Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.1

1. Wie lautet die gewöhnliche Differentialgleichung, in die die Poissongleichung im Fall von Kugelsymmetrie der Ladungsverteilung übergeht?
2. Gib die Lösungsstrategie für das Beispiel (i) an.
3. Wie lautet also die Lösung für das Beispiel (i) im Außenbereich?
4. Bestimme die Lösung im Innenbereich.
5. Notiere die gesamte Lösung für das Beispiel (i).
6. Man erkennt, dass das so berechnete Potential für nicht definiert ist. Erläutere diesen Punkt.
7. Diskutiere die Radialabhängigkeit des Potentials, vergleiche diese mit der Radialabhängigkeit des elektrischen Feldes.
8. Berechne die in dem elektrischen Feld gespeicherte Energie auf zwei verschiedene Weisen.
9. Wie ist die Diskrepanz zwischen den Resultaten für die zwei Optionen zur Angabe der Energiedichte des elektrischen Feldes zu erklären?
10. Wie berechnet man das Potential für die Ladungsverteilung

    am geschicktesten?
11. Berechne die allgemeine Lösung der Radialgleichung für .
12. Bestimme die Integrationskonstanten.
13. Unterscheiden sich die Integrationskonstanten wenn man eine Kugel mit endlichem Radius betrachtet?
14. Diskutiere das Gesamtpotential der Ladungsverteilung (ii) und das zugehörige elektrische Feld.
15. Betrachte die Energiedichte und den Energieinhalt des Feldes mit Hilfe der zwei zitierten Formeln.

Werkzeuge

Zurück zur Aufgabenstellung

3.1 Antwort zu H1

Der Laplaceoperator in der Poissongleichung

wird in Kugelkoordinaten dargestellt. Hängt das Potential nur von der Radialkoordinate ab (was aufgrund der Symmetrie für gegeben ist), so reduziert sich diese partielle Differentialgleichung auf die gewöhnliche Differentialgleichung

Gib die Lösungsstrategie für das Beispiel (i) an.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H2

Man bestimmt zunächst die allgemeine Lösung der Poissongleichung in dem Gebiet und der Laplacegleichung für . Da diese Differentialgleichungen hier gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung darstellen, enthält jede der Lösungen zwei Integrationskonstanten. Diese werden folgendermaßen bestimmt:
Wie?
Im Außenbereich benutzt man die Randbedingung für und die Aussage, dass

für jede Kugelfläche mit Radius gelten muss. Die Integrationskonstanten der Lösung im Innenbereich werden über die Anschlussbedingungen
Welche?

- Stetigkeit des Potentials für
- Stetigkeit des Betrags des Feldes (der Normalenableitung des Potentials) für

bestimmt.

Wie lautet also die Lösung für das Beispiel (i) im Außenbereich?

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H3

Aus der Differentialgleichung

erhält man in zwei Schritten durch direkte Integration

Die Randbedingung für erfordert , die Bedingung über die eingeschlossene Ladung . Die eingeschlossene Ladung ist, wie in Aufg. 2.1 berechnet,

Bestimme die Lösung im Innenbereich.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H4

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

kann ebenfalls in zwei direkten Integrationsschritten gewonnen werden:

Die Bedingungen zur Festlegung der Integrationskonstanten

ergeben das einfache, lineare Gleichungssystem

Die zweite Gleichung erfordert , aus der ersten Gleichung folgt dann

Notiere die gesamte Lösung für das Beispiel (i).

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H5

Die Gesamtlösung ist

wobei die in einer Kugel mit Radius eingeschlossene Ladung ist.

Man erkennt, dass das so berechnete Potential für nicht definiert ist. Erläutere diesen Punkt.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H6

Die Ladungsdichte ist für diesen Parameterwert , also singulär im Zentrum der Ladungskugel. Die Schwierigkeit liegt darin, dass die Schritte zur Bestimmung der Lösung im Innenbereich für diesen Fall nicht sorgfältig genug durchgeführt wurden. Nach dem ersten (Integrations-) Schritt findet man einen Term proportional zu

so dass man im zweiten Schritt

erhält. Die Bestimmung der Integrationskonstanten ergibt in diesem Fall

so dass man für das Potential

notieren muss.

Diskutiere die Radialabhängigkeit des Potentials, vergleiche diese mit der Radialabhängigkeit des elektrischen Feldes.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H7

Ist der Parameter , so ist die eingeschlossene Ladung für alle Werte von positiv. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf diese Situation, sie können für negative Werte von A entsprechend umgeschrieben werden. Das Potential fällt im Innenbereich für von einem endlichen Wert

gemäß einem Potenzgesetz bis zu dem Wert ab (siehe Abb. 0.1 mit in beliebigen Einheiten).

Abbildung 0.1: Das elektrische Potential der Ladungsverteilung für verschiedene Werte des Parameters

Der Abfall ist linear für (braune Kurve). An der Stelle schließt sich das Punktladungspotential an. Für (blaue Kurve) steigt das Potential im Innenbereich ab der Stelle logarithmisch an und divergiert an der Stelle . Gilt für den Parameter (schwarze Kurve), so ist das Potential an der Stelle ebenfalls divergent. Der Anstieg folgt jedoch einem Potenzgesetz . Das elektrische Feld, das durch die Funktionen

für alle Werte von beschrieben wird, stimmt (natürlich) mit dem in Aufg. 2.1 berechneten Feld überein. Im Innenbereich divergiert es für , im Außenbereich fällt es mit schneller als das Potential ab.

Berechne die in dem elektrischen Feld gespeicherte Energie auf zwei verschiedene Weisen.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H8

Mögliche Formeln zur Berechnung des Energieinhaltes sind

bzw. im Fall von Kugelsymmetrie

Betrachtet man die zugehörigen radialen Energiedichten, so findet man für

mit

und für

Man stellt fest, dass die beiden Verteilungen durchaus verschieden sind. Die Dichte ist auf das Innere der Ladungskugel konzentriert, die Dichte ist über den gesamten Raum verteilt. Berechnet man auf der anderen Seite den gesamten Energieinhalt, so findet man

Der gesamte Energieinhalt ist gleich groß, obschon die Lokalisierung der Energie grundverschieden ist.

Wie ist die Diskrepanz zwischen den Resultaten für die zwei Optionen zur Angabe der Energiedichte des elektrischen Feldes zu erklären?

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H9

Die beiden Angaben für die Gesamtenergie gehen (siehe Kap. 4.5) durch die Anwendung von Integraltheoremen ineinander über. Dadurch ist garantiert, dass der Wert der Integrale übereinstimmt, nicht aber die jeweiligen Integranden. Die Definition der elektrischen Energiedichte eines elektromagnetischen Feldes ist (wie erst in Kap. 6.4 diskutiert wird) die Form , bzw. deren Erweiterung falls dielektrische Materialien vorhanden sind.

Wie berechnet man das Potential für die Ladungsverteilung

am geschicktesten?

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H10

Man beruft sich auf das Superpositionsprinzip, nach dem für das Potential durch gegeben ist. Das Punktladungspotential kann mit direkt angegeben werden.

Es ist nur noch durch Lösung der Poissongleichung zu bestimmen.

Berechne die allgemeine Lösung der Radialgleichung für .

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H11

Die erste Integration von

ergibt (siehe Integraltafel oder benutzte schrittweise partielle Integration)

Bei dem nächsten Integrationsschritt ist etwas Vorsicht angebracht. Das Integral

definiert die Exponentialintegralfunktion (auch Exponentialintegral genannt). Eine weitere Betrachtung dieser Funktion ist jedoch nicht notwendig. Da das Integral

nach partieller Integration

ergibt, hebt sich das Exponentialintegral heraus. Die weiteren Integrationen sind harmlos und liefern

Bestimme die Integrationskonstanten.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H12

Die Standardrandbedingung für unendlich ferne Punkte erfordert (auch hier) . Die zweite Integrationskonstante wird wieder durch Betrachtung der eingeschlossenen Ladung (hier innerhalb einer Kugel mit unendlich großem Radius ) festgelegt. Die eingeschlossene Ladung ist (siehe Aufg. 2.1)

Mit diesem Resultat findet man wegen

die Aussage . Somit lautet das gesuchte Potential

Unterscheiden sich die Integrationskonstanten wenn man eine Kugel mit endlichem Radius betrachtet?

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H13

Nein! Jede Kugel mit endlichem Radius liefert das gleiche Resultat für das Potential . Für eine Kugel mit Radius ist die eingeschlossene Ladung

das Oberflächenintegral ist

und man erhält somit das gleiche Resultat wie zuvor.

Diskutiere das Gesamtpotential der Ladungsverteilung (ii) und das zugehörige elektrische Feld.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H14

Das Gesamtpotential lautet

Daraus folgt, wie schon in Aufg. 2.1 berechnet, das elektrische Feld

Das Potential zeigt, analog zu dem elektrischen Feld, Punktladungsverhalten am Koordintenursprung (unabhängig von der Größe des Parameters ), der weitere Verlauf wird durch das abgeschirmte Coulombpotential (auch unter dem Namen Yukawapotential bekannt) geprägt (Abb. 0.2). Je kleiner der Parameter ist desto stärker ist die Abschirmung, der entgegengesetzte Grenzfall entspricht dem Coulombpotential.

Abbildung 0.2: Das elektrische Potential des `Wasserstoffproblems` für zwei Werte des Abschirmparameters im Vergleich zum Coulombpotential

Betrachte die Energiedichte und den Energieinhalt des Feldes mit Hilfe der zwei zitierten Formeln.

Zurück zu den Hinweisen

3.1 Antwort zu H15

Der Energieinhalt einer Punktladung z.B. am Koordinatenursprung ist unendlich groß

Aus diesem Grund ist es angemessen, nur den endlichen Anteil der Ladungsverteilung zu betrachten. Die Formeln bzw. ergeben

Wie die Abb. 0.3 (für ) zeigt, sind die radialen Energiedichten und auch im Fall einer kontinuierlichen Ladungsverteilung verschieden.

Abbildung 0.3: Energiedichten für das `Wasserstoffproblem'

Der Gesamtenergieinhalt des Feldes ist hingegen wieder gleich groß

Zurück zu den Hinweisen Zurück zur Aufgabenstellung Zurück zum Inhaltsverzeichnis