Hinweise zur Lösung der Aufgabe 3.9
-
Betrachte die
Laplacegleichung
in kartesischen Koordinaten und diskutiere den Separationsansatz.
-
Bestimme die
Separationskonstanten
für die Anfangsbedingungen (i).
-
Bestimme die
Separationskonstanten
für die Anfangsbedingungen (ii).
-
Bestimme die
Separationskonstanten
für die Anfangsbedingungen (iii). Wie setzt man die Vorgabe in eine
Aussage über die Potentiale um?
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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
3.9 Antwort zu H1
Für die Lösung des vorgegebenen Dirichletproblems muss man die
Laplacegleichung in kartesischen Koordinaten
betrachten. Der Separationsansatz
führt auf die drei gewöhnlichen Differentialgleichungen
wobei die Integrationskonstanten durch
verknüpft sind.
Ein Fundamentalsystem von Lösungen dieser linearen Differentialgleichungen
zweiter Ordnung sind entweder trigonometrische oder
Exponentialfunktionen, so z.B. für die 
-Koordinate
oder alternativ
Die Separationskonstanten können komplex sein. Neben der
angegebenen Lösung für die -Koordinate kann man
benutzen.
Bestimme die
Separationskonstanten
für die Anfangsbedingungen (i).
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3.9 Antwort zu H2
Die allgemeinen Lösungen werden durch die Randbedingungen
eingeschränkt:
Die Bedingungung 
liefert für die Lösung mit
den trigonometrischen Funktionen
Die gesuchte spezielle Lösung ist also
Die Bedingung
führt auf
und somit auf die spezielle Lösung
Für die 
-Koordinate ist in der Teilaufgabe (i)
und
vorgegeben. Die erste Bedingung führt
auf
und somit auf
Die Separationskonstante 
ist durch die Konstanten 
und
zu
festgelegt. Eine allgemeine Lösung, die alle Randbedingungen bis auf die
Randbedingung für 
erfüllt, lautet somit
Die Entwicklungskoeffizienten werden durch die noch offenstehende
Randbedingung festgelegt. Es ist allgemein
Um diese Gleichung nach den Entwicklungskoeffizienten aufzulösen,
benötigt man die Orthogonalitätsrelation
Eine entsprechende Aussage gilt für die Lösung in der Koordinate 
Für die spezielle Vorgabe 
erhält man somit
Die noch anstehenden Integrale sind elementar. So ist z.B.
Die Entwicklungskoeffizienten der Lösung, die alle Randbedingungen
(i) erfüllen, lauten also
Bestimme die
Separationskonstanten
für die Anfangsbedingungen (ii).
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3.9 Antwort zu H3
In der zweiten Teilaufgabe lauten die Randbedingungen für die Flächen
in der -Richtung
Auf der Fläche ist jeweils ein konstanter Potentialwert vorgegeben.
In diesem Fall muss man eine Lösung, die die Randbedingungen auf den
Seitenflächen erfüllt, jedoch allgemein in der -Koordinate ist,
ansetzen, so z.B.
Die Randbedingung 
führt nach geeigneter Multiplikation
der Entwicklung und Integration (wie zuvor) auf
Die noch ausstehenden Integrale sind in diesem Fall
Damit (und einem entsprechenden Resultat für das Integral über die
-Koordinate) findet man
Die entsprechende Randbedingung auf der Fläche ergibt die
Bedingung
Wertet man hier die linke Seite aus, setzt das Resultat für 
ein und sortiert, so findet man
Es tragen in beiden Fällen nur ungerade Werte von 
und 
bei, so
dass das Potential für diese Teilaufgabe in der Form
notiert werden kann.
Bestimme die
Separationskonstanten
für die Anfangsbedingungen (iii). Wie setzt man die Vorgabe in eine
Aussage über die Potentiale um?
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3.9 Antwort zu H4
Um die Vorgabe einer Flächenladungsdichte mit einer Vorgabe für das
Potential zu verknüpfen, benutzt man die Relation
Für das vorliegende Problem, in dem 
den Quaderflächen entspricht,
lauten die Randbedingungen also:
Alle Flächen des Quaders, bis auf die Deckelfläche sind ladungsfrei. Die
Deckelfläche ist mit einer Flächenladung belegt, die von den Werten 
entlang den - und -Achsen linear bis zu dem Wert 
entlang
den Geraden 
und 
anwächst oder abfällt (
).
Die Randbedingungen erfordern bei dieser Teilaufgabe z.B. wegen
Eine entsprechende Aussage gilt für die Funktion 
Für die
-Richtung gilt
und somit
Der allgemeine Lösungsansatz, der die Randbedingungen einer verschwindenden
Normalenableitung auf den 5 Quaderflächen erfüllt, ist somit
Zur Implementierung der letzten Randbedingung
muss man dieses Zwischenresultat nach auflösen.
Für das Integral
erhält man wegen
wie für die entsprechende Sinusfunktion
Aus der letzten Randbedingung folgt somit
Die Integrale auf der rechten Seite liefern die Beiträge
so dass das Ergebnis für die Entwicklungskoeffizienten
lautet. Wieder tragen nur die ungeraden Werte von 
zu der Entwicklung des
Potentials bei.
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