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1 Der Minkowskiraum

Den vier kontravarianten Basisvektoren des Minkowskiraums, die hier mit

bezeichnet werden, entspricht der metrische Tensor

Die kontravariante Zerlegung eines Vierervektors, mit der Notation , ist

Auf die Benutzung der (durchaus praktischen) Summenvonvention

mit der Regel: `Summiere über alle Paare von gleichen hoch- und tiefgestellten Indizes` wird verzichtet.

Infolge der einfacheren Struktur der Metrik ist der inverse metrische Tensor mit dem metrischen Tensor identisch

Der physikalische Hintergrund kann mit den folgenden Aussagen skizziert werden: Man interpretiert die Zeitkoordinate (aus Dimensionsgründen multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit ) und die Ortskoordinaten

als die kovarianten Komponenten eines Vierervektors, des Ereignisvektors,

Wie in der normalen Vektorrechnung bietet sich die Kurzform

an, wobei zur Unterscheidung von Dreiervektoren (im Ortsraum) geschweifte Klammern benutzt werden. Die kontravarianten Komponenten des Ereignisvektors sind dann

Die Michelson-Morley Bedingung

wobei sich die Koordinaten auf zwei verschiedene Inertialsysteme (S) (ungestrichene Koordinaten) und (S') (gestrichene Koordinaten) beziehen, kann durch das Skalarprodukt eines Ereignisvektors mit sich selbst dargestellt werden. Es ist

so dass die Michelson-Morley Relation

der Forderung nach der Invarianz eines Skalarproduktes, der Länge des Ereignisvektors, bei dem Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen entspricht.

Eine allgemeine, lineare Transformation im Minkowskiraum, die die Koordinaten eines Inertialsystems mit den Koordinaten in einem Inertialsystem verküpft, wird als Lorentztransformation bezeichnet. Die Michelson-Morley Relation ist das Werkzeug mit dem man die Frage beantwortet, welche Bedingungen die Lorentztransformationen erfüllen müssen. Der Ansatz für eine homogene Transformation, in der z.B. die kontravarianten Komponenten in dem System in die kovarianten Komponenten in den System übergeführt werden, lautet

| (11)

Alternative Ansätze, wie

| (12)

gehen daraus durch Matrixmultiplikation mit dem metrischen Tensor hervor. Diese Gleichungen für die Transformation zwischen den kovarianten Komponenten in dem System und den kontravarianten Komponenten in gewinnt man mit den Schritten

Die Transformationsmatrix mit hochgestellten Indizes ist

| (13)

Fällt der Koordinatenursprung der beiden Inertialsysteme zu der Anfangszeit nicht zusammen, so muss man die inhomogene Transformation

in Betracht ziehen. Der Vierervektor beschreibt die Position des vierdimensionalen Koordinatenursprungs des Systems aus der Sicht des Systems . Man bezeichnet eine derartige Transformation im Minkowskiraum als Poincarétransformation .

Setzt man die Transformationsgleichungen (11) und (12) für die homogene Transformation ( für alle ) in die Michelson-Morley Bedingung ein, so erhält man

Koeffizientenvergleich liefert die Aussage

ein Ergebnis, das man als die Orthogonalitätsrelation der Lorentztransformation bezeichnet. Eine alternative Form der Orthogonalitätsrelation gewinnt man mit den folgenden Schritten: Ersetze durch (13)

multipliziere mit , summiere über unter Benutzung der Orthogonalitätsrelation (10) des metrischen Tensors und erhalte

Jede Lorentztransformation muss die Orthogonalitätsrelation erfüllen. Diese Bedingung weist die Lorentztransformationen als `orthogonale` Transformationen im Minkowskiraum aus, die somit vierdimensionale Drehungen und Spiegelungen beinhalten. Bei den Drehungen kann es sich um reine Raumdrehungen ebenso wie `Drehungen`, in denen Raum- und Zeitkoordinaten gemeinsam transformiert werden, handeln. Spiegelungen im Minkowskiraum umfassen Zeitumkehr und Spiegelungen am räumlichen Koordinatenursprung. Die Tatsache, dass Lorentztransformationen geometrischen Operationen in dem Minkowskiraum entsprechen, ist der Ausgangspunkt für eine Diskussion der Lorentz- (und Poincaré)transformationen aus der Sicht der Gruppentheorie. (Interessenten finden Details und weitere Referenzen in W.I. Fushchich and A.F. Nikitin, `Symmetries of Maxwell's Equations` , D. Reidel Publishing, Dordrecht, 1987. Eine kompaktere, wenn auch vielleicht für den Anfänger nicht gerade zugängliche Darstellung, findet man in den Lehrbüchern der Quantenfeldtheorie, wie z.B. L.H. Ryder, `Quantum Field Theory` Cambridge University Press, Cambridge, 1991.)

Die einfache Lorentztransformation, die eine uniforme Relativbewegung gleich orientierter Inertialsysteme in der -Richtung beschreibt, wird durch die Transformationsmatrix

vermittelt, die Transformationen der Zeitumkehr und der Raumspiegelung durch Transformationsmatrizen mit

Die Lorentztransformation für beliebig gegeneinander orientierte Inertialsysteme und eine beliebige Richtung der Relativgeschwindigkeit kann man in der folgenden Weise konstruieren:

- Drehe das ungestrichene Koordinatensystem so, dass die -Achse parallel zu ist (Abb. 5.4)

  Abbildung 5.4: Illustration der Operationen zur Gewinnung einer allgemeinen Lorentztransformation

  Die Drehmatrix für eine Raumdrehung hat im Minkowskiraum die Form

  Die Drehmatrix im in der Darstellung durch die Eulerwinkel wurde in Band 1 Kap. 6.3.5 eingeführt.
- Es ist nun eine einfache Lorentztransformation von dem gedrehten System zu einem gestrichenen System durchzuführen

- Das System mit den Koordinaten hat noch nicht die korrekte Orientierung. Es muss noch so gedreht werden, dass die -Achse mit der -Achse zusammenfällt

- Setzt man die Transformationen zusammen, so erhält man (in Matrixform)

  Eine allgemeine Lorentztransformation setzt sich aus zwei Raumdrehungen und einer einfachen Raum-Zeit-Drehung (in der angegebenen Reihenfolge) zusammen.

Die Angelegenheit ist etwas übersichtlicher, wenn die beiden Inertialsysteme gleich orientiert sind, aber eine beliebige Relativgeschwindigkeit vorliegt. In diesem Fall ist die zweite Drehung die Inverse zu der ersten. In Kap. 8.3 wird gezeigt, dass man für die drei kartesischen Raumkoordinaten und die Zeitkoordinate in den beiden Inertialsystemen die Transformationsgleichungen

erhält. In diesem Zusammenhang ist zu erwähnen, dass das Hintereinanderausführen von Lorentztransformationen keine vertauschbaren Operationen sind, es sei denn die Relativgeschwindigkeiten der zwei Transformationen sind parallel.

Bei der Diskussion der Elektrodynamik aus der Sicht der Relativitätstheorie spielen die Ableitungen nach den Minkowskikoordinaten in der Form des Vierergradienten eine besondere Rolle. Zu beantworten ist die Frage, ob der Vierergradient, der z.B. durch die Ableitungen nach den kovarianten Koordinaten angegeben wird

ein Vierervektor ist. In diesem Fall müssen sich die Komponenten des Vierergradienten genau wie die entsprechenden Komponenten des Ereignisvektors transformieren.

Um die Transformationseigenschaften des Vierergradienten zu bestimmen, betrachtet man die Wirkung dieses Operators auf ein Skalarfeld im Minkowskiraum. Ein solches Feld ist dadurch charakterisiert, dass es für Punkte des Minkowskiraumes, die durch eine Lorentztransformation verknüpft sind, den gleichen Wert hat.

Für die Ableitung eines Skalarfeldes in Bezug auf die gestrichenen (kovarianten) Koordinaten erhält man mit der Kettenregel

Zur Auswertung der rechten Seite dieser Gleichung benötigt man die Ableitung der kontravarianten Koordinate in nach der kovarianten Koordinate in . Man multipliziert zu diesem Zweck die Transformationsgleichung (11) mit und summiert über

benutzt die Orthogonalitätsrelation der Lorentztransformation und erhält als Umkehrung von (11)

Diese Relation liefert direkt die gewünschte partielle Ableitung. Die resultierende Transformationsgleichung

besagt, dass sich die Ableitungen nach einer kovarianten Minkowskikoordinate wie eine kontravariante Kooordinate (und umgekehrt) transformieren. Eine vielbenutzte Schreibweise ist deswegen

mit den Transformationsgleichungen

Der Vierergradient ist in der Tat ein Vierervektor, in kontravarianter Zerlegung

und in kovarianter Zerlegung

Die elektromagnetischen Felder werden durch Größen dargestellt, die ein komplexeres Transformationsverhalten aufweisen als Vierervektoren. Derartige Größen bezeichnet man als Tensoren (zweiter und höherer) Stufe. Tensoren zweiter Stufe, die in Matrixschreibweise in der Form geschrieben werden, sind dadurch charakterisiert, dass sich deren Elemente bei dem Übergang zwischen zwei Inertialsystemen wie

transformieren. Eine Matrix , für die dieses Transformationsgesetz nicht gilt, ist kein Tensor im Minkowskiraum. Ein Produkt mit den Elementen erfüllt wegen (11) die Transformationsgleichung

Tensoren, die durch die Multiplikation der Komponenten von zwei Vektoren (Tensoren erster Stufe) konstruiert werden, stellen eine häufig auftretende, doch nicht die alleinige Form von Tensoren zweiter Stufe dar. Kontravariante oder teilweise kontravariante Tensorelemente können mit dem metrischen Tensor oder durch eine entsprechende Kombination von Vierervektoren erzeugt werden, so z.B.

Tensoren dritter Stufe sind dreifach indiziert und transformieren sich z.B. gemäß

Durch die mathematische Operation der Kontraktion ist es möglich, den Tensorrang zu erniedrigen. Die Kontraktion ist sozusagen eine Erweiterung des Konzeptes des Skalarproduktes. Ein Vektor (Tensor erster Stufe) ergibt in der Kontraktion mit einem Vektor einen Skalar (Tensor nullter Stufe). Die Begründung folgt aus den Orthogonalitätsrelationen für die Lorentztransformation und für den metrischen Tensor, denn es gilt

Diese Kontraktion transformiert sich wie eine Zahl. Mit der ko-/kontravarianten Schreibweise erkennt man dann in einer Relation wie

direkt die Kontraktion eines Tensors zweiter Stufe mit einem Vektor zu einem Vektor, etc.

Der Nachweis, dass die metrische Matrix in der Tat ein Tensor ist, führt man in der folgenden Weise. Ausgehend von der Invarianzbedingung in differentieller Form

erhält man mit der allgemeinen Form des Wegelementes

die Aussage

Hieraus folgt

Diese Relation weist die metrische Matrix als Tensor aus.