Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.4
  1. Die Koordinatenflächen, auf denen je eine der Koordinaten konstant ist, bestimmt man durch geeignete Kombination   der kartesischen Koordinaten. Wie können z.B. die Größen und eliminiert werden, um die Koordinatenfläche für zu gewinnen?
  2. Welche Fläche   beschreibt die Gleichung, die in H1 gewonnen wurde? Skizziere sie.
  3. Eliminiere   die Größen und und beschreibe die Koordinatenflächen für die Variable .
  4. Stelle die Gleichung   für die letzte Koordinatenfläche auf und beschreibe sie.
  5. Wie berechnet man die angegebenen Differentialoperatoren?  
  6. Berechne die benötigten Ableitungen   und daraus die metrischen Koeffizienten.
  7. Setze die Differentialoperatoren   zusammen.
  8. Anstelle der Koordinaten und kann man auch die Koordinaten und benutzen, die durch die Substitution


    definiert sind. Bestimme wie oben die metrischen Koeffizienten und die Differentialoperatoren.  



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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung>  R.  Dreizler C.  Lüdde     2005






















































3.4 Antwort zu H1


Addiere die Quadrate von und und ersetze mit Hilfe der Gleichung für Ausgehend von




findet man


Die gesuchten Flächen werden somit durch die Gleichung


beschrieben.

   Welche Fläche   beschreibt die hier gewonnene Gleichung? Skizziere sie.


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3.4 Antwort zu H2


Diese Fläche stellt für jeden Wert von ein abgeplattetes Rotationsellipsoid um die -Achse (Abb. 0.1) mit den Halbachsen


dar.

Abbildung 0.1: Das abgeplattete Rotationsellipsoid



   Eliminiere   die Größen und und beschreibe die Koordinatenflächen für die Variable .


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3.4 Antwort zu H3


Addiere die Quadrate von und wie zuvor und ersetze nun mit Hilfe der Gleichung für Für einen -Wert findet man


Diese Fläche ist ein einschaliges Rotationshyperboloid (Abb. 0.2) um die -Achse mit den Halbachsen




Abbildung 0.2: Das Rotationshyperboloid



   Stelle die Gleichung   für die letzte Koordinatenfläche auf und beschreibe sie.


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3.4 Antwort zu H4


Bilde den Quotienten aus und und erhalte für


eine Gleichung, die für jedes eine Halbebene (Abb. 0.3) beschreibt.

Abbildung 0.3: Die Halbebene const.


Alle drei Koordinatenflächen sind in Abb. 0.4 dargestellt.

Abbildung 0.4: Die drei Koordinatenflächen für oblat elliptische Koordinaten



   Wie berechnet man die angegebenen Differentialoperatoren?  


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3.4 Antwort zu H5


Um die infinitesimalen Abstände entlang den Achsen in den krummlinigen Koordinaten anzugeben, benötigt man die metrischen Koeffizienten. Diese gewinnt man aus den Ableitungen der kartesischen nach den krummlinigen Koordinaten. Mit Hilfe dieser infinitesimalen Größen kann man infinitesimale Flächen und Volumina und letztlich die geforderten Differentialoperatoren angeben.

   Berechne die benötigten Ableitungen   und daraus die metrischen Koeffizienten.


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3.4 Antwort zu H6


Mit der Festlegung


ist




und somit


Entsprechend folgt aus




der Koeffizient


sowie




und





   Setze die Differentialoperatoren   zusammen.


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3.4 Antwort zu H7


Die gesuchten Differentialoperatoren können mit Hilfe der direkt angegeben werden. Es ist





   Anstelle der Koordinaten und kann man auch die Koordinaten und benutzen, die durch die Substitution


definiert sind. Bestimme wie oben die metrischen Koeffizienten und die Differentialoperatoren.  


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3.4 Antwort zu H8


Es gilt dann




mit etwas deutlicherer Anlehnung an die Kugelkoordinaten. Die Definitionsbereiche und entsprechen den Wertebereichen für und Die zur Berechnung der metrischen Koeffizienten benötigten Ableitungen sind ( )




Der zugehörige metrische Koeffizient ist




Weiterhin ist




und




sowie




und




Damit erhält man auch


Bei einer direkten Umrechnung der -Koordinaten in die -Koordinaten bzw. umgekehrt wäre zu beachten , dass z.B.


bzw.


(und entsprechend für und ) zu benutzen ist. Die Berechnung der Differentialoperatoren ist wieder eine Fleißaufgabe (siehe z.B. P. Moon, D. Eberle: `Field Theory Handbook` (Springer Verlag, Heidelberg, 1961))


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