3.4 Handwerkliche Übung: Krummlinige Koordinaten
In den Aufgaben (3.6) bis (3.8) wird von elliptischen Koordinaten
(mit der genauen Bezeichnung prolat und oblat spheroidale Koordinaten
oder elliptische Koordinaten für ein gestrecktes bzw. abgeplattetes
Rotationsellipsoid) Gebrauch gemacht. Die generelle Diskussion von
Differentialoperatoren in orthogonalen, krummlinigen Koordinaten wird in
Math.Kap. 5.2 vorgestellt. Hier sind speziell die oblat elliptischen
Koordinaten zu betrachten. Die Aufgabe verlangt eher mathematische
Zähigkeit als mathematische Erfindungsgabe, stellt aber eine Übung dar,
die jeder Physiker und jede Physikerin einmal nachvollzogen haben
sollte.
Aufgabenstellung
Für die oblaten elliptischen Kordinaten
sind
- die Flächen im Raum, die enstehen wenn je eine dieser Koordinaten
konstant gehalten wird (Koordinatenflächen) zu beschreiben und
- (unter Benutzung von Math.Kap 5.2) die Darstellung der
Differentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation und Laplaceoperator
in den oblat elliptischen Koordinaten
mit den Wertebereichen
zu berechnen.
- Man kann die Darstellung der Differentialoperatoren auch in
den alternativ möglichen Koordinaten
und 
die durch
definiert sind, angeben. Bereite diese Aufgabe durch Berechnung der
metrischen Koeffizienten vor.
Werkzeuge:
Sind krummlinige Koordinaten
durch die Transformation
vorgegeben, so berechnen sich die `metrischen
Koeffizienten` durch
Die weiterhin benötigten Formeln sind:
mit den Einheitsvektoren
Beachte Varianten in der Schreibweise (Math.Kap. 5.2)!
Fragen
zur schrittweisen Gewinnung der Lösung
Aufruf
der Lösung
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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
