Lösung der Aufgabe 3.1
Die Poissongleichung für ein kugelsymmetrisches Potential ergibt im
Fall der Aufgabe (i) die Teillösungen
Die in einer Kugel mit Radius 
eingeschlossene Ladung ist (siehe
Aufg. 2.1)
Zur Bestimmung der Lösung im Außenraum benutzt man die Bedingungen
in Innenraum wird die Lösung mittels
angeschlossen. Vorsicht ist bei dem Parameter 
geboten,
für den die Lösung im Innenraum
lautet. Das Gesamtpotential ist in Abb. 0.1 für einen
repräsentativen Satz von Parametern 
gezeigt. Die daraus
berechneten radialen elektrischen Felder stimmen mit den Ergebnissen von
Aufg. 2.1 überein.
Abbildung 0.1:
Das elektrische Potential der Ladungsverteilung
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Die zwei möglichen Vorgaben für die radiale Energiedichte
sind offensichtlich verschieden, da die Ladungsdichte für 
verschwindet, das elektrische Feld jedoch nicht. Sie führen aber
auf die gleiche Gesamtenergie, die in dem Feld enthalten ist
Die Lösung der Poissongleichung für die Ladungsverteilung
die neben der Punktladung im Ursprung in der Teilaufgabe (ii) vorgegeben
ist, liefert mit den Bedingungen
das Resultat
Die zur Gewinnung dieses Resultats benötigte (in einer Kugel vom Radius
) eingeschlossene Ladung berechnet sich zu
Die durch den Parameter 
geprägte Abschirmung des Gesamtpotentials
im Vergleich zu dem Coulombpotential (das
entspricht) zeigt Abb. 0.2.
Abbildung 0.2:
Das elektrische Potential des `Wasserstoffproblems`
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Berechnet man den Gradienten des Potentials, so findet man das
schon in Aufg. 2.1 gewonnene Ergebnis
Die radialen Energiedichten sind auch für die jetzt vorliegende
kontinuierliche Ladungsverteilung verschieden (Abb. 0.3)
Abbildung 0.3:
Energiedichten für das `Wasserstoffproblems`
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doch ergeben auch sie die gleiche Gesamtenergie
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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
