Man legt den Koordinatenursprung am besten in den Aufhängepunkt der
Ladungen (s. Abb. 0.1) und wählt die Horizontale und die
Vertikale als Koordinatenachsen. Die angreifenden Kräfte sind die
Coulombkraft und die Gravitationskraft .
In der Gleichgewichtssituation, charakterisiert durch einen
Auslenkwinkel , entspricht die Summe der angreifenden
Kräfte der Fadenspannung. Die Kraftkomponenten senkrecht zu dem
Faden ()heben sich gegenseitig auf (s. Abb. 0.2)
Abbildung 0.2:
Einstellen der Gleichgewichtssituation
Die gesuchte Beziehung gewinnt man durch Einsetzen der Kraftgesetze
(siehe Kap. 1.2 für die Coulombkraft) und Auflösung nach dem
Winkel
Der Abstand der Ladungen wurde durch die Summe der Auslenkungen
ersetzt.
Eliminiere den Winkel mit Hilfe der
Geometrie
und löse die Gleichung nach der Auslenkung auf.
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<Elektrodynamik und Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
die mit der Formel von Cardano ohne die Reduktion, die im Allgemeinen
notwendig ist, gelöst werden kann. Der Parameter
ist offensichtlich größer als Null. Somit lautet die
einzige reelle Lösung
Der gesuchten Abstand ist
Welche
Näherung
bietet sich für kleine Auslenkungen an?
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2005
Für kleine Auslenkungen, d.h. kleine Winkel , gilt
. Dies ist gleichbedeutend mit
Der vereinfachte Ansatz für das Kräftegleichgewicht lautet dann
bzw.
Dies entspricht der Entwicklung der exakten Lösung mit
Ein Vergleich mit der exakten Lösung
in Abb. 0.4 zeigt die Güte der Näherung (für die in (iv)
angegebenen Parameter im CGS System).
Abbildung 0.4:
Die Auslenkung als Funktion der Fadenlänge : exaktes Resultat
(braun) versus Näherung (blau)
Darstellung des Bereiches
cm
Darstellung des Bereiches
cm
In Abb. 0.4a ist ein Bereich
gezeigt, der die angegebene Fadenlänge von
enthält, in
Abb. 0.4b ist der Bereich für kleinere Werte der Fadenlänge
noch einmal herausgegriffen.
Wie würden sich die Ladungen verhalten, wenn man die
Gravitation ausschalten
könnte? Wie kann man die offensichtliche Antwort 'herleiten'?
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2005
Ohne die Gravitation entfernen sich die Ladungen so
lange voneinander, bis die Coulombkraft die Fäden in der
Horizontalen spannt. Reißen die Fäden nicht, so beträgt
der Abstand (s. Abb. 0.6). Zur Herleitung benutzt man
(1) in der Form
und findet für die Aussage .
Abbildung 0.6:
Einstellung des `Gleichgewichts` beim schrittweisen Abschalten der Gravitation