Hinweise zur Lösung der Aufgabe 1.2
  1. Wie kann das Gaußtheorem   in geschickter Weise zur Berechnung des Flusses durch die Kreisfläche eingesetzt werden?
  2. Berechne mit dieser Information den elektrischen Fluss.  
  3. Berechne den Fluss durch direkte Integration   über die Kreisfläche unter Verwendung von Polarkoordinaten.
  4. Berechne den elektrischen Fluss   durch die Kreisfläche, der von der zweiten Ladung (Abstand ) erzeugt wird.
  5. Bestimme die Ladung   , die erforderlich ist, damit der Nettofluss durch die Kreisfläche verschwindet.



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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































1.2 Antwort zu H1


Der Fluss einer Ladung , die sich im Abstand auf der Achse einer Kreisfläche befindet, durch diese ebene Fläche ist gemäß dem Gaußtheorem genauso groß wie der Fluss durch eine entsprechende Kugelkalotte mit dem Öffnungswinkel (Abb. 0.1). Dieser Winkel ist durch die Größen und bestimmt.

Abbildung 0.1: Der Fluss durch die Kreisfläche entspricht dem Fluss durch die Kugelkalotte

   Berechne mit dieser Information den elektrischen Fluss.  


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1.2 Antwort zu H2


Der elektrische Fluss durch eine Fläche ist


Das elektrische Feld der Punktladung bezogen auf den Ladungspunkt


ist parallel zu dem entsprechenden infinitesimalen Oberflächenelement einer Kugel bezogen auf den gleichen Punkt (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Infinitesimales Flächenelement und Feld auf der Kalotte


Der Fluss durch die Kugelkalotte ist somit


Die Geometrie ergibt für den Kalottenradius zu


Mit


findet man somit für den Fluss



   Berechne den Fluss durch direkte Integration   über die Kreisfläche unter Verwendung von Polarkoordinaten.


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1.2 Antwort zu H3


Bei der direkten Auswertung ist zu bedenken, dass die Vektoren des elektrischen Feldes und des infinitesimalen Flächenelements nicht parallel sind, sondern einen Winkel einschließen (Abb. 0.3)

Abbildung 0.3: Infinitesimales Flächenelement und Feld auf der Kreisfläche


Benutzt man ebene Polarkoordinaten ( ) in der Ebene der Kreisfläche zur Auswertung des Flächenintegrals, so gilt für den Kosinus des eingeschlossenen Winkels


wobei der Abstand von Ladungspunkt zu Flächenpunkt


ist. Die Auswertung des Flussintegrals beinhaltet dann




Das Radialintegral ist elementar


Mit den Vorgaben


erhält man


und, wie zuvor,


Fazit: 'Nutze die optimalen Methoden' oder 'Denke vor Ausführung einer Rechnung nach'.

   Berechne den elektrischen Fluss   durch die Kreisfläche, der von der zweiten Ladung (Abstand ) erzeugt wird.


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1.2 Antwort zu H4


Für die Ladung auf der Gegenseite gilt ein entsprechendes Argument. Bei Benutzung einer Kugelkalotte (Abb. 0.4) gilt für den Fluss




Abbildung 0.4: Kugelkalotte für die Ladung


Der Kalottenradius ist in diesem Fall


Mit


findet man für den Fluss



   Bestimme die Ladung   , die erforderlich ist, damit der Nettofluss durch die Kreisfläche verschwindet.


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1.2 Antwort zu H5


Der Nettofluss verschwindet, falls ist. Dies ergibt













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