Lösung der Aufgabe 2.2
(i) Die zentrale Ladung 
befindet sich im Gleichgewicht, denn man
berechnet, dass die Kraft auf diese Ladung verschwindet. Da die
potentielle Energie für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage
in der 
-
Ebene die Form
hat, ist das Gleichgewicht instabil. Für Auslenkungen aus der
Gleichgewichtslage in die 
-Richtung findet man
Die beiden potentiellen Energien zeigt die Abb. 0.1.
Abbildung 0.1:
Potentielle Energie der Zentralladung für kleine Auslenkungen
aus der Gleichgewichtslage
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Die Diskussion der Bewegungsgleichung in diesem Potential
einer harmonischen Oszillatorgleichung, ergibt für die Periode der
Schwingung
(ii) Das Potential des gestreckten Quadrupols ist (Superpositionsprinzip)
in kartesischen Koordinaten
bzw. in Kugelkoordinaten
Äquipotentiallinien sind in Abb. 0.2 angedeutet.
Abbildung 0.2:
Äquipotentiallinien des gestreckten Quadrupols
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Im Grenzfall 
erhält man
Das exakte Potential und die Näherung werden in Abb. 0.3
für 
und 
verglichen.
Abbildung 0.3:
Das Potential des gestreckten Quadrupols als Funktion von 
,
exakt (blau), Näherung (rot)
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Das elektrische Feld ist in diesem Grenzfall in der Zerlegung in
Kugelkoordinaten
bzw. bei Zerlegung in kartesischen Koordinaten (Faktoren in Kugelkoordinaten)
Die Feldvektoren auf einem Kreis um den Ursprung in der -
Ebene
sind in Abb 0.4 angedeutet.
Abbildung 0.4:
Vektoren des Fernfeldes des gestreckten Quadrupols
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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
