Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.8

1. Wähle ein geeignetes Koordinatensystem   und notiere die Bestimmungsgleichung für
2. Nutze die Geometrie   zur Festlegung der Größen, die das Potential charakterisieren, und berechne das Potential.
3. Eliminiere aus dem Ergebnis für die Variable unter Verwendung der Abstände   und
4. Führe die Koordinaten und ein und diskutiere die Äquipotentialflächen.  
5. Welche Form hat des Potential für große Entfernungen von dem Stab?  
6. Verknüpfe den Parameter mit den Standardellipsenparametern und und diskutiere die genaue Form der Äquipotentialflächen.  
7. Gib, gemäß der Aufgabenstellung, die Kapazität   an.

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3.8 Antwort zu H1

Man orientiert die Ladungsverteilung z.B. entlang der -Achse (Abb. 0.1).

Abbildung 0.1: Koordinaten und Größen

Infolge der Zylindersymmetrie des Problems genügt es, die Auswertung in einer vorgegebenen Ebene (z.B. - Ebene) zu betrachten. Bezeichne mit

• den kürzesten Abstand des Feldpunktes von der -Achse.
• der Vektor von einem infinitesimalen Ladungselement zu dem Feldpunkt.
• der Vektor von dem Koordinatenursprung zu dem Feldpunkt.
• die Position der infinitesimalen Ladung auf der -Achse.
• die Strecke von dem Ursprung bis zu der Projektion des Feldpunktes auf die -Achse.

Es ist das Integral

auszuwerten.

   Nutze die Geometrie   zur Festlegung der Größen, die das Potential charakterisieren, und berechne das Potential.

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3.8 Antwort zu H2

Gemäß der Vorgabe der Geometrie gilt (Pythagoras)

Das auszuwertende Integral ist somit

Das Integral

ist in jeder Integraltafel zu finden. Man kann es auch mit der Substitution

auswerten. Es gilt dann

bzw.

und somit

In dem vorliegenden Problem erhält man somit

   Eliminiere aus dem Ergebnis für die Variable unter Verwendung der Abstände   und

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3.8 Antwort zu H3

Die Ausdrücke

entsprechen den zwei Extremalabständen des Feldpunktes von dem geladenen Geradenstück (Abb. 0.2)

Abbildung 0.2: Definition der Koordinaten und

Das Potential lautet also

Um die noch verbleibende Variable zu eliminieren, bildet man

und erhält nach einfacher Erweiterung

   Führe die Koordinaten und ein und diskutiere die Äquipotentialflächen.  

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3.8 Antwort zu H4

Anstelle der Größen und bieten sich die Koordinaten

bzw.

an. Die Ersetzung von und durch und liefert

Die Äquipotentialflächen werden durch charakterisiert. Die Aussage

entspricht der Definition einer Ellipse (der Kegelschnitt, für den die Summe der Abstände von den Brennpunkten konstant ist) mit den Brennpunkten bei Infolge der Zylindersymmetrie sind die Äquipotentialflächen im dreidimensionalen Raum also Rotationsellipsoide mit den Brennpunkten an den Stellen auf der -Achse.

   Welche Form hat des Potential für große Entfernungen von dem Stab?  

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3.8 Antwort zu H5

Für große Entfernungen ist

Es folgt dann und

Der Stab sieht wie eine Punktladung aus, wenn man ihn aus genügend großer Entfernung betrachtet.

   Verknüpfe den Parameter mit den Standardellipsenparametern und und diskutiere die genaue Form der Äquipotentialflächen.  

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3.8 Antwort zu H6

Die Standarddarstellung einer Ellipse in der - Ebene

entspricht der Darstellung

Eine Verknüpfung der Parameter gewinnt man, wenn man als Ellipsenpunkt den Schnittpunkt der Ellipse mit der (positiven) -Achse wählt. Es ist dann (siehe Abb. 0.3)

Abbildung 0.3: Zur Diskussion der Ellipsenparameter

Der konstante Wert von ist mit der Länge der Halbachse identisch. Wählt man als Ellipsenpunkt den Schnittpunkt mit der -Achse, so findet man (Abb. 0.3)

Ist das Ellipsoid prolat (), so gilt

Es folgt und wiederum Im Fall eines oblaten Ellipsoids () ist

Damit erhält man und somit . Die Äquipotentialflächen des Stabes entsprechen also den Äquipotentialflächen eines prolaten Rotationsellipsoids.

   Gib, gemäß der Aufgabenstellung, die Kapazität   an.

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3.8 Antwort zu H7

Der Potentialwert auf einem Metallellipsoid, charakterisiert durch den Parameter ist ()

Die Gesamtladung auf diesem Ellipsoid ist also

und somit findet man für die Kapazität

Setzt man hier ein, so erhält man wie in Aufg. 3.7

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