Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.3
  1. Verwende die erweiterte Rodriguesformel und bilde die Ableitung,   um (V1) zu erhalten.
  2. Um (V2) zu beweisen, schreibt man die rechte Seite mit der Formel von Rodrigues für die Legendre Polynome aus, differenziert explizit in dem zweiten Term   und fasst zusammen.
  3. Man benötigt eine Relation zwischen der Ableitung der rechten Seite und dem Integranden. Also bildet man die Ableitung von


    und sortiert. Mit der somit hergeleiteten Relation können die Integrale (V3) und (V4)   berechnet werden.
  4. Zum Nachweis von (V5) differenziert man die erzeugende Funktion


    nach sortiert und vergleicht die Koeffizienten   von auf beiden Seiten.
  5. Zum Nachweis von (V6) differenziert man die erzeugende Funktion nach und sortiert.  
  6. (V7) wird durch Differentiation   von (V5) und Verwendung von (V6) nachgewiesen.
  7. Auch (V8) gewinnt man durch Ableitung   von (V5) und einer Ersetzung mit (V6).
  8. Auch die Rekursion (V9) wird nach dem gleichen Muster gewonnen. Man beginnt mit (V5) und ersetzt   mit (V6).



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3.3 Antwort zu H1


Die erweiterte Rodriguesformel lautet für


Bildet man die Ableitung




und fasst mit den Rodriguesformeln wieder zusammen, so gewinnt man



   Um (V2) zu beweisen, schreibt man die rechte Seite mit der Formel von Rodrigues für die Legendre Polynome aus, differenziert explizit in dem zweiten Term   und fasst zusammen.


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3.3 Antwort zu H2


Die rechte Seite von (V2) lautet


bzw. bei Benutzung von





Es werden nun zwei der Differentiationen in dem zweiten Term explizit ausgeführt




und die rechten Seite wieder zusammengefasst





   Man benötigt eine Relation zwischen der Ableitung der rechten Seite und dem Integranden. Also bildet man die Ableitung von


und sortiert. Mit der somit hergeleiteten Relation können die Integrale (V3) und (V4)   berechnet werden.


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3.3 Antwort zu H3


Die Ableitung ergibt




Mit (V1) erhält man




und somit


Diese Relation kann man auch direkt durch Vergleich der Rodriguesformeln gewonnen werden. Die Auswertung der Integrale


erfordert dann lediglich das Einsetzen der Grenzen mit dem Resultat




Die Summe der beiden Integrale


entspricht der Orthogonalitätsrelation der einfachen Legendrepolynome



   Zum Nachweis von (V5) differenziert man die erzeugende Funktion


nach sortiert und vergleicht die Koeffizienten   von auf beiden Seiten.


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3.3 Antwort zu H4


Differenziert man die erzeugende Funktion nach


sortiert


und vergleicht die Koeffizienten von auf beiden Seiten dieser Gleichung




so erhält man


Die Relation (V5) ist eine der nützlichsten Rekursionsformeln für die Legendrepolynome, da man mit deren Hilfe beginnend mit und , die Polynome mit höheren -Werten generieren kann.

   Zum Nachweis von (V6) differenziert man die erzeugende Funktion nach und sortiert.  


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3.3 Antwort zu H5


Man schreibt zur Abkürzung


und findet für die Ableitung der erzeugenden Funktion


Direkte Sortierung nach Potenzen von


führt auf die Rekursion




bzw. mit der Umbenennung ( ) und Sortierung





   (V7) wird durch Differentiation   von (V5) und Verwendung von (V6) nachgewiesen.


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3.3 Antwort zu H6


Differenziert man (V5) nach
(1)

und ersetzt mit der Relation (V6)


so ergibt direktes Sortieren



   Auch (V8) gewinnt man durch Ableitung   von (V5) und einer Ersetzung mit (V6).


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3.3 Antwort zu H7


Setzt man in der Gleichung


die durch Differentiation von (V5) entstanden ist, aus (V6) ein und sortiert, so erhält man


bzw. mit der Substitution die Relation (V8).

   Auch die Rekursion (V9) wird nach dem gleichen Muster gewonnen. Man beginnt mit (V5) und ersetzt   mit (V6).


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3.3 Antwort zu H8


Multipliziert man (V7) mit


und ersetzt mit (V8), so findet man




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Cora Luedde
2004-12-23