Hinweise zur Lösung der Aufgabe 4.8

1. Beschreibe die Ladungssituation in dem Kondensator, wenn auf die innerste Kugelschale die Ladung und auf die äußerste Kugelschale die Ladung aufgebracht wurde.
2. Ermittle die elektrischen Felder und die entsprechenden Potentiale in allen relevanten Raumgebieten. Skizziere den Feld- und Potentialverlauf.
3. Bestimme die Relation zwischen den Ladungen und die sich aus der Bedingung ergibt.
4. Berechne die Kapazität des Kondensators.
5. Berechne die Kapazität des Dreischalenkondensators, indem man ihn als Anordnung von zwei parallel geschalteten Kugelkondensatoren auffasst.
6. Berechne die Kapazität unter der Voraussetzung, dass die Dicke der mittleren Kugelschale nicht vernachlässigbar ist. Deute an, wie man den relativen Fehler berechnen würde.
7. Gib die Potentiale in den Zwischenräumen der Kugelschalen an, wenn diese mit den Dielektrika bzw. gefüllt werden.
8. Berechne die Kapazität des mit Dielektrika gefüllten Kondensators.

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4.8 Antwort zu H1

Wenn auf die innerste und die äußerste Kugelfläche die Ladungen bzw. aufgebracht wurden, fließen die Ladungen auf die mittlere, geerdete Kugelschale. Die Ladung verteilt sich uniform auf der Innenfläche der Zwischenschale, die Ladung auf der Außenfläche (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Die Ladungsverteilung in dem Kondensator

Ermittle die elektrischen Felder und die entsprechenden Potentiale in allen relevanten Raumgebieten. Skizziere den Feld- und Potentialverlauf.

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4.8 Antwort zu H2

Betrachtet man eine Kugel mit dem Radius , die konzentisch zu den Kugelschalen des Kondensators ist, so kann man aufgrund der Symmetrie das Gaußtheorem in der Form

benutzen. Das elektrische Feld (genauer die Normalkomponente des elektrischen Feldes) macht bei dem Durchgang durch eine Ladungsschicht einen Sprung. Das Potential in dem entsprechenden Raumgebiet ist dann

Die Konstanten sind durch die Anschlussbedingungen zu bestimmen. Diese erfordern, dass das Potential im gesamten Raum stetig ist. Schließt der Radius den gesamten Kondensator ein (), so ist die eingeschlossene Ladung gleich Null, das elektrische Feld in dem Außengebiet ebenso. Das Potential ist dann konstant: . Liegt die Gaußkugel zwischen der äußeren und der mittleren Schale, so hat die eingeschlossene Ladung den Wert und das elektrische Feld ist

Daraus ergibt sich das Potential

Die Überlegungen können nach innen fortgesetzt werden. Eine Zusammenfassung der Situation gibt die folgende Tabelle:

Zur Bestimmung der Potentialkonstanten beginnt man mit der Aussage, dass die mittlere Kugelschale geerdet ist. Mit der üblichen Festsetzung ist dann . Anschluss nach außen führt auf

der Anschluss der Potentiale nach innen auf

Die Potentiale innerhalb von und außerhalb von sind abhängig von den jeweiligen Ladungen (und der Geometrie), aber ansonsten konstant. Interessanter sind die Potentiale in den Zwischenräumen der Kugelschalen

und

Die Skizzen für Feld- und Potentialverlauf sind in den Abbildungen 0.2 und 0.3 gezeigt.

Abbildung 0.2: Das elektrische Feld des idealen Kondensators | Abbildung 0.3: Das Potential des idealen Kondensators

Bestimme die Relation zwischen den Ladungen und die sich aus der Bedingung ergibt.

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4.8 Antwort zu H3

Aus folgt

Berechne die Kapazität des Kondensators.

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4.8 Antwort zu H4

Die Kapazität ist der Quotient aus Gesamtladung durch Spannung. Die Spannung in der Kondensatoranordnung ist . Es ist somit

Die Auswertung mit der Option ergibt das gleiche Ergebnis.

Berechne die Kapazität des Dreischalenkondensators, indem man ihn als Anordnung von zwei parallel geschalteten Kugelkondensatoren auffasst.

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4.8 Antwort zu H5

Der Dreischalenkondensator besteht aus zwei parallel geschalteten Kugelkondensatoren (Abb. 0.4), dem Kondensator mit und dem Kondensator mit .

Abbildung 0.4: Die Ersatzschaltung

Die Einzelkapazitäten sind

Bei Parallelschaltung ergibt sich die Gesamtkapazität aus der Summe der einzelnen Kapazitäten

Berechne die Kapazität unter der Voraussetzung, dass die Dicke der mittleren Kugelschale nicht vernachlässigbar ist. Deute an, wie man den relativen Fehler berechnen würde.

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4.8 Antwort zu H6

Für die Potentiale zwischen den Schalen und sowie und gilt nun

und

Wie zuvor wird über die Relation zwischen den Ladungen und gewonnen und die Kapazität berechnet. Für die Ladungen gilt

Die Kapazität ist in diesem Fall

Zur Angabe des relativen Fehlers entwickelt man bis zu der ersten Ordnung in

Aus der Form

ergibt sich dann der relative Fehler zu

Gib die Potentiale in den Zwischenräumen der Kugelschalen an, wenn diese mit den Dielektrika bzw. gefüllt werden.

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4.8 Antwort zu H7

Die Potentiale ändern sich in

und

Berechne die Kapazität des mit Dielektrika gefüllten Kondensators.

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4.8 Antwort zu H8

Die Relation zwischen den Ladungen ist nun

so dass man für die Kapazität

erhält. Ist , so findet man .

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