### 2 Unbeschränkte Integranden.

Bei uneigentlichen Integralen vom Typ 2 ist der Integrand nicht beschränkt. Das erste Beispiel zu diesem Fall ist

Der Integrand hat ungefähr den in Abb. 1.17 gezeigten Verlauf.

Abbildung 1.17: Die Funktion

Der Integrand ist an der unteren Grenze nicht beschränkt. Auch solche Fälle sind mit einer etwas vorsichtigeren Grenzwertbetrachtung zu behandeln. Für das Beispiel betrachtet man den Grenzwert

und erhält das Ergebnis

Es ist dann zu untersuchen, für welche Werte von der Grenzwert existiert. Es gilt

und es folgt somit:
Für ist das uneigentliche Integral konvergent und hat den (Grenz)wert

Für ist das uneigentliche Integral divergent. Das Ergebnis kann durch einen Vergleich der Funktionen und verdeutlicht werden (siehe Abb. 1.18).

Abbildung 1.18: Vergleich der Integranden und

In dem ersten Fall ist der `Anstieg` der Funktion bei noch flach genug, so dass der Grenzwert endlich ist. In dem zweiten Fall ist der `Anstieg` zu stark.