Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.5

1. Beschreibe die Flächenladungsdichte   mit Hilfe der -Funktion für die Kugelfläche und der Stufenfunktion für die Kappe.
2. Berechne die Gesamtladung.  
3. Bestimme die Multipolentwicklung,   die zur Berechnung des Potentials im Innenbereich der Kugel zuständig ist.
4. Benutze die Multipolentwicklung   zur Bestimmung des Potentials im Innenbereich der Kugel. Berechne die Entwicklungskoeffizienten.
5. Berechne die Multipolentwicklung   des Potentials im Außenbereich der Kugel.
6. Berechne das elektrische Feld   für Punkte im Innern der Kugel (in welchen Koordinaten?) und betrachte dann das Feld in dem Kugelmittelpunkt. Diskutiere das Ergebnis.
7. Diskutiere das Feld im Kugelmittelpunkt in den Grenzfällen   .
8. Wie kann man die angegebene Darstellung der Legendrepolynome   nutzen, um die nicht so extremen Grenzfälle und zu beleuchten?

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3.5 Antwort zu H1

Die uniforme Flächenladungsverteilung auf der Kugel ohne Kappe kann in der Form (benutze Kugelkoordinaten bezogen auf den Kugelmittelpunkt)

dargestellt werden. Die -Funktion beschreibt die Kugelfläche, die Stufenfunktion mit

schließt den Beitrag der Kappe aus.

   Berechne die Gesamtladung.  

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3.5 Antwort zu H2

Die Gesamtladung auf der Kugelfläche ohne Kappe ist

Die Gesamtladung als Funktion von ist in Abb. 0.1

Abbildung 0.1: Gesamtladung

gezeigt. Die Polarwinkel, die zu der Gesamtladung beitragen, sind in Abb. 0.2

Abbildung 0.2: Teilbeitrag zur Gesamtladung als Funktion des Polarwinkels

angedeutet.

   Bestimme die Multipolentwicklung,   die zur Berechnung des Potentials im Innenbereich der Kugel zuständig ist.

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3.5 Antwort zu H3

Man beginnt mit der Entwicklung der inversen Abstandsfunktion für den Fall

multpliziert mit der den Innenbereich umgebenden Ladungsverteilung und integriert über die gestrichenen Koordinaten. Die resultierende Entwicklung hat die Form

mit

   Benutze die Multipolentwicklung   zur Bestimmung des Potentials im Innenbereich der Kugel. Berechne die Entwicklungskoeffizienten.

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3.5 Antwort zu H4

Die Multipolentwicklung im Innenbereich der Kugel kann über die Entwicklung der Abstandsfunktion für gewonnen werden. Sie lautet

wobei die Koeffizienten durch

zu berechnen sind. Einsetzen der Ladungsverteilung ergibt

Mit der Definition der Kugelflächenfunktionen (3.32)

findet man für die Integration über den Azimutalwinkel

und somit das Zwischenergebnis

Das hier auftretende Integral kann mit (W1) ausgewertet werden. Für ist.

Benutzt man noch die Relation (W2)

so kann man das Endergebnis für die Entwicklungskoeffizienten mit in der Form

notieren. Für findet man direkt

so dass mit der Festlegung

der Koeffizient in der gleichen Form notiert werden kann. Für das Potential erhält man somit

   Berechne die Multipolentwicklung   des Potentials im Außenbereich der Kugel.

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3.5 Antwort zu H5

Für Punkte außerhalb des Kugelvolumens lautet der Multipolansatz

mit

Die weitere Rechnung verläuft analog zu der Rechnung im Fall , der einzige Unterschied ist das (triviale) Radialintegral. Man erhält

und somit für das Potential

   Berechne das elektrische Feld   für Punkte im Innern der Kugel (in welchen Koordinaten?) und betrachte dann das Feld in dem Kugelmittelpunkt. Diskutiere das Ergebnis.

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3.5 Antwort zu H6

Zur Berechnung des elektrischen Feldes benutzt man zweckmäßigerweise Kugelkoordinaten. Dies erfordert die Auswertung von

Für Punkte im Kugelinneren findet man

Zur Angabe der Ableitung des Legendrepolynoms benutzt man die Relation (W3)

und erhält

In dem Grenzfall tragen nur die Terme mit bei. Es ist dann

und somit

bzw. in kartesischer Zerlegung

Der Feldvektor im Zentrum der Kugelkalotte zeigt in die -Richtung (für positives in Richtung des Zentrums der Kappe) und hängt in einfacher Weise von dem Öffnungswinkel der Kappe ab. Die Abbildung 0.3

Abbildung 0.3: Feldbeiträge im Kugelmittelpunkt:

deutet an, dass sich die Beiträge von vier diametralen Punkten mit Ladung kompensieren, während die Beiträge von dem Gegenstück der Kappe den Feldbetrag liefern. Den maximale Beitrag erhält man deswegen für (Abb. 0.4).

Abbildung 0.4: Feldbeiträge im Kugelmittelpunkt:

Die Symmetrie des Feldbetrages im Ursprung bezüglich ist dadurch bedingt, dass die Beiträge von dem Gegenstück der Kappe ( ) und von der restlichen, geladenen unteren Kugelschale ( ) gleich groß sind (Abb. 0.5).

Abbildung 0.5: Restkugelkalotte

   Diskutiere das Feld im Kugelmittelpunkt in den Grenzfällen   .

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3.5 Antwort zu H7

In den Grenzfällen (volle Kugelfläche) und (keine Ladung vorhanden) gelten die Aussagen: : Für die Legendrepolynome ist und somit für

Für ist hingegen (mit der obigen Festlegung)

Es verbleibt somit

Das entspricht (wie zu erwarten) dem Potential einer uniform belegten Kugelfläche, das im Außenraum dem Potential einer Punktladung entspricht, jedoch stetig in einen konstanten Wert auf der Kugelschale bzw. im Inneren übergeht. Das elektrische Feld verschwindet im Innenbereich

im Einklang mit dem Faradayeffekt. : In diesem Fall ist und somit für

wie zuvor, doch auch für (mit der obigen Festlegung)

Es existiert, wie zu erwarten, kein Potential, da keine Ladung vorhanden ist.

   Wie kann man die angegebene Darstellung der Legendrepolynome   nutzen, um die nicht so extremen Grenzfälle und zu beleuchten?

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3.5 Antwort zu H8

Für kleinere Öffnungswinkel der Kugelkappe kann man die Entwicklung der Darstellung der Legendrepolynome

durch die hypergeometrischen Funktion bis zur niedrigsten Ordnung, bzw. die Ersetzung von durch benutzen. Es ist dann

so dass man für die Aussage

erhält. Für ist

Damit ergibt sich für das Innenpotential

Der zweite Term kann mit der Multipolentwicklung zusammengefasst werden. Man benutzt zu diesem Zweck den Vektor , so dass sich das kompakte Ergebnis

ergibt. Für das Außenpotential gilt entsprechend

Man erkennt die erste Korrektur zu den Resultaten für . Für große Öffnungswinkel benutzt man

sowie die Symmetrierelation

Damit findet man für

sowie

Die Potentiale sind dann

wobei nun gesetzt werden muss (Abb. 0.6)

Abbildung 0.6: Der Abstandsvektor und der Vektor zu dem effektiven Ladungspunkt im Fall

und

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