Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.1
  1. Wie lautet die gewöhnliche Differentialgleichung,   in die die Poissongleichung im Fall von Kugelsymmetrie der Ladungsverteilung übergeht?
  2. Gib die Lösungsstrategie   für das Beispiel (i) an.
  3. Wie lautet also die Lösung für das Beispiel (i) im Außenbereich?  
  4. Bestimme die Lösung im Innenbereich.  
  5. Notiere die gesamte Lösung   für das Beispiel (i).
  6. Man erkennt, dass das so berechnete Potential   für nicht definiert ist. Erläutere diesen Punkt.
  7. Diskutiere die Radialabhängigkeit   des Potentials, vergleiche diese mit der Radialabhängigkeit des elektrischen Feldes.
  8. Berechne die in dem elektrischen Feld gespeicherte Energie   auf zwei verschiedene Weisen.
  9. Wie ist die Diskrepanz   zwischen den Resultaten für die zwei Optionen zur Angabe der Energiedichte des elektrischen Feldes zu erklären?
  10. Wie berechnet man das Potential   für die Ladungsverteilung


    am geschicktesten?
  11. Berechne die allgemeine Lösung   der Radialgleichung für .
  12. Bestimme die Integrationskonstanten.  
  13. Unterscheiden   sich die Integrationskonstanten wenn man eine Kugel mit endlichem Radius betrachtet?
  14. Diskutiere das Gesamtpotential   der Ladungsverteilung (ii) und das zugehörige elektrische Feld.
  15. Betrachte die Energiedichte und den Energieinhalt   des Feldes mit Hilfe der zwei zitierten Formeln.



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3.1 Antwort zu H1


Der Laplaceoperator in der Poissongleichung


wird in Kugelkoordinaten dargestellt. Hängt das Potential nur von der Radialkoordinate ab (was aufgrund der Symmetrie für gegeben ist), so reduziert sich diese partielle Differentialgleichung auf die gewöhnliche Differentialgleichung



   Gib die Lösungsstrategie   für das Beispiel (i) an.


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3.1 Antwort zu H2


Man bestimmt zunächst die allgemeine Lösung der Poissongleichung in dem Gebiet und der Laplacegleichung für . Da diese Differentialgleichungen hier gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung darstellen, enthält jede der Lösungen zwei Integrationskonstanten. Diese werden folgendermaßen bestimmt:





Wie?








































Im Außenbereich benutzt man die Randbedingung für und die Aussage, dass


für jede Kugelfläche mit Radius gelten muss. Die Integrationskonstanten der Lösung im Innenbereich werden über die Anschlussbedingungen





Welche?








































bestimmt.

   Wie lautet also die Lösung für das Beispiel (i) im Außenbereich?  


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3.1 Antwort zu H3


Aus der Differentialgleichung


erhält man in zwei Schritten durch direkte Integration


Die Randbedingung für erfordert , die Bedingung über die eingeschlossene Ladung . Die eingeschlossene Ladung ist, wie in Aufg. 2.1 berechnet,



   Bestimme die Lösung im Innenbereich.  


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3.1 Antwort zu H4


Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung


kann ebenfalls in zwei direkten Integrationsschritten gewonnen werden:




Die Bedingungen zur Festlegung der Integrationskonstanten


ergeben das einfache, lineare Gleichungssystem




Die zweite Gleichung erfordert , aus der ersten Gleichung folgt dann



   Notiere die gesamte Lösung   für das Beispiel (i).


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3.1 Antwort zu H5


Die Gesamtlösung ist




wobei die in einer Kugel mit Radius eingeschlossene Ladung ist.

   Man erkennt, dass das so berechnete Potential   für nicht definiert ist. Erläutere diesen Punkt.


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3.1 Antwort zu H6


Die Ladungsdichte ist für diesen Parameterwert , also singulär im Zentrum der Ladungskugel. Die Schwierigkeit liegt darin, dass die Schritte zur Bestimmung der Lösung im Innenbereich für diesen Fall nicht sorgfältig genug durchgeführt wurden. Nach dem ersten (Integrations-) Schritt findet man einen Term proportional zu


so dass man im zweiten Schritt


erhält. Die Bestimmung der Integrationskonstanten ergibt in diesem Fall


so dass man für das Potential


notieren muss.

   Diskutiere die Radialabhängigkeit   des Potentials, vergleiche diese mit der Radialabhängigkeit des elektrischen Feldes.


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3.1 Antwort zu H7


Ist der Parameter , so ist die eingeschlossene Ladung für alle Werte von positiv. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf diese Situation, sie können für negative Werte von A entsprechend umgeschrieben werden. Das Potential fällt im Innenbereich für von einem endlichen Wert


gemäß einem Potenzgesetz bis zu dem Wert ab (siehe Abb. 0.1 mit in beliebigen Einheiten).

Abbildung 0.1: Das elektrische Potential der Ladungsverteilung für verschiedene Werte des Parameters


Der Abfall ist linear für (braune Kurve). An der Stelle schließt sich das Punktladungspotential an. Für (blaue Kurve) steigt das Potential im Innenbereich ab der Stelle logarithmisch an und divergiert an der Stelle . Gilt für den Parameter (schwarze Kurve), so ist das Potential an der Stelle ebenfalls divergent. Der Anstieg folgt jedoch einem Potenzgesetz . Das elektrische Feld, das durch die Funktionen


für alle Werte von beschrieben wird, stimmt (natürlich) mit dem in Aufg. 2.1 berechneten Feld überein. Im Innenbereich divergiert es für , im Außenbereich fällt es mit schneller als das Potential ab.

   Berechne die in dem elektrischen Feld gespeicherte Energie   auf zwei verschiedene Weisen.


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3.1 Antwort zu H8


Mögliche Formeln zur Berechnung des Energieinhaltes sind


bzw. im Fall von Kugelsymmetrie


Betrachtet man die zugehörigen radialen Energiedichten, so findet man für


mit


und für


Man stellt fest, dass die beiden Verteilungen durchaus verschieden sind. Die Dichte ist auf das Innere der Ladungskugel konzentriert, die Dichte ist über den gesamten Raum verteilt. Berechnet man auf der anderen Seite den gesamten Energieinhalt, so findet man




Der gesamte Energieinhalt ist gleich groß, obschon die Lokalisierung der Energie grundverschieden ist.

   Wie ist die Diskrepanz   zwischen den Resultaten für die zwei Optionen zur Angabe der Energiedichte des elektrischen Feldes zu erklären?


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3.1 Antwort zu H9


Die beiden Angaben für die Gesamtenergie gehen (siehe Kap. 4.5) durch die Anwendung von Integraltheoremen ineinander über. Dadurch ist garantiert, dass der Wert der Integrale übereinstimmt, nicht aber die jeweiligen Integranden. Die Definition der elektrischen Energiedichte eines elektromagnetischen Feldes ist (wie erst in Kap. 6.4 diskutiert wird) die Form , bzw. deren Erweiterung falls dielektrische Materialien vorhanden sind.

   Wie berechnet man das Potential   für die Ladungsverteilung


am geschicktesten?


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3.1 Antwort zu H10


Man beruft sich auf das Superpositionsprinzip, nach dem für das Potential durch gegeben ist. Das Punktladungspotential kann mit direkt angegeben werden.

Nebenrechnung
Es ist nur noch durch Lösung der Poissongleichung zu bestimmen.

   Berechne die allgemeine Lösung   der Radialgleichung für .


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3.1 Antwort zu H11


Die erste Integration von


ergibt (siehe Integraltafel oder benutzte schrittweise partielle Integration)


Bei dem nächsten Integrationsschritt ist etwas Vorsicht angebracht. Das Integral


definiert die Exponentialintegralfunktion (auch Exponentialintegral genannt). Eine weitere Betrachtung dieser Funktion ist jedoch nicht notwendig. Da das Integral


nach partieller Integration


ergibt, hebt sich das Exponentialintegral heraus. Die weiteren Integrationen sind harmlos und liefern



   Bestimme die Integrationskonstanten.  


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3.1 Antwort zu H12


Die Standardrandbedingung für unendlich ferne Punkte erfordert (auch hier) . Die zweite Integrationskonstante wird wieder durch Betrachtung der eingeschlossenen Ladung (hier innerhalb einer Kugel mit unendlich großem Radius ) festgelegt. Die eingeschlossene Ladung ist (siehe Aufg. 2.1)


Mit diesem Resultat findet man wegen


die Aussage . Somit lautet das gesuchte Potential



   Unterscheiden   sich die Integrationskonstanten wenn man eine Kugel mit endlichem Radius betrachtet?


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3.1 Antwort zu H13


Nein! Jede Kugel mit endlichem Radius liefert das gleiche Resultat für das Potential . Für eine Kugel mit Radius ist die eingeschlossene Ladung




das Oberflächenintegral ist


und man erhält somit das gleiche Resultat wie zuvor.

   Diskutiere das Gesamtpotential   der Ladungsverteilung (ii) und das zugehörige elektrische Feld.


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3.1 Antwort zu H14


Das Gesamtpotential lautet


Daraus folgt, wie schon in Aufg. 2.1 berechnet, das elektrische Feld


Das Potential zeigt, analog zu dem elektrischen Feld, Punktladungsverhalten am Koordintenursprung (unabhängig von der Größe des Parameters ), der weitere Verlauf wird durch das abgeschirmte Coulombpotential (auch unter dem Namen Yukawapotential bekannt) geprägt (Abb. 0.2). Je kleiner der Parameter ist desto stärker ist die Abschirmung, der entgegengesetzte Grenzfall entspricht dem Coulombpotential.

Abbildung 0.2: Das elektrische Potential des `Wasserstoffproblems` für zwei Werte des Abschirmparameters im Vergleich zum Coulombpotential



   Betrachte die Energiedichte und den Energieinhalt   des Feldes mit Hilfe der zwei zitierten Formeln.


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3.1 Antwort zu H15


Der Energieinhalt einer Punktladung z.B. am Koordinatenursprung ist unendlich groß


Aus diesem Grund ist es angemessen, nur den endlichen Anteil der Ladungsverteilung zu betrachten. Die Formeln bzw. ergeben




Wie die Abb. 0.3 (für ) zeigt, sind die radialen Energiedichten und auch im Fall einer kontinuierlichen Ladungsverteilung verschieden.

Abbildung 0.3: Energiedichten für das `Wasserstoffproblem'


Der Gesamtenergieinhalt des Feldes ist hingegen wieder gleich groß




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