als auch
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als auch
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Werkzeuge
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Ebene (Abb. 0.1).
und
, z.B.
. Vektorgrößen können mit
markiert) zurückgewonnen werden.
Diskutiere die Darstellung des
Rotationsellipsoids
durch die oblat-elliptischen Koordinaten im Detail.
- Ebene, Abb. 0.2)
ist durch 
und
charakterisiert. Wegen der
Gleichung
kann man eine Ellipse
(ein Rotationsellipsoid) auch durch die Parameter 
und 
charakterisieren. Die Relationen
die extreme
Pfannkuchenform mit 
und
den Grenzfall der Kugel 
beschreiben.
Welche Konsequenzen ergeben sich infolge der
Symmetrie
für die Abhängigkeit des Potentials von den oblat-elliptischen
Koordinaten?
ist, gilt im Fall des Ellipsoids
. Die Äquipotentialflächen sind hier
Rotationsellipsoide (in der - Ebene Ellipsen), die alleine
durch die Variable 
charakterisiert werden.
Wie lautet die
Differentialgleichung,
aus der man das Potential berechnen kann?
abhängt, geht die Laplacegleichung für den Außenraum in eine
gewöhnliche Differentialgleichung über
Gib die allgemeine
Lösung
der Differentialgleichung sowie die spezielle Lösung, die den
Randbedingungen entspricht, an. Diskutiere die spezielle Lösung.
führen auf lineare Gleichungen für die
Integrationskonstanten
zeigt Abb. 0.3.
) und
fällt mit dem Arcustangens ab.
Berechne die Verteilung der
Oberflächenladung
auf dem Ellipsoid.
, gilt
die Komponente des elektrischen Feldes senkrecht zu der Oberfläche
des Ellipsoides (des Randes der Ellipse) ist. Für die Ableitung des
Potentials findet man
Drücke die
Ladungsverteilung
durch die ursprünglichen Ellipsoidparameter aus und diskutiere sowohl
als auch
.
(siehe
Antwort 2
)
ab, dem orthogonalen Komplement
zu . Sie beschreibt die Variation der Ladungsdichte auf der Oberfläche
des Ellipsoids. Da die Ladungsdichte auf dem Ellipsoid unabhängig von dem
Winkel ist, genügt es, die Variation entlang eines Ellipsenbogens in der
- Ebene zwischen den Polarwinkeln
entsprechend den Variablen
, zu betrachten.
Die Diskussion der Ladungsverteilung ist einfacher in den Parametern 
.
Die Ladungsdichte ist direkt proportional zu , die Abhängigkeit von
variiert zwischen einer scharfen Spitze um 
für kleine 
-Werte,
die einer extremen Pfannkuchenform entsprechen, einer gemäßigteren Glocke
mit einem Maximum bei bis zu einer uniformen Verteilung für große
-Werte, für die fast eine Kugelform vorliegt. Das Maximum um die Stelle
, der Stelle mit der stärksten Krümmung im Fall 
, zeigt den
Spitzeneffekt. Details sind in Abb. 0.4 für die Parameter 
und 
dargestellt.
mit dem Parameter zeigt die Animation in
Abb. 0.5.
ist zusätzlich in Abb. 0.6, als Funktion von 
bei festem 
und als Funktion von für festes , illustriert.
 |
 |
für festes 
als Funktion von |
für festes  als Funktion von |
, sowie die Symmetrie
bezüglich mit einem Minimum für Punkte auf der 
-Achse (
).
Berechne die
Gesamtladung
auf dem Ellipsoid.
Berechne und diskutiere die
Kapazität
der Anordnung.
(eine Kugel ist konzentrisch zu einer
geerdeten, unendlich großen Kugel) findet man mit
und die äußere Kugelschale den
Radius 
hat. Ist , hat man also ein sehr flaches Ellipsoid
(Pfannkuchen), so ist
, ist proportional zu . Betrachtet
man 
, so findet man über einen weiten Bereich einen nahezu
linearen Anstieg (Abb. 0.7) mit der Variablen . Nur in dem
Bereich nahe 
ist eine Abweichung von diesem Verhalten bemerkbar.
