3.1 Berechnung des elektrischen Potentials von kugelsymmetrischen
Ladungsverteilungen mit der Poissongleichung
Die Poisson/Laplacegleichung ist die zentrale Differentialgleichung zur
Berechnung von elektrischen Potentialen. Die einfachst mögliche
Situation liegt vor, wenn die Ladungsverteilungen kugelsymmetrisch sind
und einfache Randbedingungen
vorgegeben sind.
Es ist dann nur eine gewöhnliche Differentialgleichung zu diskutieren.
Die in Aufg. 2.1 vorgegebenen Ladungsverteilungen ermöglichen die
Diskussion des Lösungsmusters für die zwei Grundtypen:
- Die Ladungsverteilung
ist auf den Innenbereich einer
Kugel mit dem Radius 
beschränkt.
- Die Ladungsverteilung ist in dem Bereich
definiert und von Null verschieden (wobei jedoch die
Gesamtladung endlich sein muss).
Aufgabenstellung
Berechne das elektrische Potential der kugelsymmetrischen Ladungsverteilungen
aus Aufg. 2.1 mit den einfachen Randbedingungen
für
Diskutiere die Radialabhängigkeit der Potentiale und die
Abhängigkeit von den auftretenden Parametern. Bestimme zum Vergleich
die zugehörigen elektrischen Felder über die Potentiale und berechne
die Feldenergiedichte und die gesamte Feldenergie auf zwei verschiedenen
Wegen. Die vorgegebenen Ladungsverteilungen sind:
- (i)
- Die auf ein Raumgebiet beschränkte
Ladungsverteilung
Welche Einschränkung gilt für den Parameter 
?
- (ii)
- Die im gesamten Raum verteilte Ladungsdichte
In beiden Fällen ist ein Vergleich mit den Resultaten und
Schlußfolgerungen in Aufg. 2.1 angesagt.
Werkzeuge:
Unbestimmte Integrale:
Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
Aufruf
der Lösung
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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
