Lösung der Aufgabe 3.9


Zur Lösung der Laplacegleichung in kartesischen Koordinaten

benutzt man einen Separationsansatz

der die drei gewöhnlichen Differentialgleichungen

bedingt. Die Einbindung der Randbedingungen

in die Lösungen dieser einfachen Differentialgleichungen führt auf die Zwischenlösung

Die Separationskonstante ist durch die Konstanten und zu

festgelegt. Die Entwicklungskoeffizienten werden durch die noch offenstehende Randbedingung bestimmt

Auflösung dieser Gleichung nach den Entwicklungskoeffizienten mit Hilfe der Orthogonalitätsrelationen für die trigonometrischen Funktionen führt auf

Für (Aufgabe (i)) findet man

In der zweiten Teilaufgabe lauten die Randbedingungen für die Flächen in der -Richtung

In diesem Fall muss man eine Lösung, die die Randbedingungen auf den Seitenflächen erfüllt, jedoch allgemein in der -Koordinate ist, ansetzen

Die Randbedingung führt nach geeigneter Multiplikation der Entwicklung und Integration (wie zuvor) auf

mit dem Ergebnis

Die entsprechende Randbedingung auf der Fläche ergibt die Bedingung

Wertet man hier die linke Seite aus, setzt das Resultat für ein und sortiert, so findet man

Es tragen für die beiden Koeffizienten nur ungerade Werte von und bei, so dass das Potential für diese Teilaufgabe in der Form

notiert werden kann. Um die Vorgabe einer Flächenladungsdichte mit einer Vorgabe für das Potential zu verknüpfen, benutzt man die Relation

die in dem vorliegenden Fall den Randbedingungen

entspricht. Alle Flächen des Quaders, bis auf die Deckelfläche, sind ladungsfrei. Der allgemeine Lösungsansatz, der die Randbedingungen einer verschwindenden Normalenableitung auf den 5 Quaderflächen erfüllt, ist

Die Entwicklungkoeffizienten werden (wie zuvor) durch die letzte Randbedingung bestimmt

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