Hinweise zur Lösung der Aufgabe 1.2

1. Wie kann das Gaußtheorem in geschickter Weise zur Berechnung des Flusses durch die Kreisfläche eingesetzt werden?
2. Berechne mit dieser Information den elektrischen Fluss.
3. Berechne den Fluss durch direkte Integration über die Kreisfläche unter Verwendung von Polarkoordinaten.
4. Berechne den elektrischen Fluss durch die Kreisfläche, der von der zweiten Ladung (Abstand ) erzeugt wird.
5. Bestimme die Ladung , die erforderlich ist, damit der Nettofluss durch die Kreisfläche verschwindet.

Zurück zur Aufgabenstellung

1.2 Antwort zu H1

Der Fluss einer Ladung , die sich im Abstand auf der Achse einer Kreisfläche befindet, durch diese ebene Fläche ist gemäß dem Gaußtheorem genauso groß wie der Fluss durch eine entsprechende Kugelkalotte mit dem Öffnungswinkel (Abb. 0.1). Dieser Winkel ist durch die Größen und bestimmt.

Abbildung 0.1: Der Fluss durch die Kreisfläche entspricht dem Fluss durch die Kugelkalotte

Berechne mit dieser Information den elektrischen Fluss.

Zurück zu den Hinweisen

1.2 Antwort zu H2

Der elektrische Fluss durch eine Fläche ist

Das elektrische Feld der Punktladung bezogen auf den Ladungspunkt

ist parallel zu dem entsprechenden infinitesimalen Oberflächenelement einer Kugel bezogen auf den gleichen Punkt (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Infinitesimales Flächenelement und Feld auf der Kalotte

Der Fluss durch die Kugelkalotte ist somit

Die Geometrie ergibt für den Kalottenradius zu

Mit

findet man somit für den Fluss

Berechne den Fluss durch direkte Integration über die Kreisfläche unter Verwendung von Polarkoordinaten.

Zurück zu den Hinweisen

1.2 Antwort zu H3

Bei der direkten Auswertung ist zu bedenken, dass die Vektoren des elektrischen Feldes und des infinitesimalen Flächenelements nicht parallel sind, sondern einen Winkel einschließen (Abb. 0.3)

Abbildung 0.3: Infinitesimales Flächenelement und Feld auf der Kreisfläche

Benutzt man ebene Polarkoordinaten ( ) in der Ebene der Kreisfläche zur Auswertung des Flächenintegrals, so gilt für den Kosinus des eingeschlossenen Winkels

wobei der Abstand von Ladungspunkt zu Flächenpunkt

ist. Die Auswertung des Flussintegrals beinhaltet dann

Das Radialintegral ist elementar

Mit den Vorgaben

erhält man

und, wie zuvor,

Fazit: 'Nutze die optimalen Methoden' oder 'Denke vor Ausführung einer Rechnung nach'.

Berechne den elektrischen Fluss durch die Kreisfläche, der von der zweiten Ladung (Abstand ) erzeugt wird.

Zurück zu den Hinweisen

1.2 Antwort zu H4

Für die Ladung auf der Gegenseite gilt ein entsprechendes Argument. Bei Benutzung einer Kugelkalotte (Abb. 0.4) gilt für den Fluss

Abbildung 0.4: Kugelkalotte für die Ladung

Der Kalottenradius ist in diesem Fall

Mit

findet man für den Fluss

Bestimme die Ladung , die erforderlich ist, damit der Nettofluss durch die Kreisfläche verschwindet.

Zurück zu den Hinweisen

1.2 Antwort zu H5

Der Nettofluss verschwindet, falls ist. Dies ergibt

Zurück zu den Hinweisen Zurück zur Aufgabenstellung Zurück zum Inhaltsverzeichnis