Hinweise zur Lösung der Aufgabe 7.8

1. Notiere die Maxwellgleichungen im Vakuum (Luft) und im Metall.
2. Stelle die ebenen Wellenlösung in dem Metall (mit komplexer Wellenzahl) durch ein Vektorpotential dar.
3. Notiere das Vektorpotential für die drei ebenen Wellen des vorgestellten Problens.
4. Welche Aussagen gewinnt man für die Wellenzahlen aus den Anschlussbedingungen an der Grenzfläche?
5. Nähere den Brechungsindex für große Werte von und analysiere das Vektorpotential der eindringenden Welle in diesem Fall genauer.
6. Gib die Bedingungen für die Vektorpotentiale an, durch die der Reflexionskoeffizient gewonnen werden kann.
7. Notiere die entsprechenden Gleichungen.
8. Sortiere die so gewonnenen Relationen, um Beziehungen der Form und zu gewinnen. Betrachte speziell den Fall, dass die Leitfähigkeit groß ist.
9. Definiere den Reflexionskoeffizienten (mittels des Vektorpotentials) und werte die Definition in der Näherung ` groß` aus.
10. Vereinfache das Resultat und betrachte den Transmissionskoeffizienten.

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7.8 Antwort zu H1

In Luft (Vakuum) gelten die Maxwellgleichungen

in dem Metall

(vergleiche Kap. 7.2.2).

Stelle die ebenen Wellenlösung in dem Metall (mit komplexer Wellenzahl) durch ein Vektorpotential dar.

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7.8 Antwort zu H2

Für eine ebene Welle

kann man für die ersten zwei Maxwellgleichungen schreiben ( , zur Abkürzung)

Für das zugehörige Vektorpotential mit dem Ansatz (vergleiche Aufg. 7.6)

folgt aus dem Induktionsgesetz

Das Ampèresche Gesetz entspricht dann der Differentialgleichung

Hier erkennt man die komplexe Wellenzahl

bzw. den komplexen Brechungsindex

Notiere das Vektorpotential für die drei ebenen Wellen des vorgestellten Problens.

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7.8 Antwort zu H3

Mit der in Abbildung (Abb. 0.1)

Abbildung 0.1: Reflexion und Brechung

angedeuteten Wahl des Koordinatensystems lautet der Ansatz für das Vektorpotential der einfallenden, reflektierten und der eindringenden Welle:

- Einfallende Welle:

  mit

- Reflektierte Welle:

  mit

- Eindringende Welle:

  mit

Welche Aussagen gewinnt man für die Wellenzahlen aus den Anschlussbedingungen an der Grenzfläche?

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7.8 Antwort zu H4

Die Forderung nach der Übereinstimmung der Phasen in der Grenzfläche ergibt

Dies entspricht dem Reflexionsgesetz

und dem Brechungsgesetz

Man kann das letzte Resultat benutzen, um eine Aussage zu zu gewinnen: Es ist

Nähere den Brechungsindex für große Werte von und analysiere das Vektorpotential der eindringenden Welle in diesem Fall genauer.

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7.8 Antwort zu H5

Da ist, ist es für viele Zwecke ausreichend, den Brechungsindex durch

zu nähern und wegen den Einfluss der Einfallsrichtung zu vernachlässigen. Man erhält dann für

Die eindringende Welle wird also durch das Vektorpotential

dargestellt. Offensichtlich ist die Lösung mit dem positiven Vorzeichen zuständig. Das Vektorpotential, und damit die elektromagnetische Welle, klingt dann gemäß

ab. Die Größe entspricht der in Kap. 7.2.2 diskutierten Eindringtiefe.

Gib die Bedingungen für die Vektorpotentiale an, durch die der Reflexionskoeffizient gewonnen werden kann.

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7.8 Antwort zu H6

Um den Reflexionskoeffizienten zu bestimmen, benutzt man die Transversalitätsbedingung des Vektorpotentials (das Coulombgesetz)

und die Stetigkeit der elektromagnetischen Felder bei . Für die gewählte Geometrie reicht die Forderung nach der Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung ( ) und der Tangentialkomponente(n) des elektrischen Feldes aus.

Notiere die entsprechenden Gleichungen.

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7.8 Antwort zu H7

Aus der Stetigkeit von und folgt die Stetigkeit von und in der Form

Aus der Transversalitätsbedingung folgt bei Benutzung von

die Relation

Sortiere die so gewonnenen Relationen, um Beziehungen der Form und zu gewinnen. Betrachte speziell den Fall, dass die Leitfähigkeit groß ist.

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7.8 Antwort zu H8

Benutzt man auf der linken Seite der Gleichung

die Aussage, das die - und die -Komponente der zwei Wellen durch

verknüpft sind, so kann man diese Gleichung mit Hilfe von

in der Form

sortieren. Zusammen mit der Gleichung für die Summe der zwei Amplituden im Medium 1 gewinnt man daraus die Relationen

die mit durch

genähert werden können.

Definiere den Reflexionskoeffizienten (mittels des Vektorpotentials) und werte die Definition in der Näherung ` groß` aus.

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7.8 Antwort zu H9

DerReflexionskoeffizient ist durch

definiert. Zur Auswertung benötigt man die Relationen

Damit erhält man (in der Näherung)

Da eine komplexe Größe ist

findet man für

Vereinfache das Resultat und betrachte den Transmissionskoeffizienten.

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7.8 Antwort zu H10

Eine etwas durchsichtigere Form erhaält man durch Addition und Subtraktion von geeigneten Termen

Der dominante Term im Nenner ist so dass man letztlich in konsistenter Näherung

schreiben kann. Der Transmissionskoeffizient ist dann

Da ist, wird der Hauptteil der einfallenden elektromagnetischen Welle reflektiert. Der Anteil, der nicht reflektiert wird, dient letzlich der Erwärmung des Metallblocks.

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