Lösung der Aufgabe 5.6

Die Magnetostatik wird bei Anwesenheit von magnetisierter Materie durch die Gleichungen

charakterisiert. Die magnetische Induktion und die magnetische Feldstärke sind durch die Magnetisierung des vorhandenen Materials verknüpft

Aus der mikroskopischen Materialgleichung folgt die Relation

die Quellen der Feldstärke sind durch die Quellen der Magnetisierung bestimmt. Sind keine wahren Ströme in dem Raumgebiet von Interesse vorhanden, so gilt die Aussage

anhand derer man die Feldstärke durch ein magnetisches Skalarpotential darstellen kann

Geht man mit dem Ansatz

in die Gleichung für die Divergenz der Feldstärke ein, so erhält man

eine Poissongleichung zur Bestimmung des magnetischen Skalarpotentials. Eine formale Lösung für den Fall von einfachen Randbedingungen ist (siehe Kap. 3.1)

Für die Divergenz der vorgegebenen konstanten Magnetisierung, z.B.

findet man

Die Divergenz ist nur auf der Oberfläche des Zylinders von Null verschieden. Man kann in den Gebieten und die Lösungen der Laplacegleichung

betrachten, die für in geeigneter Weise zu verknüpfen sind. Die partielle Differentialgleichung (nutze Geometrie)

separiert mit dem Ansatz

in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

Für das vorliegende Problem sind nur die Lösungen

sowie

von Interesse. Um die Randbedingungen an zu erfüllen, muss man als Lösung der partiellen Differentialgleichung

ansetzen. Zur Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten der allgemeinen Lösung dienen die Anschlussbedingungen für :

- Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke
- Stetigkeit der Normalkomponente der magnetischen Induktion die mit und der Magnetisierung durch

  verknüpft ist.

Auswertung dieser Bedingungen liefert

und

Das Endergebnis lautet somit

Für Stellen mit springt die Normalkomponente von um den Betrag Das Außenfeld fällt mit ab.

Hier springt die Tangentialkomponente an den Stellen mit um den Betrag Die Variation der Feldkomponenten (ohne die trigonometrischen Funktionen) wird in Abb. 0.1 und 0.2) gezeigt.

Abbildung 0.1: Variation von und (Radialkomponente) mit

Abbildung 0.2: Variation von und (Winkelkomponente) mit

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