Hinweise zur Lösung der Aufgabe 1.1
  1. Fertige eine Skizze   mit einem geeigneten Koordinatensystem und den angreifenden Kräften an.
  2. Welche Gleichung beschreibt die Gleichgewichtssituation?  
  3. Eliminiere den Winkel mit Hilfe der Geometrie   und löse die Gleichung nach der Auslenkung auf.
  4. Berechne die Auslenkung   bzw. den Abstand als Funktion der Größen, die die Kräfte bestimmen.
  5. Welche Näherung   bietet sich für kleine Auslenkungen an?
  6. Wie würden sich die Ladungen verhalten, wenn man die Gravitation ausschalten   könnte? Wie kann man die offensichtliche Antwort 'herleiten'?
  7. Berechne die Ladung   aus den Vorgaben


    im SI und im CGS System.



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<Elektrodynamik und Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.    Lüdde     2005






















































1.1 Antwort zu H1



Man legt den Koordinatenursprung am besten in den Aufhängepunkt der Ladungen (s. Abb. 0.1) und wählt die Horizontale und die Vertikale als Koordinatenachsen. Die angreifenden Kräfte sind die Coulombkraft und die Gravitationskraft .
Abbildung 0.1: Kraftsituation

   Welche Gleichung beschreibt die Gleichgewichtssituation?  


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1.1 Antwort zu H2



In der Gleichgewichtssituation, charakterisiert durch einen Auslenkwinkel , entspricht die Summe der angreifenden Kräfte der Fadenspannung. Die Kraftkomponenten senkrecht zu dem Faden ()heben sich gegenseitig auf (s. Abb. 0.2)


Abbildung 0.2: Einstellen der Gleichgewichtssituation
Die gesuchte Beziehung gewinnt man durch Einsetzen der Kraftgesetze (siehe Kap. 1.2 für die Coulombkraft) und Auflösung nach dem Winkel


Der Abstand der Ladungen wurde durch die Summe der Auslenkungen ersetzt.

   Eliminiere den Winkel mit Hilfe der Geometrie   und löse die Gleichung nach der Auslenkung auf.


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1.1 Antwort zu H3



Den Tangens des Winkel kann man auch durch (Abb. 0.3)
Abbildung 0.3: Geometrie des Auslenkwinkels


ausdrücken, so dass die Gleichung
(1)

bzw.


zu lösen ist.

   Berechne die Auslenkung   bzw. den Abstand als Funktion der Größen, die die Kräfte bestimmen.


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1.1 Antwort zu H4



Mit den Substitutionen


erhält man die kubische Gleichung


die mit der Formel von Cardano ohne die Reduktion, die im Allgemeinen notwendig ist, gelöst werden kann. Der Parameter ist offensichtlich größer als Null. Somit lautet die einzige reelle Lösung




Der gesuchten Abstand ist



   Welche Näherung   bietet sich für kleine Auslenkungen an?


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1.1 Antwort zu H5



Für kleine Auslenkungen, d.h. kleine Winkel , gilt . Dies ist gleichbedeutend mit


Der vereinfachte Ansatz für das Kräftegleichgewicht lautet dann


bzw.


Dies entspricht der Entwicklung der exakten Lösung mit


Ein Vergleich mit der exakten Lösung


in Abb. 0.4 zeigt die Güte der Näherung (für die in (iv) angegebenen Parameter im CGS System).

Abbildung 0.4: Die Auslenkung als Funktion der Fadenlänge : exaktes Resultat (braun) versus Näherung (blau)
Darstellung des Bereiches cm
Darstellung des Bereiches cm


In Abb. 0.4a ist ein Bereich gezeigt, der die angegebene Fadenlänge von enthält, in Abb. 0.4b ist der Bereich für kleinere Werte der Fadenlänge noch einmal herausgegriffen.

   Wie würden sich die Ladungen verhalten, wenn man die Gravitation ausschalten   könnte? Wie kann man die offensichtliche Antwort 'herleiten'?


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1.1 Antwort zu H6



Ohne die Gravitation entfernen sich die Ladungen so lange voneinander, bis die Coulombkraft die Fäden in der Horizontalen spannt. Reißen die Fäden nicht, so beträgt der Abstand (s. Abb. 0.6). Zur Herleitung benutzt man (1) in der Form


und findet für die Aussage .
Abbildung 0.6: Einstellung des `Gleichgewichts` beim schrittweisen Abschalten der Gravitation

   Berechne die Ladung   aus den Vorgaben


im SI und im CGS System.


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1.1 Antwort zu H7



Vorgegeben sind


und die Konstanten


sowie


Die Ladung kann mit der exakten Formel (1)


bzw. in Näherung durch


berechnet werden. Das Ergebnis lautet




Das Ergebnis der Näherung weicht nur um 0.043 % von dem exakten Ergebnis ab.


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