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4 Integrale mit Legendrepolynomen.

In vielen Situationen sind Integrale mit Legendrepolynomen zu berechnen. Ein guter Ausgangspunkt ist eine Umschreibung des Integrals

mit Hilfe der Formel von Rodriguez, wobei vorausgesetzt wird, dass die Funktion über dem Grundintervall definiert und mal stetig differenzierbar ist. Partielle Integration von

ergibt

Die Ableitungen von

enthalten wenigstens einen Faktor , so dass

ist. Damit erhält man für eine mal wiederholte partielle Integration

- Ist z.B. , so ist für die Ableitung

  Ist , so findet man das gleiche Resultat, da die Rolle der Indizes vertauscht werden kann. Für den Fall

  setzt man zur Berechnung der Ableitung noch einmal die Rodriguezformel ein. Es ist

  Für das verbleibende Integral

  kann man durch partielle Integration eine Rekursionsformel gewinnen. Man findet über

  die Rekursionsformel

  deren Auflösung mit die Aussage

  ergibt. Setzt man alle Teilergebnisse zusammen, so findet man

  Diese Relation wird als Orthogonalitätsrelation der Legendreschen Polynome bezeichnet. Deren Bedeutung wird in Math.Kap. 5 weiter ausgeführt.

- Für verläuft die Auswertung analog. Gemäß der Grundformel ist zunächst die -te Ableitung von zu bestimmen, die man mit

  notieren kann. Für ist dann das Integral

  zu berechnen. Partielle Integration ergibt für

  die Rekursionsformel

  die man beginnend mit

  auswertet. Es folgt dann für gerades

  so dass das Endresultat in der Form

  angegeben werden kann. Insbesondere für gewinnt man die oft benutzte Formel

Die Kombination dieser Grundintegrale mit Hilfe der Rekursionsformeln erlaubt die Berechnung einer Vielzahl von weiteren Integralen, so z.B.

Benutzt man hier die Rekursionformel (5)

sowie (6), so findet man

Auch die erzeugende Funktion kann mit Vorteil eingesetzt werden, so z.B. zur Berechnung des Integrals

über das halbe Grundintervall. Man beginnt mit

und integriert

Das Integral auf der linken Seite kann elementar ausgewertet werden

Entwickelt man nun die Wurzel, so erhält man auf der linken Seite

so dass man durch Vergleich der Faktoren der Potenzen von die gesuchten Integrale ablesen kann. Man findet