Hilfestellung zu Aufgabe 3.2

Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.2
  1. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und setze die Multipolentwicklung   für das Potential an.
  2. Entwickle   das Ringpotential auf der Achse nach Potenzen von für und nach Potenzen von für .
  3. Vergleiche   die Entwicklungen des Achsenpotentials für und mit der Multipolentwicklung für und bestimme die Multipolkoeffizienten.
  4. Kann man dem Ergebnis weitere Symmetrieaussagen   entnehmen?
  5. Eine numerische Auswertung   der Entwicklungen für Punkte auf der -Achse ergibt das in Abb. 0.1 gezeigte Resultat.


    Abbildung 0.1: Das Multipolpotential des Kreisrings entlang der -Achse in willkürlichen Einheiten. Zum Vergleich ist auch das exakte Potential (rot) gezeigt.


    Sowohl das Potential als auch der Abstand sind in willkürlichen Einheiten aufgetragen. Der Radius des Kreisrings entspricht  Längeneinheiten. Der maximale -Wert ist . Diskutiere dieses Ergebnis.
  6. Die Abb. 0.2

    Abbildung 0.2: Multipolentwicklung des Ringpotentials für als Funktion von . Rote Vergleichskurve: ,


    zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang einer Geraden, die einen Winkel   von ca. mit der -Achse einschließt. Diskutiere dieses Ergebnis.
  7. Die Abb. 0.3

    Abbildung 0.3: Ringpotential wie zuvor als Funktion von für zwei Werte von


    zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang Geraden, die einen Winkel von   ca bzw. mit der -Achse einschließen. Diskutiere auch diese Ergebnisse.



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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































3.2 Antwort zu H1


Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die -Achse mit der Ringachse übereinstimmt (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Potential eines Kreisrings: Ansicht


Für beliebige Raumpunkte kann man infolge der Zylindersymmetrie des Problems die Multipolentwicklung () in der Form


ansetzen.

   Entwickle   das Ringpotential auf der Achse nach Potenzen von für und nach Potenzen von für .


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3.2 Antwort zu H2


In Kap. 2.4 wurde das Potential des Ringes auf der Achse berechnet (man könnte es auch hier noch einmal in einfacher Weise berechnen). Das Ergebnis lautet


Für Punkte auf der Achse mit (Abb. 0.5) lautet die binomische Entwicklung der inversen Wurzelfunktion




Es treten nur gerade Potenzen von auf.

Abbildung 0.5: Potential eines Kreisrings: Querschnitt


Für Punkte auf der Achse mit gilt




Hier treten nur ungerade Potenzen von auf.

   Vergleiche   die Entwicklungen des Achsenpotentials für und mit der Multipolentwicklung für und bestimme die Multipolkoeffizienten.


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3.2 Antwort zu H3


Für Punkte auf der Ringachse gilt wegen und , sowie die Multipolentwicklung


Zur Bestimmung der Koeffizienten und vergleicht man die Entwicklung des Achsenpotentials mit der Multipolentwicklung. Für Punkte mit liefert der Vergleich mit




die Aussage: Alle Koeffizienten verschwinden ebenso wie die Koeffizienten mit ungeraden Werten von




Die von Null verschiedenen Koeffizienten sind




Die Multipolentwicklung des Ringpotentials für Punkte mit lautet demnach




Für Punkte auf der Achse mit ist




Der Vergleich mit der Multipolentwicklung ergibt in diesem Fall: Alle Koeffizienten und alle Koeffizienten mit ungeradem Index verschwinden




Die von Null verschiedenen Koeffizienten sind




Die Multipolentwicklung des Ringpotentials für Punkte mit lautet




Die Multipolentwicklungen in den beiden Raumgebieten schließen für stetig aneinander an. Dabei ist jedoch zu beachten (siehe Kap. 2.4), dass die Entwicklung für und (das heißt Punkte auf dem geladenen Ring) divergiert.

   Kann man dem Ergebnis weitere Symmetrieaussagen   entnehmen?


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3.2 Antwort zu H4


Für die Legendreschen Polynome gilt


Die Tatsache, dass in der Multipolentwicklung nur Legendrepolynome mit geradem auftreten, zeigt an, dass das Potential symmetrisch bezüglich der Ringebene (hier der - Ebene) ist.

   Eine numerische Auswertung   der Entwicklungen für Punkte auf der -Achse ergibt das in Abb. 0.6 gezeigte Resultat.

Abbildung 0.6: Das Multipolpotential des Kreisrings entlang der -Achse in willkürlichen Einheiten. Zum Vergleich ist auch das exakte Potential (rot) gezeigt.


Sowohl das Potential als auch der Abstand sind in willkürlichen Einheiten aufgetragen. Der Radius des Kreisrings entspricht Längeneinheiten. Der maximale -Wert ist . Diskutiere dieses Ergebnis.


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3.2 Antwort zu H5


Man beobachtet eine Abweichung von dem exakten Resultat um . Die Abb. 0.7 zeigt, dass diese Abweichung auch mit nicht korrigiert wird.

Abbildung 0.7: Das Achsenpotential wie in 0.6 jedoch mit


Das Problem liegt darin, dass man versucht die binomischen Entwicklung von


für auszuwerten. Der Konvergenzradius der binomischen Reihe ist jedoch Das Konvergenzverhalten der Entwicklungen mit ist in Abb 0.8 angedeutet.
Abbildung 0.8: Konvergenz der Entwicklungen entlang der -Achse für wachsende Werte von ANI an32-1.gif

   Die Abb. 0.9
Abbildung 0.9: Multipolentwicklung des Ringpotentials für als Funktion von . Rote Vergleichskurve: ,


zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang einer Geraden, die einen Winkel   von ca. mit der -Achse einschließt. Diskutiere dieses Ergebnis.


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3.2 Antwort zu H6


In diesem Fall werden die Terme der binomischen Reihen für und mit Faktoren , die kleiner als sind, multipliziert. Das Konvergenzproblem für entfällt aus diesem Grund.

   Die Abb. 0.10

Abbildung 0.10: Ringpotential wie zuvor als Funktion von für zwei Werte von


zeigt die Darstellung des Ringpotentials entlang Geraden, die einen Winkel von   ca bzw. mit der -Achse einschließen. Diskutiere auch diese Ergebnisse.


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3.2 Antwort zu H7


Das Maximum für im Fall von geht in eine echte Singularität des Potentials für Punkte in der - Ebene () über. Das Potential ist singulär, da an Stellen der - Ebene mit Ladungselemente vorhanden sind.




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