Detail 7.6
Höhere Multipolmomente/Multipolstrahlung
Auch bei der Diskussion der nächsthöheren Beiträge zu der Abstrahlung einer (idealen) Antenne sind einige kleinere Zwischenschritte zu absolvieren.

#### (a) Eine Zerlegung

Die Zerlegung des Produktes (Kap. 7.3.3, (7.68)) in einen Anteil der symmetrisch gegenüber der Vertauschung der Vektoren und ist, plus einem antisymmetrischen Anteil kann man folgendermaßen vornehmen. Im ersten Schritt schreibt man

und addiert und subtrahiert die symmetrische Ergänzung

In dem zweiten Term auf der rechten Seite erkennt man aber die Standardformel für ein doppeltes Vektorprodukt

Es gilt also

#### (b) Der Quadrupolanteil

Setzt man in der Formel

und ein, multipliziert den Ausdruck mit dem Vektor und integriert über den gesamten Raum, so gewinnt man

Das Integral auf der linken Seite kann partiell integriert werden. So ist z.B (setze

und

da in den Größen die auf den Koordinatenursprung beschränkte Stromdichteverteilung enthalten ist. Setzt man diese Aussagen (die angegebenen plus sieben weitere) zusammen, so erhält man

bzw. nach Sortieren (und Wiedereinsetzen von )

#### (c) Die Winkelverteilung der Quadrupolstrahlung

Zu berechnen ist die Winkelverteilung

wobei die Komponenten des `Quadrupolvektors` definiert durch

mit den Elementen des Quadrupoltensors zu berechnen sind. Man setzt hier die vorgegebenen Tensorelemente

ein und erhält

Benutzt man die Darstellung der Komponenten des Wellenzahlvektors durch Kugelkoordinaten

so findet man für die einzelnen Beiträge zu dem Betragsquadrat des Vektorproduktes

die Aussagen

Die Summe dieser Beiträge ist

so dass die Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung durch

gegeben ist. Die Funktion hat den Wert Null an den Stellen

Die Extrema dieser Funktion sind durch

gegeben und entsprechen

(den obengenannten Nullstellen) und

d.h.

Dies charakterisiert (überprüfe!) die Maxima. Die Standarddarstellung dieser Funktion in dem Bereich bis ist in der Abb. 7.1 gezeigt.

Abbildung 7.1: Quadrupolstrahlung: Standardplot des Abstrahlungsmusters

Das Strahlungsmuster ist rotationssymmetrisch in Bezug auf die -Achse.

Zur Berechnung der gesamten abgestrahlten Leistung

benötigt man das Integral (substituiere )

und findet damit

Zurück zum Inhaltsverzeichnis