modifizierten Feldes gilt wegen der vorliegenden Symmetrie

und

Zu lösen bzw. berechnen ist also

sowie

Gewinne die vollständige Lösung der Bestimmungsgleichungen.

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7.11 Antwort zu H3

Die Lösung der Differentialgleichung für die Stromdichte ist

Die Symmetrie des Problems: positive Werte der Dichte für positive -Werte (Deckelfläche), negative Werte der Dichte für negative -Werte (Bodenfläche) bedingt, dass nur die Sinusfunktion zulässig ist. Für das Feld folgt dann

Die Randbedingung ist für

erfüllt.

Sortiere die komplexe Lösung, um ein reelles Resultat zu gewinnen.

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7.11 Antwort zu H4

Die Lösungen enthalten noch den komplexen Parameter

Zur weiteren Diskussion muss man Real- und Imaginärteil trennen. Hierzu benutzt man

bzw. mit

die Relationen

Entsprechend folgt

Finde eine der Größe der Leitfähigkeit angemessene Näherung und notiere das Endresultat.

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7.11 Antwort zu H5

Für Punkte mit und gilt

für Punkte mit und gilt entsprechend

Für Punkte mit , die diese Bedingung erfüllen, erhält man also das Endresultat für die Stromdichte
?

und für die magnetische Feldstärke
?

Für negative Werte von findet man ein entsprechendes Resultat in dem durch ersetzt ist, so dass man das Endergebnis auch in einer symmetrischen Form

schreiben kann.

In Abbildung 0.2 sind die beiden Größen ohne die Vorfaktoren aufgetragen. Die Parameter entsprechen (LE=Längeneinheit)

Abbildung 0.2: Realteil von (blau) und (rot), siehe Text

Der Faktor zeigt an, dass sowohl die Stromdichte als auch die Feldstärke an der Oberfläche am stärksten sind.

Diskutiere die Zeitabhängigkeit der Lösungen.

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7.11 Antwort zu H6

Die Zeitabhängigkeit der zwei Größen wird durch den Faktor

bzw.

bestimmt. Dies entspricht einer Ausbreitung ins Innere des Blocks und einer Phasenverschiebung gegenüber der ursprünglichen Feldstärke.

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