Detail 6.3
Der zeitliche Mittelwert des Poyntingvektors
Ist die Frequenz einer (ebenen) elektromagnetischen Welle groß genug, so interessiert oft nur der Mittelwert über eine Schwingungsperiode da die Wirkung der einzelnen Phasen der Welle an einem Punkt nicht aufgelöst werden kann. Die Berechnung dieses Mittelwertes (siehe (6.56)) ist nicht schwierig. Es wird außerdem gezeigt, dass die Formel (6.57) gültig ist. Die Aussage, dass man für den zeitlichen Mittelwert des Poyntingvektors einer ebenen elektromagnetischen Welle in jedem Raumpunkt einen konstanten Wert erhält (6.56), beweist man folgendermaßen:
Mit dem Ausgangspunkt (6.55)

und dem Realteil

erhält man für

Zur Berechnung des Mittelwertes benutzt man das Additionstheorem

Die erforderlichen Zeitintegrale sind (bei Benutzung von )

so dass man für

das Ergebnis

erhält.
Die Alternativform

liefert mit

und

Die komplexe Amplitude unterscheidet sich von der reellen Amplitude nur durch eine Phase

so dass

gilt.

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