Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.3

1. Verwende die erweiterte Rodriguesformel und bilde die Ableitung, um (V1) zu erhalten.
2. Um (V2) zu beweisen, schreibt man die rechte Seite mit der Formel von Rodrigues für die Legendre Polynome aus, differenziert explizit in dem zweiten Term und fasst zusammen.
3. Man benötigt eine Relation zwischen der Ableitung der rechten Seite und dem Integranden. Also bildet man die Ableitung von

   und sortiert. Mit der somit hergeleiteten Relation können die Integrale (V3) und (V4) berechnet werden.
4. Zum Nachweis von (V5) differenziert man die erzeugende Funktion

   nach sortiert und vergleicht die Koeffizienten von auf beiden Seiten.
5. Zum Nachweis von (V6) differenziert man die erzeugende Funktion nach und sortiert.
6. (V7) wird durch Differentiation von (V5) und Verwendung von (V6) nachgewiesen.
7. Auch (V8) gewinnt man durch Ableitung von (V5) und einer Ersetzung mit (V6).
8. Auch die Rekursion (V9) wird nach dem gleichen Muster gewonnen. Man beginnt mit (V5) und ersetzt mit (V6).

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3.3 Antwort zu H1

Die erweiterte Rodriguesformel lautet für

Bildet man die Ableitung

und fasst mit den Rodriguesformeln wieder zusammen, so gewinnt man

Um (V2) zu beweisen, schreibt man die rechte Seite mit der Formel von Rodrigues für die Legendre Polynome aus, differenziert explizit in dem zweiten Term und fasst zusammen.

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3.3 Antwort zu H2

Die rechte Seite von (V2) lautet

bzw. bei Benutzung von

Es werden nun zwei der Differentiationen in dem zweiten Term explizit ausgeführt

und die rechten Seite wieder zusammengefasst

Man benötigt eine Relation zwischen der Ableitung der rechten Seite und dem Integranden. Also bildet man die Ableitung von

und sortiert. Mit der somit hergeleiteten Relation können die Integrale (V3) und (V4) berechnet werden.

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3.3 Antwort zu H3

Die Ableitung ergibt

Mit (V1) erhält man

und somit

Diese Relation kann man auch direkt durch Vergleich der Rodriguesformeln gewonnen werden. Die Auswertung der Integrale

erfordert dann lediglich das Einsetzen der Grenzen mit dem Resultat

Die Summe der beiden Integrale

entspricht der Orthogonalitätsrelation der einfachen Legendrepolynome

Zum Nachweis von (V5) differenziert man die erzeugende Funktion

nach sortiert und vergleicht die Koeffizienten von auf beiden Seiten.

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3.3 Antwort zu H4

Differenziert man die erzeugende Funktion nach

sortiert

und vergleicht die Koeffizienten von auf beiden Seiten dieser Gleichung

so erhält man

Die Relation (V5) ist eine der nützlichsten Rekursionsformeln für die Legendrepolynome, da man mit deren Hilfe beginnend mit und , die Polynome mit höheren -Werten generieren kann.

Zum Nachweis von (V6) differenziert man die erzeugende Funktion nach und sortiert.

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3.3 Antwort zu H5

Man schreibt zur Abkürzung

und findet für die Ableitung der erzeugenden Funktion

Direkte Sortierung nach Potenzen von

führt auf die Rekursion

bzw. mit der Umbenennung ( ) und Sortierung

(V7) wird durch Differentiation von (V5) und Verwendung von (V6) nachgewiesen.

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3.3 Antwort zu H6

Differenziert man (V5) nach

| (1)

und ersetzt mit der Relation (V6)

so ergibt direktes Sortieren

Auch (V8) gewinnt man durch Ableitung von (V5) und einer Ersetzung mit (V6).

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3.3 Antwort zu H7

Setzt man in der Gleichung

die durch Differentiation von (V5) entstanden ist, aus (V6) ein und sortiert, so erhält man

bzw. mit der Substitution die Relation (V8).

Auch die Rekursion (V9) wird nach dem gleichen Muster gewonnen. Man beginnt mit (V5) und ersetzt mit (V6).

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3.3 Antwort zu H8

Multipliziert man (V7) mit

und ersetzt mit (V8), so findet man

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