Hinweise zur Lösung der Aufgabe 2.2
  1. Lege ein Koordinatensystem fest und bestimme die Kräfte,   die auf die Ladung wirken.
  2. Diskutiere die Art der Gleichgewichtsposition der zentralen Ladung anhand der potentiellen Energie.  
  3. Berechne die Kraft auf die Ladung und die potentielle Energie der Ladung für den Fall einer Auslenkung senkrecht zu der Dreiecksebene.  
  4. Stelle die Bewegungsgleichung   für eine Bewegung um den Koordinatenursprung unter dem Einfluss der berechneten Kraft auf und gib die Lösung an.
  5. Berechne die Abstände   eines Punktes mit den Koordinaten von den drei Ladungen im Teil (ii) der Aufgabe in kartesischen und Kugelkoordinaten und gib das Potential in diesem Punkt an.
  6. Betrachte das Potential für den Grenzfall,   dass der Abstand gegen Null geht bzw. sehr groß wird.
  7. Berechne und diskutiere den Vektor des entsprechenden elektrischen Feldes   in der Zerlegung in Kugelkoordinaten und in kartesischer Zerlegung.



Werkzeuge




Zurück zur Aufgabenstellung
<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































2.2 Antwort zu H1


Man legt das Koordinatensystem so, dass der Ursprung des Systems mit der Ladung im Zentrum des Dreiecks zusammenfällt und eine der Ladungen auf der -Achse liegt (Abb. 0.1).
Abbildung 0.1: Wahl eines Koordinatensystems
Für die Position der drei Ladungen gilt dann




Für die Kräfte auf die zentrale Ladung gilt


da der Abstand jeder der drei Ladungen von dem Zentrum ist. Für die Vektorsumme der Kräfte folgt




Die Ladung -q befindet sich in einem Gleichgewichtspunkt.

   Diskutiere die Art der Gleichgewichtsposition der zentralen Ladung anhand der potentiellen Energie.  


Zurück zu den Hinweisen

<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































2.2 Antwort zu H2


Um die Frage zu beantworten, ob das Gleichgewicht stabil oder instabil ist, ist es zweckmäßig, das Potential bzw. die potentielle Energie zu betrachten. Für die Gleichgewichtssituation ist das Potential im Koordinatenursprung


bzw. die Lageenergie der zentralen Ladung


Verschiebt man die positive Ladung in die Stelle so sind die Abstände von den Ladungen in den Endpunkten (siehe Abb. 0.2)
Abbildung 0.2: Verschiebung der zentralen Ladung




mit und Entwickelt man die inversen Abstände bis zur zweiten Ordnung in den infinitesimalen Größen, so findet man

Nebenrechnung




Damit erhält man für die Veränderung des Potentials


da sich die Terme in der ersten (und teilweise in der zweiten) Ordnung herausheben. Die zusätzliche potentielle Energie ist somit für alle kleinen Verschiebungen der Ladung aus der Gleichgewichtssituation negativ


Die potentielle Energie nimmt bei allen Verschiebungen in der - Ebene ab (Abb. 0.3).
Abbildung 0.3: Die potentielle Energie der Zentralladung bezogen auf
Der Gleichgewichtspunkt ist labil.

   Berechne die Kraft auf die Ladung und die potentielle Energie der Ladung für den Fall einer Auslenkung senkrecht zu der Dreiecksebene.  


Zurück zu den Hinweisen

<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































2.2 Antwort zu H3


Wird die Ladung in der Richtung senkrecht zu der Dreiecksebene (der -Richtung) ausgelenkt, so gilt für die Abstände


Aus der potentiellen Energie (Abb. 0.4)
Abbildung 0.4: Die potentielle Energie der Zentralladung bezogen auf


berechnet man die -Komponente der Kraft auf die Ladung


bzw. für kleine Auslenkungen aus der Dreiecksebene


Es liegt eine rücktreibende Kraft vor.

   Stelle die Bewegungsgleichung   für eine Bewegung um den Koordinatenursprung unter dem Einfluss der berechneten Kraft auf und gib die Lösung an.


Zurück zu den Hinweisen

<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































2.2 Antwort zu H4


Die Bewegungsgleichung für eine Bewegung in der -Richtung lautet


Dies ist eine Oszillatorgleichung mit der (allgemeinen) Lösung


Die Kreisfrequenz ist


Daraus ergibt sich für die Periode der Schwingung



   Berechne die Abstände   eines Punktes mit den Koordinaten von den drei Ladungen im Teil (ii) der Aufgabe in kartesischen und Kugelkoordinaten und gib das Potential in diesem Punkt an.


Zurück zu den Hinweisen

<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































2.2 Antwort zu H5


Die Abstände eines Punktes mit den Koordinaten von den drei Ladungen sind




Die Abstände kann man durch die Größen (Abstand vom Ursprung) und (Polarwinkel) darstellen (Abb. 0.5).
Abbildung 0.5: Geometrie des gestreckten Quadrupols
Einfache Manipulation ergibt




Das Potential ist


Äquipotentiallinien sind in Abb. 0.6 angedeutet.
Abbildung 0.6: Äquipotentiallinien des gestreckten Quadrupols

   Betrachte das Potential für den Grenzfall,   dass der Abstand gegen Null geht bzw. sehr groß wird.


Zurück zu den Hinweisen

<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































2.2 Antwort zu H6


Falls der Abstand gegen Null geht oder sehr groß wird, kann man die inversen Abstände und mittels der binomischen Formel entwickeln (bis zu der Ordnung )




und erhält für das Potential




Das exakte Resultat für das Potential und die Näherung für werden in Abb. 0.8 für und verglichen. Offensichtlich ist die Näherung für nicht ausreichend, für hingegen schon.
Abbildung 0.7: Das Potential des gestreckten Quadrupols als Funktion von , exakt (blau), Näherung (rot)
Abbildung 0.8: Das Potential des gestreckten Quadrupols als Funktion von , exakt (blau), Näherung (rot)

   Berechne und diskutiere den Vektor des entsprechenden elektrischen Feldes   in der Zerlegung in Kugelkoordinaten und in kartesischer Zerlegung.


Zurück zu den Hinweisen

<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































2.2 Antwort zu H7


Das entsprechende elektrische Feld bei einer Zerlegung in Kugelkoordinaten ist




Es ist (infolge der Zylindersymmetrie) unabhängig von dem Azimutalwinkel . Mit




erhält man die kartesische Zerlegung (Faktoren in Kugelkoordinaten)




Die Kombination gibt die Zylindersymmetrie wieder. Eine Andeutung der Feldverteilung zeigt die Abb. 0.9 für Punkte auf einem Kreis um den Ursprung in der - Ebene.
Abbildung 0.9: Vektoren des Fernfeldes des gestreckten Quadrupols


Zurück zu den Hinweisen              Zurück zur Aufgabenstellung              Zurück zum Inhaltsverzeichnis

<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































Cora Luedde
2004-12-09