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2 Die Formel von Rodriguez.

Setzt man in die Definition

die Formel von Rodriguez für die Legendrepolynome ein, so gewinnt man eine Erweiterung

Man erkennt noch einmal explizit, dass der Index auf den Bereich mit beschränkt ist. Anhand der erweiterten Rodriguezformel wird jedoch auch ein Satz von Funktionen mit negativen -Werten in dem Bereich definiert. Diese Funktionen sind jedoch nicht linear unabhängig von den Funktionen mit positivem , sondern es gilt die Symmetrierelation

Da in der Differentialgleichung auftritt (und nicht ), ist diese Proportionalität verständlich. Der Nachweis kann explizit geführt werden: Führe die Differentiation in der erweiterten Definition mit der Zerlegung aus, rearrangiere die dabei enstehende Summe über die Potenzen von und und fasse zusammen. Anstelle der etwas länglichen Beweisführung wird die Symmetrierelation hier nur durch ein konkretes Beispiel illustriert. Mit der Rodriguezformel berechnet man

und findet in der Tat