## 4 Lineare Differentialgleichung

Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung

kann über das Superpositionsprinzip gewonnen werden28. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung setzt sich aus einer allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammen

Die Lösung der homogenen Differentialgleichung erhält man durch Variablentrennung

oder nach Auflösung und Umbenennung der Integrationskonstanten

Die noch benötigte spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung kann man in einfacheren Fällen mit geeigneten Ansätzen erraten. In der Tabelle sind einige Beispiele aufgeführt, in denen ein einfacher Ansatz mit Koeffizienten, die durch Einsetzen in die Differentialgleichung zu bestimmen sind, zum Ziel führt.

Ist das Erraten eines Ansatzes nicht einfach oder möglich, so hilft die Methode der Variation der Konstanten weiter. Die Methode der Variation der Konstanten nimmt Bezug auf die Lösung der homogenen Differentialgleichung, die man in der Form mit

schreibt. Für die gesuchte spezielle Lösung wird der Ansatz gemacht, der die Bezeichnung `Variation der Konstanten` begründet. Geht man mit diesem Ansatz in die inhomogene Differentialgleichung ein, so findet man

In der eckigen Klammer findet man die homogene Differentialgleichung, der Term entfällt und es verbleibt die Differentialgleichung für die Funktion mit der speziellen Lösung

Die Anwendung der Variation der Konstanten ergibt für die drei einfachen Beispiele das gleiche Resultat für wie zuvor.
Die bis zu diesem Punkt aufgeführten Differentialgleichungen erster Ordnung und ersten Grades gehören zum Rüstzeug der theoretischen Physik. Die Liste der Differentialgleichungen dieses Typs, die analytisch zugänglich sind, kann noch etwas erweitert werden29, zur Diskussion gestellt werden aber in dem nächsten Abschnitt nur einige Aspekte der Differentialgleichungen erster Ordnung und höheren Grades.